Ph¬ng tr×nh chøa tham sè.[r]
(1)Hệ phơng trình I Hệ bậc nhất
1.Giải hệ pt
Bài 2:
x+y+z=11
3x+2y+z=24
2x − y+z=5 ¿{ {
¿
Bµi 3:
¿ x+2y
5x+6z=
7 3y+4z
x+2y =
8
x+y+z=128
¿{ { ¿
Bµi 4: ¿ x+y=16
x+z=22 y+z=28
¿{ { ¿
Bµi 5:
¿ x+y+z=1 2x+3y −27=4 − x+2y+27=5
¿{ { ¿
Bµi 6:
¿ x −2y+3z=9
2x+5y − z=10
3x+3y+2z=2 ¿{ { ¿ Bµi 7: ¿ x 3= y 5= z 3x −5y+6z=16
¿{ ¿
Bµi 8:
¿ x+y − z=c y+z − x=a x+z − y=b
¿{ { ¿
Bµi 9:
¿ x+y+z=15
x+y+t=16 x+z+t=18 y+z+t=20
¿{ { { ¿
Bài 24. Giải hệ phơng trình sau
a
2
2
3
x y z x y z x y z
b.
5 36
2 4 39
5 40
x y z x y z x y z
c 23 31 27 33 x y z y z t z t x t x y
d x y z t x y z t x y z t x y z t
e 1 16 1 20 1 18 x y y z z x f 12 24 xy x y yz y z xz z x g
5 3
2 4,5 x z x y y z h 2 x y y z z x
Bài 27. Giải hệ phơng trình sau
a 2
7 13 x y xy x y xy
b 3
7 133 x y x y c 2 2
2 3
2 3
x xy y x y xy x y
d 2 3 x x y y x x y y
(2)I HÖ bậc nhất 1.Giải hệ pt
Bài 1:
3x+4y=1
2x −3y=−2
¿{ ¿
Bµi 2:
¿ x+y+z=11
3x+2y+z=24
2x − y+z=5 ¿{ {
¿
Bµi 3:
¿ x+2y
5x+6z=
7 3y+4z
x+2y =
8
x+y+z=128
¿{ { ¿
Bµi 4:
¿ x+y=16
x+z=22 y+z=28
¿{ { ¿
Bµi 5:
¿ x+y+z=1 2x+3y −27=4 − x+2y+27=5
¿{ { ¿
Bµi 6:
¿ x −2y+3z=9
2x+5y − z=10
3x+3y+2z=2 ¿{ {
¿
Bµi 7:
¿ x
3=
y
5=
z
4 3x −5y+6z=16
¿{ ¿
Bµi 8:
¿ x+y − z=c y+z − x=a x+z − y=b
¿{ { ¿
Bµi 9:
¿ x+y+z=15
x+y+t=16 x+z+t=18 y+z+t=20
{ { {
2 Phơng trình tham số:
Bài 1: Giải biện luận hệ
(a+b)x+(a− b)y=a (2a −b)x+(2a −b)y=b
¿{ ¿
Bµi 2:
¿
ax+y=b
x+ay=c2+c ¿{
¿
1, Cho b = giải theo a b
2, Tìm b để ∀ a ta ln đợc c cho hệ có nghiệm
Bµi 3:
¿
6 ax+(2− a)y=3 (a −1)x −ay=2
¿{ ¿
(3)Bµi 4:
¿
ax+by=c
bx+cy=a
cx+ay=b ¿{ {
¿
cã nghiƯm Chøng minh r»ng a3+b3+c3=3abc
Bµi 5: Gi¶i biƯn ln
¿
ax+y+z=a2 x+ay+z=3a
x+y+az=z { {
Bài 6: Giải biện luËn
¿
mx+ny=m+1
nx+my=n+1 ¿{
¿
Bài 7: Tìm m để hệ có nghiệm
¿
1
x+m
1
y=m+1 m
x+
1
y=2m ¿{
¿
Bµi 8:
¿
3x+(k −1)y=k+1 (k+1)x+y+3
¿{ ¿
Xác định k để hệ có nghiệm
Bµi 9:
¿ x+ky=3
kx+4 y=6 ¿{
¿
Xác định k để hệ có nghiệm(x0,y0) mà x0,y0>1
Bµi 10:
¿
m2x+(2−m)y=m3+4
mx+(2m−1)y+m5−2
¿{
¿
Xác định m để hệ vơ nghiệm
Bµi 11:
¿
mx+2y=n
x+5y=7 ¿{
¿
Xác định n để hệ có nghiệm ∀m
Bµi 12:
¿
mx+y=1 x+my=1 x+y=m
¿{ { ¿
Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 13: Tìm m để hệ có nghiệm ngun
¿
2 mx+3y=m
x+y=m+1 ¿{
¿
(4)a,
¿
(m−2)x+2 my+m (2m−1)x − y=2m −5
¿{
¿
b,
¿
x+(m+3)y=M+1 (m−1)x+y=2m+3
¿{ ¿
Bµi 15: a, b, c cạnh chứng minh r»ng
¿
ay+bx=c
cx+az=b
bz+cy=a ¿{ {
¿ Bài 16: Tìm m, n, p để hệ sau đồng thời vô nghiêm
¿ x −py=n −px+y=m
¿{ ¿
¿ −px+y=m
nx+my+1 ¿{
¿
¿
nx+my=1 x −py=n
¿{ ¿
Bài 17: Giải biện luận
x+y+z=0
(b+c)x+(a+c)y+(a+b)z=0
bcx+acy+abz=1 ¿{ {
¿
Bµi 18: Cho
¿
mx+4y=m2+4 x+(m+3)y=2m+3
¿{ ¿
1 Với giá trị m hệ pt có n0duy nhất: x y Với giá trị m tìm đợc tìm: Min{x+y}
Bài 19: Tìm liên hệ a, b, c để hệ có n0
¿
ax2+bx+c=0
bx2+cx+a=0
cx2
+ax+b=0 ¿{ {
¿
Bài 18: Tìm m, n, p để hệ có n0
¿
my+nz=p
px+mz=n
nz+py=m ¿{ {
¿
II biến đổi tơng đơng
Bµi 1:
(x+y)(x+y+z)=45 ¿
(y+z)(x+y+z)=63 ¿
(x+z)(x+y+z)=54 ¿
(5)Bµi 2: Cho abc > Gi¶i hƯ
¿
xy=a
yz=b
zx=c
¿{ { ¿
2 ¸p dơng gi¶i hƯ
a,
¿ x+y+xy=1
y+z+yz=5 x+z+xz=2
¿{ { ¿
b,
x+y+z=z −yz ¿
y(x+y+z)=3−xz ¿
z(x+y=z)=6−xy ¿
x¿
c,
¿
xyz
x+y=
24 xyz
y+z=
24 xyz
x+z=4 ¿{ {
Bài 3: Giải a,
x2
+2 yz=x y2+2 zx=y z2+2 xy=z
¿{ { ¿
b,
¿ x2
+y2+z=1 x2+y+z2=1 x+y2+z2=1
¿{ { ¿
c,
¿
xyz=x+y+z
yzt=y+z+t
ztx=z+t+x
txy=t+x+y
{ { {
Bài 4: Giải a,
¿
2x2 1+x=y
2y2
1+y=z
2z2
1+z2=x ¿{ {
¿
b,
¿ x+y=z=1 x2+y2+z2=1 x3+y3+z3=1
¿{{ ¿
Bµi 5: Gi¶i
¿ x2+3y=9
y4+4(2x −3)y2−48y+48x+155=0 ¿{
(6)III Phơng pháp thế Bài 1:
x+y x − y+6
x − y x+y=5
xy=2 ¿{
¿
Bµi 2:
¿ x −1
y=1 y −1
z=1 z−1
x=1 ¿{ {
¿
Bµi 3:
¿
xy−4=8− y2
xy=2+x2 ¿{
¿
;(C§SPHN 2001)
IV Phơng pháp đặt ẩn phụ Bài 1:
¿ x y −
y x=
5
x2− y2=5 ¿{
¿
Bµi 2:
¿ y+xy2
=6x2
1+x2y2=5x2 ¿{
¿
;(ĐHSP 2000)
Bài 3:
x2+y2=10y
2y(x2− y2)=3x ¿
¿ x¿
;(§H Má 1997)
Bµi 4:
¿ x3− y3=7
xy(x − y)=2 {
;(ĐHQG 1997)
Bài 5:
¿
1+x3y3=19x3 y+xy2=−6x2
¿{
(7)Bµi 6:
2x − y¿2=0 ¿
2x+y+
2x − y=3 ¿
2x+y¿2−5(4x2− y2)+6¿
;(ĐHXD 1997)
Bài 7:
¿
x(x+2)(2x+y)=9 x2+4x+y=6
¿{ ¿
;(§HAN 2001)
Bµi 8:
8x2−1¿2+1−2x=0 ¿
−1/2<x<0 ¿ ¿
128x2(4x2−1)¿
;(HVQY 2001)
V Phơng trình đối xng kiu mt
1.Giải hệ pt
Bài 1: a,
¿ x+y=4 x2+y2=10
¿{ ¿
b,
¿ x+y=10
x y+
y x=
5
¿{ ¿
c,
¿
xy(x+y)=20
1
x+
1
y=
4
¿{
¿
d,
¿ x2
y + y2
x =12
1
x+
1
y=3 ¿{
¿
e,
¿
5(x+y)+2y=−19 x+y+3 xy=−35
¿{ ¿
f,
¿ x2−xy+y2=7
xy=5 ¿{
¿
Bµi 2:
¿ x+y+z=6
xy+yz−xz=7 x2
+y2+z2=14 ¿{ {
¿
Bµi 3:
¿
x2+y2+xy=13 y − x+xy=5
(8)Bµi 4:
¿ x5
+y5=1 x9+y9=x4+y4
¿{
;(ĐHSP Vinh 2001)
Bài 5:
x33x=y33y x6
+y6=1 {
;(ĐHNThơng 2001)
Bµi 6:
¿ x+y=4
(x2+y2)(x3+y3)=280 ¿{
¿
;(HVQHQT 2001)
Bµi 7:
x − y¿2 ¿ x2−xy
+y2=7(x − y) ¿
x2
+xy+y2=19
;(ĐH HHải 2001)
2 Phơng trình chứa tham số Bài 1:
x+y+xy=m
x2+y2=m ¿{
¿
tìm m để hệ có nghiệm
Bµi 2:
¿ x+y=2a −1 x2
+y2=aa+2a −3 ¿{
¿
xác định a để xy nhỏ
Bµi 3:
¿ x+y+xy=a x2y+xy2=3a −8
¿{ ¿
xác định a để hệ có nghiệm
Bµi 4:
x2+y2=2(1+a) x+y¿2=4
¿ ¿ ¿{
¿
Với giá trị nsị a để hệ có hai nghiệm
Bµi 5:
¿
x+xy+y2=m+1 x2y
+y2x=m ¿{
¿
Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x,y >0
Bµi 6:
¿ x+y=4 x2
+y2=m ¿{
¿
a, Xác định m để hệ vơ nghiệm
(9)Bµi 7:
¿ x+y=a x4y4=a4
¿{ ¿
Bµi 8:
¿
x+y+x2+y2=8
xy(x+1)(y+1)=m {
;(ĐHNThơng1997)
1.Gi¶i m=12
2.Tìm m để hệ pt có nghiệm
Bµi 9: Cho
¿
x3− y3=m(x − y) x+y=−1
¿{ ¿
;(C§SPKT Vinh 2001)
Tìm m để hệ pt có nghiệm (x1;y1);(x2;y2);(x3;y3) mà x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng có số có giá trị tuyệt đối >1
vi.§èi xứng kiểu ii 1. Giải Hệ PT:
Bài1: a)
¿
2x=y2−4y+5
2y=x2−4x+5
¿{ ¿
b)
¿
2x2
=y+1 y
2y2
=x+1 x ¿{
¿
c)
¿ x√1− y2=1/4 y√1− x2=1/4
¿{ ¿
d)
¿ ¿x∨¿1− y2 ¿y∨¿1− x2
¿{ ¿
e)
¿
x2−2y2=2x+y y2−2x2
=2y+x ¿{
¿
f)
¿ x3=3x+8y y3
=3y+8x ¿{
¿
Bµi 2:
¿ x= 2y
1− y2 y= 2x
1− x2
¿{ ¿
Bµi 3:
¿ x=1− y
2 1+y2 y=1− x2
1+x2 ¿{
¿
2.HÖ PT Chøa Tham Sè
Bµi 1: Cho
¿ x=y2− y+m
y=x2− x+m
¿{ ¿
1 1.Tìm m để hệ pt có N0
2 Tìm m để hệ pt có N0
Bµi 2:
¿
y2=x3−4x2+mx x2=y3−4y2+my
¿{ ¿
(10)Bµi 3:
¿
2x+√y −1=m
2y+√x −1=m ¿{
¿
Tìm m để hệ pt có N0
Bài 4: CMR m để hệ pt có N0
¿
2x2=y+a
2
y
2y2
=x+a
2
x ¿{
¿
Bµi 5: Gi¶i biƯn ln hƯ
1
¿
x2+2 xy− y=mx y2
+2 xy− x=my ¿{
¿
2
¿ x3=y2+m y3
=x2+m ¿{
¿
Bài 6: Tìm m để hệ pt có N0
¿ x
y+sinx=m y
x+siny=m ¿{
¿
;(x,y [0,2Π] )
Bài 7: Tìm a<0 để hệ pt có N0
¿ x2y+a=y2
y2x+a=x2
¿{ ¿
;(§H Dỵc 1997)
Bài 8: CMR để hệ pt có N0 a>0
¿
7x+y −a
2
x2=0 x+7y −a
3
y2 ¿{
¿
;(§H HuÕ 1997)
Bài 9: Tìm m để hệ pt có N0
¿ x+√y −3=m y+√x −3=m
¿{ ¿
(11)x+1¿2=y+a ¿ y+1¿2=x+a
¿ ¿{
¿ ¿
;(ĐHSPHCM 2001)
VII Hệ Đẳng cấp
1 Giải hƯ
Bµi 1:
¿
x2+4 xy−2y2=3
2x2−xy+3y2=4 ¿{
¿
¿
x2−2 xy+3y2=9 x2−4 xy+5y2=5
¿{ ¿
3
¿ x3
+y3=1 x2y+2 xy2+y3=2
¿{ ¿
Bµi 2: Cho
¿ x2
+y2+z2=8
xy+yz+zx=4 ¿{
¿
CMR −8/3≤ x , y , z ≤8/3
Bµi 3:
¿ x3+y3=1 x5
+y5=x2+y2 ¿{
¿
2
¿
2x3−9y3=(x − y)(2 xy+3) x2−xy+y2=3
¿{ ¿
Bµi 4: Cho
¿ x2+xy+y2=3 y2+yz+z2=16
¿{ ¿
; CMR xy+yz+zx≤8
Bµi 5:
x − y¿2y=2 ¿ x3− y3
=19 ¿ ¿ ¿
;(§HNN I 2001)
2 HƯ chøa tham sè
Bµi 1: CMR
¿ x2−4 xy
+y2=k y2−3 xy
=4 ¿{
¿
cã N0 víi mäi k
Bài 2: Tìm a để hệ
a+1¿2 ¿
x3
+ax2y+xy2=1
¿ ¿
x3−ay3=1/2¿
cã N0 x+y=0
Bµi 3:
¿
3x2+2 xy+y2=11 x2
+2 xy+3y2=17+m ¿{
(12)
2 Với giá trị m hệ có N0
Bài 4:Tìm m hÖ cã nghiÖm
¿
x2+2 xy−7y2≥1− m
1+m
3x2+10 xy5y22 {
Bài 5: Tìm m hÖ cã nghiÖm
¿
x2−2 xy−3y2=8
2x2
+4 xy+5y2=m4−4m3+4m2−12+√105
¿{ ¿
;(§HAN 2000)
XIII Hệ Đặc Biệt
1 Giải Hệ
Bµi 1:
¿ x3+y2=2 x2+xy+y2− y=0
¿{ ¿
Bµi 2:
¿ x2y2−2x
+y2=0
2x2−4x+y3+y=0 ¿{
¿
Bµi 3:
3− x¿3 ¿
(2z − y)(y+2)=9+4y ¿
x2+z2
=4x ¿ ¿ y+2=¿
Bµi 4:
¿ x4+y4=2 x3−2x2
+2x=y2 ¿{
¿
Bµi 5:
¿ x3y=9
3x+y=6 ¿{
¿
Bµi 6:
¿
y3−9x2+27x −27=0 z3−9y2
+27y −27=0 x3−9z2+27z −27=0
(13)Bµi 7:
¿
2x2
x2
+1=y
3y2 y4+y2+1=z
4z4
z6+z4+z2+1=x ¿{ {
¿
¿
2x2
x2+1=y
3y3 y4
+y2+1=z
4z4
z6+z4+z2+1=t
5t5
t8+t6+t4
+t2+1=x ¿{ { {
¿
3
¿
2x2
x2
+1=y
2y2 y2+1=z
2z2
z2+1=x ¿{ {
¿
Bµi 8:
¿ x2− y
=1 y2− z=1
z2− x
=1 ¿{ {
¿
Bµi 9:
¿ x4+y2=698
81
x2
+y2+xy−3x −4y+4=0 ¿{
¿
Bµi 10:
¿ x+y=z x3
+y3=z2 {
Tìm N0 nguyên dơng hệ
Bµi 11:
¿
x2+2 xy−3y2=0 x∨x∨+y∨y∨¿−2
¿{ ¿
Bµi 12:
¿ x2+y2=82
9
¿x+1 x∨+¿
10
3 − x+y∨¿
10 +y+
1
y ¿{
(14)Bµi 13:
¿ x2
=y+1 y2=z+1
z2=x+1 ¿{ {
¿
Bµi 14:
¿ x+y+z=9
xy+yz+zx=27
1
x+
1
y+
1
z=1 ¿{ {
¿
Bµi 15:
¿ x2y2−3y2
+xy+1=0
3x2y2−6y2+xy+2=0 ¿{
¿
Bµi 16:
¿
2x+1=y3+y2+y
2y+1=z3+z2+z
2z+1=x3+x2+x ¿{ {
¿
2 HÖ Tham Số
Bài 1: Giải hệ x2+a2=y2+b2=(x-b)2+(y-a)2
Bài 2:
¿
x − y=a(1+xy)
xy+x+y+2=0 ¿{
Giải biện luận
Bài 3:
¿
2bx+(a
+1)by2=a2 (a −1)x3
+y3=1 ¿{
¿
Tìm a để hệ có n0
Bµi 4:
¿
3y − a√x2+1=a x+y+
x+√x2+1=a ¿{
¿
Tìm a để hệ có n0
Bµi 5:
¿
ax2+bx+c=y
ay2
+by+c=z
az2+bz+c=x ¿{ {
¿
Víi b −1¿
−4 ac<0
a>o ,¿ CMR hƯ V« NghiƯm Bµi 6:
¿ a(x4
+1)=y+1−∨x∨¿x2+y2=1
(15)Bµi 7:
¿
xyz+z=a
xyz2+z=b x2
+y2+z2=4 ¿{ {
¿
Tìm a, b để hệ có n0
Bài 9: Tìm a để hệ sau tơng đơng
(I)
¿ x+2y=2− a − x+ay=a−2a2
¿{ ¿
(II)
¿
x2− y4−4x+3=0
2x2
+y2+(a2+2a−11)x+12−6a=0 ¿{
¿ Bài 10: Tìm m để hệ pt có nhiều n0
¿
¿x −1∨+¿y −1∨¿1 x2+y2=m
¿{ ¿
Bµi 11: Cho
¿ x2− y2
+a(x+y)=x − y+a x2+y2+bxy=3
¿{ ¿
1 Gi¶i hƯ a=b=1
2 Xác dịnh a, b để hệ có nhiều n0
IX.HƯ vô tỷ
1 Dng i xng
Bài 1:
¿
√x+√y=5
√x+5+√y+5=8 ¿{
¿
Bµi 2:
¿
√x+1+√2− y=√3
√2− x+√y+1=√3 ¿{
¿
¿
√x+√2− y=√2
√2− x+√y=√2
¿{ ¿
Bµi 3:
¿
x√y+y√x=30 x√x+y√y=35
¿{ ¿
Bµi 4:
¿
2(x+y)=3(√3 x2y+√3xy2)
3
√x+√3 y=6
¿{ ¿
Bµi 5:
¿
√x2+y2+√2 xy=8√2
√x+√y=4 ¿{
(16)Bµi 6:
¿
√x+√y+√x −√y=2
√y+√x −√y −√x=1 ¿{
¿
Bµi 7:
¿ x+√4 y −1=1 y+√4 x −1=1
¿{ ¿
Bµi 8:
¿
√x+y −√x − y=1
❑
√x2
+y2+√x2− y2=1 ¿{
¿
2
¿
√x+y −√x − y=1
❑
√x2
+y2+√x2− y2=1 ¿{
¿
;(HVQY 2001)
Bµi 9:
¿
√x+9+√y −7=4
y+9+x 7=4 {
;(ĐH Đông Đô 2001)
Bµi 10:
¿
√x2
+y2−1− k(√x+y −1)=1 x+y=xy+1
¿{ ¿
;(§H H§øc 2001)
1 Giải k=0
2 Tìm k hệ có n0
2 Dạng khác
Bài 1:
¿ x+y=2√yz
y+z=2√zx
z+x=2√xy x2
+y2+z2=12 ¿{ { {
¿
¿ z2+1=2√xy
x2−1
=2 yz√1−4 xy
¿{ ¿
Bµi 2:
¿ x −√y=1 y −√z=1
z −√x=1 ¿{ {
¿
Bµi 3:
¿
x+y+√x+y=20 x2+y2=136
¿{ ¿
¿
√x+y+√2x+y+z=7
3x+2y=23 ¿{
¿
3
¿
√x+y+√x − y=4 x2+y2=128
¿{ ¿
√20y
x =√x+y+√x − y ¿
16x
5y =¿√x+y −√x − y √¿
(17)Bµi 4:
¿
√x+y=√3x+y
√x − y=√3x − y −12
¿{ ¿
¿
√x+2√4 y=1
x+2y=1
¿{ ¿
Bµi 5:
¿
√x+4√32− x − y2=−3
√x+√32− x+6y=24 ¿{
¿
Bµi 6:
¿
16(x2+√3 x4−√3 x2+1)=xy
16(√3x8+√3x2+x2+1)+15√3 x4=2y√3x4 ¿{
¿
3 HƯ chøa tham sè
Bµi 1:
¿
√x+1+√y+2=a x+y=3a
¿{ ¿
Tìm a để hệ có n0
Bµi 2:
¿
√x+√y=a x+y −√xy=a
¿{ ¿
1 Gi¶i a=4
2 Tìm a để hệ có n0
Bµi 3:
¿
√x+y −√x − y=m
√x2
+y2+√x2− y2=m ¿{
¿
Tìm m để hệ có n0
Bµi 4:
¿
x2+3+ya
y2+5+xx2+5+3a {
(ĐH CThơ 2001)
X Hệ bất phơng trình vô tỷ Bài 1:
¿
x(x − y)≤ y(x+y)
2x2+y2−3 xy=1 ¿{
¿
Bµi 2:
¿ x2− y2≤2 xy
x2+y2≥3 xy ¿{
¿
Bµi 3:
¿ x+y ≤1 x2+y2+xy=1
¿{ ¿ Bµi 4: x
2
(18)Bµi 5:
¿ x − y ≥1
x2−xy−xy2=3 ¿{
¿
Bµi 6:
¿ x2≤∨y∨+1 y2≤∨x∨+1
¿{ ¿
Bµi 7:
¿ x2
+3x+1≤ y y2+3y+1≤ z z2
+3z+1≤ x ¿{{
¿
Bµi 8:
¿ x2+y2≥4 x2
+y2≤2∨x∨+2∨y∨¿ {
¿
Tìm n0 nguyên
Bài 9:
√xy+√1− y ≤√y
2√xy− y −√y=−1
¿{ ¿
Bµi 10:
¿ x2+5x+4<0 x3+3x2−9x −10>0
¿{ ¿
Bµi 11:
¿
5x2+2 xy− y2≥3
2x2
+2 xy− y2≤ m m−1
¿{
;(ĐHQG 2001)
Bài 12:
√x+√y=3
√x+5+√y+3≤ a ¿{
¿
(§HSPI 2001)
Bµi 13:
¿ x+y ≤2
x+y+√2x(y −1)+a=2 {
;(ĐHGTVT 2001)
Bài 14:
¿ x2
+5m2+8m>2(3 mx+2) x2
+4m2≥ m(4x+1) ¿{
¿
(19)Bài 3. Tìm giá trị cu a để hệ phơng trình sau có nghiệm
3
2
2
( 1)
x y z x y z x y z
a x y az
Bài 4. Cho hệ phơng trình
2000 x x y
x x y y k
2 Phơng trình tham số:
Bài 1: Giải biện luận hệ
(a+b)x+(a− b)y=a (2a −b)x+(2a −b)y=b
¿{ ¿
Bµi 2:
¿
ax+y=b
x+ay=c2+c
¿{ ¿
1, Cho b = gi¶i theo a vµ b
2, Tìm b để ∀ a ta ln đợc c cho hệ có nghiệm
Bµi 3:
¿
6 ax+(2− a)y=3 (a −1)x −ay=2
¿{ ¿
1, Gi¶i biƯn ln theo a
2, Giả sử(x,y) nghiệm Tìm liên hệ xvà y
Bài 4:
ax+by=c
bx+cy=a
cx+ay=b ¿{ {
¿
cã nghiƯm Chøng minh r»ng a3+b3+c3=3abc
Bµi 5: Gi¶i biƯn ln
¿
ax+y+z=a2 x+ay+z=3a
x+y+az=z { {
Bài 6: Giải biÖn luËn
¿
mx+ny=m+1
nx+my=n+1 ¿{
¿
Bài 7: Tìm m để hệ có nghiệm
¿
1
x+m
1
y=m+1 m
x+
1
y=2m ¿{
(20)Bµi 8:
¿
3x+(k −1)y=k+1 (k+1)x+y+3
¿{
¿
Xác định k để hệ có nghiệm
Bµi 9:
¿ x+ky=3
kx+4 y=6 ¿{
¿
Xác định k để hệ có nghiệm(x0,y0) mà x0,y0>1
Bµi 10:
¿
m2x+(2−m)y=m3+4
mx+(2m−1)y+m5−2 ¿{
¿
Xác định m để hệ vơ nghiệm
Bµi 11:
¿
mx+2y=n x+5y=7
¿{ ¿
Xác định n để hệ có nghiệm ∀m
Bµi 12:
¿
mx+y=1 x+my=1 x+y=m
¿{ { ¿
Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 13: Tìm m để hệ có nghiệm nguyên
¿
2 mx+3y=m
x+y=m+1 ¿{
¿
Bài 14: Tìm liên hệ x y để hệ khơng phụ thuộc vào m
a,
¿
(m−2)x+2 my+m (2m−1)x − y=2m −5
¿{ ¿
b,
¿
x+(m+3)y=M+1 (m−1)x+y=2m+3
¿{ ¿
Bµi 15: a, b, c cạnh chøng minh r»ng
¿
ay+bx=c
cx+az=b
bz+cy=a ¿{ {
¿ Bài 16: Tìm m, n, p để hệ sau đồng thời vô nghiêm.
¿ x −py=n −px+y=m
¿{ ¿
¿ −px+y=m
nx+my+1 ¿{
¿
¿
nx+my=1 x −py=n
{
Bài 17: Giải biện luận
¿ x+y+z=0
(b+c)x+(a+c)y+(a+b)z=0
(21)Bµi 18: Cho
¿
mx+4y=m2+4 x+(m+3)y=2m+3
¿{ ¿
1 Với giá trị m hệ pt cã n0duy nhÊt: x y
2 Với giá trị m tìm đợc tìm: Min{x+y}
Bài 19: Tìm liên hệ a, b, c để hệ có n0
¿
ax2+bx+c=0
bx2
+cx+a=0
cx2+ax+b=0 ¿{ {
¿
Bài 18: Tìm m, n, p để hệ có n0
¿
my+nz=p
px+mz=n
nz+py=m ¿{ {
¿ II biến đổi tơng đơng
Bµi 1:
(x+y)(x+y+z)=45 ¿
(y+z)(x+y+z)=63 ¿
(x+z)(x+y+z)=54 ¿
¿ ¿ ¿
Bµi 2: Cho abc > Gi¶i hƯ ¿
xy=a
yz=b
zx=c ¿{ {
¿ ¸p dơng gi¶i hƯ
a,
¿ x+y+xy=1
y+z+yz=5 x+z+xz=2
¿{ { ¿
b,
x+y+z=z −yz ¿
y(x+y+z)=3−xz ¿
z(x+y=z)=6−xy
¿ x¿
c,
¿
xyz
x+y=
24 xyz
y+z=
24 xyz
x+z=4 ¿{ {
¿
Bài 3: Giải a,
x2
+2 yz=x y2+2 zx=y z2
+2 xy=z ¿{ {
¿
b,
¿ x2
+y2+z=1 x2+y+z2=1 x+y2
+z2=1 ¿{ {
¿
c,
¿
xyz=x+y+z
yzt=y+z+t
ztx=z+t+x
txy=t+x+y
¿{ { {
(22)Bài 4: Giải a, ¿
2x2 1+x=y
2y2
1+y=z
2z2
1+z2=x ¿{ {
¿
b,
¿ x+y=z=1 x2+y2+z2=1 x3+y3+z3=1
{{
Bài 5: Giải
¿ x2+3y=9
y4+4(2x −3)y2−48y+48x+155=0 ¿{
¿ I/ Giải hệ phơng trình sau :
1/
¿ x3−xy2
+2000y=0 y3−yx2−500x=0
¿{ ¿
2/
¿
12x2−48x+64=y3(1)
12y2−48y+64
=z3(2)
12z2−48z+64=x3(3) ¿
{ { ¿
G/s (x; y; z) nghiệm hệ phơng trình dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) nghiệm hệ giả sử :
x = max{x; y; z}
Tõ 12x 48x 64 12x 4x 4 16 16
2
2
2 y 16
y3
T¬ng tù x2;z2
Trõ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z)
y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4)
VT0;VT0 DÊu “=” x¶y xyz
3/
2001
19
2001
19
2001
19
y y 1890 x
z
x x 1890 z
y
z z 1890 y
x
Ta cm hệ có nghiệm nhÊt x = y = z
Gi¶ sư (x,y,z) lµ nghiƯm cđa hƯ ( x; y; z) nghiệm hệ
không tính tổng quát ta giả sử số x, y, z không âm Ví dụ: x 0; y Từ phơng trình 1 z 0
Céng tõng vÕ phơng trình ta có:
z2001 1890z x2001 1890x y2001 1890z z19 z5 x19 x5 y19 y 5
Ta có:
2001 19 t 1 t 1890t t t
2000 18
t 1890 t t ( úng)đ 2001 19
t 1 t 1890t t t
Th t v y: ậ ậ
2001 2000 1000 cô si
(23)t18t4( pcm)đ V y x = y = zậ
4/
¿
2x+1=y3+y2+y
2y+1=z3+z2+z
2z+1=x3+x2+x ¿{ {
¿
5/
¿
x5− x4+2x2y=2 y5− y4+2y2z=2
z5− z4
+2z2x=2 ¿{{
¿
Tìm nghi m dệ ương c a phủ ương trình
6/
¿
x4+y4+z4=8(x+y+z)
xyz=8 ¿{
¿
7/
¿
y3−6x2+12x −8=0 x3−6z2
+12z −8=0 z3−6y2+12y −8=0
¿{ { ¿
8/
¿ x+y+z=1 x
y+ y z+
z x=
x+y y+z+
y+z x+y+1 ¿{
¿
9/
¿ a x−
b
z=c −xz b
y − c
x=a−xy c
z− a
y=c −yz ¿{ {
¿
Trong ó a;b;c đ +¿R❑
¿
10/
¿
√x1+√x2+ .+√xn=n
√x1+8+√x2+8+ +√xn+8=3n
¿{ ¿
11/
¿ x3
+3 xy2=−49 x2−8 xy+y2=8y −17x
¿{ ¿
12/
¿ x2
(x+1)=2(y3− x)+1 y2
(y+1)=2(z3− y)+1 z2
(z+1)=2(x3− z)
+1 ¿{ {
¿
13/ ¿ x3+y=2 y3
+x=2 ¿{
¿
14/
¿
y3−9x2+27x −27=0 z3−9y2+27y −27=0
x3−9z2
+27z −27=0 ¿{{
¿
15/
¿
30 y
x2+4y=2004
30 z
y2+4z=2004
30 x
z2+4x=2004
¿{ { ¿
16/
¿ y3−6x2
+12x −8=0 z3−6y2
+12y −8=0 x3−6z2+12z −8=0
¿{ { ¿
17/
¿
2x+x2y=y
2y+y2z=z
2z+z2x=x ¿{ {
(24)18/
¿
3(x+1
x)=4(y+
1
y)=5(z+
1
z)
xy+yz+xz=1 ¿{
¿
19/
¿
√x2+21=√y −1+y2
√y2
+21=√x −1+x2 ¿{
¿
20/
¿ x+y+z=0 x2+y2+z2=10 x7+y7+z7=350
¿{ { ¿
21/
¿
√x+30 4+√y −2001=2121
√x −2001+√y+30 4=2121 ¿{
¿
22/
¿ x2+y2+z2=3
2 xy+yz+xz=−3
4 xyz=1
8
¿{ { ¿
23/
¿ x+√x2− y2 x −√x2− y2=
9x
5
x y=
5+3x
6(5− y) ¿{
¿
24/ ¿
¿ x5− x4
+2x2y=2 y5− y4+2y2z=2
z5− z4
+2z2x=2 ¿{{
¿
25/Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm
m y x 256 y x 8 26/ y x y x 3
27/
x 17 y y xy x 49 xy x 2 28/ z x z z y z y y x y x x 3
29/
x y y x 3 Tỉng qu¸t:
k N
2 x y y x k k 30/ ¿
2x+x2y=y
2y+y2z=z
2z+z2x=x ¿{ {
¿
31/
¿
√x2+21=√y −1+y2
√y2+21=√x −1+x2 ¿{
¿
32/
¿
√x+30 4+√y −2001=2121
√x −2001+√y+30 4=2121 ¿{
¿
33/
¿ x+√x2− y2
x −√x2− y2= 9x
5
x y=
5+3x
(25)34/
¿ x+y+z=0 x2+y2+z2=10 x7
+y7+z7=350 ¿{ {
¿
35/ Cho
¿
∑
i=1
n
√xi=n
∑
i=1
n
√xi+b2−1=bn ;b>1
¿{ ¿
CMR:Hệ phơng trình có nghiệm x1 = x2 = = xn =1
36/
¿ x2−yz
=y − x y2−xz=z − y
z2−xy=x − z ¿{ {
¿
37/
¿ x3
+xy9=y9+y7 x2+y3=2
¿{ ¿
38/
¿
xy+x+y=1
yz+y+z=5
xz+x+z=2 ¿{ {
¿
38/
¿ x+√1− y2
=1 y+√1− x2=√3
¿{
¿ 40/
¿ x2+xy+x=10 y2+xy+y=20
¿{
¿ 41/
x y 2y y z 2z z x 2x
Sử dụng bất đẳng thức chứng minh x y, y z, z x ≤ ≤ ≤ x = y = z
1,
2
1
( 99)
6
x xy y
MTCN
x y y x 2,
2
4 2
5
( 98) 13
x y
NT
x x y y
3, 2 3 30 ( 93) 35
x y y x
BK
x y 4,
3
5 2
1
( 97)
x y
AN
x y x y
5, 2
4 2
7
( 2000) 21
x y xy
SP
x y x y
6,
2
11
( 2000) 3( ) 28
x y xy
QG
x y x y
7, ( 99) 78 x y
y x xy HH
x xy y xy
8, 2 2 ( )(1 )
( 99)
( )(1 ) 49
x y xy NT x y x y 9, 2 2 1 ( 99) 1 x y x y AN x y
x y 10,
( 2)(2 )
( 2001)
4
x x x y
AN
x x y
11, 2 2
1 18
( 99)
1
x x y x y x y y
AN
x x y x y x y y
12,
(3 )( 1) 12
( 97)
2
x x y x
BCVT
x y x 13,
2
2 2
6
( 2000)
1
y xy x
SP
(26)14,
2 3
4
( 2001)
( )( ) 280
x y
HVQHQT
x y x y 15,
2 2
2
( 2000)
2
x x y
QG
y y x
16, 2 ( 98)
x x y
MTCN
y y x 17,
( 99) x y x QG y x y 18, 3 ( 98)
x x y
QG
y y x
19, 2 ( 2001) x y x TL y x y 20,
5
( 2000)
5
x y NN y x 21, 2 2 ( 2003) y y x KhèiB x x y 22, 2
3 16
( )
3
x xy
HH TPHCM
x xy x 23,
3 3
2
1 19
( 2001)
x y x
TM
y xy x
24, 2 2
2
( )
2 13 15
x xy y
HVNH TPHCM
x xy y 25,
2 2
2 ( )
( § 97) ( ) 10
y x y x
M C
x x y y
III Phơng pháp
Bài 1:
x+y x − y+6
x − y x+y=5
xy=2 ¿{
¿
Bµi 2: ¿ x −1
y=1 y −1
z=1 z −1
x=1 ¿{ {
¿
Bµi 3:
¿
xy−4=8− y2
xy=2+x2 ¿{
¿
;(C§SPHN 2001)
IV Phơng pháp đặt ẩn phụ
Bµi 1:
¿ x y− y x=
x2− y2=5 ¿{
¿
Bµi 2:
¿ y+xy2
=6x2
1+x2y2=5x2 ¿{
¿
;(ĐHSP 2000)
Bài 3:
x2+y2=10y
2y(x2 y2)=3x
x
;(ĐH Mỏ 1997) Bài 4:
¿ x3− y3=7
xy(x − y)=2 ¿{
¿
(27)Bµi 5:
¿
1+x3y3=19x3 y+xy2=−6x2
¿{ ¿
;(§H TMại 2001) Bài 6:
2x y2=0
2x+y+
2x − y=3 ¿
2x+y¿2−5(4x2− y2)+6 ; (ĐHXD 1997) Bài 7: ¿
x(x+2)(2x+y)=9 x2+4x+y=6
¿{ ¿
;(§HAN 01) Bµi 8:
8x2−1¿2+1−2x=0 ¿
−1/2<x<0 ¿ ¿
128x2
(4x2−1)¿
(HVQY 01)
V Phơng trình đối xứng kiểu
1.Gi¶i hƯ pt
Bµi 1: a,
¿ x+y=4 x2+y2=10
¿{ ¿
b,
¿ x+y=10 x y+ y x= ¿{ ¿ c, ¿
xy(x+y)=20
1 x+ y= ¿{ ¿ d, ¿ x2 y+ y2
x =12
1
x+
1
y=3 ¿{
¿
e,
¿
5(x+y)+2y=−19 x+y+3 xy=−35
¿{ ¿
f,
¿ x2−xy
+y2=7
xy=5 ¿{
¿
Bµi 2:
¿ x+y+z=6
xy+yz−xz=7 x2
+y2+z2=14 ¿{ {
¿
Bµi 3:
¿ x2+y2+xy=13
y − x+xy=5 ¿{
¿
Bµi 4:
¿ x5+y5=1 x9+y9=x4+y4
¿{ ¿
;(ĐHSP Vinh 2001) Bài 5:
x33x=y33y x6+y6=1
{
;(ĐHNT 01)
Bài 6:
¿ x+y=4
(x2+y2)(x3+y3)=280 ¿{
¿
;(HVQHQT 01) Bµi 7:
x − y¿2 ¿
x2−xy+y2=7(x − y) ¿
¿
x2+xy+y2=19¿
;(ĐH HH01)
VII Hệ Đẳng cấp
1 Giải hƯ
Bµi 1:
¿ x2
+4 xy−2y2=3
2x2−xy+3y2=4 ¿{
¿
¿ x2−2 xy
+3y2=9 x2−4 xy+5y2=5
¿{ ¿
3
¿ x3
+y3=1 x2y+2 xy2+y3=2
(28)Bµi 2: Cho
¿ x2
+y2+z2=8
xy+yz+zx=4 ¿{
¿
CMR −8/3≤ x , y , z ≤8/3
Bµi 3:
¿ x3+y3=1 x5
+y5=x2+y2 ¿{
¿
2
¿
2x3−9y3=(x − y)(2 xy+3) x2−xy+y2=3
¿{ ¿
Bµi 4: Cho
¿ x2+xy+y2=3 y2+yz+z2=16
¿{ ¿
; CMR xy+yz+zx≤8 Bµi 5:
x − y¿2y=2 ¿ x3− y3
=19 ¿ ¿ ¿
;(§HNN I 01)
XIII Hệ Đặc Biệt
1 Giải Hệ
Bµi 1:
¿ x3+y2=2 x2+xy+y2− y=0
¿{ ¿
Bµi 2:
¿
x2y2−2x+y2=0
2x2−4x+y3+y=0 ¿{
¿
Bµi 3:
3− x¿3 ¿
(2z − y)(y+2)=9+4y ¿
x2+z2=4x ¿ ¿ y+2=¿
Bµi 4:
¿ x4+y4=2 x3−2x2+2x=y2
¿{ ¿
Bµi 5:
¿ x3y
=9
3x+y=6 ¿{
¿
Bµi 6:
¿ y3−9x2
+27x −27=0 z3−9y2+27y −27=0 x3−9z2+27z −27=0
¿{{ ¿
Bµi 7: 1/.
¿
2x2
x2+1=y
3y2
y4
+y2+1=z
4z4
z6+z4+z2+1=x ¿{ {
¿
2/
¿
2x2 x2+1=y
3y3
y4+y2+1=z
4z4 z6
+z4+z2+1=t
5t5
t8+t6+t4+t2+1=x ¿{ { {
¿
3/
¿
2x2
x2+1=y
2y2
y2
+1=z
2z2 z2+1=x
¿{ { ¿
Bµi 8: ¿ x2− y=1
y2− z=1
z2− x
=1 ¿{ {
¿
Bµi 9:
¿ x4
+y2=698
81
x2
+y2+xy−3x −4y+4=0 ¿{
¿
Bµi 10:
x+y=z x3+y3=z2
{
Tìm N0 nguyên dơng Hư Bµi 11:
¿ x2
+2 xy−3y2=0 x∨x∨+y∨y∨¿−2
(29)Bµi 12:
¿ x2
+y2=82
9
¿x+1 x∨+¿
10
3 − x+y∨¿
10
3 +y+
1 y ¿{ ¿ Bµi 13: ¿ x2=y+1 y2
=z+1 z2=x+1
¿{ { ¿
Bµi 14:
¿ x+y+z=9
xy+yz+zx=27
1
x+
1
y+
1
z=1 ¿{ {
¿
Bµi 15:
¿
x2y2−3y2+xy+1=0
3x2y2−6y2
+xy+2=0 ¿{
¿
Bµi 16:
¿
2x+1=y3+y2+y
2y+1=z3+z2+z
2z+1=x3+x2+x ¿{ {
¿ IX.HƯ v« tû
1 Dạng đối xứng
Bµi 1:
¿
√x+√y=5
√x+5+√y+5=8 ¿{
¿
Bµi 2:
¿
√x+1+√2− y=√3
√2− x+√y+1=√3
¿{ ¿
2
¿
√x+√2− y=√2
√2− x+√y=√2
¿{ ¿
Bµi 3:
¿
x√y+y√x=30
x√x+y√y=35
¿{ ¿
Bµi 4:
¿
2(x+y)=3(√3 x2y+√3xy2)
3
√x+√3 y=6
¿{ ¿
Bµi 5:
¿
√x2
+y2+√2 xy=8√2
√x+√y=4 ¿{
¿
Bµi 6:
¿
√x+√y+√x −√y=2 √y+√x −√y −√x=1
¿{ ¿
Bµi 7:
¿ x+√4 y −1=1
y+√4 x −1=1 ¿{
¿
Bµi 8: 1.
¿
√x+y −√x − y=1
❑
√x2+y2+√x2− y2=1 ¿{
¿
2
¿
√x+y −√x − y=1
❑
√x2+y2+√x2− y2=1 ¿{
¿
;(HVQY 2001)
Bµi 9:
¿
√x+9+√y −7=4
√y+9+√x −7=4 ¿{
¿
Bµi 10:
¿
√x2+y2−1− k(√x+y −1)=1 x+y=xy+1
¿{ ¿
;(ĐHHĐức 01) (ĐH ĐĐô 01) 1/Giải k= 2/ T×m k hƯ cã n0 nhÊt
2 Dạng khác
Bài 1:
¿ x+y=2√yz
y+z=2√zx z+x=2√xy
x2
+y2+z2=12 ¿{ { {
¿
¿ z2+1=2√xy
x2−1=2 yz√1−4 xy ¿{
¿
Bµi 2:
¿ x −√y=1
y −√z=1
z −√x=1 ¿{ {
(30)Bµi 3:
¿
x+y+√x+y=20 x2+y2=136
¿{ ¿
2
¿
√x+y+√2x+y+z=7
3x+2y=23 ¿{
¿
3/
¿
√x+y+√x − y=4 x2+y2=128
¿{ ¿
√20y
x =√x+y+√x − y ¿
16x
5y =¿√x+y −√x − y √¿
{ ¿
Bµi 4:
¿
√x+y=√3 x+y
√x − y=√3x − y −12
¿{ ¿
¿
√x+2√4 y=1
x+2y=1 ¿{
¿
Bµi 5:
¿
√x+4√32− x − y2=−3
√x+√32− x+6y=24 ¿{
¿
Bµi 6:
¿
16(x2+√3 x4−√3x2+1)=xy
16(√3 x8+√3x2+x2+1)+15√3 x4=2y√3x4 {
vi.Đối xứng kiểu ii 2 Giải HƯ PT:
Bµi1: a)
¿
2x=y2−4y+5
2y=x2−4x+5
¿{ ¿
b)
¿
2x2=y+1 y
2y2=x+1 x ¿{
¿
c)
¿ x√1− y2=1/4 y√1− x2
=1/4 ¿{
¿
d)
¿ ¿x∨¿1− y2 ¿y∨¿1− x2
¿{ ¿
e)
¿ x2−2y2
=2x+y y2−2x2=2y+x
¿{ ¿
f)
¿ x3
=3x+8y y3=3y+8x
¿{ ¿
Bµi 2:
¿ x= 2y
1− y2 y= 2x
1− x2 ¿{
¿
Bµi 3:
¿ x=1− y
2 1+y2 y=1− x
2 1+x2 ¿{
¿
¿
x3+3 xy2=−49 x2−8 xy
+y2=8y −17x ¿{
¿
¿
x3−xy2+2000y=0 y3−yx2−500x=0
¿{ ¿
¿
√x1+√x2+ .+√xn=n
√x1+8+√x2+8+ +√xn+8=3n
(31)Bµi 1:
¿ x+y+xy=m
x2+y2=m ¿{
¿
tìm m để hệ có nghiệm
Bµi 2:
¿ x+y=2a −1 x2
+y2=aa+2a −3 ¿{
¿
xác định a để xy nhỏ
Bµi 3:
¿ x+y+xy=a x2y+xy2=3a −8
¿{ ¿
xác định a để hệ có nghiệm
Bµi 4:
x2+y2=2(1+a) x+y¿2=4
¿ ¿ ¿{
¿
Với giá trị nsị a để hệ có hai nghiệm
Bµi 5:
¿
x+xy+y2=m+1 x2y+y2x=m
¿{ ¿
Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x,y >0
Bµi 6:
¿ x+y=4 x2
+y2=m ¿{
¿
a, Xác định m để hệ vô nghiệm
b, Xác định m để hệ có nghiệm? tìm nghiệm c, Xác định m để hệ có nghiệm phân biệt Bài 7:
¿ x+y=a x4y4=a4
¿{ ¿
Bµi 8:
¿
x+y+x2+y2=8
xy(x+1)(y+1)=m {
;(ĐHNThơng1997) 1.Giải m=12
2.Tìm m để hệ pt có nghiệm Bài 9: Cho
¿
x3− y3=m(x − y) x+y=−1
¿{ ¿
;(C§SPKT Vinh 2001)
Tìm m để hệ pt có nghiệm (x1;y1);(x2;y2);(x3;y3) mà x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng có số
có giá trị tuyệt đối >1
(32)Bµi 1: Cho
¿ x=y2− y
+m y=x2− x+m
¿{ ¿
3 1.Tìm m để hệ pt có N0 Tìm m để hệ pt có N0
Bµi 2:
¿
y2=x3−4x2+mx x2
=y3−4y2+my ¿{
¿
Tìm m để hệ pt có N0
Bµi 3:
¿
2x+√y −1=m
2y+√x −1=m ¿{
¿
Tìm m để hệ pt có N0
Bài 4: CMR m để hệ pt có N0
¿
2x2=y+a
2
y
2y2
=x+a
2
x {
Bài 5: Giải biện luận hệ
1/
¿ x2
+2 xy− y=mx y2
+2 xy− x=my ¿{
¿
2/
¿ x3
=y2+m y3
=x2+m ¿{
¿
Bài 6: Tìm m để hệ pt có N0
¿ x
y+sinx=m y
x+siny=m ¿{
¿
;(x,y [0,2Π] )
Bài 7: Tìm a<0 để hệ pt có N0
x2y+a=y2
y2x+a=x2
{
;(ĐH Dợc 1997)
Bài 8: CMR để hệ pt có N0 a>0
¿
7x+y −a
2
x2=0 x+7y −a
3
y2
¿{ ¿
;(§H H 1997)
Bài 9: Tìm m để hệ pt có N0
¿ x+√y −3=m y+√x −3=m
(33)Bài 10: Tìm a để hệ pt có N0
x+1¿2=y+a ¿ y+1¿2=x+a
¿ ¿{
¿ ¿
;(§HSPHCM 2001)
2 HƯ chøa tham sè
Bµi 1: CMR
¿
x2−4 xy+y2=k y2−3 xy=4
¿{ ¿
cã N0 víi mäi k
Bài 2: Tìm a để hệ
a+1¿2 ¿
x3+ax2 y+xy2=1 ¿
¿ x3−ay3=1/2¿
cã N0 x+y=0
Bµi 3:
¿
3x2+2 xy+y2=11 x2
+2 xy+3y2=17+m {
1/ Giải m=0 2/Với giá trị m hệ có N0
Bài 4:T×m m hƯ cã nghiƯm
¿
x2+2 xy−7y2≥1− m
1+m
3x2+10 xy−5y2≤−2 ¿{
¿
Bài 5: Tìm m hệ có nghiệm
¿
x2−2 xy−3y2=8
2x2
+4 xy+5y2=m4−4m3+4m2−12+√105
¿{ ¿
;(§HAN 2000)
2 HƯ Tham Sè
Bài 1: Giải hệ x2+a2=y2+b2=(x-b)2+(y-a)2 Bài 2:
¿
x − y=a(1+xy)
xy+x+y+2=0 ¿{
¿
Giải biện luận
Bài 3:
2bx+(a+1)by2=a2 (a −1)x3+y3=1
¿{ ¿
Bµi 4:
¿
3y − a√x2
+1=a x+y+
x+√x2+1=a ¿{
¿
Tìm a để hệ có n0 Tìm a để hệ có n0
Bµi 5:
¿
ax2
+bx+c=y
ay2
+by+c=z
az2+bz+c=x ¿{ {
¿
Víi b −1¿2−4 ac<0
(34)Bµi 6:
¿
a(x4+1)=y+1−∨x∨¿x2+y2=1 ¿{
¿
Bµi 7:
¿
xyz+z=a
xyz2+z=b x2
+y2+z2=4 ¿{ {
¿
Tìm a để hệ có n0 Tìm a, b để hệ có n0
Bài 9: Tìm a để hệ sau tơng đơng
(I)
¿ x+2y=2− a − x+ay=a−2a2
¿{ ¿
(II)
¿ x2− y4−4x
+3=0
2x2+y2+(a2+2a−11)x+12−6a=0 ¿{
¿
Bài 10: Tìm m để hệ pt có nhiều n0
¿
¿x −1∨+¿y −1∨¿1 x2
+y2=m ¿{
¿
Bµi 11: Cho
¿
x2− y2+a(x+y)=x − y+a x2
+y2+bxy=3 ¿{
¿
1/Giải hệ a=b=1 2/Xác dịnh a, b để hệ có nhiều n0
3 HÖ chøa tham sè
Bµi 1:
¿
√x+1+√y+2=a x+y=3a
¿{ ¿
Tìm a để hệ có n0 Bài 2:
¿
√x+√y=a x+y −√xy=a
¿{ ¿
3 Giải a=4 2/Tìm a để hệ có n0
Bµi 3:
¿
√x+y −√x − y=m
√x2+y2+√x2− y2=m ¿{
¿
Bµi 4:
¿
√x2+3+¿y∨¿a
√y2+5+¿x∨¿√x2+5+√3−a ¿{
¿
(ĐH CThơ 01) Tìm m để hệ có n0
X Hệ bất phơng trình vô tỷ Bài 1:
¿
x(x − y)≤ y(x+y)
2x2+y2−3 xy=1 ¿{
¿
Bµi 2:
¿ x2− y2≤2 xy
x2+y2≥3 xy ¿{
¿
Bµi 3:
¿ x+y ≤1 x2+y2+xy=1
¿{ ¿
Bµi 4: x
2
+y2≤xy+1 x2
+y2≤4 xy Bµi 5:
¿ x − y ≥1
x2−xy−xy2
=3 ¿{
¿
Bµi 6:
¿ x2≤∨y∨+1
y2≤∨x∨+1
¿{ ¿
Bµi 7:
¿ x2+3x+1≤ y
y2+3y+1≤ z z2+3z+1≤ x
¿{{
Bµi 8:
¿ x2+y2≥4 x2
+y2≤2∨x∨+2∨y∨¿ {
¿
(35)Bµi 9:
¿
√xy+√1− y ≤√y
2√xy− y −√y=−1
¿{ ¿
Bµi 10:
¿ x2
+5x+4<0 x3+3x2−9x −10>0
¿{ ¿
Bµi 11:
¿
5x2+2 xy− y2≥3
2x2+2 xy− y2≤ m m1
{
;(ĐHQG 01) Bài 12:
¿
√x+√y=3
√x+5+√y+3≤ a ¿{
¿
(ĐHSPI 01)
Bài 13:
x+y 2
x+y+√2x(y −1)+a=2 ¿{
¿
;(§HGTVT 01)
Bµi 14:
¿
x2+5m2+8m>2(3 mx+2)
x2+4m2≥ m(4x+1)
¿{
¿
Tìm m dể với x n0 pt
1/ 1 x x x x
Đặt : 1 x b x a
Hệ cho trở thành: b a b a
Từ tìm đợc a =3,b =1
Đến việc tìm x không khó khăn n÷a
2/ ) ( 3 ) ( 24 45 12 15 2 2 xy x y y x y x y xy x
Phơng trình (2) phân tích đợc nh sau: (x - y).(x -3 + 2y) =
y x y x
Xét trờng hợp thay vào phơng trình (1) ta dễ dàng tìm đợc x y 3/ xyz z y x z y x 4 Giải:
Bổ đề:a,b,cR:a2 b2 c2 abbcca
Đẳng thức xảy a = b = c (Dễ dàng chứng minh đợc bổ đề trên) Sử dụng bổ đề ta có:
xyz = x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz.(x + y + z) = xyz.
Suy dấu bất đẳng thức phải trở thành đẳng thức tức ta phải có: x = y =z kết hợp với giả thiết ban đầu :x + y + z =1 ta đợc:
1
y z
x
4/
) )( 2001 ( ) ( 2000 2000 1999 1999 2 xy y x x y y x y x
§iỊu kiƯn: x,y 0
(36)-Nếu x > y thì: VT > 0, VP < suy ra: VT > VP -Nếu y > x thì: VT <0, VP >0 suy ra: VT < VP -Nếu x = y đó: VT =VP =
Kết hợp với (1) (Chú ý:x,y0.) ta đợc:
1
y
x
Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm:
Tìm giá trị a để hệ sau có hai nghiệm
Chøng tá r»ng víi mäi gi¸ trị , hệ phơng trình có nghiệm
Xác định để hệ ph ơng trình có nghiệm
(37)
Tìm giá trị m để hệ phơng trình sau có nghiệm thực:
Tìm để hệ sau có nghiệm
Cho hệ phơng trình (*)
a) Gi i (*) ả
b) Tìm để (*) có nghiệm
Tìm để hệ sau có nghiệm:
Cho hƯ ph¬ng trình: (*)
1) Giải hệ (*)
2) Tìm để hệ (*) có nghiệm Giả sử nghiệm hệ phơng trình Tìm để lớn
Cho hệ phơng trình (*)
1) Giải hệ (*)
(38)Cho hệ phơng trình (*)
1) Chứng minh (*) ln có nghiệm 2) Tìm để (*) có nghiệm
Tìm để hệ phơng trình sau có nghiệm:
Cho hệ phơng trình 1) Giải
2) Tỡm h cú nghim
Cho hệ phơng trình:
a) Giải hệ phơng trình m = 12
b) Với giá trị m thìhệ phơng trình cho có nghiệm Giải biện luận theo tham a, hệ phơng trình :
ẩn Cho hệ phơng trình :
Xác định m để hệ có nghiệm
Tìm m phơng trình sau cú nghi m th c phân bi t:ệ ự ệ
Chøng minh với giá trị dơng tham số m, phơng trình sau có nghiệm thực phân biệt:
(39)Tìm m để hệ phơng trình cú nghim nht
Cho hệ phơng trình (v i )
1.Gi i hƯ phả ¬ng tr×nh m=9 2.Xác định m để ệ h có nghi m
Cho hệ phơng trình: (*)
1) Gi i h (*) ả ệ
(40)Xác định tham số a để phơng trình sau có nghiệm nhất:
Xác định giá tr õm c a a hệ phơng trình: có nghi m nh tệ ấ
Tìm để ệ h sau có nghi m nh tệ ấ
Các dạng hệ phơng trình khác
Tỡm m hệ bất phơng trình sau cú nghi m nh t
Cho hệ phơng trình
(41)2 G i ọ l nghi m c a h ã cho, ch ng minhà ệ ủ ệ đ ứ
Tìm t t c c p sè thùc ấ ả ặ th a mãn ỏ đồng th i i u ki n sauờ v
Cho hệ phơng trình:
với a số dương khác Xác định a h ơng trình ph có nghiệm v gi i h ả ệ trường h p ó.ợ đ
Tìm a để hệ sau có nghiệm :
Tìm m đệ hệ bất phơng trình vơ nghiệm
Tìm tất giá trị a để hệ phơng trình
cã nghiƯm Cho h phệ ương trình:
1 V i giá tr n o c a m h có nghi m nh t (x; y) th a mãn i u ki n ị ủ ệ ệ ấ ỏ đ ề ệ ? V i giá tr n o c a m ã tìm ị ủ đ được, tìm giá tr nh nh t c a t ng x + yị ỏ ấ ủ ổ
Tỡm m ph ơng trình : cú nghi mệ
Tìm giá tr m ị để ph ¬ng tr×nh sau có nghi mệ
Xác định m để phơng trình có nghiệm
hệ phơng trình đẳng cp
Cho hệ phơng trình
1 Gi i hệ ph ơng trình ó cho v i m=0.
(42)Cho hệ phơng trình (*)
1) Hãy gi i h (*) ả ệ 2) Tìm để (*) có nghi mệ
Ch ng minh r ng v i moi ứ ằ , hệ phơng trình sau cú nghi m nh t:ệ ấ
Ch ng minh r ng phứ ằ ¬ng tr×nh sau có úng m t nghi m đ Cho phơng trình
Tỡm phơng trình có nghiệm Cho ph ơng trình
(*) a) Gi i (*) khiả
b) Tìm để (*) có nghi m nh tệ ấ
Tìm m để ệ h có nghi mệ
nh t
Cho phơng trình:
1 Gi i phơng trình v i m = - 1.
2 Tỡm m phơng trình cú m t nghi m nh t ộ ệ ấ
(43)(44)(45) ph