Chuyên đề: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Chuyên đề Toán 9

+ Hệ có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối của hai đường thẳng biểu diễn nghiệm của hai phương trình. + Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường d[r]

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Chủ đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT HAI ẨN Kiến thức cần nhớ

Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng:

' ' '

ax by c a x b y c

 

 

 



+ Cặp số x y0; 0 gọi nghiệm hệ phương trình nghiệm chung hai phương trình

+ Hệ có nghiệm nhất, vơ nghiệm vơ số nghiệm tùy theo vị trí tương đối hai đường thẳng biểu diễn nghiệm hai phương trình + Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp phương pháp cộng đại số để khử bớt ẩn, từ giải hệ Một số ví dụ

Ví dụ Xác định hệ số a b, hàm số yax b để: 1) Đồ thị qua hai điểm A1; , B2; 4

2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ 4 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ

Lời giải:

1) Thay tọa độ điểm A B, vào phương trình đường thẳng ta được:

3

4 3

a b b a a

a b a a b a

    

  

 

  

       

  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2) Tương tự phần (1) ta có hệ: 4

0 2 4

a b b a

a b a b b

                       

Vậy a2,b 4

Ví dụ Giải hệ phương trình sau:

a) 1 3 x y x y             b) 1 1 x y x y x y x y                 c)

2

1

2 1

x x y x x y                Lời giải:

a) Đặt u 1;v

x y

  Theo đề ta có hệ phương trình:

 

3

3 5

3

3

v u

u v u u

u u

u v v u v

                                

Từ suy ra: x 1;

u

  1

2

y v

 

b) Đặt ;

1

x y

u v

x y

 

  Theo ta có hệ phương trình:

3 3

3 3 4

u v u v u v u

u v v v v v

                                

Từ suy ra:

2 2 1 1 2 x x x x x

y y y y

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ c) Điều kiện x 1,

2 x y

   Đặt

2

1

a x

b

x y

  

 



 



ta có hệ phương trình

2 1

2 1

1

2 1

x

a b a x

a b b y

x y

  

   

   

  

   



   

    



Vậy hệ có nghiệm x1;y0

Ví dụ Cho hệ phương trình:

x y

mx y

 

 

 



   

1

a) Giải hệ phương trình với m2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y,  x y,

trái dấu

c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y;  thỏa mãn x y

Giải:

a) Với m2 ta có hệ phương trình:

 

2

2 5

2

2

x y

x y x y x

y y

x y y y

 



    

   

  

   

  

      

   

b) Từ phương trình (1) ta có x2y5 Thay x2y5 vào phương trình (2) ta được:m2y5y42m1  y4 5 m (3)

Hệ có nghiệm (3) có nghiệm Điều tương đương với: 1

2

m  m Từ ta được:

2

m y

m

 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

5

2

x y

m

  

 Ta có:

 

 2

3

2

m x y

m

 



Do

4

,

5

x y   m m (thỏa mãn điều kiện)

c)Ta có:

2

m x y

m m



  

  (4)

Từ (4) suy 1

m  m Với điều kiện

m ta có:

 

 

1

4 5

4

4

5

m l

m m

m

m

  

 



     

  

  



Vậy

m

Ví dụ Cho hệ phương trình:

3

x my m

mx y m

  

 

  



   

1

a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất?

b) Giải biện luận hệ phương trình theo m

c) Tìm số nguyên m cho hệ phương trình có nghiệm

x y,  mà x y, số nguyên

d) Chứng minh hệ có nghiệm x y,  điểm

 , 

M x y chạy đường thẳng cố định

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Lời giải:

a) Từ phương trình (2) ta có y3m 1 mx Thay vào phương trình (1) ta được:xm3m 1 mxm 1 m21x3m22m1 (3)

Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm , tức m2 1 0m 1

Ta lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm

khi : 1

1

m

m m

m     

b) Từ phương trình (2) ta có y3m 1 mx Thay vào phương trình (1) ta được:xm3m 1 mxm 1 m21 x3m22m1 (3)

Trường hợp 1: m 1 Khi hệ có nghiệm

  

   

2

1

3

1 1

3 1

3

1

m m

m m m

x

m m m m

m m

y m m

m m

     

  



   

 

 



   

  



Trường hợp 2: m1 Khi phương trình (3) thành: 0.x0 Vậy hệ có vơ số nghiệm dạng x; 2x,x

Trường hợp 3: m 1 phương trình (3) thành: 0.x4

(3) vơ nghiệm, hệ vơ nghiệm

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta có:

3

3

1

1

1

1

m x

m m

m y

m m

 

  



  





   

  



Vậy x y, nguyên

m

nguyên Do m1  2; 1;1; Vậy m  3; 2;0 (thỏa mãn) m1 (loại)

Vậy m nhận giá trị  3; 2;0

d) Khi hệ có nghiệm x y,  ta có: 2

1

x y

m m

 

     

   

Vậy điểm M x y ;  ln chạy đường thẳng cố định có phương trình

y x

e) Khi hệ có nghiệm x y;  theo (d) ta có: y x Do đó:

   2

2 1 1

xyx x x  x   x   

Dấu xảy khi:

2

1 1

1

x m m

m m

          

 

Vậy với m0 x y đạt giá trị nhỏ

Chú ý: Ta tìm quan hệ xy2 theo cách khác: Khi hệ

phương trình

3

x my m

mx y m

  

 

  



   

1

2 có nghiệm m 1 lấy phương trình (2) trừ phương trình (1) hệ ta thu được:

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ Cho hệ phương trình:

3

x my m

mx y m

  

 

  



Chứng minh với

m hệ phương trình ln có nghiệm Gọi x y0; 0 cặp nghiệm phương trình: Chứng minh: x02y025x0y0100 (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015)

Lời giải:

Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có y3m 1 mx thay vào phương trình  1 hệ ta có: m21x3m23m2 Do m2 1 với m nên phương trình ln có nghiệm x0 Suy hệ ln có nghiệm với m

Gọi x y0; 0 nghiệm hệ: Từ hệ phương trình ta có:

 

 

0

0

2

1

x m y

y m x

  

  

  

 

.Nhân hai vế phương trình thứ với 3x0,

phương trình thứ hai với y04 trừ hai phương trình cho ta được:

      2  

0 0 0 0

3x x 2  y 4 y 1 0x y 5 x y 100 Ngồi ta giải theo cách khác sau:

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 5

; 2

I 

 , AB 10 suy

2

2

0

1 5

4 10

2 2

IM  AB IM  AB  x   y   

   

 

 

 

2

0 0 10

x y x y

     

Ví dụ Cho hệ phương trình:

2

x my

mx y m

 

 

  



(1)

(2)

Hệ có nghiệm x y, , tìm giá trị nhỏ biểu thức sau đây:

a) 2

3

Px  y (1) b) Qx4y4 (2) Lời giải:

Từ phương trình (2) ta suy ra: y2m 1 mx Thay vào phương trình (1) ta được:

   

2

xm m mx   m  x m m (3)

Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm nhất, điều xảy khi: m2 1 0m 1

Khi

  

   

2

1

2 3

2

1 1

2

2

1

m m

m m m

x

m m m m m

m

y m m

m m

     

    



    

 

 

   

  



hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

P 3 3

2

m

x m m m

m



         



Vậy giá trị nhỏ P

b) Ta có: 4  4

2

Qx y x  x

đặt tx1 Khi

 4  4 4

1 4 12 2

Q t  t t  t  t  t t  t  t  t  t  t  

2

2 1

1

m

Q t x m m m

m



             



Vậy giá trị nhỏ Q

Ví dụ 7): Cho hệ phương trình:  

 

1

1

mx m y

m x my m

  

  

   

 

Chứng minh hệ ln có

nghiệm x y;  tìm GTLN biểu thức P x2y24 3 y

Lời giải:

Xét hai đường thẳng

 d1 :mxm1y 1 0;  d2 : m1x my 8m 3

+ Nếu m0  d1 :y 1  d2 : x 5 suy  d1 ln vng góc với  d2

+ Nếu m 1  d1 :x 1  d2 : y11 0 suy  d1 ln vng góc với  d2

+ Nếu m 0;1 đường thẳng    d1 , d2 có hệ số góc là:

1

1 ,

1

m m

a a

m m



  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Tóm lại với m hai đường thẳng  d1 ln vng góc với  d2 Nên hai đường thẳng ln vng góc với

Xét hai đường thẳng

 d1 :mxm1y 1 0;  d2 : m1x my 8m 3 ln vng góc với nên cắt nhau, suy hệ có nghiệm Gọi giao điểm

 ; 

I x y , đường thẳng  d1 qua A1;1 cố định, đường thẳng  d2 qua B3; 5  cố định suy I thuộc đường tròn đường kính AB Gọi

1; 2

M  trung điểm AB  12  22 13

AB

MI   x  y  (*)

 12  22 2 2 

P x  y  x y   x y 

 

8 2 x 1 y2  1 3 hay P10 3 2x 1 3y2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

     2  2  

1 3 52

x y  x y  x y

               

   

522 13