+ Quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực toán học nghiên cứu các bài toán tối ưu với hữu hạn biến , trong đó mục tiêu và các điều kiện ràng buộc được biểu thị bằng các hàm số , các phương trìn
Trang 1TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN , TIỀN GIANG
TỔ : TOÁN NĂM HỌC : 2013 – 2014 -*** -
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM :
HƯỚNG DẪN DÙNG BẢNG TÓM TẮT ĐỂ THIẾT LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU
GIÁO VIÊN : NGUYỄN HOÀNG TUẤN
Trang 2
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
+ Đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng của cải cách giáo dục Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính
tích cực , tự giác chủ động , sáng tạo cho học sinh , rèn luyện cho học sinh
kỷ năng vận dụng kiến thức vào thực tiển , vào đời sống
+ Quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực toán học nghiên cứu các bài toán tối ưu với hữu hạn biến , trong đó mục tiêu và các điều kiện ràng buộc được biểu thị bằng các hàm số , các phương trình hay bất phương trình tuyến tính ( bậc nhất )
+ Trong chương trình ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO , chương trình dành ra 3 tiết để giới thiệu cho học sinh về “ BÀI TOÁN TỐI ƯU ” dạng cơ bản nhất với hai biến với hàm mục tiêu xét trên miền nghiệm là một đa giác lồi có hữu hạn đỉnh
1) Tiết 53 : hướng dẫn cách giải bất phương trình , hệ bất phương trình hai ẫn 2) Tiết 54 : bài tập các vấn đề trên và làm quen với hàm mục tiêu F ( x , y ) 3) Tiết 55 : hướng dẫn học sinh giải bài toán tối ưu
( T 131 , T132 SGK “ ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO ” ) Nhận thấy : học sinh rất bối rối khi từ bài toán thực tế đưa về bài toán ứng dụng hệ bất phương trình với hai ẫn số x , y
+ Gợi ý cho tôi viết đề tài nầy : “ Hướng dẫn dùng bảng tóm tắt để thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẫn trong bài toán tối ưu ”
II NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI :
+ Hướng dẫn học sinh lập bảng tóm tắt các mục tiêu và các điều kiện ràng buộc của bài toán tối ưu
+ Thành lập hệ bất phương trình bậc nhất với hữu hạn biến ( với hai biến )
+ Giải một số bài toán tối ưu đơn giản để minh họa
III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
+ Các bài toán sản xuất đơn giản , chi phí trong sinh hoạt dạng đơn giản
IV NỘI DUNG :
+ Phần 1 : Hướng dẫn học sinh lập bảng tóm tắt
+ Phần 2 : Giải một số bài toán thực tế
V TÀI LIỆU THAM KHẢO :
+ Sách giáo khoa : " Đại số nâng cao lớp 11"
+ Sách bài tập : " Đại số nâng cao lớp 11"
-&& -
Trang 3Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu I và II để sản xuất ít nhất 140 kg chất A
và 9 kg chất B Mỗi tấn nguyên liệu I có giá 4 triệu đồng , sản xuất được 20 kg chất A
và 0,6 kg chất B Mỗi tấn nguyên liệu II có giá 3 triệu đồng , sản xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất , biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp tối đa là 10 tấn nguyên liệu loại I và 9 tấn nguyên liệu loại II
* Bảng tóm tắt mẫu :
Đặt ẫn
Thành phần Ẫn x ( đơn vị ) Ẫn y ( đơn vị ) Điều kiện ràng buộc
Thành phần 1
Thành phần 2
* Hàm mục tiêu : F ( x , y ) = ax +by ( đơn vị )
* Phương án tối ưu
* Hướng dẫn :
1) BƯỚC 1 : ( đặt ẫn )
Có hai loại nguyên liệu : đặt x ( tấn ) loại I , đặt y ( tấn) loại II
Do cơ sớ cung cấp tối đa 10 tấn loại I ; 9 tấn loại II , ta có
0x10 ; 0 y9
2) BƯỚC 2 : ( thiết lập hệ điều kiện )
Có hai thành phần là chất A và chất B
Loại I sản xuất được 20 kg chất A và 0,6 kg chất B
Loại II sản xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B
Ta có bất phương trình : 20 10 14
1000x1000y1000
và 0, 6 1, 5 9
1000x1000y1000
Tóm lại ta được hệ :
x y
x y
x y
( * )
3) BƯỚC 3 : ( Hàm mục tiêu ):
Loại I giá 4 triệu đồng một tấn ; loại II giá 9 triệu đồng một tấn
Chi phí mua nguyên liệu là F ( x , y ) = 4x + 3y ( triệu đồng )
Ta tìm phương án chi phí thấp nhất , tức là tìm ( x , y ) của hệ ( * )
để hàm mục tiêu F ( x , y ) đạt giá trị nhỏ nhất
-
Trang 4
Đặt ẫn
Thành phần
Loại I
x ( tấn )
Loại II
y ( tấn ) 0x10 ; 0y9
Chất A 20
1000x 10
1000 y 140
1000
Chất B 0, 6
1000x 1, 5
1000 y 9
1000
* Hàm mục tiêu : F ( x , y ) = 4x +3y ( triệu đồng )
* Phương án tối ưu là : Tìm ( x , y ) để ta được min F ( x , y )
Bài giải :
1) Bước 1 : thiết lập bài toán tối ưu
+ Gọi x ( tấn ) nguyên liệu loại I ( 0 x 10 )
Gọi y ( tấn ) nguyên liệu loại II ( 0 y9 ) Loại I sản xuất được 20
1000x chất A và 0, 6
1000x chất B
Loại II sản xuất được 10
1000y chất A và 1, 5
1000 y chất B
Do cần sản xuất ít nhất 140 kg chất A và 9 kg chất B , ta có hệ :
x
x y
y
x y
x y
có miền nghiệm ( S )
+ Mỗi tấn loại I có giá là 4 triệu đồng ; mỗi tấn loại II có giá là 3 triệu đồng
do đó chi phí sản xuất là :
hàm mục tiêu F ( x , y ) = 4x + 3y ( triệu đồng )
Ta cần giải bài toán tối ưu : “ Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất ”
Trang 5
+ Miền nghiệm ( S ) là tứ giác ABCD với : A ( 5 ; 4 ) ; B ( 10 ; 2 ) ;
C ( 10 ; 9 ) ; D (5
2 ; 9 )
3) Tìm phương án tối ưu : + Với hàm mục tiêu F ( x , y ) = 4x + 3y , ta tính : F( 5 ; 4 ) = 32 ;
F ( 10 ; 2 ) = 46 ; F ( 10 ; 9 ) = 67 ; F(5
2 ; 9 ) = 37 + Phương án tối ưu là x = 5 ; y = 4
Vậy : để chi phí nguyên liệu ít nhất , cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II
Khi đó chi phí tổng cộng là : 32 triệu đồng
Trang 6
PHẦN II : MỘT SỐ BÀI TẬP LÀM THÊM
1) BÀI TẬP 1 : Một gia đình cần 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit mỗi ngày
Mỗi kilogram thịt BÒ có 800 đ/vị prôtêin và 200 đơn vị lipit
Mỗi kilogram thịt HEO có 600 đ/vị prôtêin và 400 đơn vị lipit
Giá thịt BÒ là 195000 đ / kg , giá thịt HEO là 105000 đ / kg
Hỏi gia đình nầy cần phải mua bao nhiêu thịt BÒ và thịt HEO để chi
phí thấp nhất Biết rằng khả năng của gia đình nầy chỉ mua được nhiều
nhất là 1,6 kg thịt BÒ và 1,1 kg thịt HEO
HƯỚNG DẪN :
Đặt ẫn Thành phần
Thịt BÒ
x ( kg )
Thịt HEO
y ( kg ) 0x1, 6 ; 0y1,1
protêin 800x 600y 900 lipit 200x 400y 400
* Hàm mục tiêu : F ( x , y ) = 195000x +105000y ( ngàn đồng )
* Phương án tối ưu là : Tìm ( x , y ) để ta được min F ( x , y )
ĐÁP SỐ : MinF ( x , y ) = 190500 đồng 0, 6
0, 7
x y
Hay gia đình nầy cần mua 0,6 kg thịt BÒ và 0,7 kg thịt HEO
2) BÀI TẬP 2 : Một nhà máy sản xuất BIA nà NƯỚC NGỌT Một tấn BIA lãi được
2 triệu đồng ; một tấn NƯỚC NGỌT lãi được 1,6 triệu đồng
Muốn sản xuất được 1 tấn BIA thì phải sử dụng máy 1 ( M1 ) trong 3giờ
và máy 2 ( M2 ) trong 1giờ
Muốn sản xuất được 1 tấn NƯỚC NGỌT thì phải sử dụng máy 1 ( M1 )
trong 1giờ và máy 2 ( M2 ) trong 1giờ
Máy 1 được dùng không quá 6 giờ trong một ngày , Máy 2 được dùng
không quá 4 giờ trong một ngày
Hỏi phải sản xuất 2 loại sản phẩm trên như thế nào để số tiền lãi nhiều nhất
HƯỚNG DẪN :
Đặt ẫn
Thành phần
BIA
x ( tấn )
NƯỚC NGỌT
y ( tấn )
x0 ; y0
Máy 1 3x 1y 6
Máy 2 1x 1y 4
* Hàm mục tiêu : F ( x , y ) = 2x + 1,6 y ( triệu đồng )
* Phương án tối ưu là : Tìm ( x , y ) để ta được max F ( x , y )
ĐÁP SỐ : Max F ( x , y ) = 6, 8 triệu đồng 1
3
x y
Hay nhà máy nầy cần sản xuất 1 tấn BIA và 3 tấn NƯỚC NGỌT