Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 1 - CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TRƯỜNG THCS QUẾ AN MÔN: TOÁN 9 Người thực hiện: NGUYỄN VĂN TÍN LOẠI : BÁM SÁT CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNGTRÌNHBẬCNHẤTHAIẨN SỐ A. NỘI DUNG: - Khái niệm hệphươngtrìnhbậcnhấthai ẩn: =+ =+ /// cybxa cbyax và Cách giải - Một số dạng toán về hệphươngtrìnhbậcnhấthaiẩn B.THỜI LƯỢNG: 6 tiết C. GỢI Ý THỰC HIỆN: Tiết 1: KHÁI NIỆM HỆPHƯƠNGTRÌNHBẬCNHẤTHAIẨN VÀ CÁCH GIẢI 1.- Mục tiêu: - Nắm vững khái niệm hệphươngtrìnhbậcnhấthai ẩn. Cho được ví dụ. - Nắm được hệphươngtrình tương đương - Nắm được các quy tắc cộng và quy tắc thế - Giải thành thạo các hệphươngtrìnhbậcnhấthaiẩn cơ bản 2.-Nội dung cụ thể: Hoạt động 1: Khái niệm hệ phươngtrìnhbậcnhấthaiẩnHệphươngtrình tương đương Cho haiphươngtrìnhbậcnhấthaiẩn ax + by = c và a / x + b / y = c / . Khi đó ta có hệ haiphươngtrìnhbậcnhấthaiẩn (I) =+ =+ /// cybxa cbyax * Nếu haiphươngtrình ấy có nghiệm chung (x o ;y 0 ) thì (x o ;y 0 ) được gọi là một nghiệm của hệ (I). * Nếu haiphươngtrình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm. Giải hệphươngtrình là tìm tất cả các nghiệm của nó. Ví dụ 1: Hệ phươngtrìnhbậcnhấthaiẩn a) =− =+ 42 32 yx yx (trong đó: a = 2, b = 1, c = 3, a / = 1, b / =-2, c / = 4) b) −=+ =+ 5135 05 yx yx (trong đó: a = 1, b = 5 , c = 0, a / = 5 , b / =3, c / = 1 - 5 ) Nguyễn Văn Tín ** Trường THCS QUẾ AN Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 2 - + Định nghĩa hệphươngtrình tương đương Haihệphươngtrình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Ví dụ: −=− =− 12 12 yx yx ⇔ =− =− 0 12 yx yx Vì chúng có cùng một nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1) Hoạt động 2: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNGTRÌNHBẬCNHẤTHAIẨN Dạng 1: Giải hệphươngtrình có bản và đưa về dạng cơ bản 1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệphươngtrình sau: Giải hệphươngtrình bằng phương pháp thế =+ =− 52 423 yx yx ⇔ −= =−− xy xx 25 4)25(23 ⇔ −= =+− xy xx 25 44103 ⇔ −= = xy x 25 147 ⇔ −= = 2.25 2 y x ⇔ = = 1 2 y x Vậy hệphươngtrình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1) Giải hệphươngtrình bằng phương pháp cộng đại số =+ =− 52 423 yx yx ⇔ =+ =− 1024 423 yx yx ⇔ =+ = 52 147 yx x ⇔ =+ = 52.2 2 y x ⇔ = = 1 2 y x Vậy hệphươngtrình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1) 2.- Bài tập: Bài 1: Giải các hệphươngtrình 1) =− =− 536 324 yx yx 2) =+ =+ 1064 532 yx yx 3) =+ =+− 1425 0243 yx yx 4) =− =+ 1423 352 yx yx 5) =+− =+− 15)31( 1)31(5 yx yx 6) =+ =+ 53 3,01,02,0 yx yx 7) =−+ = 010 3 2 yx y x Bài 2: Giải các hệphươngtrình sau: Nguyễn Văn Tín ** Trường THCS QUẾ AN Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 3 - 1) =−+ =−+ xyyx xyyx 4)5)(54( 6)32)(23( 2) =−++ =−++ 5)(2)( 4)(3)(2 yxyx yxyx 3) −+=−+ +−=+− 12)1(3)33)(1( 54)3(4)42)(32( xyyx yxyx 4) − =+ + − + =+ − 7 56 3 1 2 4 27 5 3 52 xy y x x yxy 5) =−−− =−++ 32)2)(2( 2 1 2 1 50 2 1 )3)(2( 2 1 yxxy xyyx 6) =+− =−+ xyyx xyyx )1)(10( )1)(20( Tiết 2: GIẢI HỆPHƯƠNGTRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN SỐ PHỤ 1.- Mục tiêu: - Biết cách đặt ẩn số phụ - Giải thành thạo các hệphươngtrình bằng cách đặt ẩn số phụ. 2.-Nội dung cụ thể: Dạng 2. Giải các hệphươngtrình sau bằng cách đặt ẩn số phụ Bài tập: 1) =+ =+ 1 158 12 111 yx yx 2) = + − + = + + + 1 2 3 2 4 3 2 1 2 2 xyyx xyyx 3) = + − + = + − + 9 4 5 1 2 4 4 2 1 3 yx x yx x 4) −=− =+ 623 13 22 22 yx yx 5) −=− =+ 1132 1623 yx yx 6) =+ =+ 103 184 yx yx 7) −=+−− =++− 712)2(3 01)2(2 2 2 yxx yxx 8) =++++− =+−− 134454842 72315 22 yyxx yx Tiết 3: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆPHƯƠNGTRÌNH THEO THAM SỐ 1.- Mục tiêu: - Biết cách giải và biện luận hệphươngtrình - Nắm vững kiến thức Nguyễn Văn Tín ** Trường THCS QUẾ AN Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 4 - Hệphươngtrình =+ =+ /// cybxa cbyax (a,b,c,a / ,b / ,c / khác 0) * Có nghiệm duy nhất Nếu // b b a a ≠ * Có vô số nghiệm nếu /// c c b b a a == * Vô nghiệm Nếu /// c c b b a a ≠= 2.-Nội dung cụ thể: Dạng 3. Giải và biện luận hệphươngtrìnhPhương pháp giải: • Từ một phươngtrình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phươngtrình thứ haiđể được phươngtrìnhbậcnhất đối với x • Giả sử phươngtrìnhbậcnhất đối với x có dạng: ax = ⇔ b (1) • Biện luận phươngtrình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm - Nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm ii) Nếu a ≠ 0 thì (1) ⇒ x = a b , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệphươngtrình có nghiệm duy nhất. Ví dụ: Giải và biện luận hệphương trình: +=− =− )2(64 )1(2 mmyx mymx Từ (1) ⇒ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + 6 ⇔ (m 2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) i) Nếu m 2 – 4 ≠ 0 hay m ≠ ± 2 thì x = 2 32 4 )2)(32( 2 + + = − −+ m m m mm Khi đó y = - 2 + m m . Hệ có nghiệm duy nhất: ( 2 32 + + m m ;- 2 + m m ) ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4 Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm Vậy: - Nếu m ≠ ± 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = ( 2 32 + + m m ;- 2 + m m ) - Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R - Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm Bài tập: Giải và biện luận các hệphươngtrình sau: Nguyễn Văn Tín ** Trường THCS QUẾ AN Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 5 - 1) +=+ −=+ 1 13 mmyx mymx 2) =+ −=+ 4 104 myx mymx 3) +=− −=−− 52 13)1( myx mmyxm 4) −=− =+ 2 3 2 mymx mmyx 5) +=+ +=− 2 2 1 1 mymx mmyx 6) +=+ +=− 2 )1( 232 mymx myx Tiết 4+5: DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂHỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 1.- Mục tiêu: - Thành thạo việc giải hệphươngtrình với giá trị của tham số cho trước - Định giá trị nguyên của tham số đểhệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên - Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị của hàm số đi qua hai điểm cho trước - Xác định giá trị của tham số đểphươngtrình và hệphươngtrình có nghiệm cho trước - Xác định giá trị của tham số để ba đường thẳng đồng quy - Xác định giá trị của tham số đểhệphươngtrình thỏa mãn các điều kiện về nghiệm 2.-Nội dung cụ thể: Định giá trị của tham số đểhệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên Phương pháp giải: • Giải hệphươngtrình theo tham số • Viết x, y của hệ về dạng: n + )(mf k với n, k nguyên • Tìm m nguyên để f(m) là ước của k Ví dụ1: Định m nguyên đểhệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: −=+ +=+ 122 12 mmyx mymx HD Giải: −=+ +=+ 122 12 mmyx mymx ⇔ −=+ +=+ mmymmx mymx 22 22 2242 ⇔ −=+ +−=−−=− 122 )12)(2(232)4( 22 mmyx mmmmym đểhệ có nghiệm duy nhất thì m 2 – 4 ≠ 0 hay m ≠ 2 ± Vậy với m ≠ 2 ± hệphươngtrình có nghiệm duy nhất Nguyễn Văn Tín ** Trường THCS QUẾ AN Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 6 - + −= + − = + −= + + = − +− = 2 3 1 2 1 2 3 2 2 12 4 )12)(2( 2 mm m x mm m m mm y Để x, y là những số nguyên thì m + 2 ∈ Ư(3) = { } 3;3;1;1 −− Vậy: m + 2 = ± 1, ± 3 => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên đểhệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: +=− −=++ mmyxm myxm 2 12)1( 22 Bài 2: a) Định m, n đểhệphươngtrình sau có nghiệm là (2; -1) −=++ −=+− 323)2( )1(2 mnyxm nmymmx HD: Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệphươngtrình với ẩn m, n b) Định a, b biết phươngtrình ax 2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2 HD: thay x = 1 và x = -2 vào phươngtrình ta được hệphươngtrình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax 2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 HD: f(x) = 2ax 2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết cho ax + b thì f(- a b ) = 0 =− = 0)3( 0) 4 1 ( f f ⇔ =−− =−+ 03318 03 48 ba ba Giải hệphươngtrình ta được a = 2; b = 11 d) Cho biểu thức f(x) = ax 2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(-1) = 0 HD: Nguyễn Văn Tín ** Trường THCS QUẾ AN Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 7 - =− = 0)1( 6)2( f f ⇔ −=− =+ 4 224 ba ba ⇔ = −= 3 1 b a Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệphươngtrình =+ =+ 2 12 ba ba ⇔ = −= 3 1 b a Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4: Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy DH giải: - Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệphương trình: =+ =+ 32 423 yx yx ⇔ = = 25,1 5,0 y x . Vậy M(0,2 ; 1,25) Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m ⇔ m = -0,85 Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1 b) mx + y = m 2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m 2 + 2m – 2 Bài 5: Định m đểhệphươngtrình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước Cho hệphương trình: =+ =+ 8 94 myx ymx Với giá trị nào của m đểhệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + 4 38 2 − m = 3 HD Giải: - Điều kiện đểhệphươngtrình có nghiệm duy nhất: m ±≠ 2 - Giải hệphươngtrình theo m Nguyễn Văn Tín ** Trường THCS QUẾ AN Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 8 - =+ =+ 8 94 myx ymx ⇔ =+ =+ mymmx ymx 8 94 2 ⇔ =+ −=− 8 98)4( 2 myx mym ⇔ − − = − − = 4 329 4 98 2 2 m m x m m y - Thay x = 4 329 2 − − m m ; y = 4 98 2 − − m m vào hệ thức đã cho ta được: 2. 4 329 2 − − m m + 4 98 2 − − m m + 4 38 2 − m = 3 => 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m 2 – 12 ⇔ 3m 2 – 26m + 23 = 0 ⇔ m 1 = 1 ; m 2 = 3 23 (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện) Vậy m = 1 ; m = 3 23 Tiết 6: BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho hệphươngtrình =+ −=+ 4 104 myx mymx (m là tham số) a) Giải hệphươngtrình khi m = 2 b) Giải và biện luận hệphươngtrình theo m c) Xác định các giá trị nguyên của m đểhệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0 d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương Bài 2: Cho hệphươngtrình : +=− −=−− 52 13)1( myx mmyxm a) Giải và biện luận hệphươngtrình theo m b) Với giá trị nguyên nào của m đểhai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy c) Định m đểhệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x 2 + y 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3: Cho hệphươngtrình =− =+ myx yx 2 423 a) Giải hệphươngtrình khi m = 5 Nguyễn Văn Tín ** Trường THCS QUẾ AN Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 9 - b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1 c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy Bài 4: Cho hệphương trình: =+ =+ 8 94 myx ymx a) Giải hệphươngtrình khi m = 1 b) Với giá trị nào của m đểhệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm Bài 5: Cho hệphương trình: =− =+ 43 9 ymx myx a) Giải hệphươngtrình khi m = 3 b) Với giá trị nào của m đểhệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Chứng tỏ rằng hệphươngtrình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m d) Với giá trị nào của m đểhệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = 3 28 2 + m - 3 Bài 6: Cho hệphương trình: =+ =− 5myx3 2ymx a) Giải hệphươngtrình khi 2m = . b) Tìm giá trị của m đểhệphươngtrình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức 3m m 1yx 2 2 + −=+ . Bài 7: Cho hệphươngtrình =+ −=− 162 93 ymx myx a) Giải hệphươngtrình khi m = 5 b) Chứng tỏ rằng hệphươngtrình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m c) Định m đểhệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tìm giá trị nguyên của m đểhai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên nào của m đểhệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7 Nguyễn Văn Tín ** Trường THCS QUẾ AN Chủ đề tự chọn - Toán 9 Năm học: 2008-2009 - 10 - Nguyễn Văn Tín ** Trường THCS QUẾ AN . hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cơ bản 2.-Nội dung cụ thể: Hoạt động 1: Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Hệ phương trình tương đương Cho hai phương. trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a / x + b / y = c / . Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (I) =+ =+ /// cybxa cbyax * Nếu hai phương