[r]
(1)VËn dông mét tÝnh chÊt cña hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn Bằng phơng pháp cộng ta dễ dàng chứng minh đợc kết sau Bµi to¸n Cho hÖ ph¬ng tr×nh ¿ a1 x+ b1 y =c a2 x+ b2 y=c (*) ¿{ ¿ Víi x,y lµ c¸c Èn sè , a1 ; b1 ; c ; a ; b ; c lµ c¸c tham sè NÕu D=a1 b − a2 b1 ≠ th× hÖ PT (*) cã nghiÖm nhÊt ¿ D x c b2 − c b x= = D a1 b2 − a2 b1 D a c − a c (**) y= y = 2 D a1 b2 − a2 b1 ¿{ ¿ Nh x và y biểu thị qua các tham số qua hệ thức (**) Do đó bài toán có biểu thức bậc ẩn nào đó thì ta có thể áp dụng kết trên để giải bài toán Sau đây là số thí dụ ThÝ dô Cho x,y,m lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n ¿ mx + y =1 m3 (1) x − my= m +1 ¿{ ¿ Chøng minh r»ng x 2+ y =1 Lêi gi¶i Ta coi (1) lµ hÖ PT bËc nhÊt Èn x,y víi m lµ tham sè Khi đó x và y biểu thị đợc theo m ThËt vËy a1 b2 −a b1 =m.(− m)− 1=− 2m2 −1≠ nªn ¸p dông c«ng thøc (**)ta cã ¿ m3 1.(− 2m)− m +1 2m x= = 2 − 2m −1 m +1 2m m − 1 m +1 −m2 ¿ y= = −2 m2 − m2+1 ¿{{ ¿ (2) Suy m2 +1¿ ¿ ¿ − m m4+ m2 +1 ¿= ¿ m 2+ 2m ¿ +¿ m2+1 x2 + y 2=¿ ThÝ dô Cho x,y,z lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n ¿ xz +x+ y=1 xz+ yz+ x +3 y=2 (1) ¿{ ¿ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = xy(1+z) Lêi gi¶i Ta gi¶m sè biÕn cña biÓu thøc P b»ng c¸ch biến đổi (1) dạng hệ PT bậc ẩn x,y với z là tham số đợc ¿ zx+( z +2) y=1 (2 z +1)x +( z+ 3) y=2 ¿{ ¿ z+ 1¿ −1 ≠ Cã a1 b2 −a b1 =z ( z+3)−(2 z +1)(z+ 2)=− z − z −2=− ¿ Nªn ¸p dông c«ng thøc (**) ta cã ¿ 1.(z +3)− 2(z +2) z+1 x= = 2 − z − z −2 z + z +2 z 2−(2 z +1).1 y= = 2 − z − x −2 z + z +2 ¿{ ¿ z +1 ¿ ¿ z +1 ¿2+ 1¿ Suy ¿ ¿ ¿ P=xy (1+ z)=¿ z +1 ¿2+ 1¿ 2 ¿ z+ 1¿ −1 ¿ ≥0 Do cã mµ z+ 1¿ ≥ ⇔ ¿ z+ 1¿ ≤ ¿ ¿ ¿ ¿ (3) z +1 ¿ ¿ z+ 1¿ 2+1 ¿2 nªn ¿ ¿ ¿ ¿ ≤ P=¿ GTNN cña P lµ vµ chØ ( x ; y ; z)=(0 ; ; −1) 1 −1 GTLN cña P lµ vµ chi (x;y;z) ( ; ; 0); ( ; ; −2) 2 2 ThÝ dô Cho x,y lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n x +4 y+ 1¿ ≤ x+7 y +1 ¿ +¿ ¿ Chøng minh r»ng − 14 16 ≤ x+ y≤ 5 Lêi gi¶i Do x+7 y +1 và x+4y+1 là các biểu thức bậc x,y nên để đơn giản giả thiết ta coi biểu thức lần lợt là a,b thì x,y biểu thị đợc theo a vµ b ThËt vËy §Æt 3x+7y+1=a; x+4y+1 = b Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt Èn x,y sau ¿ x+7 y =a −1 x + y=b − (1) ¿{ ¿ Cã −1 7=5 ≠ nªn ¸p dông c«ng thøc (**) th× hÖ pt (1) cã nghiÖm ¿ a− b+3 x= b − a −2 y= ¿{ ¿ Khi đó ta có a2 +b ≤ a− b+1 x+ y= MÆt kh¸c 2 2 mq − np¿ ⇔ mp+nq ¿ ≤( m +n )( p +q ) ≤¿ ¿ 2 2 ⇔ |mp+nq|≤ √ (m + n )( p +q ) ¸p dông B§T trªn ta cã { } (4) 2 2 +(− ¿ )( a + b ) ¿ ¿ |3 a − b|≤ √ ¿ ⇔ −15 ≤ b −4 a ≤15 − 14 −15+5 a − b+ 15+1 16 Suy = ≤ x + y= ≤ = 5 5 ThÝ dô gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x+2 y +1 ¿3 ¿ x − y+5 ¿ ¿ ¿1 ¿ √ x +2 y+1+ √ x − y +5 =9 x −2 y +21 x+11 ¿ ¿ ¿ √¿ Lêi gi¶i Ta thấy x+ y +1 và x − y +5 là các biểu thức bậc x và y nên có thể giải hệ PT cách đặt √ x+2 y +1=a≥ , √ x − y +5=b ≥0 này x, y biểu diễn đợc theo a và b ta cã hÖ pt bËc nhÊt Èn x,y ¿ a2 +2 b2 − 11 ¿ x= x +2 y +1=a 2 (1) ⇔ a − b2 +3 x − y +5=b y= ¿{ ¿ ¿{ ¿ Do đó x+11=a 2+2 b , x − y +21 = a2 + b2 Thay vào hệ phơng trình đã cho ta đợc ¿ a 3+4 b 3=1 a+2 b =a2 +4 b2 2 a +2 b ¿{ ¿ ¿ a 3+ b 3=1 ⇔ a+2 b=( a2 +2 b2)( a2 +4 b2) (2) ¿{ ¿ Nhân vế với vế các phơng trình hệ (2) đợc (a+2 b)( a3+ b 3)=(a2+ 2b 2)( a2+ b 2) ⇔ ab(a – b)(a - 2b) = ⇔ a = hoÆc b = hoÆc a = b hoÆc a = 2b (5) Tõng trêng hîp nµy thay vµo hÖ (1) ta đợc nghiệm (a,b) là (0 ; ) ,(1 ; 0),( ; ),( ; ) 5 12 Với (a;b) tìm đợc thay vào (1) ta đợc các nghiệm (x;y) hệ PT đã cho là 3 27 3 3 343 −11 3− −11 +3 − 11 +3 16 25 25 144 ( ; ),(−2 ; 1),( ; ),( ; ) 5 5 5 ThÝ dô Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ ( x + y ) √ x +7+ y √ y +1=xy+ y 2 x √ x2 +7+(x + y) √ y +1=3 xy − x2 ¿{ ¿ Lêi gi¶i Ta có thể đa hệ PT đã cho hệ PT bậc với ẩn cách §Æt √ x2 +7=u ; √ y +1=v Hệ PT đã cho trở thành ¿ ( x + y )u+ yv=xy+2 y 2 xu+(x + y )v=3 xy − x (1) ¿{ ¿ Ta cã a1 b2 −a b1 =(x + y )( x+ y)−2 xy=x + y Dễ thấy x = y = là nghiệm hệ PT đã cho Khi x,y không đồng thời Cã a1 b2 −a b1 =¿ x 2+ y >0 nªn hÖ (1) cã nghiÖm nhÊt ¿ ( xy +2 y )( x + y )−(3 xy − x 2) y u= =2 y x2 + y2 ( x+ y)(3 xy − x )− x ( xy+2 y ) v= =− x x2 + y ¿{ ¿ ¿ − x ≥0 ¿ y ≥0 √ x 2+7=2 y 2 Suy √ x +1=− x ⇔ x +7=4 y y +1=x ¿{ ¿ ¿{{{ ¿ ¿ x≤0 ¿ y ≥0 x=−3 ⇔ ⇔ y=2 x 2=9 ¿{ y =4 ¿ ¿{{{ ¿ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ (6) Vậy hệ PT đã cho có nghiệm (x;y) là (0;0);(-3;2) Cu«Ý cïng mêi c¸c b¹n luyÖn tËp víi c¸c bµi tËp sau Bµi Cho x,y,m lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n ¿ x − my=m m2 +4 mx + y = m +4 ¿{ ¿ a) T×m mét hÖ thøc gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P=x + y Bµi Cho x,y lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n x +2 y+ 1¿ ≤ 11 x+3 y −1 ¿ +¿ ¿ 73 Chøng minh |x + y +3|≤ √ Bµi Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ 3 x+ y+ 2+ √ √5 x +4 y − 6=3 a) √(9 x +7 y +2)(5 x + y − 6)=3 x+ y − 31 ¿{ ¿ ¿ ( z+ 1) x+(z +4 z ) y =z 3+5 z − x+(z +3) y=z + z − b) HD: tim x,y theo z tu PT dau cua he x2 + y + z 2=9 ¿{ { ¿ ¿ (x + y) √ xy+ 5=4 xy −3 y +1 c) (x+ y ) √ xy +5=6 xy + x − y − HD coi √ xy+5 là tham so ¿{ ¿ Vò Hång Phong THPT Tiªn Du 1, B¾c Ninh To¸n K35B DHSP TN (7)