h/s giải hpt tìm được nghiệm : -Kiểm tra lại điều kiện và trả lời bài toán: Vậy người thứ nhất hoàn thành công việc một mình trong 24 giờ người thứ hai hoàn thành công việc một mình tron[r]
(1)Phương pháp Giải bài toán cách lập hệ phương trình nói chung gồm các bước sau: */ Bước 1: Lập hệ phương trình, bao gồm: - Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số - Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua các ẩn số và các đại lượng đã biết - Từ đó lập hệ phương trình biểu diễn tương quan các đại lượng */ Bước 2: Giải hệ phương trình: Giải hệ phương trình vừa lập */ Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem các nghiệm hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm nào không trả lời - Như bước phân tích đề bài không thấy có các bước giải “Giải bài toán cách lập hệ phương trình”, đó lại là bước quan trọng để định hướng cách lập hệ phương trình Nếu học sinh không làm tốt bước này thì khó khăn lập hệ phương trình - Bên cạnh đó thì cách gọi ẩn gián tiếp giúp học sinh giải các hệ phương trình vừa lập cách nhanh và dễ dàng Cụ thể là: Bài toán giải bài toán cách lập hệ phương trình dạng “Làm chung – Làm riêng” “vòi nước chảy chung – vòi nước chảy riêng” nói chung hỏi thời gian làm mình đội là bao lâu hay vòi chảy bao lâu đầy bể Theo các dạng toán trước, bài toán hỏi điều gì ta chọn đại lượng đó làm ẩn, dạng toán này ta có thể : “Gọi thời gian hoàn thành công việc mình đội 1(người 1…) là x (đv), đk Gọi thời gian hoàn thành công việc mình đội 2(người 2…) là y (đv), đk “ Từ đó ta có thể suy ra: Thời gian hoàn thành công việc mình đội 1(người 1…) là x (đv) Thời gian hoàn thành công việc mình đội 1(người 1…) là y (đv) - Để áp dụng cách giải bài toán cách lập hệ phương trình dạng “Làm chung – Làm riêng” cách phân tích đề bài cách hợp lý thì việc đầu tiên là phải giúp học sinh nhận dạng toán Điều này là không khó khăn vì dạng toán “Làm chung – Làm riêng” thì đề bài cho: “Thời gian làm chung hai đội (hai người,…)” và yêu cầu tìm: “Thời gian làm mình đội (mỗi người,…) để hoàn thành công việc” Khi thực giải toán cần lưu ý tất thời gian phải đổi dạng phân số chẳng hạn: 10 12 10 phút = 60 giờ, 12 phút = 60 1 Lưu ý: Khi tìm người, đội hay vòi nước thứ thứ hai là x hay y thì suy để hoàn thành công việc vòi nước chảy vào bể là Còn các đại lượng đề bài mô tả là u đó u là số thời gian đề bài cho Đây là dạng toán khó hiểu giải toán cách lặp hệ phương trình - Có nhiều cách phân tích đề bài đây dùng cách phân tích cách lập bảng, sau: (2) Hai đội (2 vòi ) Đội (vòi ) Đội (vòi ) Thời gian hoàn thành công việc a x y Năng suất làm việc ngày (1 ) a x y Ngoài cần nhấn mạnh cho học sinh: “Thời gian hoàn thành công việc và suất làm việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch” Ví dụ: */ Bài toán 1: (Bài 33/24 SGK Toán – Tập 2) “Hai người thợ cùng làm công việc 16 thì xong Nếu người thứ làm và người thứ hai làm thì hoàn thành 25% công việc Hỏi làm riêng thì người hoàn thành công việc bao lâu?” */ Gv hướng dẫn học sinh phân tích đề bài cách lập bảng sau: (Gv dùng hệ thống câu hỏi, học sinh trả lời, gv điền vào bảng phân tích) -Yêu cầu h/s đọc đề bài Cho h/s xác định dạng toán Gv nhấn mạnh: Có cách gọi ẩn a/ Gv cùng học sinh lập bảng phân tích: (gọi ẩn trực tiếp) Hai người Người Người Thời gian hoàn thành công việc (giờ) 16 x (đk: 16 < x) y (đk: 16 < y) Năng suất làm việc 16 x y -Bài toán cho biết thời gian hoàn thành công việc người là bao lâu? h/s: thời gian hoàn thành công việc người là 16 - gv điền bảng - Thời gian hoàn thành công việc và suất làm việc là hai đại lượng có quan hệ nào? h/s: thời gian hoàn thành công việc và suất làm việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch - Gv nhấn mạnh: Vì thời gian hoàn thành công việc và suất làm việc là đại lượng tỉ lệ nghịch , nên suất làm việc người là bao nhiêu? h/s: Năng suất làm việc người là 16 (cv) - Gv điền vào bảng -Bài toán yêu cầu gì? h/s: Nếu làm riêng thì người phải hoàn thành công việc đó bao lâu -Gv nhấn mạnh: Dạng toán này, đề bài yêu cầu tìm gì thì thường gọi các đại lượng đó làm ẩn Vậy bài toán này ta gọi ẩn nào? h/s: gọi thời gian hoàn thành công việc đội là x (giờ) (3) thời gian hoàn thành công việc đội là y (giờ) -Điều kiện ẩn? h/s: 16 < x, 16 < y - Gv điền vào bảng -Vậy suất làm việc người là bao nhiêu? h/s: suất làm việc người là x công việc -Vậy suất làm việc người là bao nhiêu? h/s: suất làm việc người là y công việc - Gv điền vào bảng -Năng suất làm việc người còn tính nào? h/s: suất người + suất người = suất người -Vậy ta lập phương trình nào? 1 h/s : x y 16 1 Gv ghi xuống bảng phân tích: Pt (1) : x y 16 Gv nhấn mạnh : Pt (1) lập: suất người + suất người = suất người Gv hướng dẫn học sinh lập pt(2) (Gv hỏi - H/s trả lời – Gv ghi bảng ) -Bài toán còn cho biết gì? Thời gian làm khối lượng c/việc x y người 1: người 2: (c/việc) (c/việc) 25% = người làm (c/việc) -Vậy người htws làm bao nhiêu phần công việc? h/s trả lời : người làm x (c/việc) – Gv ghi sang bên -Vậy người làm bao nhiêu phần công việc? h/s trả lời : người làm y (c/việc) – Gv ghi sang bên Gv nhấn mạnh: Khối lượng c/việc = Thời gian x suất -Dựa vào quan hệ đó ta lập pt nào? 1 x y h/s: Gv nhấn mạnh : cách lập pt (2): K/lượng c/việc người + K/lượng c/việc người = K/lượng c/việc người làm (4) *> Gv nhấn mạnh lại cách phân tích đề bài lập bảng Giải: (Gv hướng dẫn học sinh lập luận để lập hệ phương trình dựa vào bảng phân tích và làm theo sơ đồ các bước: từ bước (1) đến bước (6) để lập pt(1); từ bước (7) đến bước (9) để lập pt (2) theo sơ đồ đây: ) Hai người Người Người Thời gian hoàn thành công việc (giờ) (5) 16 Năng suất làm việc (6) (1) x (đk: 16 < x) (2) y (đk: 16 < x) (3) (4) 16 x y 1 -Yêu cầu h/s dựa vào bảng phân tích lập luận để lập pt (1): x y 16 Thời gian làm (7) người 1: (8) người 2: khối lượng c/việc x y (9) người làm 25% = 1 y -Yêu cầu h/s dựa vào phần phân tích thứ để lập pt (2): x (c/việc) (c/việc) (c/việc) -Vậy ta có hệ phương trình nào? 1 1 x y 16 3 y h/s: x -Yêu cầu lớp làm tiếp bước giải hệ phương trình x 24 h/s giải hpt tìm nghiệm : y 48 (TM) -Kiểm tra lại điều kiện và trả lời bài toán Gv củng cố lại cách làm b/ Gv cùng học sinh lập bảng phân tích: (gọi ẩn gián tiếp) Thời gian hoàn thành công việc (giờ) Năng suất làm việc (5) Hai người Người Người 16 16 x x y (đk: < x < 16 ) y (đk: < y < 16 ) */ Gv chú ý h/s cách phân tích đề bài giống trên ta gọi ẩn gián tiếp -Gv nhấn mạnh: Nếu ta gọi ẩn gián tiếp tức là gọi suất làm việc người là ẩn thì bài toán này ta gọi ẩn nào? h/s: gọi suất làm việc đội là x (c/việc) suất làm việc đội là y (c/việc) -Điều kiện ẩn? 1 h/s: < x < 16 , < y < 16 - Gv điền vào bảng -Vậy thời gian hoàn thành công việc người là bao nhiêu? h/s: thời gian hoàn thành công việc người là x (giờ) -Vậy thời gian hoàn thành công việc người là bao nhiêu? h/s: thời gian hoàn thành công việc người là y (giờ) - Gv điền vào bảng -Vậy ta lập phương trình (!) nào? xy 16 h/s : Gv nhấn mạnh : Tương tự pt (1) lập: suất người + suất người = suất người -Bài toán còn cho biết gì? Thời gian làm (h/s trả lời – Gv ghi bảng) người 1: người 2: Khối lượng c/việc 3.x (c/việc) 6.y (c/việc) 25% = người làm -Vậy người làm bao nhiêu phần công việc? h/s trả lời : 3.x – Gv ghi sang bên -Vậy người làm bao nhiêu phần công việc? h/s trả lời : 6.y – Gv ghi sang bên -Tương tự trên ta lập pt nào? 3x 6y (c/việc) h/s: Gv nhấn mạnh cách lập pt (2) tương tự trên: K/lượng c/việc người + K/lượng c/việc người = K/lượng c/việc người làm (6) *> Gv nhấn mạnh lại cách phân tích đề bài lập bảng Giải: (Gv hướng dẫn học sinh lập luận để lập hệ phương trình dựa vào bảng phân tích và làm theo sơ đồ các bước: từ bước (1) đến bước (6) để lập pt(1); từ bước (7) đến bước (9) để lập pt (2) theo sơ đồ đây: ) Thời gian hoàn Năng suất làm việc thành công việc (giờ) Hai (5) 16 16 người (6) Người (1) x x (3) (đk: < x < 16 ) Người (2) y y (4) (đk: < y < 16 ) xy 16 -Yêu cầu h/s dựa vào bảng phân tích lập luận để lập pt (1): (7) (8) (9) Thời gian làm người 1: người 2: người làm -Yêu cầu h/s dựa vào phần phân tích thứ để lập pt (2) : -Vậy ta có hệ phương trình nào? Khối lượng c/việc 3.x (c/việc) 6.y (c/việc) (c/việc) 25% = 3x y x y 16 3x y h/s: -Yêu cầu lớp làm tiếp bước giải hệ phương trình 1 x x 24 24 48 y y 48 (TM) h/s giải hpt tìm nghiệm : -Kiểm tra lại điều kiện và trả lời bài toán: Vậy người thứ hoàn thành công việc mình 24 người thứ hai hoàn thành công việc mình 48 Gv nhấn mạnh: Với cách gọi ẩn này trả lời phải chú ý: Thời gian hoàn thành công việc người là: x Thời gian hoàn thành công việc người là: y Gv củng cố lại cách làm -Em hãy so sánh hệ phương trình cách gọi ẩn trực tiếp và gọi ẩn gián tiếp thì hệ phương trình nào dễ giải hơn? (7) h/s: hệ pt cách gọi ẩn gián tiếp dễ giải Gv nhấn mạnh lại: Trong dạng toán này ta nên gọi ẩn gián tiến vì lập hệ phương trình thì hệ phương trình dễ giải cách gọi ẩn trực tiếp phải chú ý trả lời */Bài toán 2: (Bài 38/24 SGK Toán – Tập 2) “Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể cạn (không có nước) thì bể đầy sau 20 phút Nếu mở vòi thứ 10 phút và mở vòi thứ hai 12 phút thì 15 bể nước Hỏi mở riêng vòi thì thời gian để vòi chảy đầy bể là bao nhiêu? ” */ Gv cùng học sinh phân tích đề bài: -Yêu cầu h/s đọc đề bài toán -Bài toán thuộc dạng nào? - Hãy đổi thời gian giờ? 20 phút = , 10 phút = , 12 phút = Gv lưu ý học sinh đổi thời gian phải đưa dạng phân số Tương tự bài toán 1: Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng pt: Thời gian chảy đầy bể Năng suất chảy (h/thành c/việc) (giờ) (làm việc) Hai vòi x (5) Vòi (3) Vòi (6) (1) x (đk: < x < ) (2) y (4) y (đk: < y < ) -Nhìn vào bảng phân tích lập pt (1)? x y h/s: -Bài toán cho biết thêm điều gì? h/s trả lời: Thời gian chảy (7) vòi 1: (8) vòi 2: giờ Khối lượng c/việc được x (bể) y (bể) 15 (bể) (9) vòi chảy -Vậy với thời gian đó thì vòi chảy bao nhiêu phần bể? h/s trả lời – Gv ghi lên tóm tắt -Từ phân tích, lập pt (2)? 1 x y h/s: 15 -Từ đó ta có hệ phương trình nào? (8) x y 1 x y h/s: có hpt: 15 x y 5 x y 4 Giải: Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào các bước bảng phân tích h/s đứng trả lời 1 x x 2 4 y -Yêu cầu h/s giải hpt nghiệm : (TM) y -Yêu cầu h/s đứng trả lời bài toán: Vậy vòi thứ chảy mình đầy bể vòi thứ hai chảy mình đầy bể Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải chú ý: Thời gian hoàn thành công việc người là: x Thời gian hoàn thành công việc người là: y */Bài toán 3: (Bài 32/23 SGK Toán – Tập 2) “Hai vòi nước cùng chảy vào bể cạn (không có nước) thì sau đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ và sau mở thêm vòi thứ hai thì sau đầy bể Hỏi từ đầu mở vòi thứ hai thì sau bao lâu đầy bể? ” */ Gv cùng h/s phân tích: -Yêu cầu h/s đọc đề bài toán -Bài toán thuộc dạng nào? Tương tự các ví dụ trên : Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng 4 24 = h/s: Đổi Gv lưu ý học sinh đổi thời gian phải đưa dạng phân số Thời gian hoàn thành công việc (giờ) Hai vòi (3) 24 x (4) y (5) Vòi Vòi -Vậy lập pt (1) nào? Năng suất làm việc (6) (1) 24 x (đk: < x < 24 ) (2) y (đk: < y < 24 ) h/s: x y 24 (9) -Bài toán cho biết thêm điều gì? h/s trả lời: Thời gian chảy (7) Khối lượng c/việc vòi 1: + giờ vòi 2: (9 + ).x (bể) y (bể) (8) (9) vòi chảy đầy bể = 100% = -Vậy với thời gian đó thì vòi chảy bao nhiêu phần bể? h/s trả lời – Gv ghi lên tóm tắt */Gv chú ý học sinh: - Vòi chảy mở thêm vòi là 6 Tức là: vòi chảy + còn vòi chảy - Chảy đầy bể tức là 100% bể = -Vậy ta có phương trình lập nào? 6 h/s: (9 + ).x + y = Gv: Ngoài cách lập pt (2) trên ta còn cách khác sau: -Vòi chảy mình giờ? h/s trả lời -Hai vòi chảy chung giờ? Gv vẽ sơ đồ phân tích : vòi: (7) vòi 1: Thời gian k/lượng c/việc vòi 1: 9.x (bể ) 5 24 (8) sau đó vòi: (bể ) (9) Khi đó chảy đầy bể = 100% (bể ) = -Trong vòi chảy bao nhiêu phần bể? h/s trả lời - gv ghi xuống bên sơ đồ -Trong vòi chảy bao nhiêu phần bể? h/s trả lời - gv ghi xuống bên sơ đồ -Vậy ta có phương trình (2) nào? 9.x 1 h/s: 9.x + 24 = -Từ đó ta có hpt nào? x y 24 9 x 1 h/s: Giải -Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào các bước bảng phân tích h/s đứng trả lời (10) 1 x 12 x 12 8 y 1 y -Yêu cầu h/s giải hpt tìm nghiệm : (TM) -Yêu cầu h/s đứng trả lời bài toán: Vậy từ đầu mở mình vòi thứ hai thì sau đầy bể Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải chú ý: Thời gian hoàn thành công việc người là: x Thời gian hoàn thành công việc người là: y */ Bài toán 4: (Bài – Đề kiểm tra chương III- Sách nâng cao Toán 9, Tập - Nhà xuất Hà Nội ) “Hai đội công nhân cùng làm đoạn đường 24 ngày thì xong Mỗi ngày đội thứ hai làm khối lượng công việc nhiều gấp đôi đội thứ Hỏi làm mình thì đội làm xong đoạn đường đó bao lâu? “ */ Gv cùng h/s phân tích: -Yêu cầu h/s đọc đề bài toán -Bài toán thuộc dạng nào? Tương tự các ví dụ trên : Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng Hai đội Thời gian hoàn thành công việc (giờ) (5) 24 Đội (3) Đội (4) x y Năng suất làm việc (6) (1) 24 x (đk: < x < 24 ) (2) y (đk: < y < 24 ) x y 24 -Vậy lập pt (1) nào? h/s: -Bài toán cho biết thêm điều gì? h/s: Mỗi ngày đội thứ hai làm khối lượng công việc nhiều gấp đôi đội thứ - Em hiểu điều đó nào? h/s: Năng suất đội hai làm gấp đôi suất đội -Vậy ta có phương trình lập nào? h/s: y = 2.x -Từ đó ta có hpt nào? x y 24 y 2 x h/s: Giải (11) -Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào các bước bảng phân tích h/s đứng trả lời x 72 y -Yêu cầu h/s giải hpt nghiệm : 36 (TM) 1 x 72 36 y -Yêu cầu h/s đứng trả lời bài toán Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải chú ý: Thời gian hoàn thành công việc người là: x Thời gian hoàn thành công việc người là: y */ Bài toán 5: (Bài – Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2007 -2008 tỉnh Đăk Lăk) “Hai máy cày cùng làm việc thì xong 18 cánh đồng Nếu máy thứ làm việc và máy thứ hai làm việc 10 thì hai máy cày 10% cánh đồng Hỏi máy cày làm việc riêng thì cày xong cánh đồng giờ? */ Gv cùng h/s phân tích: -Yêu cầu h/s đọc đề bài toán -Bài toán thuộc dạng nào? -Bài toán có gì khác so với các bài toán trước? h/s: Bài toán không cho thời gian hoàn thành công việc hai đội -Vậy bài toán cho điều gì? h/s: Cho hai máy cày cùng làm việc thì cày xong 18 cánh đồng -Vậy thời gian cày xong cánh đồng máy là bao lâu? h/s: Thời gian cày xong cánh đồng máy là: 5.18 = 90 Tương tự các ví dụ trên : Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng Hai máy Thời gian hoàn thành công việc (giờ) (5) 90 Máy (3) Máy (4) x y Năng suất làm việc (6) (1) 90 x (đk: < x < 90 ) (2) y (đk: < y < 90 ) -Vậy lập pt (1) nào? x y 90 h/s: -Bài toán cho biết thêm điều gì? h/s trả lời: Thời gian làm Khối lượng c/việc (12) (8) (7) máy 1: 6.x (cánh đồng ) máy 2: 10 10.y (cánh đồng ) thì máy làm 10% = 10 (cánh đồng ) (9) -Vậy với thời gian đó thì máy làm bao nhiêu phần cánh đồng? h/s trả lời – Gv ghi lên tóm tắt -Vậy ta có phương trình lập nào? 6.x 10.y 10 h/s: -Từ đó ta có hpt nào? x y 90 6 x 10 y 10 h/s: Giải: Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào các bước bảng phân tích h/s đứng trả lời 1 x x 360 360 120 y y -Yêu cầu h/s giải hpt nghiệm : 120 (TM) -Yêu cầu h/s đứng trả lời bài toán Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải chú ý: Thời gian hoàn thành công việc người là: x Thời gian hoàn thành công việc người là: y Như thông qua các ví dụ trên ta thấy: Sau này các em giải bài toán cách lập hệ phương trình dạng “Làm chung – Làm riêng” cần lập bảng phân tích là các em có thể dựa vào đó để lập luận lập hpt, ngoài cách gọi ẩn gián tiếp khiến cho hệ phương trình các em lập dễ dàng giải Cũng cần nhấn mạnh thêm tất các bài tập giải bài toán cách lập hệ phương trình dạng “Làm chung – Làm riêng” có thể áp dụng cách phân tích bảng để lập hệ phương trình (13)