Giải toán bằng cách lập hệ phương trình

Chuyên đề: Rèn kỹ năng giải bài tập toán bằng cách lập phơng trình - hệ phơng trình I/ Đặt vấn đề: Nh chúng ta đã biết, ngay từ những ngày mới cắp sách đến trờng, học sinh đã đợc giải phơng trình. Đó là những phơng trình rất đơn giản dới dạng điền số thích hợp vào ô trống. Đối với học sinh lớp cao thì tính phức tạp của phơng trình cũng dần đợc nâng lên. + Đối với lớp 1, lớp 2 thì phơng trình rất đơn giản, thờng là dới dạng điền vào ô trống: + 3 = 7 + Đối với học sinh lớp 3 thì phơng trình phức tạp hơn: x + 2 + 3 = 6. + Đối với học sinh lớp 4, 5, 6 phơng trình có dạng: x : 4 = 8 : 2 x x 5 + 8 = 33 (x 12) x 8 = 16 Tất cả các loại Toán trên, mối quan hệ giữa các đại lợng trong đề toán đợc gắn kết với nhau bằng các mối quan hệ toán học. Các đại lợng chỉ là những con số tự nhiên bất kỳ. Đặc biệt là các phơng trình đợc viết sẵn học sinh chỉ việc giải phơng trình là hoàn thành nhiệm vụ. Đối với học sinh lớp 8, lớp 9 trở lên các đề toán về giải phơng trình không còn đơn giản nh vậy nữa mà nó là các dạng toán có lời, căn cứ vào có để lập ra phơng trình kết quả, đáp số đúng không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải phơng trình mà còn phụ thuộc vào việc lập phơng trình. Việc giải các bài toán bằng cách lập phơng trình đối với học sinh THCS là một việc làm mới mẻ. Đề bài cho không phải là những phơng trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lợng, học sinh phải chuyển đổi đợc mối quan hệ giữa các đại lợng đợc mô tả bằng lời văn sang mối quan hệ toán học. Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con ngời, xã hội hoặc tự nhiên, Do đó trong quá trình giải học sinh thờng quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lí. VD: ẩn số là con ngời, đồ vật, phải nguyên d ơng nếu tìm ra đáp số âm hoặc không nguyên là vô lí. Chính vì vậy, ngời thầy không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nh trong SGK mà còn dạy cho học sinh cách giải bài tập. Ngời thầy khi hớng dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này phải dựa trên các quy tắc chung là: yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải bài toán bằng cách lập ph- ơng trình, phân loại các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lợng dẫn đến lập đợc phơng trình dễ dàng. Đây là bớc đặc biệt quan trọng và khó khăn với học sinh. II. Giải quyết vấn đề. Một trong những phơng pháp hớng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào quy tắc chung. Nội dung của quy tắc gồm các bớc: - Bớc 1: Lập phơng trình (hệ phơng trình) + Chọn ẩn, xác định điều kiện cho ẩn. + Dùng ẩn số và các số liệu đã biết để biểu thị các số liệu có liên quan, dẫn giải các bộ phận thành phơng trình (hệ phơng trình). - Bớc 2: Giải phơng trình (hệ phơng trình). - Bớc 3: Nhận định kết quả, thử lại, trả lời. Mặc dù có quy tắc trên song trong quá trình hớng dẫn giải bài toán này cần cho học sinh vận dụng theo những biện pháp sau: * Biện pháp 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót nhỏ: Để học sinh không mắc sai lầm này ngời giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức, kỹ năng tính. Giáo viên phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiếu với điều kiện của ẩn xem có thích hợp không? Ví dụ 1: Mẫu của một phân số gấp 4 lần tử số của nó. Nếu tăng cả tử và mẫu lên 2 đơn vị thì đợc Phân số 2 1 . Tính phân số đã cho. (SGK Đại số 8) Giải Gọi tử số của phân số đã cho là x (x>0;x N) Thì mẫu số của phân số là 4x. Theo bài ra ta có phơng trình: 2 1 24 2 = + + x x . x = 1. Vậy tử số là 1, mẫu số là 4. Vậy phân số đó là 4 1 . * Biện pháp 2: Lời giải toán phải có căn cứ chính xác. Xác định ẩn phụ phải khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho làm nổi bật đợc ý phải tìm. Nhờ mối quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập phơng trình (hệ phơng trình), từ đó tìm đợc giá trị của ẩn số. Muốn vậy, ngời giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đợc đâu là ẩn? Đâu là điều kiện? Có thoả mãn điều kiện hay không? Từ đó có thể xây dựng đợc cách giải? Ví dụ 2: Hai cạnh của hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu vi của khu đất đó nếu biết S = 1200m 2 . (SGK Đại số 9) Bài toán hỏi chu vi hình chữ nhật. Học sinh thờng là bài toán hỏi gì thì gọi là ẩn. Nếu ở bài toán này gọi chu vi hình chữ nhật là ẩn thì bài toán khó có lời giải. Giáo viên cần hớng dẫn cho học sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn: Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần biết cạnh của hình chữ nhật. Giải Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (m,x > 0) Thì chiều dài hình chữ nhật là x + 4. Vì diện tích hình chữ nhật là 1200m 2 . Ta có phơng trình sau: x(x + 4) = 1200 x 2 + 4x 1200 = 0 x 1 = 30; x 2 = -34 < 0 (loại). Vậy chiều rộng hình chữ nhật là 30m. Chiều dài hình chữ nhật là 34m. Vậy chu vi là 128m. * Biện pháp 3: Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện. Giáo viên phải hớng dẫn học sinh không đợc bỏ sót khả năng, chi tiết nào, rèn luyện cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đầy đủ cha. Ví dụ 3: Một tam giác có chiều cao bằng 4 3 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm, cạnh đáy giảm đi 2dm, thì diện tích tăng thêm 12dm 2 . Tính chiều cao và cạnh đáy. Giáo viên lu ý cho học sinh công thức: S= 2 1 cạnh đáy x chiều cao. Giải Gọi độ dài cạnh đáy là x (dm) (x > 0) Thì chiều cao là 4 3 x (dm) Nên diện tích lúc đầu là : 2 1 .x. 4 3 x (dm) Diện tích lúc sau là: 2 1 (x-2)( 4 3 x+3) Theo bài ra ta có phơng trình: 2 1 (x - 2)( 4 3 x + 3) - 2 1 x. 4 3 x = 12 x = 20 (TMĐK) Vậy cạnh đáy có độ dài là 20dm. Chiều cao có độ dài là 4 3 .20 = 15dm. * Biện pháp 4: Lời giải bài toán phải đơn giản. Ví dụ 4: Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mơi sáu con Một trăm chân chẵn Hỏi có mấy gà, mấy chó? (Bài toán cổ Việt Nam) Giải Gọi số gà là x (con) (x nguyên dơng) Số chó là 36 - x (con) Số chân gà là 2x (chân) Số chân chó là 4(36 - x) (chân) Theo bài ra ta có phơng trình: 2x + 4(36 - x) = 100 x = 22 Vậy số gà là 22 con, số chó là 14 con. Với cách giải trên, bài toán ngắn gọn, dễ hiểu, phù hợp với trình độ của học sinh. * Biện pháp 5: Lời giải phải trình bày khoa học. Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành 2 đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác. (Đại số 9) Trớc khi giải cần kiểm tra kiến thức của học sinh để củng cố công thức: AH 2 = BH.CH Giải Gọi độ cạnh BH là x (x > 0) Độ dài cạnh CH là: x 5,6 (m) Ta có pt: x(x + 5,6) = 9,6 2 . x = 7,2 (TMĐK) Vậy độ dài cạnh huyền là: 7,2 + 5,6 + 7,2 = 20 (m). * Biện pháp 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ, có thể nên thử lại. Giáo viên cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hiểu hết các nghiệm của bài toán, nhất là đối với phơng trình bậc hai, hệ phơng trình. Ví dụ 6: Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 80km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc tàu thuỷ khi nớc yên lặng. Biết vận tốc dòng nớc là 4km/h. Giải Gọi vận tốc tàu thuỷ khi nớc yên lặng là x (km/h) (x>0) Vận tốc tàu thuỷ khi xuôi dòng là x + 4 (km/h) Vận tốc của tàu thuỷ khi ngợc dòng là x - 4 (km/h) Theo bài ra ta có phơng trình: 3 25 4 80 4 80 = + + xx 5x 2 96x 80 = 0 x 1 = 10 8 (không thoả mãn) x 2 = 20 (nhận) Vậy vận tốc tàu thuỷ khi nớc yên lặng là 20 km/h * Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình. 1/ Loại bài toán về chuyển động. 2/ Loại bài toán có liên quan đến số học. 3/ Loại bài toán về năng suất lao động. 4/ Loại bài toán về tỉ lệ chia phần. 5/ Loại bài toán có liên quan đến hình học. 6/ Loại toán về công việc làm chung, làm riêng. 7/ Loại bài toán có nội dung Lí, Hoá. 8/ Loại toán có chứa tham số. 9/ Loại toán thống kê, mô tả. Giáo viên hớng dẫn học sinh giải một số bài toán. 1. Dạng toán chuyển động: - Bài toán 1: Quãng đờng AB dài 270km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B. Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc mỗi xe. (Đại số 9) Trong bài toán này cần hớng dẫn học sinh xác định đợc vận tốc của mỗi xe, từ đó xác định thời gian đi hết quãng đờng của mỗi xe. Giải Gọi vận tốc xe thứ nhất là x (km/h) (x > 12) Vận tốc xe thứ hai là x - 12 (km/h) Theo bài ra ta có phơng trình: 7,0 270 12 270 = xx x 1 = -62,3 < 0 (loại) x 2 = 74, 3 (nhận) Vậy vận tốc xe thứ nhất là 74,3 km/h vận tốc xe thứ nhất là 62,3 km/h Trong bài toán này, học sinh cần ghi nhớ công thức: S = v.t 2. Dạng bài toán liên quan đến số học: - Bài toán 2: Tìm số có 2 chữ số. Biết rằng nếu thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì đợc số mới lớn hơn số ban đầu 10. Và tổng chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 7. Giải Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x (x N*, 0 < x 7) Thì chữ số hàng đơn vị là 7 - x Số đã cho có dạng: x(7 - x) = 10x + 7 - x = 9x + 7 Số mới có dạng: x0(7 - x) = 100x + 7 - x = 99x + 7 Ta có phơng trình: (99x + 7) - (9x + 7) = 180 x = 2 (TMĐK) Vậy số đã cho là 25. Giáo viên lu ý: Với dạng này học sinh phải hiểu đợc mối liên hệ giữa các đại lợng, đặc biệt giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, ab = 10a + b, abc = 100a + 10b + c 3. Dạng toán về năng suất lao động. - Bài toán 3: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất đợc 400 chi tiết. Trong tháng sau, tổ 1 vợt mức 10%, tổ 2 vợt mức 15%, nên cả hai tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy. Tính xem trong tháng đầu tiên mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy. Giải Cách 1: Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất đợc trong tháng đầu (0<x<400) Tổ 2 sản xuất đợc 400 - x (chi tiết) Tháng sau tổ 1 sản xuất đợc 100 110x (chi tiết) Tổ 2 sản xuất đợc: 100 )400(115 x (chi tiết) Ta có phơng trình: 100 110x + 100 )400(115 x = 448 x = 240 (TMĐK) Trả lời: Tháng đầu tổ 1 sản xuất đợc 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất đợc 160 chi tiết máy. Cách 2: Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất đợc trong tháng đầu (0<x<400) Số chi tiết tổ 2 làm đợc trong tháng đầu là y chi tiết (0<y<400) Ta có phơng trình: x + y = 400 (1) Số chi tiết máy làm tăng đợc ở tổ 1 là: 100 10x chi tiết. Số chi tiết máy làm tăng đợc ở tổ 2 là: 100 15y chi tiết. Số chi tiết máy làm tăng đợc của 2 tổ là: 448 - 400 = 48 chi tiết. Ta có phơng trình: 100 10x + 100 15y = 48 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình: =+ =+ 48 100 15 100 10 400 yx yx Giải hệ ta có: x = 240; y= 160. Trả lời: Tháng đầu tổ 1 sản xuất đợc 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất đợc 160 chi tiết máy. Với loại toán liên quan đến tỉ lệ %, giáo viên cần gợi mở để học sinh hiểu rõ bản chất và nội dung của bài toán để lập đợc phơng trình. 4. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng. - Bài toán 1 (SGK Đại số 8) Hớng dẫn: Coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc. Giải Gọi số ngày đội 1 làm riêng sửa xong con mơng là x ngày (x>0) Gọi số ngày đội 2 làm riêng sửa xong con mơng là y ngày (y>0) Trong 1 ngày: Đội 1 làm đợc x 1 (cv) Đội 2 làm đợc y 1 (cv) Hai đội làm đợc: 24 1 (cv) Ta có phơng trình: x 1 + y 1 = 24 1 (1) Do năng suất đội 1 làm bằng 2 3 đội 2, nên ta có phơng trình: x 1 = 2 3 . y 1 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình: = = = =+ 60 40 2 31 24 111 y x yx yx 5. Dạng toán có nội dung Lí, Hoá. - Bài toán: Cho một lợng dung dịch chứa 10% muối. Nếu pha thêm 200g nớc thì thu đợc dung dịch 6%. Hỏi có bao nhiêu g dung dịch đã cho. (SGK 8). Giải: Gọi khối lợng dung dịch đã cho là x(g), (x>0). Lợng muối trong dung dịch là: )( 10100 10 g xx = . Lợng dung dịch muối là : x+200(g). Tỉ số giữa muối và lợng dung dịch mới là: )200(10 + x x Theo bài ra ta có phơng trình: 100 6 )200(10 = + x x X=300(TMĐK). Vậy khối lợng dung dịch đã cho là: 300g. Với dạng này học sinh phải nắm đợc các công thức của Vật lý, Hoá học, từ đó lập phơng trình, hệ phơng trình. 6. Dạng toán có chứa tham số. Một hình tròn có diện tích S = 3,14 R 2 .(R là bán kính) a. Khi R tăng 2 lần thì S tăng mấy lần. Khi R giảm 3 lần thì S giảm mấy lần. b.Khi S tăng 4 lần thì R tăng mấy lần. Khi S giảm 16 lần thì R giảm mấy lần. Giải Khi R1 = a thì S 1 = 3,14 a 2 . a. Nếu R tăng 2 lần: R 2 = 2R 1 = 2a. S2 = 3,14 (2a) 2 = 4.3,14a 2 S 2 = 4S 1 . Vậy S tăng lên 4 lần. b. Nếu S tăng lên 4 lần tức là S 4 = 4S 1 . 3,14R 4 2 = 4.3,14R 1 . R 4 = R 1 . R tăng 2 lần. III. Kết luận: Trên đây là những dạng toán thờng gặp ở chơng trình THCS 8, 9. Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau, việc chia dạng trên chủ yếu dựa vào lời văn nhng chúng đều chung nhau các bớc giải cơ bản, đó là các loại phơng trình, hệ phơng trình các em đã đợc học ở THCS. Những ví dụ trên không có ý là hớng dẫn cách giải các phơng trình, hệ phơng trình mà chủ yếu gợi ý giúp các em xây dựng đợc phơng trình cơ bản để khi gặp đợc các dạng đó các em biết cách làm. Trên đây là một số ý kiến của tôi về rèn luyện kỹ năng bằng giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình mà các em thờng gặp. Tuy nhiên còn rất nhiều thiếu sót và hạn chế, mong nhận đợc góp ý của các đồng nghiệp để tôi có một phơng pháp dạy tốt hơn nữa, giúp học sinh tiếp thu bài tốt hơn. Tôi xin chân thành cám ơn! Giao Hà, ngày 30 tháng 9 năm 2005 Ngời viết . bài toán giải bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình. 1/ Loại bài toán về chuyển động. 2/ Loại bài toán có liên quan đến số học. 3/ Loại bài toán. toán, quy tắc giải bài toán bằng cách lập ph- ơng trình, phân loại các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lợng dẫn đến lập đợc phơng trình dễ dàng.