SKKN Giai bai toan bang cach lap phuong trinh.doc

- Trong hệ thống kiến thức Toán THCS nói chung, giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình và hệ phph-ơng trình giữ vị trí khá quan trọng, là một trong những dạng bài điển hình của chơng t

Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/

phần thứ nhất: đặt vấn đề

I Lí do chọn đề tài.

1 Cơ sở lí luận.

- Trong hệ thống kiến thức Toán THCS nói chung, giải bài toán bằng cách lập

ph-ơng trình và hệ phph-ơng trình giữ vị trí khá quan trọng, là một trong những dạng bài

điển hình của chơng trình Đại số THCS Đây là dạng bài cơ bản trong các kì thi khảo sát chất lợng, tốt nghiệp THCS trớc đây và thi vào THPT Dạng toán này đợc đề cập xuyên suốt trong chơng trình toán từ lớp 7 đến lớp 9

- Qua dạng bài này, học sinh thấy đợc cơ sở thực tiễn của Toán học, thấy đợc tầm quan trọng của việc giải phơng trình và ý nghĩa của Toán học đối với cuộc sống Từ

đó hình thành kỹ năng gắn những kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề thực tế, phát huy tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh

2 Cơ sở thực tiễn.

Qua quá trình giảng dạy, tôi thấy còn tồn tại thực trạng sau:

- Đứng trớc bài toán, nhiều học sinh rất lúng túng, không biết phân tích bài toán nh thế nào, phải bắt đầu từ đâu, chọn ẩn nh thế nào, liên hệ, sử dụng những điều kiện đã cho để lập phơng trình ra sao?

- Suy nghĩ hời hợt, máy móc, không biết rút kinh nghiệm về bài vừa học, vừa giải nên thờng lúng túng trớc những vấn đề khác đôi chút với vấn đề quen thuộc

-Trong thời kỳ bùng nổ thông tin hiện nay, t duy toán học thuần tuý, khả năng xử lí các công thức của học sinh rất tốt, nhng khả năng hiểu nhanh, chính xác các số liệu, các mối quan hệ giữa các số liệu đợc cho bằng lời của các em lại gặp rất nhiều khó khăn Thờng các em rất ngại lập luận, phân tích từng câu, chữ trong đề bài mà chỉ cốt

đọc đợc phơng trình để giải

Chính vì vậy, học sinh thờng rất sợ khi phải giải bài toán bằng cách lập phơng trình

và hệ phơng trình mặc dù kĩ năng giải phơng trình của các em khá tốt

II mục đích, giới hạn, nhiệm vụ của đề tài.

1 Mục đích chọn đề tài.

Xuất phát từ những cơ sở trên, tôi nhận thấy trong quá trình giảng dạy dạng bài này, ngời giáo viên cần phải nghiên cứu, chọn lựa các dạng bài phù hợp, tạo cho các em lòng ham mê, yêu thích học tập bằng cách su tầm các bài toán có nội dung nhẹ nhàng, hình thức thể hiện hấp dẫn nh các bài toán cổ; hoặc từ các bài toán cơ bản, đơn giản

phát triển thành các bài phức tạp hơn, giúp học sinh nâng cao dần t duy, hình thành kỹ năng phân tích đề bài, giải bài tập Từ đó các em không còn cảm giác lúng túng, e ngại khi phải giải quyết các bài toán cho dới dạng lời văn

Đây chính là mục đích mà tôi tiến hành nghiên cứu chuyên đề nhỏ này

2 Giới hạn đề tài

Việc nghiên cứu, phân loại và tìm lời giải cho tất cả các dạng bài toán giải bằng cách lập phơng trình ( bậc nhất hoặc bậc hai ), hệ phơng trình là công rất việc khó khăn, đòi hỏi thời gian và quy mô nghiên cứu rộng lớn

Trong phạm vi bài viết này, tôi chỉ xin đề cập đến việc phân loại và giải dạng bài

"Giải bài toán bằng cách lập phơng trình" trong chơng trình Đại số 8

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Chuyên đề này thực hiện các nhiệm vụ sau:

- Giới thiệu và phân loại một số dạng bài giải bằng cách lập phơng trình :

+ Các bài toán dân gian, các bài toán cổ

+ Dạng toán có liên quan đến chuyển động

+ Dạng toán về công việc dự định và thực tế làm

+ Loại toán tìm số

+ Một số bài toán khác

- Phân tích, tìm lời giải cho các bài toán Đặc biệt là phân tích, xây dựng và phát triển dạng bài có liên quan đến chuyển động, công việc dự định và thực tế làm

Phần thứ hai: Giải quyết vấn đề

A.Các kiến thức cần ghi nhớ

1 Giải các dạng phơng trình

Công việc vô cùng quan trọng, không thể thiếu khi giải bài toán bằng cách lập

ph-ơng trình là giải phph-ơng trình Vì vậy, học sinh cần nắm chắc phph-ơng pháp giải các dạng phơng trình: phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình tích, phơng trình chứa ẩn ở mẫu…

2 Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình.

Bớc 1: Lập phơng trình

- Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho cho ẩn số;

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết;

- Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng

Bớc 2: Giải phơng trình.

Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phơng trình, nghiệm nào

thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận

3 Các kiến thức liên quan

- Các công thức chuyển động

v s, s = v.t , t = s



- Các công thức về nhiệt lợng

Qtỏa = Qthu , Q = m.c.Δt

-Một số công thức khác

+ Công thức về cấu tạo số: abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d

+ Công thức về công việc làm:

Khối lợng công việc = Năng suất x Thời gian

v.v…

B nội dung

I Các bài toán cổ

Do đặc điểm tâm, sinh lý của học sinh, các em thờng tỏ ra yêu thích, tò mò, muốn khám phá, tìm hiểu những vấn đề, những bài toán đa ra dới hình thức đặc biệt nh thơ hoặc gắn với các truyền thuyết từ xa xa Vì thế, khi giảng dạy dạng bài "Giải bài toán bằng cách lập phơng trình" không thể không giới thiệu các bài toán cổ

Sau đây là một số bài toán quen thuộc

Bài toán 1: Bài toán ghi trên mộ nhà toán học Điôphăng của Hy Lạp

Thời thơ ấu của ông chiếm 1

6 cuộc đời 1

12cuộc đời tiếp theo là thời thanh niên sôi nổi

Thêm 1

7 cuộc đời nữa ông sống độc thân Sau khi lập gia đình đợc 5 năm thì sinh một con trai Nhng số mệnh chỉ cho con sống bằng nửa đời cha

Ông đã từ trần 4 năm sau khi con mất

Điôphăng sống bao nhiêu tuổi, tính cho ra?

Hớng dẫn: Gọi x là tuổi thọ của ông(x > 0) ta có phơng trình

1x + 1 x + 1 x + 5 + 1 x + 4 = x

 x = 84 Vậy Điôphăng thọ 84 tuổi

Bài toán 2: Acsimet và chiếc vơng miện của nhà vua.

Vào thế kỷ III trớc công nguyên, vua xứ Xirut nghi ngờ tên thợ kim hoàn nên đã giao cho Acsimet kiểm tra xem chiếc vơng miện bằng vàng của nhà vua có bị pha thêm bạc hay không? Chiếc mũ có trọng lợng 5N, khi nhúng vào nớc trọng lợng giảm 0,3N Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam vàng, gam bạc? Biết rằng khi cân trong nớc,

bạc giảm 1

10 trọng lợng, vàng giảm bằng một nửa bạc

Hớng dẫn: Gọi x là trọng lợng của vàng trong mũ ( x > 0)

 Trọng lợng của bạc trong mũ là 5 – x

Ta có phơng trình

x + 5 - x = 0,3

 x = 4 (N)

Vậy chiếc vơng miện chứa 400g vàng, 100g bạc

Bài toán 3:

Buổi sáng mặt trời ló ngọn tre Chị em đi hái mấy giỏ chè Mỗi ngời một giỏ thừa 3 giỏ Nhanh tay ta hái kẻo nắng hè

Ví thử hái nhanh thêm giỏ nữa Mỗi ngời hai giỏ tiện đờng chia Hai anh làm rẫy bên sờn núi Mấy chị ra đi, mấy giỏ chè?

Hớng dẫn: Gọi x là số ngời đi hái chè ( x > 0, x Z)

Ta có phơng trình

x + 4 = 2x

 x = 4

Vậy có 4 chị đi hái chè và hái đợc 7 giỏ chè

Bài toán 4:

Một đàn em bé tắm bên sông ống nớc làm phao nổi bềnh bồng

Hai chú một phao thừa 7 chiếc Hai phao một chú, bốn bé không Biết cô giỏi tính xin chỉ giúp Mấy bé, mấy phao ở bến sông?

Hớng dẫn: Gọi x là số em bé (x > 0, x Z)

Ta có phơng trình

1x + 7 = 2(x - 4)

2  x = 10

Vậy có 10 em bé và 12 chiếc phao

Bài toán 5:

Quýt, cam 17 quả tơi

Đem chia cho 100 ngời cùng vui Chia 3 mỗi quả quýt rồi

Còn cam mỗi quả chia 10 vừa xinh Trăm ngời trăm miếng ngọt lành Quýt, cam mấy quả rõ rành hỡi cô?

Hớng dẫn: Gọi x là số quả quýt (x > 0, x Z)

 số quả cam là 17 – x

Lập luận ta dẫn đén phơng trình

3x + ( 17 – x ).10 = 100

 x = 7

Đáp số: 7 quả quýt, 10 quả cam

Bài toán 6:

Một nông dân mang cam ra chợ bán, bán cho ngời khách thứ nhất 1

2 số cam và

1 2

quả, bán cho ngời khách thứ hai 1

2 số cam còn lại và thêm

1

2 quả Bán cho ngời khách

thứ ba 1

2 số còn lại và thêm

1

2 quả…cứ nh vậy cho đến khi ngời khách thứ 6 mua xong thì số cam vừa hết Tính tổng số cam mà ngời nông dân đem ra chợ bán

Bài toán 7: ( Bài toán bò ăn cỏ của Niu-tơn)

Một cánh đồng cỏ mọc dầy nh nhau, cỏ luôn mọc đều nh nhau trên toàn bộ cánh

đồng Biết rằng 12 con bò ăn hết cỏ trên 10

3 acrơ đồng cỏ trong 4 tuần, 21 con bò ăn hết cỏ trên 10 acrơ đồng cỏ trong 9 tuần Hỏi bao nhiêu con bò ăn hết cỏ trên 24 acrơ

đồng cỏ trong 18 tuần ( 1 acrơ = 4047m2 )

II Loại toán chuyển động

1 Bài toán cơ bản.

Bài toán 1.1:

Một ngời đi từ A đến B hết 3 giờ 30 phút rồi lại đi từ B trở về A hết 2 giờ 30 phút Tính chiều dài quãng đờng AB biết vận tốc về lớn hơn vận tốc lúc đi là 20 km/h

Hớng suy nghĩ: Đây là bài tập về chuyển động đều.

-Các số liệu đã biết: Thời gian đi, thời gian về, hiệu hai vận tốc lúc đi và về

-Các số liẹu cha biết: Vận tốc lúc đi, vận tốc lúc về, chiều dài quãng đờng

-Quan hệ giữa các đại lợng: S = v t

-Ta cần tính chiều dài AB nên ta có thể chọn ẩn x là chiều dài quãng đờng AB rồi dùng ẩn x và các số liệu đã biết để biểu thị các số liệu cha biết Trên cơ sở đó lập

ph-ơng trình biểu thị sự tph-ơng quan giữa các đại lợng

Lời giải:

Ta đổi 3 giờ 30 phút = 3,5 giờ; 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ

Gọi chiều dài đoạn đờng AB là x km ( x > 0 )

 Vận tốc lúc đi là x

3,5(km/h)

Vận tốc lúc về là x

2,5(km/h) Vì vận tốc lúc về lớn hơn vận tốc lúc đi là 20 km/h nên ta có phơng trình

 3,5x – 2,5x = 20 2,5 3,5

 x = 175

x = 175 thoả mãn điều kiện

Vậy quãng đờng AB dài 175 km.

Nhận xét: Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách chọn ẩn là vận tốc lúc đi hoặc

về Tuy nhiên bài toán yêu cầu tìm đại lợng nào thì nên chọn đại lợng ấy làm ẩn

Bài toán 2.1

Sân bay Nội Bài cách sân bay Đà Nẵng 600 km Hai máy bay từ hai sân bay này cất

cánh đồng thời và bay ngợc chiều nhau Sau 1

2giờ chúng gặp nhau Tính vận tốc của mỗi máy bay biết rằng vận tốc của một trong hai máy bay gấp đôi vận tốc của máy bay kia

Hớng suy nhgĩ: Đây là dạng bài tập liên quan đến thời gian để hai vật cùng chiều

đuổi kịp nhau, hoặc hai vật ngợc chiều gặp nhau

Tr ờng hợp 1 : Hai vật chuyển động ngợc chiều

 Thời gian để hai vật gặp nhau là:

1 2

s

t =

v + v

Tr

ờng hợp 2: Hai vật chuyển động cùng chiều

 Thời gian để hai vật gặp nhau là:

1 2

s

t =

v - v

Lời giải: Gọi vận tốc của máy bay thứ nhất là x km/h ( x > 0)

 Vận tốc của máy bay thứ hai là 2x(km/h)

Thời gian để hai máy bay gặp nhau là 600

x2x(h)

Sau 1

2 giờ hai máy bay gặp nhau nên ta có phơng trình

600 = 1

x + 2x 2  1200 = 3x

 x = 400 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc của máy bay thứ nhất là 400 km/h

Vận tốc của máy bay thứ hai là 2.400=800 (km/h)

2.Từ hai bài toán cơ bản trên ta có thể phát triển thành các bài toán sau:

a, Từ bài toán 1.1 ta có các bài toán sau:

Bài toán 1.2:

Một ôtô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng mất 21

2giờ Nếu nó đi với vận tốc nhỏ hơn

10 km/h so với lúc trớc thì nó sẽ đi mất nhiều thời gian hơn là 5

6 giờ Tính quãng đờng

Hà Nội – Hải Phòng

Hớng suy nghĩ: Thực chất bài này hoàn toàn tơng tự bài 1.1, cũng biết đợc thời

gian lúc đi và lúc về, hiệu vận tốc lúc đi và lúc về(tuy đề bài không cho trực tiếp nh bài 1.1)

Bài toán 1.3:

Anh T lái xe ôtô khởi hành từ A lúc 6 giờ 15 phút với vận tốc trung bình 50 km/h.

Đến B liên hệ công tác trong thời gian 1 giờ 30 phút rồi trở về A với vận tốc trung bình

40 km/h và về đén A lúc 14 giờ 30 phút Hỏi quãng đờng AB dài bao nhiêu km?

Hớng suy nghĩ: Bài 1.2 cũng yêu cầu tính chiều dài quãng đờng AB, nhng ở bài 1.1

cho thời gian đi, thời gian về và hiệu vận tốc lúc đi và lúc về, còn ở bài này thì cho vận tốc lúc đi, vận tốc lúc về và thời gian cho dới dạng phức tạp hơn, đòi hỏi học sinh phải

t duy cao hơn

Hớng dẫn: Gọi chiều dài quãng đờng AB là x km ( x > 0)

Ta sẽ lập đợc phơng trình : x + x = 63

Kết quả x= 150 km

Bài toán 1.4:

Một ôtô đi trên đoạn đờng AB gồm một đoạn đờng đá và một đoạn đờng nhựa.

Trên đoạn đờng đá xe đi với vận tốc 30 km/h Trên đoạn đờng nhựa, vận tốc của xe là

45 km/h Biết rằng đoạn đờng đá chỉ bằng 2

3đoạn đờng nhựa và thời gian xe đi cả

đoạn đờng AB là 4 giờ Tính chiều dài quãng đờng AB

Bài toán1.5:

Quãng đờng từ A đến B gồm đoạn đờng lên dốc AC, đoạn đờng nằm ngang CD,

đoạn đờng xuống dốc DB, tổng cộng dài 30 km Một ngời đi từ A đến B rồi đi từ B trở

về A hết tất cả 4 giờ 25 phút Tính quãng đờng nằm ngang biết rằng vận tốc lên dốc là

10 km/h, vận tốc xuống dốc là 20 km/h, vận tốc trên đoạn đờng nằm ngang là 20 km/h

b, Từ bài toán 2.1 ta có các bài toán tơng tự sau:

Bài toán 2.2:

Anh Hà đi xe đạp, anh Sơn đi xe máy và anh Bình đi ôtô cùng khởi hành từ địa điểm

A và đi cùng chiều theo thứ tự vào lúc 6 giờ, 7 giờ, 8 giờ Vận tốc trung bình của họ theo thứ tự là 10km/h, 30km/h, 40km/h Hỏi đến mấy giờ thì anh Bình cách đều anh

Hà và anh Sơn?

Hớng suy nghĩ: Ta có hình vẽ sau

A anh Hà anh Bình anh Sơn

- Gọi x là thời gian để anh Bình đi đến vị trí cách đều anh Hà và anh Sơn

Ta sẽ lập đợc phơng trình sau:

40x – 10( x + 2) = 30(x + 1) – 40x

Giải phơng trình đợc x = 1,25 (giờ)

Bài toán 2.3:

Lúc 8 giờ An rời nhà mình để đến nhà Bích với vận tốc 4 km/h Lúc 8 giờ 20 phút Bích cũng rời khỏi nhà mình để đến nhà An với vận tốc 3 km/h An gặp Bích trên đ-ờng, cả hai cùng quay về nhà Bích Khi trở về nhà mình, An tính ra rằng quãng đờng mình đi dài gấp 4 lần quãng đờng Bích đã đi Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bích

3 Chú ý:

Ngoài ẩn đã chọn, đôi khi ngời ta còn biểu thị cả những đại lợng cha biết khác bằng chữ để lời giải gọn gàng, dễ hiểu hơn Điều lý thú là các chữ đó tuy tham gia vào quá trình giải nhng chúng lại không có mặt trong đáp số của bài toán

Ta xét một ví dụ sau:

Một ngời đi một nửa quãng đờng AB với vận tốc 20 km/h, đi phần đờng còn lại với vận tốc 30 km/h Tính vận tốc trung bình của ngời đó trên toàn bộ quãng đờng

Hớng giải:

Gọi vận tốc trung bình phải tìm là x km/h (x > 0)

Giả sử một nửa quãng đờng AB là a km (a > 0)

Thời gian ngời đó đi nửa quãng đờng là a

20(h)

Thời gian ngời đó đi nửa quãng đờng sau là a

30(h)

Ta có phơng trình : a + a = 2a

Đáp số x = 24 (km/h)

III Loại toán về kế hoạch dự định và thực tế đã làm.

1 Bài toán cơ bản.

Bài toán 3.1:

Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha Khi thực hiện mỗi ngày cày đợc 52

ha Vì vậy đội không những đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đợc 4

ha nữa Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch

Hớng dẫn: Giả sử diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch là x ha ( x > 0)

 Diện tích ruộng thực tế đã cày đợc là x + 4 (ha)

Thời gian đội dự định cày là x

40ngày

Thời gian thực tế đội đã cày là x + 4

52 ngày Vì đội đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày nên ta có phơng trình

x - x + 4 = 2

Giải phơng trình ta đợc x = 360 ( thoả mãn điều kiện)

Vậy diện tích ruộng phải cày theo kế hoạch là 360 ha

Chú ý: ở bài tập này học sinh rất hay nhầm thời gian thực tế đã làm là x

52ngày.

2 Từ bài toán trên ta có các bài toán sau:

Bài toán 3.2:

Anh Đông lái xe đợc giao vận chuyển gạo với mức khoán 3 tấn/ngày Nhng thực tế

anh đã chở vợt mức kế hoạch 0,5 tấn/ngày nên đã hoàn thành việc chuyên trở trớc thời hạn 1 ngày Hỏi số gạo anh Đông đợc giao chuyên trở là bao nhiêu tấn?

Hớng dẫn: Sau khi tính đợc số gạo thực tế anh Đông đã trở đợc trong 1 ngày là 3 +

0,5 = 3,5 (tấn) thì bài toán này hoàn toàn tơng tự bài toán 3.1

Ta có phơng trình :

x = x + 1