Phương pháp giải toán bằng cách lập hệ phương trình đối với bài toán công việc và vòi nước

Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI VỚI BÀI TOÁN CÔNG VIỆC VÀ VÒI NƯỚC I. MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN : Trong hệ thống kiến thức THCS nói chung, giải bài toán có lời văn giữ vị trí khá quan trọng, là một trong những dạng bài tập điển hình của chương trình đại số. Đây là các dạng toán cơ bản trong các kì thi học sinh giỏi, khảo sát chất lượng, tốt nghiệp THCS trước đây và thi vào THPT, dạng toán này được đề cập xuyên suốt trong quá trình dạy và học toán. Qua dạng toán này học sinh thấy được cơ sở lí luận của toán học, thấy được tầm quan trọng của toán có lời văn và ý nghĩa của nó đối với cuộc sống. Từ đó hình thành kĩ năng gắn kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề thực tế, phát huy tính tự giác, tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh. Qua quá trình dạy và học toán có lời văn, đặc biệt là giải bài toán bằng phương pháp lập hệ phương trình mà cụ thể là toán công việc và vòi nước là một vấn đề khó đối với học sinh và còn tồn tại nhiều thực trạng như sau: - Đứng trước bài toán, nhiều học sinh rất lúng túng, không biết phân tích bài toán như thế nào? phải bắt đầu từ đâu, chọn ẩn như thế nào? Liên hệ sử dụng những điều kiện đã cho để lập hệ phương trình ra sao? - Suy nghĩ hời hợt, máy móc, không biết rút kinh nghiệm về bài vừa học, vừa giải nên thường lúng túng trước những vấn đề khác đôi chút với vấn đề quen thuộc. - Trong thời kì bùng nổ công nghệ thông tin như hiện nay, tư duy toán học thuần túy, khả năng sử dụng các công thức toán học của học sinh rất tốt nhưng khả năng hiểu nhanh chính xác các số liệu, các mối quan hệ giữa các số liệu cho bằng lời các em lại gặp rất nhiều khó khăn. Thường các em rất ngại lập luận, phân tích từng câu, chữ trong bài để lập được hệ phương trình bài toán. Vì vậy học sinh rất sợ phải giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình đối với dạng toán này mặc dù kĩ năng giải hệ phương trình của các em khá, tốt. SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 1 Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh - Đây là dạng toán khá phức tạp, đa dạng, phải thực hiện nhiều khâu, do đó trong quá trình giảng dạy nhiều giáo viên ít đề cập đến vì sợ học sinh không hiểu bài. Chính vì vậy tôi đưa ra một số sáng kiến để giúp học sinh tiếp thu bài dễ dàng hơn, đặc biệt là phân tích bài toán, lập hệ phương trình của bài toán. Bài viết được trình bài theo hai phần: Phần I. Những vấn đề cần lưu ý khi dạy và học dạng toán này. Phần II. Trình bày một cách tổng quát các trường hợp thường gặp và phương pháp giải từng dạng, tường trường hợp. Đối với toán vòi nước cách giải tương tự như cách giải toán công việc do đó khi trình bày dạng tổng quát tôi chỉ viết toán công việc. II. PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN Sáng kiến trình bày một số dạng toán cơ bản của “toán công việc và toán vòi nước” với phương pháp giải lập hệ phương trình. Tất cả các dạng toán trên đều có trong sách giáo khoa cũng như sách bài tập toán 9 tập 2 nên tiện cho việc giảng dạy và học tập. - Giải pháp trên đã được áp dụng rộng rãi trong tổ nhóm chuyên môn toán trong nhà trường. - Dùng để dạy chuyên đề minh hoạ hoặc phù đạo học sinh yếu kém theo chủ đề bám sát. - Vì toán vòi nước và công việc là các dạng toán tương đối khó do đó có thể mở rộng sáng kiến để bồi dưỡng học sinh giỏi toán. III. MÔ TẢ SÁNG KIẾN : 1. Những vấn đề cần lưu ý khi dạy và học dạng toán này : a) Phải nắm vững kỹ thuật chuyển đổi thời gian (giờ, phút, giây) Ví dụ: 1 h 30’ = 30 1 60 h = 1 1 2 h = 3 2 h. b) Cần phân biệt ngày toán học và ngày lao động Ngày toán học có 24 giờ còn ngày lao động số giờ có thể thay đổi SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 2 Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh Ví dụ: Đội A lao động 8 h một ngày Đội B lao động 9 h một ngày c) Công thức liên hệ giữa năng suất và thời gian 1 1Nangsuatlamtrong ngay Thoigian = 1 .Nangsuatlamtrong n ngay n Thoigian = (Cần phân biệt với bài toán về năng suất: Khoiluongcongviec Nangsuat= Thoigian ) - Phương trình năng suất tổng quát: Năng suất I + năng suất II + … = Năng suất chung ⇔ 1 1 1 thoigianI thoigianII thoigianlamchung + + = - Với bài toán vòi nước, từ phương trình năng suất tổng quát, ta có thể suy ra phương trình đương đương: 1 1 1 thoigianI thoigianII thoigianlamchung ± ± = Trong đó: Dấu “–“ dùng cho vòi nước chảy ra bể Dấu “+” dùng cho vòi nước chảy vào bể. d) Nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Bước 1. Lập hệ phương trình: - Chọn hai ẩn và đặt điều kiện cho ẩn. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập hai hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải hệ phương trình nói trên. Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận. e) Đối với những dạng toán này có hai đối tượng tham gia như: hai đội, hai người, hai nhà máy, hai vòi nước,… do đó thường là gọi ẩn một cách trực tiếp (hỏi gì gọi đó). SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 3 Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh 2. Các dạng tổng quát thường gặp và phương pháp giải từng dạng: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (toán làm chung – làm riêng) - Dạng I. Hai đội, đội I và đội II cùng hoàn thành công việc trong M ngày. Nếu đội I làm trong A ngày, đội II làm trong B ngày thì cũng hoàn thành xong công việc. Hỏi nếu làm riêng (làm một mình) thì mỗi đội phải làm xong công việc trong bao lâu ? Hướng dẫn: Gọi x (ngày) là số ngày đội I làm một mình thì hoàn thành toàn bộ công việc. Gọi y (ngày) là số ngày đội II làm một mình thì hoàn thành toàn bộ công việc Điều kiện: x > M, y > M; Đối với dạng này ta chia bài toán ra hai dữ kiện Dữ kiện 1. “Hai đội, đội I và đội II cùng hoàn thành công việc trong M ngày” Một ngày đội I làm được 1 x công việc Một ngày đội II làm được 1 y công việc Một ngày cả hai làm được 1 M công việc Ta có phương trình (1): 1 1 1 x y M + = Dữ kiên 2 Để lập phương trình (2) là phần còn lại, lưu ý hai đội làm xong công việc được xem là hoàn thành xong một công việc. Đội I làm trong A ngày được: A . 1 x công việc Đội II làm trong B ngày được: B . 1 y công việc Vì đội I làm trong A ngày, đội II làm trong B ngày thì xong một công việc (số 1) SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 4 Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh Ta có phương trình (2): 1 1 1A B x y × + × = Từ phương trình (1) và (2) ta có hệ phương trình 1 1 1 1 1 1 x y M A B x y  + =     × + × =   Giải hệ phương trình, đối chiếu với các điều kiện rồi kết luận. Để cho học sinh dễ hiểu ta có thể lập bảng như sau: - Lưu ý học sinh cách lập bảng Số đội tham gia Thời gian mỗi đội làm một mình xong công việc Năng suất làm trong 1 ngày Năng suất làm trong nhiều ngày Lập bảng: Đội Thời gian mỗi đội làm một mình thì xong công việc Năng suất làm trong một ngày Năng suất làm trong nhiều ngày Đội I x 1 x 1 A x × Đội II y 1 y 1 B y × Cả hai đội M 1 M 1 Phương trình (1): 1 1 1 x y M + = Phương trình (2): 1 1 1A B x y × + × = Học sinh nhìn vào bảng dễ dàng trình bày được lời giải và biết cách lập được hệ phương trình của bài toán. - Dạng II. Dữ kiện 1 như trên SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 5 Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh Dữ kiện 2 thay bằng : Đội I làm trong C ngày, đội II làm trong D ngày thì hoàn thành được H% công việc ( hoặc hoàn thành K phần công việc) Lập bảng: Đội Thời gian mỗi đội làm một mình thì xong công việc Năng suất làm trong một ngày Năng suất làm trong nhiều ngày Hoặc Đội I x 1 x 1 C x × 1 C x × Đội II y 1 y 1 D y × 1 D y × Cả hai đội M 1 M H% K Phương trình (2): 1 1 %C D H x y × + × = hoặc 1 1 C D K x y × + × = Ví dụ : Bài tập 33. (SGK- trang 24) Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu? Lập bảng: Thời gian mỗi người làm một mình thì xong công việc Năng suất làm trong một giờ Năng suất làm trong nhiều giờ Người I x 1 x 1 3 x × Người II y 1 y 1 6 y × Cả hai người 16 1 16 25% Ta có hệ phương trình 1 1 1 16 1 1 3 6 25% x y x y  + =     × + × =   SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 6 Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh Bài tập 38. (SGK – trang 24) Nếu hai vòi nước cùng chãy vào một bể cạn nước (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 2 15 bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu? Lập bảng: Thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể Năng suất chảy trong một giờ Năng suất chảy trong nhiều giờ Vòi I x 1 x 1 1 6 x × Vòi II y 1 y 1 1 5 y × Cả hai vòi 1 4 1 20' 1 3 3 h h h= = 1 3 4 4 3 = 2 15 Ta có hệ phương trình 1 1 3 4 1 1 1 1 2 6 5 15 x y x y  + =     × + × =   Bài tập 44. (SBT – trang 10) Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong (vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển). Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây dựng được 3 4 bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức tường? Lập bảng Thời gian mỗi người làm một mình thì xong công việc Năng suất làm trong một giờ Năng suất làm trong nhiều giờ SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 7 Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh Người I x 1 x 1 5 x × Người II y 1 y 1 6 y × Cả hai người 1 22 7 20' 7 3 3 h h h= = 1 3 22 22 3 = 3 4 Ta có hệ phương trình 1 1 3 22 1 1 3 5 6 4 x y x y  + =     × + × =   - Dạng III. Dữ kiện (1) như trên Dữ kiện (2) thay bằng: hai đội làm chung được E ngày thì đội II điều động đi nơi khác, đội I tiếp tục làm. Trường hợp 1. Đội I làm trong F ngày nữa thì xong. Lập bảng : Đội Thời gian mỗi đội làm một mình thì xong công việc Năng suất làm trong một ngày Năng suất làm trong nhiều ngày Đội I x 1 x 1 1 E F x x × + × Đội II y 1 y 1 E y × Cả hai đội M 1 M 1 Phương trình (2): 1 1 1 1E F E x x y × + × + × = Trường hợp 2. Đội I cải tiến kỹ thuật năng suất gấp a nên chỉ hoàn thành công việc còn lại trong G ngày Lập bảng : Đội Thời gian mỗi đội làm một mình thì Năng suất làm trong một ngày Năng suất làm trong nhiều ngày SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 8 Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh xong công việc Đội I x 1 x 1 1 E G a x x × + × × Đội II y 1 y 1 E y × Cả hai đội M 1 M 1 Phương trình (2): 1 1 1 1E G a E x x y × + × × + × = hay 1 1 1 1E G a x y x   + + × × =  ÷   Ví dụ : Bài tập 45. (SGK – trang 27) Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội hai tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên? (Lưu ý: bài tập này cho đội I được điều động đi làm việc khác, đội II tiếp tục làm) Lập bảng : Đội Thời gian mỗi đội làm một mình thì xong công việc Năng suất làm trong một ngày Năng suất làm trong nhiều ngày Đội I x 1 x 1 8 x × Đội II y 1 y 1 1 8 3,5. .2 y y × + Cả hai đội 12 1 12 1 Ta có hệ phương trình 1 1 1 12 1 1 1 8 8 3,5. .2 1 x y x y y  + =     × + × + =   SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 9 Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh Trường hợp 3. Lúc đầu chỉ có đội I làm và N ngày sau đội II mới làm và làm trong Q ngày nữa thì xong. Đối với dạng toán này học sinh phải hiểu và viết khác: Đội I làm trong N ngày, đội II mới bắt đầu làm và hai đội cùng làm chung Q ngày nữa thì xong công việc Lập bảng : Đội Thời gian mỗi đội làm một mình thì xong công việc Năng suất làm trong một ngày Năng suất làm trong nhiều ngày Đội I x 1 x 1 1 N Q x x × + × Đội II y 1 y 1 Q y × Cả hai đội M 1 M 1 Phương trình (2): 1 1 1 1N Q Q x x y × + × + × = Ví dụ : Bài tập 32. (SGK - trang 23) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 4 4 5 giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 6 5 giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể? Lập bảng : Thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể Năng suất chảy trong một giờ Năng suất chảy trong nhiều giờ Vòi I x 1 x 1 6 1 9 5x x × + × Vòi II y 1 y 6 1 5 y × SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 10 [...]... kiến thức về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình đối với toán công việc và vòi nước, học sinh đã biết biến đổi thành thạo các dạng toán Không còn có tâm lí hoan man, lo sợ như trước kia khi gặp dạng toán này Bên cạnh đó một kết quả khác mà học sinh đạt được là : - Phần lớn học sinh đã say mê, hứng thú khi học và giải các bài toán có lời văn, đặc biệt đó là toán công việc và vòi nước mà học sinh... Văn Anh SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 14 Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách giáo khoa toán 9 tập II 2 Sách bài tập toán 9 tập II 3 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9 MỤC LỤC Trang I.MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 1 II.PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN 2 SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang... đó cách giải tương tự như trường hợp trên 1 1 12 Phương trình (1): 2  + ÷ =  x y  35 1 1 34 Phương trình (2): 3 ×x + 2,5 ×y = 35   1 1  12 2  + ÷ =   x y  35 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  3 ×1 + 2,5 ×1 = 1  x y  IV KẾT QUẢ VÀ HIỆU QUẢ MANG LẠI Giải pháp trên cũng đã được áp dụng giảng dạy có hiệu quả - Chưa áp dụng giải pháp SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình. .. 30,6 13 21,0 12 19,4 37 59,7 Tổng 124 5 4,0 27 21,8 37 29,8 31 25,0 24 19,4 69 55,6 Nhận xét : Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình đối với loại toán công việc và vòi nước, đa số học sinh rất sợ dạng toán này - Áp dung giải pháp : Năm học Số học sinh đạt loại Số HS Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém TB trở lên SL % SL % SL % SL % SL % SL % 2010-2011 32 3 9,4 12... giá là rất khó SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 13 Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh - Tạo cho học sinh niềm tin, niềm say mê hứng thú học toán, giúp các em phát triển tư duy logíc, óc quan sát, suy luận toán học, tính độc lập suy nghĩ Từ đó nó giúp phát triển ngôn ngữ toán học và tạo cho các em một tư thế mới vững vàng trong học tập, lao động và trong cuộc sống... Giáo viên Trần Văn Anh III.MÔ TẢ SÁNG KIẾN : 2 1 Những vấn đề cần lưu ý khi dạy và học dạng toán này 2 2 Các dạng tổng quát thường gặp và phương pháp giải từng dạng 4 IV.KẾT QUẢ VÀ HIỆU QUẢ MANG LẠI 13 V.ĐÁNH GIÁ VỀ PHẠM VI ẢNH HƯỞNG CỦA SÁNG KIẾN 14 VI.KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT 14 SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 16 ... xong trong bao lâu? Lập bảng : Đội Thời gian mỗi đội Năng suất làm Năng suất làm trong nhiều SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 11 Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh làm một mình thì trong một xong công việc ngày ngày Đội II 1 x 1 y x y 1 1 8× + 4× x x 1 4× y 1 1 10 × + 3 × x x 1 3× y 1 Đội I 1 Cả hai đội 1 1 1 12 4 1 13 3 Dữ kiện 1 ta có phương trình (1): 8 ×x + 4... Anh 1 5 = 4 24 4 5 4 4 5 vòi 1 1 1 5  x + y = 24  Ta có hệ phương trình  9 ×1 + 6 ×1 + 6 1 = 1  x 5 x 5 y  Bài tập 45 (SBT – trang 10) Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong bốn ngày thì xong việc Nếu người thứ nhất làm trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc? Lập bảng : Thời gian mỗi... kĩ phương pháp giải, phân loại từng dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ năng giải nhanh các bài toán có dạng tương tự, đặt ra nhiều vấn đề mới, nhiếu bài toán mới VI KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT - Cần được đầu tư trang thiết bị(máy chiếu, phương tiện khác )để giảng dạy - Sáng kiến cần được bảo lưu, triển khai thực hiện nhằm rút ra những kinh nghiệm để ứng dụng vào thực tiển ngày đạt hiệu quả hơn Việc. .. II Năng suất làm 1 4 xong công việc Năng suất làm 1 x 1 y làm một mình thì y Cả hai 4 người 1 1 1 x + y = 4  Ta có hệ phương trình  9 ×1 + 1 + 1 = 1  x x y  - Dạng IV Đây là dạng toán mà dữ kiên 1 và dữ kiện 2 là tương đương nhau Ví dụ : Hai đội công nhân cùng làm chung một đoạn đường Nếu đội I làm 8 ngày và đội II làm thêm 4 ngày nữa thì xong Nếu đội I làm 10 ngày và đội II cùng làm thêm 3 . Anh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI VỚI BÀI TOÁN CÔNG VIỆC VÀ VÒI NƯỚC I. MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN : Trong hệ thống kiến thức THCS nói chung, giải bài toán. em rất ngại lập luận, phân tích từng câu, chữ trong bài để lập được hệ phương trình bài toán. Vì vậy học sinh rất sợ phải giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình đối với dạng toán này mặc. thường gặp và phương pháp giải từng dạng, tường trường hợp. Đối với toán vòi nước cách giải tương tự như cách giải toán công việc do đó khi trình bày dạng tổng quát tôi chỉ viết toán công việc. II.