Phương pháp giải toán bằng cách lập hệ phương trình đối với bài toán công việc và vòi nước

Qua quá trình dạy và học toán có lời văn, đặc biệt là giải bài toán bằng phương pháp lập hệ phương trình mà cụ thể là toán công việc và vòi nước là một vấn đề khó đối với học sinh và còn

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ĐỐI VỚI BÀI TOÁN CÔNG VIỆC VÀ VÒI NƯỚC

I MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN :

Trong hệ thống kiến thức THCS nói chung, giải bài toán có lời văn giữ vị trí khá quan trọng, là một trong những dạng bài tập điển hình của chương trình đại

số Đây là các dạng toán cơ bản trong các kì thi học sinh giỏi, khảo sát chất lượng, tốt nghiệp THCS trước đây và thi vào THPT, dạng toán này được đề cập xuyên suốt trong quá trình dạy và học toán Qua dạng toán này học sinh thấy được cơ sở lí luận của toán học, thấy được tầm quan trọng của toán có lời văn

và ý nghĩa của nó đối với cuộc sống Từ đó hình thành kĩ năng gắn kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề thực tế, phát huy tính tự giác, tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh

Qua quá trình dạy và học toán có lời văn, đặc biệt là giải bài toán bằng phương pháp lập hệ phương trình mà cụ thể là toán công việc và vòi nước là một vấn đề khó đối với học sinh và còn tồn tại nhiều thực trạng như sau:

- Đứng trước bài toán, nhiều học sinh rất lúng túng, không biết phân tích bài toán như thế nào? phải bắt đầu từ đâu, chọn ẩn như thế nào? Liên hệ sử dụng những điều kiện đã cho để lập hệ phương trình ra sao?

- Suy nghĩ hời hợt, máy móc, không biết rút kinh nghiệm về bài vừa học, vừa giải nên thường lúng túng trước những vấn đề khác đôi chút với vấn đề quen thuộc

- Trong thời kì bùng nổ công nghệ thông tin như hiện nay, tư duy toán học thuần túy, khả năng sử dụng các công thức toán học của học sinh rất tốt nhưng khả năng hiểu nhanh chính xác các số liệu, các mối quan hệ giữa các số liệu cho bằng lời các em lại gặp rất nhiều khó khăn Thường các em rất ngại lập luận, phân tích từng câu, chữ trong bài để lập được hệ phương trình bài toán Vì vậy học sinh rất sợ phải giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình đối với dạng toán này mặc dù kĩ năng giải hệ phương trình của các em khá, tốt

- Đây là dạng toán khá phức tạp, đa dạng, phải thực hiện nhiều khâu, do đó trong quá trình giảng dạy nhiều giáo viên ít đề cập đến vì sợ học sinh không hiểu bài

Chính vì vậy tôi đưa ra một số sáng kiến để giúp học sinh tiếp thu bài dễ

dàng hơn, đặc biệt là phân tích bài toán, lập hệ phương trình của bài toán.

Bài viết được trình bài theo hai phần:

Phần I Những vấn đề cần lưu ý khi dạy và học dạng toán này

Phần II Trình bày một cách tổng quát các trường hợp thường gặp và phương pháp giải từng dạng, tường trường hợp

Đối với toán vòi nước cách giải tương tự như cách giải toán công việc do đó khi trình bày dạng tổng quát tôi chỉ viết toán công việc.

II PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN

Sáng kiến trình bày một số dạng toán cơ bản của “toán công việc và toán vòi nước” với phương pháp giải lập hệ phương trình Tất cả các dạng toán trên đều

có trong sách giáo khoa cũng như sách bài tập toán 9 tập 2 nên tiện cho việc giảng dạy và học tập

- Giải pháp trên đã được áp dụng rộng rãi trong tổ nhóm chuyên môn toán trong nhà trường

- Dùng để dạy chuyên đề minh hoạ hoặc phù đạo học sinh yếu kém theo chủ

đề bám sát

- Vì toán vòi nước và công việc là các dạng toán tương đối khó do đó có thể

mở rộng sáng kiến để bồi dưỡng học sinh giỏi toán

III MÔ TẢ SÁNG KIẾN :

1 Những vấn đề cần lưu ý khi dạy và học dạng toán này :

a) Phải nắm vững kỹ thuật chuyển đổi thời gian (giờ, phút, giây)

Ví dụ: 1h30’ = 130

60h = 11

2h = 3

2h

b) Cần phân biệt ngày toán học và ngày lao động

Ngày toán học có 24 giờ còn ngày lao động số giờ có thể thay đổi

Ví dụ: Đội A lao động 8 h một ngày

Đội B lao động 9 h một ngày

c) Công thức liên hệ giữa năng suất và thời gian

Nangsuatlamtrong 1 ngay 1

Thoigian



Nangsuatlamtrong n ngay n. 1

Thoigian



(Cần phân biệt với bài toán về năng suất: Nangsuat=Khoiluongcongviec

Thoigian )

- Phương trình năng suất tổng quát:

Năng suất I + năng suất II + … = Năng suất chung

thoigianI thoigianII  thoigianlamchung

- Với bài toán vòi nước, từ phương trình năng suất tổng quát, ta có thể suy ra phương trình đương đương:

1 1 1

thoigianI thoigianII  thoigianlamchung

Trong đó: Dấu “–“ dùng cho vòi nước chảy ra bể

Dấu “+” dùng cho vòi nước chảy vào bể

d) Nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1 Lập hệ phương trình:

- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập hai hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2 Giải hệ phương trình nói trên

Bước 3 Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

e) Đối với những dạng toán này có hai đối tượng tham gia như: hai đội, hai người, hai nhà máy, hai vòi nước,… do đó thường là gọi ẩn một cách trực tiếp (hỏi gì gọi đó)

2 Các dạng tổng quát thường gặp và phương pháp giải từng dạng:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (toán làm chung – làm riêng)

- Dạng I Hai đội, đội I và đội II cùng hoàn thành công việc trong M ngày.

Nếu đội I làm trong A ngày, đội II làm trong B ngày thì cũng hoàn thành xong công việc

Hỏi nếu làm riêng (làm một mình) thì mỗi đội phải làm xong công việc trong bao lâu ?

Hướng dẫn:

Gọi x (ngày) là số ngày đội I làm một mình thì hoàn thành toàn bộ công việc Gọi y (ngày) là số ngày đội II làm một mình thì hoàn thành toàn bộ công việc

Điều kiện: x > M, y > M;

Đối với dạng này ta chia bài toán ra hai dữ kiện

Dữ kiện 1 “Hai đội, đội I và đội II cùng hoàn thành công việc trong M ngày”

Một ngày đội I làm được 1

xcông việc Một ngày đội II làm được 1y công việc

Một ngày cả hai làm được 1

M công việc

Ta có phương trình (1): 1 1x y M1

Dữ kiên 2 Để lập phương trình (2) là phần còn lại, lưu ý hai đội làm xong công việc được xem là hoàn thành xong một công việc.

Đội I làm trong A ngày được: A 1

x công việc Đội II làm trong B ngày được: B 1y công việc

Vì đội I làm trong A ngày, đội II làm trong B ngày thì xong một công việc (số 1)

Ta có phương trình (2): A 1 B 1 1

   

Từ phương trình (1) và (2) ta có hệ phương trình

1 1 1

1



 





    



Giải hệ phương trình, đối chiếu với các điều kiện rồi kết luận.

Để cho học sinh dễ hiểu ta có thể lập bảng như sau:

- Lưu ý học sinh cách lập bảng

Số đội tham gia

Thời gian mỗi đội làm một mình xong công việc

Năng suất làm trong 1 ngày

Năng suất làm trong nhiều ngày

Lập bảng:

Đội

Thời gian mỗi đội làm một mình thì xong công việc

Năng suất làm trong một ngày

Năng suất làm trong nhiều ngày

x

1

A x



y



Cả hai

1

Phương trình (1): 1 1x y M1

Phương trình (2): A 1 B 1 1

   

Học sinh nhìn vào bảng dễ dàng trình bày được lời giải và biết cách lập được hệ phương trình của bài toán.

- Dạng II.

Dữ kiện 1 như trên

Dữ kiện 2 thay bằng : Đội I làm trong C ngày, đội II làm trong D ngày thì

hoàn thành được H% công việc ( hoặc hoàn thành K phần công việc)

Lập bảng:

Đội

Thời gian mỗi đội

làm một mình thì

xong công việc

Năng suất làm trong một ngày

Năng suất làm trong nhiều

x

1

C x

C x



y

D y



Cả hai

1

Phương trình (2): C 1 D 1 H%

    hoặc C 1 D 1 K

   

Ví dụ :

Bài tập 33 (SGK- trang 24) Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16

giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Lập bảng:

Thời gian mỗi người làm một mình thì xong công

việc

Năng suất làm trong một giờ

Năng suất làm trong nhiều giờ

x

1 3

x



y



Ta có hệ phương trình

1 1 1

16

x y



 





    



Bài tập 38 (SGK – trang 24) Nếu hai vòi nước cùng chãy vào một bể cạn

nước (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút Nếu mở vòi thứ nhất

trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 2

15 bể nước Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?

Lập bảng:

Thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể

Năng suất chảy trong một giờ

Năng suất chảy trong nhiều giờ

x

1 1

6 x

Cả hai

vòi

1 20' 1

h  h h

1 3

4 4 3

15

Ta có hệ phương trình

1 1 3

4

1 1 1 1 2

x y



 





    



Bài tập 44 (SBT – trang 10) Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7

giờ 12 phút thì xong (vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển) Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây

dựng được 3

4 bức tường Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức tường?

Lập bảng

Thời gian mỗi người làm một mình thì xong công việc

Năng suất làm trong một giờ

Năng suất làm trong nhiều giờ

Người I x 1

x

1 5

x



y



Cả hai

người

1 22

7 20' 7

1 3

22 22 3

4

Ta có hệ phương trình

1 1 3

22

4

x y



 





    



- Dạng III.

Dữ kiện (1) như trên

Dữ kiện (2) thay bằng: hai đội làm chung được E ngày thì đội II điều động đi

nơi khác, đội I tiếp tục làm

Trường hợp 1 Đội I làm trong F ngày nữa thì xong.

Lập bảng :

Đội

Thời gian mỗi đội làm một mình thì xong công việc

Năng suất làm trong một ngày

Năng suất làm trong nhiều ngày

x

  

y



Cả hai

1

Phương trình (2): E 1 F 1 E 1 1

     

Trường hợp 2 Đội I cải tiến kỹ thuật năng suất gấp a nên chỉ hoàn thành

công việc còn lại trong G ngày

Lập bảng :

Đội Thời gian mỗi đội

làm một mình thì

Năng suất làm trong một ngày

Năng suất làm trong nhiều ngày

xong công việc

x

   

y



Cả hai

1

Phương trình (2): E 1 G 1 a E 1 1

       hay E 1 1 G 1 a 1

    

Ví dụ :

Bài tập 45 (SGK – trang 27) Hai đội xây dựng làm chung một công việc và

dự định hoàn thành trong 12 ngày Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, nhưng

do cải tiến cách làm, năng suất của đội hai tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

(Lưu ý: bài tập này cho đội I được điều động đi làm việc khác, đội II tiếp tục làm)

Lập bảng :

Đội

Thời gian mỗi đội làm một mình thì xong công việc

Năng suất làm trong một ngày

Năng suất làm trong nhiều ngày

x

1 8

x



 

Cả hai

1

Ta có hệ phương trình

1 1 1

12

8 8 3,5 .2 1

x y



 









Trường hợp 3 Lúc đầu chỉ có đội I làm và N ngày sau đội II mới làm và

làm trong Q ngày nữa thì xong

Đối với dạng toán này học sinh phải hiểu và viết khác: Đội I làm trong N

ngày, đội II mới bắt đầu làm và hai đội cùng làm chung Q ngày nữa thì xong công việc

Lập bảng :

Đội

Thời gian mỗi đội làm một mình thì xong công việc

Năng suất làm trong một ngày

Năng suất làm trong nhiều ngày

x

  

y



Cả hai

1

Phương trình (2): N 1 Q 1 Q 1 1

     

Ví dụ :

Bài tập 32 (SGK - trang 23) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn

(không có nước) thì sau 44

5 giờ đầy bể Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9

giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 6

5 giờ nữa mới đầy bể Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?

Lập bảng :

Thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể

Năng suất chảy trong một giờ

Năng suất chảy trong nhiều giờ

x

1 6 1 9

5

  

Cả hai

vòi

4 4 5

4 24 4

5



1

Ta có hệ phương trình

1 1 5

24

1 6 1 6 1

x y



 





     



Bài tập 45 (SBT – trang 10) Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình

trong bốn ngày thì xong việc Nếu người thứ nhất làm trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?

Lập bảng :

Thời gian mỗi người làm một mình thì xong công việc

Năng suất làm trong một ngày

Năng suất làm trong nhiều ngày

x

1 1 9

x x

 

Cả hai

1

Ta có hệ phương trình

1 1 1

4

1 1 1

x y

x x y



 





    



- Dạng IV Đây là dạng toán mà dữ kiên 1 và dữ kiện 2 là tương đương nhau.

Ví dụ : Hai đội công nhân cùng làm chung một đoạn đường Nếu đội I làm 8

ngày và đội II làm thêm 4 ngày nữa thì xong Nếu đội I làm 10 ngày và đội II cùng làm thêm 3 ngày nữa thì xong

Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì làm xong trong bao lâu?

Lập bảng :

Đội Thời gian mỗi đội Năng suất làm Năng suất làm trong nhiều

làm một mình thì

xong công việc

trong một

x

10 3

  

y

3

y



Cả hai

Dữ kiện 1 ta có phương trình (1): 8 1 4 1 4 1 1 12 4 1

        

Dữ kiện 2 ta có phương trình (2): 10 1 3 1 3.1 1 13 3 1

       

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

12 4

1

13 3

1

x y

x y



 





  



Chú ý: Dạng IV còn có các dạng tương tự như ví dụ sau : Hai máy bơm có

công suất khác nhau cùng bơm vào cánh đồng Nếu hai máy cùng bơm trong 2h

thì được 12

35 cánh đồng Nếu máy I bơm 3h , máy II bơm 2,5h thì được 34

35cánh đồng Vậy nếu bơm riêng mỗi máy phải mất bao lâu

Khi đó cách giải tương tự như trường hợp trên

Phương trình (1): 2 1 1 12

35

x y

Phương trình (2): 3 1 2,5 1 34

35

   

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

1 1 12 2

35

x y

  

  

  



    



IV KẾT QUẢ VÀ HIỆU QUẢ MANG LẠI

Giải pháp trên cũng đã được áp dụng giảng dạy có hiệu quả

- Chưa áp dụng giải pháp

Trước khi thực hiện giải pháp này, tôi thống kê điểm kiểm tra khảo sát rất thấp, cụ thể như sau :

HS

Số học sinh đạt loại

Nhận xét : Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng giải bài toán bằng cách

lập hệ phương trình đối với loại toán công việc và vòi nước, đa số học sinh rất

sợ dạng toán này

- Áp dung giải pháp :

HS

Số học sinh đạt loại

Nhận xét : Học sinh nắm vững chắc các kiến thức về giải bài toán bằng cách

lập hệ phương trình đối với toán công việc và vòi nước, học sinh đã biết biến đổi thành thạo các dạng toán Không còn có tâm lí hoan man, lo sợ như trước kia khi gặp dạng toán này

Bên cạnh đó một kết quả khác mà học sinh đạt được là :

- Phần lớn học sinh đã say mê, hứng thú khi học và giải các bài toán có lời văn, đặc biệt đó là toán công việc và vòi nước mà học sinh trước kia đánh giá là rất khó

- Tạo cho học sinh niềm tin, niềm say mê hứng thú học toán, giúp các em phát triển tư duy logíc, óc quan sát, suy luận toán học, tính độc lập suy nghĩ Từ

đó nó giúp phát triển ngôn ngữ toán học và tạo cho các em một tư thế mới vững vàng trong học tập, lao động và trong cuộc sống

V ĐÁNH GIÁ VỀ PHẠM VI ẢNH HƯỞNG CỦA SÁNG KIẾN

Sáng kiến có sự ảnh hưởng rộng rãi trong tổ, nhóm chuyên môn trong nhà trường, sáng kiến giúp học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại từng dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ năng giải nhanh các bài toán

có dạng tương tự,đặt ra nhiều vấn đề mới, nhiếu bài toán mới

VI KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT

- Cần được đầu tư trang thiết bị(máy chiếu, phương tiện khác )để giảng dạy.

- Sáng kiến cần được bảo lưu, triển khai thực hiện nhằm rút ra những kinh nghiệm để ứng dụng vào thực tiển ngày đạt hiệu quả hơn

Việc cải tiến và học môn toán nói chung và phần giải toán có lời văn nói riêng chắc sẽ không ngừng đổi mới, những vấn đề tôi đề cập trong đề tài sáng kiến này vẫn còn nhiều thiếu sót, tôi mong rằng quí thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp không ngừng đóng góp ý kiến giúp cho đề tài ngày càng hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn.

Ý kiến xác nhận Ngày 15 tháng 04 năm 2013

của thủ trưởng đơn vị Người viết

Trần Văn Anh

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa toán 9 tập II

2 Sách bài tập toán 9 tập II

3 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9

MỤC LỤC

Trang I.MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 1