tài liệu chuyên đề giải toán bằng cách lập hệ phương trình Tài Liệu được phân loại và chi dạng cụ thể chi tiết tài liệu giải chi tiết cùng các bài tập tương tự Tài liệu rất hay cần thiết cho các e học sinh lớp 9 ôn thi vào 10
ĐHSPHN Ths Lê Hải Trung GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Các bước giải tốn cách lập hệ phương trình: Bước : Lập hệ phương trình(phương trình) 1) Chọn ẩn tìm điều kiện ẩn (thơng thường ẩn đại lượng mà tốn u cầu tìm) 2) Biểu thị đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết 3) Lập hệ phương trình, (phương trình)biểu thị mối quan hệ lượng Bước : Giải hệ phương trình, (phương trình) Bước : Kết luận toán B Các dạng toán Dạng 1: Tốn chuyển động Phương pháp : Tốn chuyển động có ba đại lượng: Quãng đường Vận tốc �Thời gian Vận tốc Quãng đường : Thời gian Thời gian Quãng đường : Vận tốc Các đơn vị ba đại lượng phải phù hợp với Nếu qng đường tính ki-lơ-mét, vận tốc tính ki-lơ-mét/giờ thời gian phải tính Chú ý: Nếu hai xe ngược chiều gặp lần đầu: Thời gian hai xe nhau, Tổng quãng đường xe quãng đường cần xe Nếu hai phương tiện chuyển động chiều từ hai địa điểm khác A B, xe từ A chuyển động nhanh xe từ B xe từ A đuổi kịp xe từ B ta ln có hiệu qng đường xe từ A với quãng đường xe từ B quãng đường AB Đối với (Ca nô, tàu xuồng) chuyển động dòng nước: Ta cần ý: - Khi xi dòng: Vận tốc ca nơ= Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước - Khi ngược dòng: Vận tốc ca nơ= Vận tốc riêng - Vận tốc dòng nước - Vận tốc dòng nước vận tốc vật trôi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng vật 0) Ví dụ 1: Hai ơtơ khởi hành lúc từ tỉnh A B cách 400 km ngược chiều gặp sau 5h vận tốc xe không thay đổi xe chậm xuất phát trước xe 40 phút 2xe gặp sau 5h 22phút kể từ lúc xe chậm khởi hành Tính vận tốc xe Ví dụ 2: Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy nhanh 10km đến sớm dự định giờ, cũn xe chạy chậm Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Page ĐHSPHN Ths Lê Hải Trung lại 10km đến nơi chậm Tính vận tốc xe lúc đầu, thời gian dự định chiều dài Quãng đường AB Ví dụ : Một thuyền xuôi ngược dong khúc sông dài 40km hết 4h 30 phút Biết thời gian thuyền xi dòng 5km thời gian thuyền ngược dòng km Tính vận tốc dòng nước ? Ví dụ 4: Một xe tải xe khởi hành từ A đến B xe tải với vận tốc 40km/h xe với vận tốc 60km/h Sau xe nửa quãng đường xe nghỉ 40 phút chạy tiếp đển B Xe tải quãng đường lại tăng vận tốc thêm 10km/h đến B chậm chậm xe nửa Hãy tính quãng đường AB Ví dụ 5: Một tơ từ A đến B với vận tốc xác định thời gian định Nếu vận tốc ô tô giảm 10 km/h thời gian tăng 45 phút Nếu vận tốc tơ tăng 10 km/h thời gian giảm 30 phút Tính vận tốc thời gian dự định ơtơ? Ví dụ : Một ô tô xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đường, sau hai xe gặp Nếu chiều xuất phát địa điểm, sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe Ví dụ : Hai ca nô khởi hành từ A đến B cách 85 km ngược chiều Sau 40 phút gặp Tính vận tốc thật ca nô, biết vận tốc ca nơ xi dòng lớn vận tốc ca nơ ngược dòng km/h vận tốc dòng nước 3km/h Ví dụ : Hai Ơ tô khởi hành lúc từ A B ngược chiều Tính quãng đường AB vận tốc xe biết sau hai xe gặp điểm cách quãng đường AB 10km Nếu xe chậm tăng gấp đơi vận tốc sau 24 phút hai xe gặp ? Ví dụ :Một thuyền xi dòng , ngược dòng khúc sông dài 40km hết 4h30 phút Biết thời gian xi dòng 5km thời gian thuyền ngược dòng 4km Tính vận tốc dòng nước Dạng : Bài tốn suất Phương pháp: Loại tốn có ba đại lượng: Khối lượng công việc = Năng suất �Thời gian Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian Thời gian = Khối lượng cơng việc : Năng suất Ví dụ : Hai tổ SX may loại áo Nếu tổ thứ may ngàytổ thứ may ngày tổ may 1310 áo Biết ngày tổ Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Page ĐHSPHN Ths Lê Hải Trung may nhiều tổ thứ 10 áo.Hỏi tổ ngày may áo ? Ví dụ : Theo kế hoạch, xưởng may phải may xong 280 quần áo thời gian quy định Đến thực hiện, ngày xưởng may nhiều quần áo so với số quần áo phải may ngày theo kế hoạch Vì thế, xưởng hồn thành kế hoạch trước ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày xưởng phải may xong quần áo? Ví dụ : Một máy bơm theo kế hoạch bơm đầy nước vào bể chứa 50 m thời gian định Do người công nhân cho máy bơm hoạt động với công suất tăng thêm 5m /h Nên bơm đầy bể sớm hơ dự định 1h 40 phút Hãy tính cơng suất máy bơm theo kế hoạch ? Ví dụ : Một nhóm thợ đặt kế hoạch SX 1200 sản phẩm Trong 12 ngày đầu họ làm theo kế hoạch đề ngày lại họ làm vượt mức 20 sản phẩm ,nên hoàn thành kế hoạch sớm ngày.Theo kế hoạch ngày cần SX sản phẩm ? Ví dụ : Một đội công nhân dự định làm 120 SP thời gian định Sau làm h với suất dự kiến ,người thao tác cải tiến hợp lý nên tăng suất lên SP h người hồn thành kế hoạch sớm dự định 1h 36 phút Hãy tính suất dự kiến ? Ví dụ 6: Một tổ có kế hoạch sản suất 350 sản phẩm theo suất dự kiến Nếu tăng suất 10 SP ngày tổ hồn thành sớm ngày so với giảm suất 10 SP ngày Tính suất dự kiến Dạng : Bài toán tốn cơng việc đồng thời ( bể nướclàm chung làm riêng) Phương pháp: Để giải loại toán này, ta thường coi tồn cơng việc đơn vị Suy suất = Lập phương trình theo mẫu : Tổng suất riêng = Năng suất chung Ví dụ 1: Hai người làm cơng việc 7h 12 phút xong cơng việc người thứ làm 4h ngừơì thứ làm 3h đựơc 50% cơng việc Hỏi ngừơi làm xong Ví dụ : Hai vòi nước chảy vào bể cạn sau h48 phút đầy bể mở vòi thứ 9h sau mở vòi thứ 6/5h đầy bể Hỏi vòi chảy lâu đầy bể Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Page ĐHSPHN Ths Lê Hải Trung Ví dụ : Ở nơng trường ,có máy cày cày chung ruộng sau 2h xong Nếu máy cày riêng ruộng máy thứ cày xong trước máy 3h Tính thời gian máy cày Ví dụ : Hai vòi nước chảy vào bể 3h 45 phút đầy bể Hỏi vòi chảy lâu đầy bể ? Biết vòi thứ hai chảy lâu vòi thứ 4h Ví dụ : Hai người làm chung công việc hết 6h Nếu riêng người làm nửa cơng việc tổng số làm 12 h 30 phút Hỏi người làm xong cơng việc giờ? Dạng 4: Bài tốn toán số chữ số Phương pháp : Biểu diễn số có hai chữ số xy biểu diễn thành tổng 10 x y, x ��; x �9 y ��; �y �9 Số viết theo thứ tự ngược lại yx 10 y x Biểu diễn số có ba chữ số: abc 100a 10b c a chữ số hàng trăm a �9 , a ��, b chữ số hàng chục �b �9, b ��, c chữ số hàng đơn vị �c �9, c �� Ví dụ : Tìm số biết tổng chúng 1006 lấy số lớn chia cho số bé thương 2và số dư 124 Ví dụ : Tìm số có hai chữ số chia số cho tổng hai chữ số thương cộng tích hai chữ số với 25 số nghịch đảo Ví dụ 3: Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số cho 63 Tổng số cho số tạo thành 99 Tìm số cho Ví dụ 4: Tìm số có hai chữ số biết phân số có tử số số đó, mẫu số tích hai chữ số có phân số tối giản hiệu số cần tìm với số có chữ số với viết theo thứ tự ngược lại 27 Ví dụ : Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng đơn vị nhỏ chữ số hàng chục tích hai chữ số ln lớn tổng hai chữ số 34 Dạng : Tốn phần trăm Phương pháp: Nếu gọi số sản phẩm x số sản phẩm đội tăng a% (1 a%) x , số sản phẩm đội giảm a % (1 a %) x Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Page ĐHSPHN Ths Lê Hải Trung Ví dụ : Trong tháng đầu hai tổ SX 800 chi tiết máy sang tháng thứ tổ vượt mức 15% tổ 2vượt mức 20%do cuối tháng hai tổ SX 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu tổ SX chi tiết máy Ví dụ : Một người mua hai loại mặt hàng A B Nếu tăng giá mặt hàng Athêm 10% mặt hàng B thêm 20% người phải trả 232 nghìn đồng Nhưng giảm giá hai mặt hàng 10% người phải trả tất 180 nghìn đồng Tính giá tiền loại lúc đầu ? Ví dụ : Trong tháng hai tổ làm 900 SP sang tháng tổ làm vượt mức 15% tổ vượt mức 10% tổ làm 1010 SP Hỏi tháng tổ làm SP Dạng 6: Tốn có nội dung hình học Phương pháp : -Với hình chữ nhật: Diện tích = Chiều dài x Chiều rộng Chu vi = (Chiều dài + Chiều rộng) x -Với tam giác: Diện tích = (Đường cao x Cạnh đáy) : Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh -Với hình vng : Diện tích = bình phương cạnh Chu vi = (Chiều dài cạnh ) x -Với hình thang : Diện tích = (Độ dài đáy lớn+độ dài đáy nhỏ): chiều cao Chu vi = tổng cạnh Ví dụ : Một ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45m Tính diện tích ruộng.biết giảm chiều dài 2lần chiều rộng tăng lên 3lần chu vi ruộng khơng thay đổi Ví dụ : Tính ba cạnh tam giác vuông ABC vuông A biết chu vi tam giác 12 m tổng bình phương ba cạnh 50 m Ví dụ : Vườn trường hình chữ nhật có diện tích 600m , tính kích thước hình chữ nhật Biết giảm bớt cạnh 4m diện tích 416m Ví dụ : Một hình chữ nhật có chu vi 70 m ,nếu giảm chiều rộng 3m tăng chiều dài 5m diện tích cũ Hãy tìm chiều rộng chiều dài ? Ví dụ 5: Một khu đất hình chữ nhật có chu vi 280 mngười ta làm đường xung quanh rộng 2m nên diện tớch phần cũn lại để trồng vườn 4256m2 Tính kích thước ban đầu khu vườn ; Dạng 7: Tăng giảm đại lượng Phương pháp : Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Page ĐHSPHN Ths Lê Hải Trung Số chỗ dẫy x số dãy= tổng số chỗ ngồi Số hàng x số hàng =tổng số Số xe x số hàng xe trở = tổng số hàng Ví dụ : Trong buổi lao động trồng ,một tổ học sinh trao nhiệm vụ trồng 56 Vì có bạn tổ phân cơng làm việc khác nên để trồng đủ số giao ,mỗi bạn lại tổ trồng tăng thêm với dự định lúc đầu Hỏi tổ học có bạn biết số phân cho bạn Ví dụ : Một rạp hát có 300 chỗ ngồi Nếu dãy ghế thêm chỗ ngồi bớt dãy ghế rạp hát giảm 11 chỗ ngồi Hãy tính xem trước có dự kiến sắo xếp rạp hát có dẫy ghế ? Ví dụ : Một đội xe cần chở 480 hàng khởi hành đội điều thêm 3xe nên xe chở dự định Hỏi lúc đầu đọi có xe ?biết xe chỏ Ví dụ : Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 hàng số ngày qui định Do ngày đội chở vượt mức nên đội hồn thành kế hoạch sớm thời gian qui định ngày chở thêm 10 Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết ngày ? Ví dụ : Một cơng ty vận tải điều số xe tải để chở 90 hàng Khi đến kho hàng có xe bị hỏng nên để chở hết lượng hàng xe cũn lại phải chở thêm 0,5 so với dự định ban đầu Hỏi số xe điều đến chở hàng ? Biết khối lượng hàng chở xe Dang 8: Các dạng khác Ví dụ 1: Một dung dịch chứa 30% a xítnitơ ríc ( tính theo thể tích ) vào dung dịch khác chứa 55% a xít ni tơ ríc Cần phải trộn thêm lít dung dịch loại vào loại để 100 lít dung dịch 50% a xít nitơ ríc Ví dụ : Có 45 người gồm bác sĩ luật sư tuổi trung bình họ 40 Tính số bác sĩ luật sư biết tuổi trung bình bác sĩ 35 tuổi trưng bình luật sư 50 Ví dụ : Hai trường A B thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển 84% Tính riêng trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90% Tính xem trường có học sinh lớp dự thi? Ví dụ : Một dung dịch chứa 30% a xít ni tơ ríc (tính theo thể tích ) dung dịch khác chứa 55% a xít ni tơ ríc Cần phải trộn thêm lít dung dịch loại loại để 100 lít dung dịch chưa 50% a xit ni tơ ríc Ví dụ 5: Trăm trâu trăm cỏ Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Page ĐHSPHN Ths Lê Hải Trung Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba bó Hỏi có trâu đứng , trâu nằm , trâu già Ví dụ : Tuổi ơng An An 56 tuổi , cách năm tuổi ông An gấp lần tuổi An Hỏi tuổi An tuổi ? C Bài tập tự luyện 1) Một ô tô tải từ A đến B với vận tốc 45km/h sau 30 phút xe xuất phát từ A đến B với vận tốc 60km/h đến B lúc với xe tải Tính quãng đường AB 2) Hai người xe đạp xuất phát lúc từ A đến B vận tốc họ 3km/h nên đến B sớm muộn 30 phút Tính vận tốc người, biết quãng đường AB dài 30km/h 3) Hai tỉnh A,B cách 180km/h Cùng lúc, ô tô từ A đến B xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B tơ hết giờ, từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc tơ xe máy biết đường AB hai xe chạy với vận tốc không đổi 4) Trong đua, ba tay đua mô tô khởi hành lúc Mỗi người thứ hai chạy chậm người thứ 15km nhanh người thứ ba km người thứ ba đến đích chậm người thứ 12 phút sớm người thứ ba phút Tính thời gian chạy hết quãng đường đua tay đua 5) Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tằng 20km/h đến sớm giờ, vận tốc giảm 10km/h đến muộn Tính qng đường AB 6) Một ô tô từ A đến B Cùng lúc, ô tô khác từ B đến A với vận tốc vận tốc ô tô thứ Sau chúng gặp Hỏi ô tô quãng đường AB bao lâu? 7) Hai bến sông A B cách 40km lúc với ca nô xuôi từ bến A có bè trơi từ bến A với vận tốc 3km/h Sauk hi đến bến B, ca nô quay trở bến A gặp bè, bè trơi 8km tính vận tốc riêng ca nơ Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Page ĐHSPHN Ths Lê Hải Trung 8) Hai bạn A B làm chung cơng việc hồn thành sau ngày Hỏi A làm ngày nghỉ B hồn thành nốt cơng việc thời gian bao lâu? Biết làm xong cơng việc B làm lâu A ngày 9) Trong kỳ thi, hai trường A,B có tổng cộng 350 học sinh dự thi Kết hai trường có tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển Tính trường A có 97% trường B có 96% học sinh dự thi trúng tuyển Hỏi trường có thí sinh dự thi? 10) Có hai loại quặng sắt quặng loại A chứa 60% sắt, quặng loại B chứa 50% sắt người ta trộn lượng quặng loại A với lượng quặng loại B hỗn hợp chứa 15 sắt Nếu lấy tăng lúc đầu 10 quặng loại A lấy giảm lúc 17 đầu 10 quặng loại B hỗn hợp quặng chứa 30 sắt Tính khối lượng quặng loại đem trộn lúc đầu Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Page ... Hai vòi nước chảy vào bể cạn sau h48 phút đầy bể mở vòi thứ 9h sau mở vòi thứ 6/5h đầy bể Hỏi vòi chảy lâu đầy bể Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Page ĐHSPHN Ths Lê Hải Trung Ví... số 34 Dạng : Toán phần trăm Phương pháp: Nếu gọi số sản phẩm x số sản phẩm đội tăng a% (1 a%) x , số sản phẩm đội giảm a % (1 a %) x Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Page ĐHSPHN... may loại áo Nếu tổ thứ may ngàytổ thứ may ngày tổ may 1310 áo Biết ngày tổ Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Page ĐHSPHN Ths Lê Hải Trung may nhiều tổ thứ 10 áo.Hỏi tổ ngày may