Giải toán bằng cách lập hệ phương trình đầy đủ

tài liệu chuyên đề giải toán bằng cách lập hệ phương trình Tài Liệu được phân loại và chi dạng cụ thể chi tiết tài liệu giải chi tiết cùng các bài tập tương tự Tài liệu rất hay cần thiết cho các e học sinh lớp 9 ôn thi vào 10

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1 : Lập hệ phương trình(phương trình)

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng mà bài toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập hệ phương trình, (phương trình)biểu thị mối quan hệ giữa các lượng

Bước 2 : Giải hệ phương trình, (phương trình)

Bước 3 : Kết luận bài toán

B Các dạng toán

Dạng 1: Toán chuyển động

Phương pháp : Toán chuyển động có ba đại lượng:

 Quãng đường  Vận tốc  Thời gian

 Vận tốc  Quãng đường : Thời gian

 Thời gian  Quãng đường : Vận tốc

 Các đơn vị của ba đại lượng phải phù hợp với nhau Nếu quãng đường tính bằng ki-lô-mét, vận tốc tính bằng ki-lô-mét/giờ thì thời gian phải tính bằng giờ

Chú ý:

 Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi được là như nhau, Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe

 Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B, xe từ

A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đường AB

 Đối với (Ca nô, tàu xuồng) chuyển động trên dòng nước: Ta cần chú ý:

- Khi đi xuôi dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước

- Khi đi ngược dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng - Vận tốc dòng nước

- Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng của vật đó bằng 0)

Ví dụ 1: Hai ôtô cùng khởi hành 1 lúc từ 2 tỉnh A và B cách nhau 400 km đi ngược chiều và

gặp nhau sau 5h nếu vận tốc của mỗi xe vẫn không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40 phút thì 2xe gặp nhau sau 5h 22phút kể từ lúc xe chậm khởi hành Tính vận tốc của mỗi xe

Ví dụ 2: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy mỗi giờ

nhanh hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3 giờ, cũn xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài Quãng đường AB

Ví dụ 3 : Một chiếc thuyền xuôi ngược dong trên một khúc sông dài 40km hết 4h 30 phút

Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4 km Tính vận tốc dòng nước ?

Ví dụ 4: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đi đến B xe tải đi với vận tốc 40km/h

xe con đi với vận tốc 60km/h Sau khi mỗi xe đi được nửa quãng đường xe con nghỉ 40 phút rồi chạy tiếp đển B Xe tải trên quãng đường còn lại đã tăng vận tốc thêm 10km/h nữa nhưng vẫn đến B chậm chậm hơn xe con nửa giờ Hãy tính quãng đường AB

Ví dụ 5: Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc xác định và trong một thời gian đã định Nếu

vận tốc của ô tô giảm 10 km/h thì thời gian tăng 45 phút Nếu vận tốc của ô tô tăng 10 km/h thì thời gian giảm 30 phút Tính vận tốc và thời gian dự định đi của ôtô?

Ví dụ 6 : Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đường, sau 3 giờ thì

hai xe gặp nhau Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau

28 km Tính vận tốc xe

Ví dụ 7 : Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau Sau

1 giờ 40 phút thì gặp nhau Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3km/h

Ví dụ 8 : Hai Ô tô cùng khởi hành một lúc từ A và B và đi ngược chiều nhau Tính quãng

đường AB và vận tốc của mỗi xe biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại một điểm cách chính giữa quãng đường AB là 10km Nếu xe đi chậm tăng gấp đôi vận tốc thì sau 1 giờ 24 phút thì hai xe gặp nhau ?

Ví dụ 9 :Một chiếc thuyền xuôi dòng , ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút Biết

thời gian xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km Tính vận tốc của dòng nước

Dạng 2 : Bài toán về năng suất

Phương pháp: Loại toán này có ba đại lượng:

1 Khối lượng công việc = Năng suất  Thời gian

2 Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian

3 Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất

Ví dụ 1 : Hai tổ SX cùng may một loại áo Nếu tổ thứ 1 may trong 3 ngàytổ thứ 2 may trong 5

ngày thì 2 tổ may được 1310 chiếc áo Biết rằng trong một ngày tổ may được nhiều hơn tổ thứ 2 là 10 chiếc áo.Hỏi mỗi tổ trong 1 ngày may được bao nhiêu chiếc áo ?

Ví dụ 2 : Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 280 bộ quần áo trong một thời gian

quy định Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đó may được nhiều hơn 5 bộ quần áo so với số

bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch Vì thế, xưởng đó hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu bộ quần áo?

Ví dụ 3 : Một máy bơm theo kế hoạch bơm đầy nước vào một bể chứa 50 m trong một thời

gian nhất định Do người công nhân đã cho máy bơm hoạt động với công suất tăng thêm 5m /h Nên đã bơm đầy bể sớm hơ dự định là 1h 40 phút Hãy tính công suất của máy bơm theo kế hoạch ?

Ví dụ 4 : Một nhóm thợ đặt kế hoạch SX 1200 sản phẩm Trong 12 ngày đầu họ làm đúng

theo kế hoạch đề ra những ngày còn lại họ đã làm vượt mức 20 sản phẩm ,nên hoàn thành

kế hoạch sớm 2 ngày.Theo kế hoạch mỗi ngày cần SX bao nhiêu sản phẩm ?

Ví dụ 5 : Một đội công nhân dự định làm 120 SP trong 1 thời gian nhất định Sau khi làm

được 2 h với năng suất dự kiến ,người đó đã thao tác cải tiến hợp lý nên đã tăng năng suất lên được 3 SP mỗi h và vì vậy người đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định là 1h 36 phút Hãy tính năng suất dự kiến ?

Ví dụ 6: Một tổ có kế hoạch sản suất 350 sản phẩm theo năng suất dự kiến Nếu tăng năng

suất 10 SP một ngày thì tổ đó hoàn thành sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10 SP mỗi

ngày Tính năng suất dự kiến

Dạng 3 : Bài toán này là một bài toán về công việc đồng thời ( bể nước- làm chung làm

riêng)

Phương pháp: Để giải loại toán này, ta thường coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị.

Suy ra năng suất = 1

thời gian.

Lập phương trình theo mẫu :

Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung

Ví dụ 1: Hai người cùng làm một công việc trong 7h 12 phút thì xong công việc nếu người

thứ 1 làm trong 4h ngừơì thứ 2 làm trong 3h thì đựơc 50% công việc Hỏi mỗi ngừơi làm 1 mình trong mấy giờ thì xong

Ví dụ 2 : Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể cạn sau 4 h48 phút giờ thì đầy bể nếu mở vòi

thứ 1 trong 9h sau đó mở vòi thứ 2 6/5h nữa thì đầy bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình trong bao nhiêu lâu thì đầy bể

Ví dụ 3 : Ở một nông trường ,có 2 máy cày cùng cày chung 1 thửa ruộng sau 2h thì

xong Nếu mỗi máy cày riêng thửa ruộng đó thì máy thứ 1 cày xong trước máy 2 là 3h Tính thời gian mỗi máy cày

Ví dụ 4 : Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể trong 3h 45 phút thì đầy bể

Hỏi nếu mỗi vòi chảy 1 mình trong bao nhiêu lâu thì đầy bể ? Biết rằng vòi thứ hai chảy lâu hơn vòi thứ 1 4h

Ví dụ 5 : Hai người cùng làm chung 1 công việc hết 6h Nếu là riêng mỗi người làm nửa công

việc thì tổng số giờ làm là 12 h 30 phút Hỏi nếu mỗi người làm 1 mình xong cả công việc thì mất bao nhiêu giờ?

Dạng 4: Bài toán này là một bài toán về số và chữ số

Phương pháp :

 Biểu diễn số có hai chữ số xyđược biểu diễn thành tổng 10x y , trong đó x   0;  x 9

và y   0;  y 9 Số viết theo thứ tự ngược lại là yx 10 y x

 Biểu diễn số có ba chữ số: abc100a10b c trong đó a là chữ số hàng trăm và 0a9

, a   , b là chữ số hàng chục và 0 b 9, b  , c là chữ số hàng đơn vị và 0 c 9,c 

Ví dụ 1 : Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1006 nếu lấy số lớn chia cho số bé được thương

là 2và số dư 124

Ví dụ 2 : Tìm một số có hai chữ số nếu chia số đó cho tổng hai chữ số

được thương là 6 nếu cộng tích hai chữ số với 25 thì được số nghịch đảo

Ví dụ 3: Cho một số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số

đã cho là 63 Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 Tìm số đã cho

Ví dụ 4: Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai chữ số

của nó có phân số tối giản là và hiệu của số cần tìm với số có cùng các chữ số với nó nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 27

Ví dụ 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ

số hàng chục là 2 và tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34

Dạng 5 : Toán phần trăm

Phương pháp: Nếu gọi số sản phẩm là x thì số sản phẩm đội đó khi tăng %a là (1 %)a x, số sản phẩm đội đó khi giảm %a là (1 %) a x

Ví dụ 1 : Trong tháng đầu hai tổ SX được 800 chi tiết máy sang tháng thứ 2 tổ 1 vượt mức

15% tổ 2vượt mức 20%do đó cuối tháng hai tổ SX được 945 chi tiết máy Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ SX được bao nhiêu chi tiết máy

Ví dụ 2 : Một người mua hai loại mặt hàng A và B Nếu tăng giá mặt hàng Athêm 10% và

mặt hàng B thêm 20% thì người đó phải trả 232 nghìn đồng Nhưng nếu giảm giá cả hai mặt hàng là 10% thì người đó phải trả tất cả 180 nghìn đồng Tính giá tiền mỗi loại lúc đầu ?

Ví dụ 3 : Trong tháng 1 hai tổ làm được 900 SP sang tháng 2 tổ 1 làm vượt mức 15% tổ 2 vượt

mức 10% vì vậy 2 tổ làm được 1010 SP Hỏi trong tháng 1 mỗi tổ làm được bao nhiêu SP

Dạng 6: Toán có nội dung hình học

Phương pháp :

-Với hình chữ nhật: Diện tích = Chiều dài x Chiều rộng

Chu vi = (Chiều dài + Chiều rộng) x 2 -Với tam giác: Diện tích = (Đường cao x Cạnh đáy) : 2

Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh -Với hình vuông : Diện tích = bình phương 1 cạnh

Chu vi = (Chiều dài cạnh ) x 4

-Với hình thang : Diện tích =

1

2 (Độ dài đáy lớn+độ dài đáy nhỏ): chiều cao Chu vi = tổng 4 cạnh

Ví dụ 1 : Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài là 45m Tính diện

tích thửa ruộng.biết rằng nếu giảm chiều dài đi 2lần và chiều rộng tăng lên 3lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi

Ví dụ 2 : Tính ba cạnh của một tam giác vuông ABC vuông tại A biết chu vi tam giác là 12 m

và tổng bình phương của ba cạnh bằng 50 m

Ví dụ 3 : Vườn trường hình chữ nhật có diện tích 600m , tính kích thước của hình chữ nhật

Biết rằng nếu giảm bớt mỗi cạnh 4m thì diện tích còn 416m

Ví dụ 4 : Một hình chữ nhật có chu vi là 70 m ,nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài

5m thì diện tích như cũ Hãy tìm chiều rộng và chiều dài ?

Ví dụ 5: Một khu đất hình chữ nhật có chu vi là 280 mngười ta làm đường đi xung quanh

rộng 2m nên diện tớch phần cũn lại để trồng vườn là 4256m2

Tính kích thước ban đầu của khu vườn ;

Dạng 7: Tăng giảm các đại lượng

Phương pháp :

 Số chỗ 1 dẫy x số dãy= tổng số chỗ ngồi

 Số cây 1 hàng x số hàng =tổng số cây

 Số xe x số hàng 1 xe trở = tổng số hàng

Ví dụ 1 : Trong một buổi lao động trồng cây ,một tổ học sinh được trao nhiệm vụ trồng 56

cây Vì có 1 bạn trong tổ được phân công làm việc khác nên để trồng đủ số cây được

giao ,mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây với dự định lúc đầu Hỏi tổ học có bao nhiêu bạn biết số cây được phân cho mỗi bạn đều bằng nhau

Ví dụ 2 : Một rạp hát có 300 chỗ ngồi Nếu mỗi dãy ghế thêm 2 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy ghế

thì rạp hát sẽ giảm đi 11 chỗ ngồi Hãy tính xem trước khi có dự kiến sắo xếp trong rạp hát có mấy dẫy ghế ?

Ví dụ 3 : Một đội xe cần chở 480 tấn hàng khi sắp khởi hành đội được điều thêm 3xe nữa

nên mỗi xe chở ít hơn dự định 8 tấn Hỏi lúc đầu đọi có bao nhiêu chiếc xe ?biết rằng các xe chỏ như nhau

Ví dụ 4 : Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày qui định Do mỗi

ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian qui định

1 ngày và chở thêm được 10 tấn Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày ?

Ví dụ 5 : Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 90 tấn hàng Khi đến kho hàng thì có 2

xe bị hỏng nên để chở hết lượng hàng thì mỗi xe cũn lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định ban đầu Hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao nhiêu ? Biết rằng khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau

Dang 8: Các dạng khác

Ví dụ 1: Một dung dịch chứa 30% a xítnitơ ríc ( tính theo thể tích ) vào một dung dịch khác

chứa 55% a xít ni tơ ríc Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 vào loại 2 để được

100 lít dung dịch 50% a xít nitơ ríc

Ví dụ 2 : Có 45 người gồm bác sĩ và luật sư tuổi trung bình của họ là 40 Tính số bác sĩ và

luật sư biết rằng tuổi trung bình của bác sĩ là 35 tuổi trưng bình của luật sư là 50

Ví dụ 3 : Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng

tuyển 84% Tính riêng thì trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90% Tính xem mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi?

Ví dụ 4 : Một dung dịch chứa 30% a xít ni tơ ríc (tính theo thể tích ) và một dung dịch khác

chứa 55% a xít ni tơ ríc Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được

100 lít dung dịch chưa 50% a xit ni tơ ríc

Ví dụ 5: Trăm trâu trăm cỏ

Trâu đứng ăn năm

Trâu nằm ăn ba

Lụ khụ trâu già

Ba con một bó

Hỏi có bao nhiêu con trâu đứng , con trâu nằm , con trâu già

Ví dụ 6 : Tuổi của ông An hơn An 56 tuổi , cách đây 5 năm tuổi của ông An gấp 8 lần tuổi

An Hỏi tuổi của An hiện nay bao nhiêu tuổi ?

C Bài tập tự luyện

1) Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 45km/h sau 1 giờ 30 phút thì một xe con cũng xuất

phát đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến B cùng lúc với xe tải Tính quãng đường AB

2) Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B vận tốc của họ hơn kém nhau

3km/h nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút Tính vận tốc của mỗi người, biết quãng đường AB dài 30km/h

3) Hai tỉnh A,B cách nhau 180km/h Cùng một lúc, ô tô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B

về A Hai xe gặp nhau ở thị trấn C Từ C đến B ô tô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút Tính vận tốc của ô tô và xe máy biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi

4) Trong một cuộc đua, ba tay đua mô tô đã khởi hành cùng một lúc Mỗi giờ người thứ hai

chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3 km người thứ ba đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút Tính thời gian chạy hết quãng đường đua của các tay đua

5) Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian dự định Nếu vận tốc tằng 20km/h thì đến sớm

1 giờ, nếu vận tốc giảm đi 10km/h thì đến muộn 1 giờ Tính quãng đường AB

6) Một ô tô đi từ A đến B Cùng một lúc, một ô tô khác đi từ B đến A với vận tốc bằng

2

3 vận tốc ô tô thứ nhất Sau 5 giờ chúng gặp nhau Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu?

7) Hai bến sông A và B cách nhau 40km cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc

bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h Sauk hi đến bến B, ca nô quay trở về bến A ngay và gặp

bè, khi đó bè đã trôi được 8km tính vận tốc riêng của ca nô

8) Hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày Hỏi nếu A làm

một mình 3 ngày rồi nghỉ thì B hoàn thành nốt công việc trong thời gian bao lâu? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì B làm lâu hơn A là 9 ngày

9) Trong một kỳ thi, hai trường A,B có tổng cộng 350 học sinh dự thi Kết quả là hai trường

có tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% học sinh dự thi trúng tuyển Hỏi mỗi trường có bao nhiêu thí sinh dự thi?

10) Có hai loại quặng sắt quặng loại A chứa 60% sắt, quặng loại B chứa 50% sắt người ta

trộn một lượng quặng loại A với một lượng quặng loại B thì được hỗn hợp chứa

8

15 sắt Nếu lấy tăng hơn lúc đầu là 10 tấn quặng loại A và lấy giảm hơn lúc đầu là 10 tấn quặng loại B thì

được hỗn hợp quặng chứa

17

30 sắt Tính khối lượng quặng mỗi loại đem trộn lúc đầu