Luận văn thạc sĩ toán đa thức và phân thức hữu tỉ dành cho học sinh chuyên toán

TR B ăGIỄOăD CăVĨă ĨOăT O NGă IăH CăTH NGăLONG - NGUY Nă CăLAI ậ C00449 AăTH CăVĨăPHÂNăTH CăH UăT DĨNHăCHOăH CăSINHăCHUYểN TOỄN TịMăT TăLU NăV NăTH CăS ăTOỄNăH C CHUYểNăNGĨNH:ăPH NGăPHỄPăTOỄNăS ăC P MĩăS :ă60ă46ă01ă13 NG IăH NGăD NăKHOAăH C:ăTSăBỐIăHUYăHI N Hà N i – N m 2016 M CăL C Trang M căl c…………………………………………………………….…………………………… M ăđ u …………………………………………………………………………… L iăc mă n …………………………………………………………………………………… Ch ngă1.ăTómăt tăm tăs ăki năth căchungăv ăđaăth căvƠăphơnăth căh uăt I VƠnhăđaăth căm tăbi n………………………………………………………… I.1 a th c vành K[X ] …………………………………………………………… I.2 Tính ch t c a vành K[X ] …………………………………………………………… I.3 Phép đ o hàm……………………………………………………………… ……… I.4 II Hàm đa th c………………………………………………………………….……… S ăh cătrongăvƠnhăđaăth c…………………………………………….………… II.1 Phép chia có d ………………………………………………………………………… II.2 a th c b t kh quy………………………………………………………… ……… II.3 Phân tích đa th c( nhân t hóa đa th c) …………………………… ……… III Nghi măc aăđaăth c………………………………………………………………… III.1 Không m c a đa th c…………………………………………………….……… III.2 Tính ch t c a không m đ o hàm……………………………… ……… III.3 nh lý Berzout……………………………………………………………….….…… III.4 a th c n i suy Lagrange………………………………………………….……… IV Phơnăth căh uăt ……………………………………….……………….…………… IV.1 Các đ nh ngh a……………………………………….………………………………… IV.2 Phép phân tích m t phân th c h u t 10 IV.3 Các ph ………………………………………… ng pháp phân tích m t phân th c h u t ……………….……… IV.4 ng d ng c a phép phân tích m t phân th c h u t Ch ngă2.ăCácăd ngătoánăv ăđaăth căvƠăphơnăth căh uăt …………………… 10 10 Thang Long University Libraty I BƠiătoánăs ăh căc aăđaăth căh ăs ănguyên…………………….………… 11 I.1 Bài toán v tính chia h t c a đa th c………………………………….……… 11 I.2 Ch ng minh đa th c kh quy, b t kh quy……………………….………… 12 I.3 M t s toán v đa th c Chebyshev……………………………… ……… 14 II Nghi măc aăđaăth c………………………………………………………………… 14 II.1 Tìm nghi m c a đa th c…………………………….……………………………… 14 II.2 Tính ch t c a nghi m c a đa th c………………………………….…….…… 15 II.3 Nghi m b i đ o hàm c a đa th c…… …………………………………… 18 III BƠiătoánăxácăđ nhăđaăth c……………… ……………………………………… 19 III.1 Xác đ nh đa th c cho bi t nghi m c a đa th c …… …… ……… 19 III.2 Dùng ph ng pháp h s b t đ nh ………………………………………… … III.3 Tìm đa th c bi t m t s giá tr c a đa th c đ o hàm………… IV Phơnăth căh uăt ………………………………… ………………………………… IV.1 Phân tích phân th c h u t IV.2 20 21 23 ……… ……………………………………………… 23 ng d ng c a phép phân tích phân th c h u t vào tính tích phân 23 Ph năIII:ăK tălu n …………….……………………………………………………………… TƠiăli uăthamăkh o…………………………………….….…………………………………… M ă Trong ch ng trình môn Toán U b c Ph thông, h c sinh đ c ti p c n v i đa th c t b c THCS, đ n THPT chuyên Bài toán v đa th c phân th c h u t xu t hi n h u h t cu c thi Hi n nay, tài li u v đa th c c ng đa d ng phong phú Tuy nhiên, đa s đ u khó đ i v i h c sinh m i b t đ u ti p c n Vì v y l a ch n d ng toán n hình v đa th c phân th c h u t đ nghiên c u ph c v cho h c sinh l p chuyên toán ph thông Lu năv năăg mă2ăch ng: Ch ngă1.ăTómăt tăm tăs ăki năth căchungăv đaăth căvƠăphơnăth căh uăt Ch ngă2.ăCácăd ngătoán v đaăth căvƠăphơnăth căh uăt Hà n i ngày 15 tháng n m 2016 Tácăgi Nguy nă căLai Thang Long University Libraty L IăC Mă N Lu n v n đ c hoàn thành d is h ng d n khoa h c c a ti n s Bùi Huy Hi n Em xin chân thành c m n Th y t n tâm, nh t tình h ng d n em su t th i gian h c t p làm lu n v n Tác gi c ng xin chân thành c m n tr ng i h c Th ng Long, c m n Th y, Cô giáo c a Nhà tr ng nhi t tình gi ng d y cho em su t th i gian qua C m n Th y, Cô giáo tr ng THPT Chuyên B c Giang giúp đ , t o u ki n cho có nhi u th i gian tham gia h c t p nâng cao trình đ C m n b n h c viên l p Cao h c Th ng Long khoá 03 giúp đ c trình h c t p t i tr ng! Hà n i ngày 15 tháng n m 2016 Tácăgi Nguy nă căLai CH NGă1 TịMăT TăM TăS ăKI NăTH CăCHUNGă V AăTH CăVĨăPHÂNăTH CăH UăT I.ăVĨNHă AăTH CăM TăBI N I.1 aăth cătrong vƠnhă K[X ] I.1.1.ă nhăngh a I.1.1.1.ă nhăngh aă1 V i m i dãy  a n n thu c K , ta g i I  {n  , a n  0} giá c a  a n n a th c m t bi n, có h t l y K dãy  a n n b t k thu c K có giá h u h n I.1.1.2.ă nhăngh aă2 Cho đa th c P   a n n  K[X ] S t nhiên n l n nh t cho a n khác không đ c g i b c c a P , vi t deg  P   n Khi a n g i h t cao nh t c a P , n u P  a n  P g i chu n t c I.1.2 Các phépătoánăc aăđaăth c I.1.2.1.ăPhépăc ng Cho đa th c P   a n n  K[X ] Q   bn n  K[X ] Khi t ng c a chúng đ c vi t tính theo công th c P  Q   a n  bn n  K[X ] I.1.2.2.ăPhépănhơn Cho đa th c P   a n n  K[X ] Q   bn n  K[X ] Khi tích c a chúng đ c vi t tính theo công th c P Q   cn n  K[X ] I.1.2.3.ăPhépăh păđaăth c Thang Long University Libraty Cho đa th c P   a n n  K[X ] , Q   bn n  K[X ] Ta g i đa th c h p c a P Q đ c vi t P Q ho c P  Q  đ c xác đ nh theo công th c N P Q  P  Q    a nQ n n 0 I.2.ăTínhăch tăc aăvƠnhă K[X ] I.3.ăPhépăđ oăhƠm I.3.1.ă nhăngh a N V i m i đa th c P   a n X n  K[ X ] , đa th c đ o hàm c a P , ký hi u P ' n0 đ N N 1 n 0 n 0 c xác đ nh b i P '   na n X n1    n  1 a n1 X n  K[ X ] Ta ký hi u P 1  P ', P  2   P ' ', , P  k   P  k1  ', k  * I.3.2.ăTínhăch tăc aăphépăđ oăhƠm Côngăth căLeibniz o hàm c p k,  k   c a đa th c tích PQ đ c tính b ng công th c k  PQ     Cki P i Q k 1 k i 0 I.4.ăHƠmăđaăth c I.4.1ă nhăngh a N Cho đa th c P   a n X n  K[ X ] Khi ta có hàm P : K  K xác đ nh b i n0 N quy t c x  K , P  x   a n xn đ n 0 c g i hàm đa th c liên k t v i P I.4.2.ăM nhăđ Cho P , Q đa th c K[X ] ,   K ta có P   Q  P   Q, P Q  P Q, PQ  P Q I.4.3.ă nhălỦ( nhălỦăTaylorăđ iăv iăđaăth c) Cho đa th c P  [X ], N  , th a mãn deg  P   N ,   Ta có công th c N P   X    P n 0 n   X n n! I.4.4.ăM nhăđ ă2 Ánh x F : K[ X ]  K K P P Là đ n Ánh ch K vô h n II.ăS ăH CăTRONGăVĨNHă AăTH C II.1.ăPhépăchiaăcóăd nhăngh aătínhăchiaăh t II.1.1 Cho A, P hai đa th c K[X ]   K Ta nói A chia h t P ( K[ X ] ) ký hi u A P , ch t n t i đa th c Q  K[ X ] cho P  AQ II.1.2 Tínhăch tăc aăquanăh chiaăh t II.1.3.ăPhépăchiaăEuclide nhălỦ Cho đa th c A, B  K[ X ], B  T n t i nh t c p đa th c  Q, R   K[ X ] cho A  BQ  R, deg  R   deg  B  , Q , R l n l t th ng d phép chia Euclide A cho B II.1.4.ă nhăngh aă căchungăl nănh t(UCLN),ăB iăchungănh ănh t(BCNN) Thang Long University Libraty II.1.5.ă Tínhă ch tă c aă că chungă l nă nh t(UCLN),ă B iă chungă nh ă nh t(BCNN) II.1.6 aăth cănguyênăt ăcùngănhau II.1.7 Cácăđ nhălỦ vƠătínhăch t Cho A, B, C , P , Q đa th c K[X ]   K M nhăđ ă1 N u đa th c A, B khác không, nguyên t đa th c C chia h t B A C nguyên t nhălỦ ( nhălỦăBezout) i u ki n c n đ đ đa th c P1 , P2 , , P khác không, nguyên t toàn th t n t i đa th c Q1 , Q2 , , Qn khác không cho n  PQ i 1 i i  nhălỦă2( nhălỦăGauss) N u đa th c A, B khác không, nguyên t đa th c A chia h t BC A chia h t C M nhăđ ă2 II.2.ă aăth căb tăkh ăquy II.2.1.ă nhăngh a M t đa th c P  K[ X ] g i b t kh quy (nguyên t ) ch deg  P   P ch có c K[ X ]   K \{0}  P  K[ X ],    K\{0} II.2.2.ăTínhăch tăc aăđaăth căb tăkh ăquy M nhăđ ă1 M nhăđ ă2 II.3.ăPhơnătíchăđaăth c(ănhơnăt ăhóaăđaăth c) nhălỦ H ăqu M nhăđ III.ăNGHI MăC Aă AăTH C III.1.ăKhôngăđi măc aăđaăth c III.1.1.ă nhăngh a Cho P  K[X ], a  K Ta nói r ng  m t không m hay m t nghi m c a P ch P    III.1.2.ă nhăngh aă2 Cho P  K[X ], a  K Ta nói r ng  không m c p b i không th p h n k ch P  X    k III.2.ăTínhăch tăc aăkhôngăđi m vƠ đ oăhƠm III.2.1.ă nhălỦăViet III.2.2.ă oăhƠmăv iănghi măc aăđaăth c III.3.ă nhălỦăBerzout Cho đa th c P  X   a n X n  a n 1 X n 1   a1 X  a  K[ X ] n u   K m t không m c a P ch ta có P  X    X    Q  X  III.4.ă aăth iăsuyăLagrange nhălỦ IV.ăPHÂNăTH CăH UăT IV.1 Cácăđ nhăngh a IV.1.1.ă nhăngh aă1 IV.1.2.ă nhăngh aă2 IV.1.3.ă nhăngh aă3 Thang Long University Libraty CH CỄCăD NGăTOỄN V NG AăTH CăVĨăPHÂNăTH CăH UăT I.ăD NGă1.ăTệNHăCH T S ăH CăC Aă AăTH CăH ăS ăNGUYểN I.1.ăBƠiătoánăv ătínhăchiaăh tăc aăđaăth c BƠiătoánăI.1.1 Cho P  x  x4  x3  ax2  bx  Tìm t t c giá tr c a a , b, c đ P  x  vi t thành bình ph ng c a m t đa th c BƠiătoánăI.1.2 Tìm ph n d phép chia x100 cho  x  1 BƠiătoánăI.1.3 Tìm s a , b, c cho P  x  x3  ax2  bx  c chia h t cho x P  x  x3  ax2  bx  c chia cho x2  d 2x BƠiătoánăI.1.4 Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a n , đa th c P  x   x  1 n 1  xn  chia h t cho đa th c Q  x  x2  x  BƠiătoánăI.1.5 Tìm t t c giá tr c a n đ đa th c P  x  x2 n  xn  chia h t cho đa th c Q  x  x2  x  BaiătoánăI.1.6 Cho đa th c P  x  , bi t P  x  chia cho  x  2014   x  2015 l n l td a , b Tìm phép d phép chia P  x  cho  x  2014  x  2015  BƠiătoánăI.1.7 Ch ng minh r ng UCLN c a xm  xn  xUCLN m,n 1 11 Thang Long University Libraty I.2.ăCh ngăminhăđaăth căkh ăquy,ăb tăkh ăquy BƠiătoánăI.2.1 Cho P  x  [x] có b c n l , nh n giá tr b ng ho c 1 t i n giá tr nguyên khác Ch ng minh r ng P  x  [x] b t kh quy [x] BƠiătoánăI.2.2 Cho P  x  th a mãn xP  x  1   x  2014  P  x P  2014   2014! Ch ng minh r ng f  x  P  x  b t kh quy [x] BƠiătoánăI.2.3 Cho a , n nguyên p m t s nguyên t th a mãn p  a  Ch ng minh r ng f  x  xn  ax  p b t kh quy [x] BƠiătoánăI.2.4 n Cho P  x   a i xi  [x] th a mãn a nguyên t , a  a1   a n Ch ng i 0 n minh r ng P  x   a i xi  [x] b t kh quy [x] i 0 BƠi toánăI.2.5 Cho a, m, n nguyên d ng, p s nguyên t th a mãn p  a  Ch ng minh r ng đa th c f  x  xm  x  a   p b t kh quy [x] n BƠiătoánăI.2.6 Ch ng minh r ng đa th c f  x   x2  12  x2  22   x2  n2   b t kh quy [x] BƠiătoánăI.2.7 Cho đa th c P  x   x2  x  6  13 2n 12 Ch ng minh r ng n u P  x  Q  x R  x , Q  x , R  x  [x], Q  x , R  x  const deg  Q  x   deg  R  x   2n T ch P  x  b t kh quy [x] BƠiătoánăI.2.8 Cho đa th c f  x [x] có b c n N u t n t i nh t 2n 1 s nguyên, phân bi t m cho f  m nguyên t f  x b t kh quy [x] BƠiătoánăI.2.9 Ch ng minh r ng đa th c P  x   x2  x  b t kh quy [x] 2n BƠiătoánăI.2.10 Cho s nguyên t p  Tìm s đa th c b t kh quy [x] c a đa th c có d ng P  x  x p  pxk  pxl  1, k  l ; k, l  {1, 2,3, , p  1} BƠiătoánăI.2.11 Ch ng minh r ng n u p m t s nguyên t đa th c P  x  xp 1 b t x 1 kh quy [x] BƠiătoánăI.2.12 Cho s nguyên t p s nguyên a không chia h t cho p Ch ng minh r ng đa th c P  x  x p  x  a b t kh quy [x] BƠiătoánăI.2.13 Cho n s nguyên d ng Ch ng minh r ng u ki n c n đ đ đa th c P  x  xn  kh quy [x] n chia h t cho BƠiătoánăI.2.14 Cho n  , n  Ch ng minh r ng P  x  xn  xn 1  b t kh quy [x] BƠiătoánăI.2.15 13 Thang Long University Libraty Cho n  , n  , ch ng minh r ng P  x  xn  x3  x2  x  b t kh quy [x] I.3.ăM tăs ăbƠiătoánăv ăđaăth căChebyshev Các toán v đa th c Chebyshev t ng đ i khó v i đa s h c sinh, v i m c đích gi i thi u cho h c sinh chuyên m i ti p c n v i đa th c nên ch n l c m t s toán th ng g p c a đa th c Chebyshev BƠiătoánăI.3.1 a) Cho f  x  x2  bx  c Tìm s b, c  b) Cho f  x  x3  ax2  bx  c Tìm s đ v i m i x [  1;1] f  x  a , b, c  đ v i m i x [  1;1] f  x  BƠiătoánăI.3.2 Tìm s th c a , b, c cho f  x  max x3  ax2  bx  c đ t giá tr nh [ 1;1] nh t BƠiătoánăI.3.3 ( ng d ng đa th c Chebyshev gi i ph Gi i ph ng trình b c cao) ng trình sau a) x5  10 x3  20 x  18  b) 16 x5  20 x3  x   BƠiătoánăI.3.4 Cho s th c  th a mãn a  1  Hãy tính giá tr c a A  a  a a II.ăD NGă2.ăNGHI MăC Aă AăTH C II.1.ăTìmănghi măc aăđaăth c BƠiătoánăII.1.1 Tìm t t c nghi m c a đa th c sau v i a  a  1  P  x   a  a   x2  x  1   x2  x  a  a  1 14 BƠiătoánăII.1.2 Cho đa th c P  x  axn  axn 1  c2 xn 2   cn  x2  n 2bx  b có b c n có n nghi m d ng Hãy tìm t t c nghi m c a đa th c II.2.ăTínhăch tăc aănghi măc aăđaăth c BƠiătoánăII.2.1 Cho đa th c Cho đa th c P  x  a n xn  a n 1 xn 1   a1 x  a , a n  Gi s nghi m c a đa th c Ch ng minh r ng x0   0max  i  n 1 x0 an BƠiătoánăII.2.2 Ch ng minh r ng m i đa th c b c ch n v i t t c h s l đ u nghi m h u t BƠiătoánăII.2.3 n n i 0 i 0 Cho đa th c P  x   xi , Q  x   b j x j , bi t an  bn s nguyên t a n1  bn1 G i m nghi m h u t chung c a P  x , Q  x Ch ng minh r ng m s nguyên BƠiătoánăII.2.4 Ch ng minh r ng tích hai nghi m th c c a đa th c P  x  x4  x3  nghi m c a đa th c Q  x  x6  x4  x3  x2  BƠiătoánăII.2.5 n 1 Cho đa th c P  x    a i xi  xn , a i  0, i  1, n  P  x  có n nghi m i 1 th c Ch ng minh r ng P    3n BƠiătoánăII.2.6 15 Thang Long University Libraty Cho đa th c P  x  xn  an1xn1   a1x  a0 , a k  1, k  0, n 1 Ch ng minh r ng n u P  x  có n nghi m th c n  BƠiătoánăII.2.7 n 1 Cho đa th c P  x    a i xi  xn , a i  0, i  1, n  i 1 ta có a1  a   a n1  3, a n1  Ch ng minh r ng đa th c P  x  không th có n nghi m th c BƠiătoánăII.2.8 Cho s th c a , b, c th a mãn u ki n a n  bn  cn  , n  * Ch ng cho a , b, c nghi m c a ph minh r ng t n t i s nguyên p, q, r  ng trình x3  px2  qx  r  BƠiătoánăII.2.9 Cho P  x  [x] Ch ng minh r ng n u P   P 1 đ u l P  x  nghi m nguyên BƠiătoánăII.2.10 Cho P  x  đa th c nguyên P  x  có nghi m nguyên x1 , P  x  có nghi m nguyên x2 , P  x   có nghi m nguyên x3 Ch ng minh r ng x1 ; x2 ; x3 theo th t nghi m nguyên nh t c a ph ng trình P  x  1; P  x  2; P  x  BƠiătoánăII.2.11 Cho P  x   x2  x9  xn  xn   xn  x1992 ,  ni  ni 1  1992, ni  Ch ng s minh r ng nghi m c a P  x  (n u có) không th l n h n 16 1 BƠiătoánăII.2.12 Cho P  x  x3  x2  ax  a Tìm t t c giá tr c a a đ nghi m c a P  x  x1; x2 ; x3 th a mãn   x  3 i 1 i 0 BƠiătoánăII.2.13 Cho P  x  x3  ax2  bx  c  [x] Ch ng minh r ng n u có nghi m c a   P  x  b ng tích nghi m l i 2P  1 P 1  P  1  1  P  0  BƠiătoánăII.2.14 n Cho P  x   a i xi  [x] Ch ng minh r ng n u i 0 p  q nghi m c a P  x  ta có  p  mq  P  m , m  BƠiătoánăII.2.15 Cho đa th c v i h s nguyên P  x  Th a mãn t t c s P   ; P 1 ; , P  m  1 đ u không chia h t cho m; m  ; m  P  x  nghi m nguyên BƠiătoánăII.2.16 Cho f  x  [x] có nh t nghi m th c Ch ng minh r ng P  x  f  x   f '  x  c ng có nh t nghi m th c BƠiătoánăII.2.17 Cho P  x  [x] Ch ng minh r ng n u    nghi m c a P  x  P  x  c ng nh n  làm nghi m BƠiătoánăII.2.18 17 Thang Long University Libraty Cho đa th c P  x  b c có nghi m d th c R  x  ng phân bi t Ch ng minh r ng đa 1 4x  1 4x  P  x  1   P '  x  P ''  x c ng có nghi m d x x   ng phân bi t BƠiătoánăII.2.19 Cho đa th c P  x  xn  a n 1 xn 1   a1 x  a có n nghi m không âm Ch ng n minh r ng  a1   a 0n 1 n BƠi toánăII.2.20 Cho đa th c P  x  x3  x2  x  m Ch ng minh r ng P  x không th có nghi m h u t phân bi t v i m i m II.3.ăNghi măb iăvƠăđ oăhƠmăc aăđaăth c BƠiătoánăII.3.1 Cho đa th c P  x  x3  x2  x  4; Q  x   x3  x2  10 x  10 Ch ng minh r ng đa th c cho có m t nghi m nh t tính t ng nghi m c a chúng BƠiătoánăII.3.2 P  x , deg  P  x   n  1, Cho đa th c monic Ch ng minh r ng có n nghi m th c x1; x2 ; ; xn 1     P '  x1  P '  x2  P '  xn  BƠiătoánăII.3.3 Cho đa th c f  x có b c n Các s a, b th a mãn đ ng th i u ki n sau f  a   0,  1 f '  a   0,  1 f ''  a   0, ,  1 f  18 n n a   f  b   0,  1 f '  b   0,  1 f ''  b   0, ,  1 f  n n b   Ch ng minh r ng t t c nghi m th c c a đa th c f  x đ u thu c Cho đa th c f  x có nghi m a , b, c;  a  b  c  ph ng trình kho ng  a ; b  BƠiătoánăII.3.4 x2  mx  n  có nghi m Ch ng minh r ng ph ng trình f ''  x  mf '  x  nf  x   có nghi m thu c kho ng  a ; c  BƠiătoánăII.3.5 Cho đa th c f  x  nxn    n   xn 1   n   x  n Ch ng minh r ng f  x chia h t cho  x  1 v i m i s t nhiên n  III.ăD NGă3.ăBĨIăTOỄNăXỄCă NHă AăTH C III.1 Xácăđ nhăđaăth căkhiăchoăbi tănghi măc a đaăth c BƠiătoánăIII.1.1 Tìm t t c đa th c P  x  [x] nh n x    3 làm nghi m Ch ng minh r ng deg P  x  BƠiătoánăIII.1.2 Xét t p h p đa th c P  x  khác h ng, th a mãn u ki n P  x2  1  P  x P   x , x  Hãy tìm t p h p đa th c có b c bé nh t nh ng có nghi m l n nh t BƠiătoánăIII.1.3 19 Thang Long University Libraty Tìm t t c đa th c b c d ng P  x  x4  bx2  c,  b, c   cho P  x  x2  nghi m th c nh ng P  P  x   x4  có nghi m th c BƠiătoánăIII.1.4 Tìm t t c đa th c P  x   x có b c n , có n nghi m th c th a mãn P  x P  x2   P  x3  x ,  BƠiătoánăIII.1.5 Tìm t t c đa th c P  x  Q  x   x , monic b c 2, cho t n t i đa th c  x mà h s c a đa th c R  x  P  x Q  x đ u thu c t p {1;1} Bài gi i III.2 Dùngăph ngăphápăh ăs ăb tăđ nh BƠiătoánăIII.2.1 Cho đa th c P  x  ax  bx  c,  a   Ch ng minh r ng t n t i nhi u nh t đa th c Q  x  b c n th o mãn P  Q  x   Q  P  x  BƠiătoánăIII.2.2 Cho s nguyên t khác p1 , p2 , p3 , p4 Ch ng minh r ng không t n t i đa th c Q  x  b c có h s nguyên th a mãn Q  p1   Q  p2   Q  p3   Q  p4   BƠiătoánăIII.2.3 Tìm t t c đa th c P  x  v i h s th c tho mãn ph P  x2   P  x v i m i x thu c BƠiătoánăIII.2.4 20 ng trình Tìm t t c đa th c P  x  th a mãn P  x2  2x   P  x  2 v i m i giá tr th c c a x BƠiătoánăIII.2.5 Tìm t t c đa th c P  x  h s th c th a mãn P  x2   x 3P  x  P   x  P  x  x2 v i m i giá tr th c c a x BƠiătoánăIII.2.6 Tìm t t c đa th c P  x  h s nguyên th a mãn 16P  x2    P  2x v i m i giá tr th c c a x BƠiătoánăIII.2.7 Tìm t t c đa th c P  x  h s th c th a mãn  x y   x y  P  x P  y   P  P       v i m i giá tr th c c a x, y BƠiătoánăIII.2.8 Cho a  0, b, c  n  1, n  Ch ng minh r ng t n t i nhi u nh t đa th c   P  x  có h s th c b c n th a mãn P ax2  bx  c  a  P  x   bP  x  c v i m i giá tr th c c a x III.3 Tìmăđaăth căkhiăbi tăm tăs ăgiá tr c aăđaăth căvƠăđ oăhƠmăc aănó BƠiătoánăIII.3.1 Tìm t t c đa th c P  x   x th a mãn  P  a   P  b   P  c    a  b  c  v i m i s nguyên a , b, c BƠiătoánăIII.3.2 21 Thang Long University Libraty Tìm t t c đa th c P  x   x th a mãn P   5, P   P 12  không chia h t cho 35 BƠiătoánăIII.3.3 Tìm t t c đa th c P  x  b c n th a mãn u ki n P  x2  y2   P  x  y P  x  y  , x, y  BƠiătoánăIII.3.4 Tìm t t c đa th c P  x   x Th a mãn u ki n P  x  y   P  x  P  y   xy, x, y  BƠiătoánăIII.3.5 Tìm t t c đa th c P1  x , P2  x , P3  x , P4  x cho v i m i x, y, z, t  th a mãn xy  zt  P1  x P2  y   P3  z  P4  t   BƠiătoánăIII.3.6 Tìm t t c đa th c P  x   x có d ng P  x  n !.xn  a n1 xn1   a1 x   1  n  1 n có nghi m x1; x2 ; ; xn  Và xk   k; k  1 BƠiătoánăIII.3.7 Ch ng minh r ng t n t i nh t đa th c P  x  có d ng P  x  xn  a n 1 xn 1   a1 x  a th a mãn u ki n n  n  1 P  x   x  a  x  b  P ''  x ; x  BƠiătoánăIII.3.8 Tìm t t c đa th c P  x  b c n th a mãn u ki n sau 22 P  x  1  P  x  x  1, x  IV.ăD NGă4.ăPHÂNăTH CăH UăT IV.1.ăPhơnătíchăphơnăth căh uăt BƠiăt p IV.1.1 Phân tích phân th c sau thành t ng phân th c đ n gi n: 1) F  3) F  x  x  1 x  2  x  1  x   2) F  3x  x  x  2 4) F  x  53 x  1 5) F  x  x  23 x  x  1 IV.2.ă ngăd ngăc aăphépăphơnătíchăphơnăth căh uăt ăvƠoătínhătíchăphơn BƠiăt păIV.2.1 Tính tích phân I1   x 1  x  1 x   dx Tính tích phân I   3x  dx x  x  2 3 Tính tích phân I3    x  1  x   dx 2 Tính tích phân I   x  53 dx x  1 Tính tích phân I5   x  x  23 dx x  x  1 23 Thang Long University Libraty K TăLU N Lu n v n thu đ c nh ng k t qu sau: - Trình bày tóm t t lý thuy t chuyên đ đa th c phân th c h u t - Cung c p h th ng t p đa d ng, phù h p đ h c sinh th s c v i nhi u c p đ khác Các toán lu n v n ch y u đ c trích t tài li u ôn thi h c sinh gi i qu c gia, Qu c t , t đ thi h c sinh gi i THPT qu c gia, Qu c t khu v c Th c t , n i dung c a lu n v n đ c d y cho h c sinh l p chuyên Toán có nhi u ph n, toán làm t i li u cho h c sinh chuyên nh ng n m g n thu đ c nh ng k t qu t t Hi v ng lu n v n s m t tài li u b ích cho giáo viên h c sinh chuyên Toán Tácăgi DANHăM CăCỄCăTĨIăLI UăTHAMăKH O [1] Garrett Birkhoff-Saunders Maclane, T ng quan v đ i s hi n đ i(B n d ch ti ng vi t), NXB i h c trung h c chuyên nghi p, Hà N i 1979 [2] Ngô Thúc Lanh, [3] Hoàng Xuân Sính, i s S h c NXB Giáo d c 1987 is đ ic ng, NXB Giáo d c, Hà N i 1995 [4] Jean-Marie Monier, Giáo trình toán, t p i s 1,B n ti ng vi t, NXB Giáo d c 1999 [5] Nguy n V n M u, a th c đ i s phân th c h u t NXB Giáo d c 2006 [6] Nguy n V n M u, Chuyên đ ch n l c v a th c áp d ng NXB Giáo d c 2008 [7] Lê Hoành Phò, Bài gi ng cho h c sinh chuyên toán v n đ v đa th c NXB Giáo d c 2008 Thang Long University Libraty [...]... tài li u ôn thi h c sinh gi i qu c gia, Qu c t , t các đ thi h c sinh gi i THPT qu c gia, Qu c t và khu v c Th c t , các n i dung c a lu n v n này đã đ c d y cho h c sinh các l p chuyên Toán và có nhi u ph n, bài toán làm t i li u cho h c sinh chuyên trong nh ng n m g n đây và thu đ c nh ng k t qu khá t t Hi v ng lu n v n s là m t tài li u b ích cho giáo viên và h c sinh chuyên Toán Tácăgi DANHăM CăCỄCăTĨIăLI... BƠi toán I.2.15 13 Thang Long University Libraty Cho n  , n  4 , ch ng minh r ng P  x  xn  x3  x2  x  5 b t kh quy trên [x] I.3.ăM tăs ăbƠi toán v đa th căChebyshev Các bài toán v đa th c Chebyshev t ng đ i khó v i đa s h c sinh, v i m c đích gi i thi u cho các h c sinh chuyên m i ti p c n v i đa th c nên tôi ch n l c m t s bài toán th ng g p c a đa th c Chebyshev BƠi toán I.3.1 a) Cho f...  x3  ax2  bx  c chia cho x2  1 d 2x BƠi toán I.1.4 Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a n , đa th c P  x   x  1 2 n 1  xn  2 luôn chia h t cho đa th c Q  x  x2  x  1 BƠi toán I.1.5 Tìm t t c các giá tr c a n đ đa th c P  x  x2 n  xn  1 chia h t cho đa th c Q  x  x2  x  1 Bai toán I.1.6 Cho đa th c P  x  , bi t P  x  chia cho  x  2014  và  x  2015 l n l td a... BƠi toán I.2.11 Ch ng minh r ng n u p là m t s nguyên t thì đa th c P  x  xp 1 b t x 1 kh quy trên [x] BƠi toán I.2.12 Cho s nguyên t p và s nguyên a không chia h t cho p Ch ng minh r ng đa th c P  x  x p  x  a b t kh quy trên [x] BƠi toán I.2.13 Cho n là s nguyên d ng Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đ đa th c P  x  xn  4 kh quy trên [x] là n chia h t cho 4 BƠi toán I.2.14 Cho n... t c các nghi m c a đa th c trên II.2.ăTínhăch tăc aănghi măc a đa th c BƠi toán II.2.1 Cho đa th c Cho đa th c P  x  a n xn  a n 1 xn 1   a1 x  a 0 , a n  0 Gi s là nghi m c a đa th c Ch ng minh r ng x0  1  0max  i  n 1 x0 ai an BƠi toán II.2.2 Ch ng minh r ng m i đa th c b c ch n v i t t c các h s l đ u không có nghi m h u t BƠi toán II.2.3 n n i 0 i 0 Cho 2 đa th c P  x  ...   a 0n 1 n BƠi toán II.2.20 Cho đa th c P  x  x3  2 x2  2 x  m Ch ng minh r ng P  x không th có 3 nghi m h u t phân bi t v i m i m II.3.ăNghi măb iăvƠăđ oăhƠmăc a đa th c BƠi toán II.3.1 Cho các đa th c P  x  x3  2 x2  3 x  4; Q  x   x3  5 x2  10 x  10 Ch ng minh r ng các đa th c đã cho có m t nghi m duy nh t và hãy tính t ng 2 nghi m c a chúng BƠi toán II.3.2 P  x ,... CăVĨăPHÂNăTH CăH UăT I.ăD NGă1.ăTệNHăCH T S ăH CăC Aă AăTH CăH ăS ăNGUYểN I.1.ăBƠi toán v ătínhăchiaăh tăc a đa th c BƠi toán I.1.1 Cho P  x  x4  4 x3  ax2  bx  1 Tìm t t c các giá tr c a a , b, c đ P  x  vi t thành bình ph ng c a m t đa th c BƠi toán I.1.2 2 Tìm ph n d trong phép chia x100 cho  x  1 BƠi toán I.1.3 Tìm các s a , b, c sao cho P  x  x3  ax2  bx  c chia h t cho x 2 và. .. đó ch ra P  x  b t kh quy trên [x] BƠi toán I.2.8 Cho đa th c f  x trên [x] có b c n N u t n t i ít nh t 2n 1 s nguyên, phân bi t m sao cho f  m nguyên t thì f  x b t kh quy trên [x] BƠi toán I.2.9 Ch ng minh r ng đa th c P  x   x2  x  1 b t kh quy trên [x] 2n BƠi toán I.2.10 Cho s nguyên t p  5 Tìm s các đa th c b t kh quy trên [x] c a đa th c có d ng P  x  x p  pxk  pxl... nghi m th c BƠi toán II.2.17 Cho P  x  [x] Ch ng minh r ng n u   2  3 là nghi m c a P  x  thì P  x  c ng nh n 2  3 làm nghi m BƠi toán II.2.18 17 Thang Long University Libraty Cho đa th c P  x  b c 4 có 4 nghi m d th c R  x  ng phân bi t Ch ng minh r ng đa 1 4x  1 4x  P  x  1  2  P '  x  P ''  x c ng có 4 nghi m d 2 x x   ng phân bi t BƠi toán II.2.19 Cho đa th c P  x... phân I3   2 1  x  1  x  2  4 3 dx 1 2 2 4 Tính tích phân I 4   2 x  53 dx 2 0 x  1 1 8 4 5 Tính tích phân I5   x  x  23 dx 2 0 x  x  1 23 Thang Long University Libraty K TăLU N Lu n v n đã thu đ c nh ng k t qu sau: - Trình bày tóm t t lý thuy t chuyên đ đa th c và phân th c h u t - Cung c p h th ng bài t p đa d ng, phù h p đ h c sinh th s c v i nhi u c p đ khác nhau Các bài toán