Đa thức và phân thức hữu tỉ dành cho học sinh chuyên toán

Header Page of 166 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - NGUYỄN ĐỨC LAI – C00449 ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ DÀNH CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI HUY HIỀN Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 166 Header Page of 166 MỤC LỤC Trang Mục lục…………………………………………………………….…………………………… Mở đầu …………………………………………………………………………… Lời cảm ơn …………………………………………………………………………………… Chương Tóm tắt số kiến thức chung đa thức phân thức hữu tỷ I Vành đa thức biến………………………………………………………… I.1 Đa thức vành K [X ] …………………………………………………………… I.2 Tính chất vành K [X ] …………………………………………………………… I.3 Phép đạo hàm……………………………………………………………… ……… I.4 II Hàm đa thức………………………………………………………………….……… Số học vành đa thức…………………………………………….………… II.1 Phép chia có dư………………………………………………………………………… II.2 Đa thức bất khả quy………………………………………………………… ……… II.3 Phân tích đa thức( nhân tử hóa đa thức) …………………………… ……… III Nghiệm đa thức………………………………………………………………… III.1 Không điểm đa thức…………………………………………………….……… III.2 Tính chất không điểm đạo hàm……………………………… ……… III.3 Định lý Berzout……………………………………………………………….….…… III.4 Đa thức nội suy Lagrange………………………………………………….……… IV Phân thức hữu tỷ……………………………………….……………….…………… IV.1 Các định nghĩa……………………………………….………………………………… IV.2 Phép phân tích phân thức hữu tỷ………………………………………… 10 IV.3 Các phương pháp phân tích phân thức hữu tỷ……………….……… 10 IV.4 Ứng dụng phép phân tích phân thức hữu tỷ…………………… 10 Chương Các dạng toán đa thức phân thức hữu tỷ Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 I Bài toán số học đa thức hệ số nguyên…………………….………… 11 I.1 Bài toán tính chia hết đa thức………………………………….……… 11 I.2 Chứng minh đa thức khả quy, bất khả quy……………………….………… 12 I.3 Một số toán đa thức Chebyshev……………………………… ……… 14 II Nghiệm đa thức………………………………………………………………… 14 II.1 Tìm nghiệm đa thức…………………………….……………………………… 14 II.2 Tính chất nghiệm đa thức………………………………….…….…… 15 II.3 Nghiệm bội đạo hàm đa thức…… …………………………………… 18 III Bài toán xác định đa thức……………… ……………………………………… 19 III.1 Xác định đa thức cho biết nghiệm đa thức …… …… ……… 19 III.2 Dùng phương pháp hệ số bất định ………………………………………… … 20 III.3 Tìm đa thức biết số giá trị đa thức đạo hàm………… 21 Phân thức hữu tỷ………………………………… ………………………………… 23 IV.1 Phân tích phân thức hữu tỷ……… ……………………………………………… 23 IV.2 Ứng dụng phép phân tích phân thức hữu tỷ vào tính tích phân 23 IV Phần III: Kết luận …………….……………………………………………………………… Tài liệu tham khảo…………………………………….….…………………………………… Footer Page of 166 Header Page of 166 MỞ ĐẦU Trong chương trình môn Toán bậc Phổ thông, học sinh tiếp cận với đa thức từ bậc THCS, đến THPT chuyên Bài toán đa thức phân thức hữu tỷ xuất hầu hết thi Hiện nay, tài liệu đa thức đa dạng phong phú Tuy nhiên, đa số khó học sinh bắt đầu tiếp cận Vì lựa chọn dạng toán điển hình đa thức phân thức hữu tỷ để nghiên cứu phục vụ cho học sinh lớp chuyên toán phổ thông Luận văn gồm chương: Chương Tóm tắt số kiến thức chung đa thức phân thức hữu tỷ Chương Các dạng toán đa thức phân thức hữu tỷ Hà nội ngày 15 tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Đức Lai Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học tiến sĩ Bùi Huy Hiền Em xin chân thành cảm ơn Thầy tận tâm, nhệt tình hướng dẫn em suốt thời gian học tập làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn trường Đại học Thăng Long, cảm ơn Thầy, Cô giáo Nhà trường nhiệt tình giảng dạy cho em suốt thời gian qua Cảm ơn Thầy, Cô giáo trường THPT Chuyên Bắc Giang giúp đỡ, tạo điều kiện cho có nhiều thời gian tham gia học tập nâng cao trình độ Cảm ơn bạn học viên lớp Cao học Thăng Long khoá 03 giúp đỡ trình học tập trường! Hà nội ngày 15 tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Đức Lai Footer Page of 166 Header Page of 166 CHƯƠNG TÓM TẮT MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUNG VỀ ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ I VÀNH ĐA THỨC MỘT BIẾN I.1 Đa thức vành K [X ] I.1.1 Định nghĩa I.1.1.1 Định nghĩa Với dãy  an n thuộc K , ta gọi I  {n  , an  0} giá  an n Đa thức biến, có hệ tử lấy K dãy  an n thuộc K có giá hữu hạn I.1.1.2 Định nghĩa Cho đa thức P   an n  K [X ] Số tự nhiên n lớn cho an khác không gọi bậc P , viết deg  P   n Khi an gọi hệ tử cao P , P  an  P gọi chuẩn tắc I.1.2 Các phép toán đa thức I.1.2.1 Phép cộng Cho đa thức P   an n  K [X ] Q   bn n  K [X ] Khi tổng chúng viết tính theo công thức P  Q   an  bn n  K [X ] I.1.2.2 Phép nhân Cho đa thức P   an n  K [X ] Q   bn n  K [X ] Khi tích chúng viết tính theo công thức P.Q   cn n  K [X ] I.1.2.3 Phép hợp đa thức Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 Cho đa thức P   an n  K [X ] , Q   bn n  K [X ] Ta gọi đa thức hợp P Q viết P Q P  Q  xác định theo công thức N P Q  P  Q    anQ n n 0 I.2 Tính chất vành K [X ] I.3 Phép đạo hàm I.3.1 Định nghĩa N Với đa thức P   an X n  K [ X ] , đa thức đạo hàm P , ký hiệu P ' n0 N N 1 n 0 n 0 xác định P '   nan X n1    n  1 an1 X n  K [ X ] Ta ký hiệu P1  P ', P 2   P ' ', , P k    P k 1  ', k  * I.3.2 Tính chất phép đạo hàm Công thức Leibniz Đạo hàm cấp k ,  k   đa thức tích PQ tính công thức k  PQ     Cki Pi Q k 1 k i 0 I.4 Hàm đa thức I.4.1 Định nghĩa N Cho đa thức P   an X n  K [ X ] Khi ta có hàm P : K  K xác định n0 N quy tắc x  K , P  x    an x n gọi hàm đa thức liên kết với P n 0 I.4.2 Mệnh đề Cho P, Q đa thức K [X ] ,   K ta có Footer Page of 166 Header Page of 166 P   Q  P   Q, P Q  P Q, PQ  P.Q I.4.3 Định lý(Định lý Taylor đa thức) Cho đa thức P  [X ], N  , thỏa mãn deg  P   N ,   Ta có công thức N P   X    P n 0 n   X n n! I.4.4 Mệnh đề Ánh xạ F : K[ X ]  K K P P Là đơn Ánh K vô hạn II SỐ HỌC TRONG VÀNH ĐA THỨC II.1 Phép chia có dư II.1.1 Định nghĩa tính chia hết Cho A, P hai đa thức K [X ]   K Ta nói A chia hết P ( K [ X ] ) ký hiệu A P , tồn đa thức Q  K [ X ] cho P  AQ II.1.2 Tính chất quan hệ chia hết II.1.3 Phép chia Euclide Định lý Cho đa thức A, B  K [ X ], B  Tồn cặp đa thức  Q, R    K [ X ] cho A  BQ  R, deg  R   deg  B  , Q , R thương dư phép chia Euclide A cho B II.1.4 Định nghĩa Ước chung lớn nhất(UCLN), Bội chung nhỏ nhất(BCNN) Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 II.1.5 Tính chất Ước chung lớn nhất(UCLN), Bội chung nhỏ nhất(BCNN) II.1.6 Đa thức nguyên tố II.1.7 Các định lý tính chất Cho A, B, C , P, Q đa thức K [X ]   K Mệnh đề Nếu đa thức A, B khác không, nguyên tố đa thức C chia hết B A C nguyên tố Định lý (Định lý Bezout) Điều kiện cần đủ để đa thức P1 , P2 , , P khác không, nguyên tố toàn thể tồn đa thức Q1 , Q2 , , Qn khác không cho n  PQ i 1 i i  Định lý 2(Định lý Gauss) Nếu đa thức A, B khác không, nguyên tố đa thức A chia hết BC A chia hết C Mệnh đề II.2 Đa thức bất khả quy II.2.1 Định nghĩa Một đa thức P  K [ X ] gọi bất khả quy (nguyên tố) deg  P   P có ước K [ X ]   K \{0}  P  K [ X ],    K\{0} II.2.2 Tính chất đa thức bất khả quy Mệnh đề Mệnh đề II.3 Phân tích đa thức( nhân tử hóa đa thức) Footer Page of 166 Header Page 10 of 166 Định lý Hệ Mệnh đề III NGHIỆM CỦA ĐA THỨC III.1 Không điểm đa thức III.1.1 Định nghĩa Cho P  K [X ], a  K Ta nói  không điểm hay nghiệm P P    III.1.2 Định nghĩa Cho P  K [X ], a  K Ta nói  không điểm cấp bội không thấp k P  X    k III.2 Tính chất không điểm đạo hàm III.2.1 Định lý Viet III.2.2 Đạo hàm với nghiệm đa thức III.3 Định lý Berzout Cho đa thức P  X   an X n  an 1 X n 1   a1 X  a0  K [ X ]   K không điểm P ta có P  X    X    Q  X  III.4 Đa thức nội suy Lagrange Định lý IV PHÂN THỨC HỮU TỶ IV.1 Các định nghĩa IV.1.1 Định nghĩa IV.1.2 Định nghĩa IV.1.3 Định nghĩa Footer Page 10 of 166 Thang Long University Library Header Page 12 of 166 CHƯƠNG CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ I DẠNG TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA ĐA THỨC HỆ SỐ NGUYÊN I.1 Bài toán tính chia hết đa thức Bài toán I.1.1 Cho P  x   x  x3  ax  bx  Tìm tất giá trị a, b, c để P  x  viết thành bình phương đa thức Bài toán I.1.2 Tìm phần dư phép chia x100 cho  x  1 Bài toán I.1.3 Tìm số a, b, c cho P  x   x3  ax  bx  c chia hết cho x  P  x   x  ax  bx  c chia cho x  dư 2x Bài toán I.1.4 Chứng minh với giá trị n , đa thức P  x    x  1 n 1  x n2 chia hết cho đa thức Q  x   x  x  Bài toán I.1.5 Tìm tất giá trị n để đa thức P  x   x n  x n  chia hết cho đa thức Q  x   x  x  Bai toán I.1.6 Cho đa thức P  x  , biết P  x  chia cho  x  2014   x  2015 dư a, b Tìm phép dư phép chia P  x  cho  x  2014  x  2015  Bài toán I.1.7 Chứng minh UCLN x m  x n  xUCLN  m,n 1 Footer Page 12 of 166 11 Thang Long University Library Header Page 13 of 166 I.2 Chứng minh đa thức khả quy, bất khả quy Bài toán I.2.1 Cho P  x   [x ] có bậc n lẻ, nhận giá trị 1 n giá trị nguyên khác Chứng minh P  x   [x ] bất khả quy [x ] Bài toán I.2.2 Cho P  x  thỏa mãn xP  x  1   x  2014  P  x  P  2014   2014! Chứng minh f  x   P  x   bất khả quy [x ] Bài toán I.2.3 Cho a, n nguyên p số nguyên tố thỏa mãn p  a  Chứng minh f  x   x n  ax  p bất khả quy [x ] Bài toán I.2.4 n Cho P  x    xi  [x] thỏa mãn a0 nguyên tố, a0  a1   an Chứng i 0 n minh P  x    xi  [x] bất khả quy [x ] i 0 Bài toán I.2.5 Cho a, m, n nguyên dương, p số nguyên tố thỏa mãn p  a  Chứng minh đa thức f  x   x m  x  a   p bất khả quy [x ] n Bài toán I.2.6 Chứng minh đa thức f  x    x  12  x  22   x  n2   bất khả quy [x ] Bài toán I.2.7 Cho đa thức P  x    x2  x  6  13 2n Footer Page 13 of 166 12 Header Page 14 of 166 Chứng minh P  x   Q  x  R  x  , Q  x  , R  x   [x], Q  x  , R  x   const deg  Q  x    deg  R  x    2n Từ P  x  bất khả quy [x ] Bài toán I.2.8 Cho đa thức f  x  [x ] có bậc n Nếu tồn 2n 1 số nguyên, phân biệt m cho f  m  nguyên tố f  x  bất khả quy [x ] Bài toán I.2.9 Chứng minh đa thức P  x    x  x   bất khả quy [x ] 2n Bài toán I.2.10 Cho số nguyên tố p  Tìm số đa thức bất khả quy [x ] đa thức có dạng P  x   x p  px k  pxl  1, k  l ; k , l  {1, 2,3, , p  1} Bài toán I.2.11 Chứng minh p số nguyên tố đa thức P  x   x p 1 bất x 1 khả quy [x ] Bài toán I.2.12 Cho số nguyên tố p số nguyên a không chia hết cho p Chứng minh đa thức P  x   x p  x  a bất khả quy [x ] Bài toán I.2.13 Cho n số nguyên dương Chứng minh điều kiện cần đủ để đa thức P  x   x n  khả quy [x ] n chia hết cho Bài toán I.2.14 Cho n  , n  Chứng minh P  x   x n  x n 1  bất khả quy [x ] Bài toán I.2.15 Footer Page 14 of 166 13 Thang Long University Library Header Page 15 of 166 Cho n  , n  , chứng minh P  x   x n  x3  x  x  bất khả quy [x ] I.3 Một số toán đa thức Chebyshev Các toán đa thức Chebyshev tương đối khó với đa số học sinh, với mục đích giới thiệu cho học sinh chuyên tiếp cận với đa thức nên chọn lọc số toán thường gặp đa thức Chebyshev Bài toán I.3.1 a) Cho f  x   x  bx  c Tìm số b, c  để với x  [  1;1] f  x   b) Cho f  x   x3  ax  bx  c Tìm số a, b, c  để với x  [  1;1] f  x   Bài toán I.3.2 Tìm số thực a, b, c cho f  x   max x3  ax  bx  c đạt giá trị nhỏ [ 1;1] Bài toán I.3.3 (Ứng dụng đa thức Chebyshev giải phương trình bậc cao) Giải phương trình sau a) x5  10 x3  20 x  18  b) 16 x5  20 x3  x   Bài toán I.3.4 Cho số thực  thỏa mãn a  1  Hãy tính giá trị A  a  a a II DẠNG NGHIỆM CỦA ĐA THỨC II.1 Tìm nghiệm đa thức Bài toán II.1.1 Tìm tất nghiệm đa thức sau với a  a  1  P  x    a2  a   x2  x  1   x2  x   a  a  1 Footer Page 15 of 166 14 Header Page 16 of 166 Bài toán II.1.2 Cho đa thức P  x   ax n  ax n 1  c2 x n 2   cn  x  n 2bx  b có bậc n có n nghiệm dương Hãy tìm tất nghiệm đa thức II.2 Tính chất nghiệm đa thức Bài toán II.2.1 Cho đa thức Cho đa thức P  x   an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0 , an  Giả sử x0 nghiệm đa thức Chứng minh x0   0max  i  n 1 an Bài toán II.2.2 Chứng minh đa thức bậc chẵn với tất hệ số lẻ nghiệm hữu tỷ Bài toán II.2.3 n n i 0 i 0 Cho đa thức P  x    xi , Q  x    b j x j , biết an  bn số nguyên tố an1  bn1 Gọi m nghiệm hữu tỷ chung P  x  , Q  x  Chứng minh m số nguyên Bài toán II.2.4 Chứng minh tích hai nghiệm thực đa thức P  x   x  x  nghiệm đa thức Q  x   x  x  x3  x  Bài toán II.2.5 n 1 Cho đa thức P  x     xi  x n ,  0, i  1, n  P  x  có n nghiệm i 1 thực Chứng minh P    3n Bài toán II.2.6 Footer Page 16 of 166 15 Thang Long University Library Header Page 17 of 166 Cho đa thức P  x   xn  an1xn1   a1x  a0 , ak  1, k  0, n  Chứng minh P  x  có n nghiệm thực n  Bài toán II.2.7 n 1 Cho đa thức P  x     xi  x n ,  0, i  1, n  i 1 ta có a1  a2   an1  3, an1  Chứng minh đa thức P  x  có n nghiệm thực Bài toán II.2.8 Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện an  bn  cn  , n  minh tồn số nguyên p, q, r  * Chứng cho a, b, c nghiệm phương trình x3  px2  qx  r  Bài toán II.2.9 Cho P  x   [x ] Chứng minh P   P 1 lẻ P  x  nghiệm nguyên Bài toán II.2.10 Cho P  x  đa thức nguyên P  x   có nghiệm nguyên x1 , P  x   có nghiệm nguyên x2 , P  x   có nghiệm nguyên x3 Chứng minh x1 ; x2 ; x3 theo thứ tự nghiệm nguyên phương trình P  x   1; P  x   2; P  x   Bài toán II.2.11 Cho P  x    x  x9  x n  x n   x n  x1992 ,  ni  ni 1  1992, ni  Chứng s minh nghiệm P  x  (nếu có) lớn Footer Page 17 of 166 16 1 Header Page 18 of 166 Bài toán II.2.12 Cho P  x   x  x  ax  a Tìm tất giá trị a để nghiệm P  x  x1; x2 ; x3 thỏa mãn   x  3 i 1 i 0 Bài toán II.2.13 Cho P  x   x  ax  bx  c  [x ] Chứng minh có nghiệm   P  x  tích nghiệm lại 2P  1 P 1  P  1  1  P  0  Bài toán II.2.14 n Cho P  x    xi  [x] Chứng minh i 0 p  q nghiệm P  x  ta có  p  mq  P  m  , m  Bài toán II.2.15 Cho đa thức với hệ số nguyên P  x  Thỏa mãn tất số P   ; P 1 ; , P  m  1 không chia hết cho m; m  ; m  P  x  nghiệm nguyên Bài toán II.2.16 Cho f  x   [x ] có nghiệm thực Chứng minh P  x   f  x   f '  x  có nghiệm thực Bài toán II.2.17 Cho P  x   [x ] Chứng minh    nghiệm P  x  P  x  nhận  làm nghiệm Bài toán II.2.18 Footer Page 18 of 166 17 Thang Long University Library Header Page 19 of 166 Cho đa thức P  x  bậc có nghiệm dương phân biệt Chứng minh đa thức R  x   1 4x  1 4x  P  x   1   P '  x   P ''  x  có nghiệm dương phân x x   biệt Bài toán II.2.19 Cho đa thức P  x   x n  an 1 x n 1   a1 x  a0 có n nghiệm không âm Chứng n minh  a1   a0n 1 n Bài toán II.2.20 P  x   x3  x  x  m Cho đa thức Chứng minh P  x có nghiệm hữu tỷ phân biệt với m II.3 Nghiệm bội đạo hàm đa thức Bài toán II.3.1 P  x   x  x  x  4; Q  x   x  x  10 x  10 Cho đa thức Chứng minh đa thức cho có nghiệm tính tổng nghiệm chúng Bài toán II.3.2 P  x  , deg  P  x    n  1, Cho đa thức monic Chứng minh có n nghiệm thực x1; x2 ; ; xn 1     P '  x1  P '  x2  P '  xn  Bài toán II.3.3 Cho đa thức f  x có bậc n Các số a, b thỏa mãn đồng thời điều kiện sau f  a   0,  1 f '  a   0,  1 f ''  a   0, ,  1 f  Footer Page 19 of 166 18 n n a  Header Page 20 of 166 f  b   0,  1 f '  b   0,  1 f ''  b   0, ,  1 f  n n b   Chứng minh tất nghiệm thực đa thức f  x thuộc khoảng  a; b  Bài toán II.3.4 Cho đa thức f  x  có nghiệm a, b, c;  a  b  c  phương trình x  mx  n  có nghiệm Chứng minh phương trình f ''  x   mf '  x   nf  x   có nghiệm thuộc khoảng  a ; c  Bài toán II.3.5 Cho đa thức f  x   nx n    n   x n 1   n   x  n Chứng minh f  x  chia hết cho  x  1 với số tự nhiên n  III DẠNG BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC III.1 Xác định đa thức cho biết nghiệm đa thức Bài toán III.1.1 Tìm tất đa thức P  x   [x ] nhận x    3 làm nghiệm Chứng minh deg P  x   Bài toán III.1.2 Xét tập hợp đa thức P  x  khác hằng, thỏa mãn điều kiện P  x  1  P  x  P   x  , x  Hãy tìm tập hợp đa thức có bậc bé có nghiệm lớn Bài toán III.1.3 Footer Page 20 of 166 19 Thang Long University Library Header Page 21 of 166 Tìm tất đa thức bậc dạng P  x   x  bx  c,  b, c   cho P  x   x  nghiệm thực P  P  x    x  có nghiệm thực Bài toán III.1.4 Tìm tất đa thức P  x    x  có bậc n , có n nghiệm thực thỏa mãn P  x  P  x   P  x3  x  ,  Bài toán III.1.5 Tìm tất đa thức P  x   Q  x   x  , monic bậc 2, cho tồn đa thức  x  mà hệ số đa thức R  x   P  x  Q  x  thuộc tập {1;1} Bài giải III.2 Dùng phương pháp hệ số bất định Bài toán III.2.1 Cho đa thức P  x   ax  bx  c,  a   Chứng minh tồn nhiều đa thức Q  x  bậc n thảo mãn P  Q  x    Q  P  x   Bài toán III.2.2 Cho số nguyên tố khác p1 , p2 , p3 , p4 Chứng minh không tồn đa thức Q  x  bậc có hệ số nguyên thỏa mãn Q  p1   Q  p2   Q  p3   Q  p4   Bài toán III.2.3 Tìm tất đa thức P  x  với hệ số thực thoả mãn phương trình P  x   P  x  với x thuộc Bài toán III.2.4 Footer Page 21 of 166 20 Header Page 22 of 166 Tìm tất đa thức P  x  thỏa mãn P  x2  2x    P  x  2 với giá trị thực x Bài toán III.2.5 Tìm tất đa thức P  x  hệ số thực thỏa mãn P  x   x 3P  x   P   x   P  x   x với giá trị thực x Bài toán III.2.6 Tìm tất đa thức P  x  hệ số nguyên thỏa mãn 16P  x2    P  2x  với giá trị thực x Bài toán III.2.7 Tìm tất đa thức P  x  hệ số thực thỏa mãn  x y 2 x y P  x  P  y   P2  P       với giá trị thực x, y Bài toán III.2.8 Cho a  0, b, c  n  1, n  Chứng minh tồn nhiều đa thức   P  x  có hệ số thực bậc n thỏa mãn P ax2  bx  c  a  P  x    bP  x   c với giá trị thực x III.3 Tìm đa thức biết số giá trị đa thức đạo hàm Bài toán III.3.1 Tìm tất đa thức P  x    x  thỏa mãn  P  a   P  b   P  c    a  b  c  với số nguyên a, b, c Bài toán III.3.2 Footer Page 22 of 166 21 Thang Long University Library Header Page 23 of 166 Tìm tất đa thức P  x    x  thỏa mãn P   5, P   P 12  không chia hết cho 35 Bài toán III.3.3 Tìm tất đa thức P  x  bậc n thỏa mãn điều kiện P  x  y   P  x  y  P  x  y  , x, y  Bài toán III.3.4 Tìm tất đa thức P  x    x  Thỏa mãn điều kiện P  x  y   P  x   P  y   xy , x, y  Bài toán III.3.5 Tìm tất đa thức P1  x  , P2  x  , P3  x  , P4  x  cho với x, y, z, t  thỏa mãn xy  zt  P1  x  P2  y   P3  z  P4  t   Bài toán III.3.6 Tìm tất đa thức P  x    x  có dạng P  x   n !.x n  an1 x n1   a1 x   1  n  1 n có nghiệm x1; x2 ; ; xn  Và xk   k ; k  1 Bài toán III.3.7 Chứng minh tồn đa thức P  x  có dạng P  x   x n  an 1 x n 1   a1 x  a0 thỏa mãn điều kiện n  n  1 P  x    x  a  x  b  P ''  x  ; x  Bài toán III.3.8 Tìm tất đa thức P  x  bậc n thỏa mãn điều kiện sau Footer Page 23 of 166 22 Header Page 24 of 166 P  x  1  P  x   x  1, x  IV DẠNG PHÂN THỨC HỮU TỶ IV.1 Phân tích phân thức hữu tỷ Bài tập IV.1.1 Phân tích phân thức sau thành tổng phân thức đơn giản: 1) F  3) F  x  x  1 x  2  x  1  x   2) F  3x  x  x  2 4) F  x  53 x  1 5) F  x  x  23 x  x  1 IV.2 Ứng dụng phép phân tích phân thức hữu tỷ vào tính tích phân Bài tập IV.2.1 Tính tích phân I1   x 1  x  1 x   dx Tính tích phân I   3x  dx x  x  2 3 Tính tích phân I3    x  1  x   dx 2 Tính tích phân I   x  53 dx x  1 Tính tích phân I5   x  x  23 dx Footer Page 24 of 166 x  x  1 23 Thang Long University Library Header Page 25 of 166 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau: - Trình bày tóm tắt lý thuyết chuyên đề đa thức phân thức hữu tỷ - Cung cấp hệ thống tập đa dạng, phù hợp để học sinh thử sức với nhiều cấp độ khác Các toán luận văn chủ yếu trích từ tài liệu ôn thi học sinh giỏi quốc gia, Quốc tế, từ đề thi học sinh giỏi THPT quốc gia, Quốc tế khu vực Thực tế, nội dung luận văn dạy cho học sinh lớp chuyên Toán có nhiều phần, toán làm liệu cho học sinh chuyên năm gần thu kết tốt Hi vọng luận văn tài liệu bổ ích cho giáo viên học sinh chuyên Toán Tác giả Footer Page 25 of 166 Header Page 26 of 166 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Garrett Birkhoff-Saunders Maclane, Tổng quan đại số đại(Bản dịch tiếng việt), NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1979 [2] Ngô Thúc Lanh, Đại số Số học NXB Giáo dục 1987 [3] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội 1995 [4] Jean-Marie Monier, Giáo trình toán, tập Đại số 1,Bản tiếng việt, NXB Giáo dục 1999 [5] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số phân thức hữu tỉ NXB Giáo dục 2006 [6] Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề chọn lọc Đa thức áp dụng NXB Giáo dục 2008 [7] Lê Hoành Phò, Bài giảng cho học sinh chuyên toán vấn đề đa thức NXB Giáo dục 2008 Footer Page 26 of 166 Thang Long University Library ... toán đa thức Chebyshev tương đối khó với đa số học sinh, với mục đích giới thiệu cho học sinh chuyên tiếp cận với đa thức nên chọn lọc số toán thường gặp đa thức Chebyshev Bài toán I.3.1 a) Cho. .. môn Toán bậc Phổ thông, học sinh tiếp cận với đa thức từ bậc THCS, đến THPT chuyên Bài toán đa thức phân thức hữu tỷ xuất hầu hết thi Hiện nay, tài liệu đa thức đa dạng phong phú Tuy nhiên, đa. .. phép phân tích phân thức hữu tỷ Footer Page 11 of 166 10 Header Page 12 of 166 CHƯƠNG CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ I DẠNG TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA ĐA THỨC HỆ SỐ NGUYÊN I.1 Bài toán