Đa thức có trọng và lý thuyết đa thế vị có trọng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ BÍCH NGỌC ĐA THỨC CÓ TRỌNG VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 1S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ BÍCH NGỌC ĐA THỨC CÓ TRỌNG VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ CÓ TRỌNG Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS,TSKH NGUYỄN VĂN KHUÊ Thái Nguyên - Năm 2012 2S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 HÀM CỰC TRỊ TRONG CN 1.1 Hàm đa điều hòa 1.1.1 Hàm nửa liên tục 1.1.2 Hàm điều hòa 1.1.3 Hàm đa điều hòa 1.2 Một vài họ hàm đa điều hòa CN 1.3 Hàm L-cực trị 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Các tính chất 1.4 Tập L-cực 1.5 Độ đo Monge-Ampère ĐA CÓ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 THỨC CÓ TRỌNG VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ TRỌNG Kiến thức chuẩn bị bổ sung Sự liên hệ độ đo cân có trọng không trọng Bất đẳng thức Bernstein-Markov L2 lý thuyết đa thức có trọng Tập hợp tròn tổng quát 3 8 13 18 VỊ 20 20 23 28 32 34 Kết luận 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 3S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý chọn Luận văn Lý thuyết đa vị (không trọng), đặc biệt hàm cực trị đa phức nghiên cứu từ cuối năm 70 Các kết ứng dụng lý thuyết tìm hai công trình Siciak Bloom sách chuyên khảo Klimek Đặc biệt công trình Siciak, Siciak người đưa nghiên cứu sơ hàm cực trị có trọng Gần Bloom Levenberg giải số toán mở quan trọng lý thuyết đa vị nghiên cứu lý thuyết trường hợp có trọng Đó lý chọn "Đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng" làm đề tài nghiên cứu Luận văn Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí toán học nước quốc tế liên quan đến đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích Luận văn Mục đích Luận văn trình bày công trình gần Thomas Bloom đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng Nội dung Luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương Trình bày phần công trình Siciak cực trị hàm đa điều hòa dưới, đặc biệt kết ban đầu hàm cực trị Chương Trình bày công trình Bloom đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng Các kết đáng ý ba Định lý 2.2.10, 2.3.4, 2.4.1 4S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo GS.TSKH Nguyễn Văn Khuê, Đại học sư phạm Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán-trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K18B quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm Luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô toàn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả Lê Bích Ngọc 5S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương HÀM CỰC TRỊ TRONG CN Trong chương trình bày số kiến thức liên quan tới việc chứng minh kết chương như: Hàm đa điều hòa dưới, hàm L-cực trị, tập L-cực 1.1 1.1.1 Hàm đa điều hòa Hàm nửa liên tục Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian mêtric a) Hàm u : X → [−∞; +∞) gọi nửa liên tục tập hợp {x ∈ X : u(x) < α} mở với α ∈ R b) Hàm u : X → (−∞; +∞] gọi nửa liên tục tập hợp {x ∈ X : u(x) > α} mở với α ∈ R Nhận xét Từ định nghĩa ta có a) Hiển nhiên u nửa liên tục −u nửa liên tục b) Hàm u : X → [−∞; +∞) gọi nửa liên tục lim sup u(x) = u(a), x→a 6S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xảy với a ∈ X , lim sup u(x) = inf (sup{u(y) : y ∈ B(a, ε)}) x→a ε>0 Thật vậy, giả sử u nửa liên tục trên X Ta cần chứng minh lim sup u(x) = u(a) xảy với a ∈ X x→a Cho a ∈ X , coi u(a) = −∞ Do u nửa liên tục nên u nửa liên tục a Suy với ε > 0, tồn lân cận Ua ⊂ X a cho với x ∈ Ua ta có u(x) < u(a) + ε nên sup{u(x) : x ∈ Ua } ≤ u(a) + ε Từ đó, inf sup{u(x) : x ∈ Ua } ≤ u(a) + ε Vì ε nhỏ tùy ý nên Ua suy lim sup u(x) = inf sup{u(x) : x ∈ Ua } ≤ u(a) x→a Ua Mặt khác hiển nhiên ta có: u(a) ≤ lim sup u(x), x→a với a ∈ X Vậy xảy với a ∈ X lim sup u(x) = u(a), x→a 1.1.2 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.2 Giả sử Ω tập mở C Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi hàm điều hòa Ω thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) u hàm nửa liên tục trên Ω (ii) Với w ∈ Ω, tồn ρ > cho B(w, ρ) ⊂ Ω, ta có: u(w) ≤ 2π 2π u(w + reiθ )dθ, ≤ r < ρ Ta biết (ii) tương đương với (ii)’: Với ω ∈ Ω ρ > cho B(ω, ρ) ⊂ Ω, ta có 2π u(ω) ≤ 2π u(ω + reiθ )dθ Tập tất hàm điều hòa Ω ký hiệu SH(Ω) 7S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.1.3 Giả sử u, v hai hàm điều hòa Ω ∈ C Khi đó: (i) h(z) = max(u(z), v(z)) hàm điều hòa Ω (ii) Với số thực α, β > 0, ta có: h(z) = αu(z) + βv(z), hàm điều hòa Ω Chứng minh Hiển nhiên h(z) = max{u(z), v(z)} nửa liên tục trên Ω Mặt khác, lấy z0 ∈ Ω, tồn B(z0 , ρ) ⊂ Ω cho u(z0 ) ≤ 2π v(z0 ) ≤ 2π Do 2π u(z0 + re )dθ ≤ 2π 2π iθ 2π v(z0 + re )dθ ≤ 2π h(z0 + reiθ )dθ, ≤ r < ρ, 2π iθ h(z0 + reiθ )dθ, ≤ r < ρ 2π h(z0 + reiθ )dθ, ≤ r < ρ h(z) ≤ 2π Vậy h(z) hàm diều hòa Ω (ii) Chứng minh tương tự (i) 1.1.3 Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.1.4 Giả sử Ω tập mở CN u : Ω → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục trên, không đồng −∞ thành phần liên thông Ω Hàm u gọi đa điều hòa Ω với a ∈ Ω b ∈ CN hàm λ → u(a + λb) hàm điều hòa đồng −∞ thành phần liên thông tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω} Tập tất hàm đa điều hòa Ω ký hiệu P SH(Ω) Định lý 1.1.5 Giả sử u : Ω → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục không đồng −∞ thành phần liên thông Ω ⊂ CN Khi u ∈ P SH(Ω) với a ∈ Ω b ∈ CN cho {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω, ta có: u(a) ≤ 2π 2π u(a + eiθ b)dθ Hơn nữa, tính đa điều hòa có tính địa phương 8S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Điều kiện cần Giả sử u ∈ P SH(Ω) cần chứng minh với a ∈ Ω, b ∈ CN cho {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω, ta có: 2π u(a) ≤ 2π u(a + eiθ b)dθ Thật vậy, u ∈ P SH(Ω) nên: u:D⊂C → R λ → u(a + λb) hàm điều hòa D = {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω, b ∈ CN } Do {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω, nên B(0, 1) ⊂ D Khi theo định nghĩa hàm điều hòa dưới, ta có: v(0) ≤ 2π 2π v(0 + 1e )dθ = 2π 2π iθ u(a + eiθ b)dθ với v(λ) = u(a + λb) Vậy u(a) ≤ 2π 2π u(a + eiθ b)dθ 2π iθ Điều kiện đủ Hiển nhiên u(a) ≤ 2π u(a + e b)dθ với a ∈ Ω, b ∈ CN mà {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω u ∈ P SH(Ω) Định lý chứng minh 1.2 Một vài họ hàm đa điều hòa CN Cho tập mở G CN , ta ký hiệu P SH(G) tập tất hàm đa điều hòa G Chúng ta ý đặc biệt đến họ hàm đa điều hòa CN sau đây: L = {u ∈ P SH(CN ) : u(x) ≤ β + log(1 + |x|) CN }, L+ = {u ∈ P SH(CN ) : α+log(1+|x|) ≤ u(x) ≤ β+log(1+|x|) CN }, 9S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn α β số thực phụ thuộc vào u, |x| = max |xj | 1≤j≤N N với x = (x1 , , xN ) ∈ C Tập L gọi lớp Lelong CN Hiển nhiên L+ ⊂ L hai họ tập lồi P SH(CN ) Các phần tử L gọi hàm đa điều hòa với cấp tăng cực tiểu loại Đế ý f đa thức khác N biến phức với bậc ≤ n, ( n ) log |f | ∈ L Thật vậy, đặt M = sup{|f (x)| : |x| ≤ 1}; theo bất đẳng thức Cauchy: |f (x)| ≤ M (1 + |x| + + |x|n ) ≤ M1 (1 + |x|n ), M1 = const > 0, kéo theo kết Đặt ω(x) = CN exp(− 1−|x| ) với |x| ≤ ω(x) = với |x| ≥ với số dương CN chọn cho ω(x)dx = 1, phép lấy tích phân lấy với độ đo Lebesgue 2N −chiều CN Cho λ > bất kỳ, đặt ωλ (x) = λ−2N ω(λ−1 x) Từ ωλ (x)dx = ωλ (x) = với |x| ≥ λ Mệnh đề 1.2.1 Nếu u ∈ L ( u ∈ L+ ), uλ = u ∗ ωλ cho bởi: (u ∗ ωλ )(x) = x ∈ CN , u(x + y)ωλ (y)dy, C ∞ -hàm CN thuộc L (L+ ) Hơn nữa, uλ ↓ u λ ↓ Chứng minh Ta biết uλ C ∞ -hàm, uλ ∈ P SH(CN ) uλ ↓ u λ ↓ CN Từ định nghĩa uλ ta suy uλ ∈ L (tương ứng uλ ∈ L+ ) Mệnh đề 1.2.2 Cho hàm u ∈ L+ , đặt δ = e−u δλ (x) = infN [δ(y) + ( )|y − x|], x ∈ CN , λ > λ y∈C Khi (i) |δλ (x) − δλ (y)| ≤ ( λ1 )|x − y|, x, y ∈ CN ; (ii) uλ = − log δλ ∈ L+ < λ < eβ ; (iii) uλ ↓ u CN λ ↓ 10S hóa bi Trung tâm Hc liu – i hc Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... sơ hàm cực trị có trọng Gần Bloom Levenberg giải số toán mở quan trọng lý thuyết đa vị nghiên cứu lý thuyết trường hợp có trọng Đó lý chọn "Đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng" làm đề tài... đến đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích Luận văn Mục đích Luận văn trình bày công trình gần Thomas Bloom đa thức có trọng lý thuyết đa vị có trọng. .. ĐA CÓ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 THỨC CÓ TRỌNG VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ TRỌNG Kiến thức chuẩn bị bổ sung Sự liên hệ độ đo cân có trọng