Đa thức hoán vị được

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VƯƠNG THỊ YẾN ĐA THỨC HOÁN VỊ ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức chuẩn bị nhóm 1.2 Kiến thức chuẩn bị vành 10 1.3 Kiến thức chuẩn bị trường 14 1.4 Kiến thức chuẩn bị đa thức 17 Đa thức hoán vị 20 2.1 Khái niệm đa thức hoán vị 20 2.2 Một số lớp đa thức hoán vị trường 26 2.3 Đa thức hoán vị modulo 2k 30 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Đề tài thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành Cô Bởi giúp đỡ, bảo, khuyến khích ân cần Cô góp phần lớn cho thành công luận văn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo, Phòng Đào tạo - Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi để bạn học viên cao học Khóa (2010 - 2012) học tập, nghiên cứu Tôi xin cảm ơn Thầy, Cô GS.TSKH Hà Huy Khoái, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, nhà toán học hàng đầu Việt Nam giảng dạy chuyên đề cho lớp Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, người thân bên, động viên, giúp đỡ để hoàn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Ta biết đa thức f ♣xq vành hữu hạn R gọi hoán vị đa thức hoán vị phần tử vành R, tức ánh xạ ϕ : R Ñ R cho ϕ♣aq ✏ f ♣aq phải song ánh Trong "Finite fields" xuất lần năm 1983, Lidl Niedereiter [LN] nghiên cứu tiêu chuẩn đa thức hoán vị được, dạng đặc biệt đa thức hoán vị được, nhóm đa thức hoán vị được, trường hợp ngoại lệ đa thức hoán vị đa thức hoán vị số dạng bất định Lidl Mullen [LM1,2] nghiên đa thức hoán vị trường hữu hạn Năm 1986, R A Mollin C Small [MS] đưa tiêu chuẩn đa thức hoán vị dạng xn Năm 1999, R Rivest [Riv] đưa tiêu chuẩn đa thức hoán vị modulo 2k Trong đề tài trình bày lại kết hai báo R.A.Mollin C.Small [MS] R.Rivest [Riv] đặc trưng tính hoán vị đa thức dạng xn đa thức dạng xk   bxj   c với ♣k → j ➙ 1q trường hữu hạn, đồng thời xét tính hoán vị đa thức dạng P ♣xq ✏ a0   a1 x     an xn với n ✏ 2k vành Z2k Luận văn gồm chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị nhóm, vành, trường đa thức nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau Trong phần đầu Chương trình bày khái niệm đa thức hoán vị số ví dụ đơn giản Phần thứ Chương giành để chứng minh tiêu chuẩn hoán vị trường hữu hạn số lớp đa thức dạng xn (Định lý 2.1.7) đa thức dạng xk   bxj   c với k → j ➙ (Định lý 2.2.1) Phần cuối Chương nhằm trình bày điều kiện cần đủ để đa thức với hệ số nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hoán vị theo modulo 2k , tức hoán vị vành Z2k (Định lý 2.3.10) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm kết chuẩn bị nhóm, vành, trường đa thức phục vụ cho chứng minh kết chương sau 1.1 Kiến thức chuẩn bị nhóm 1.1.1 Định nghĩa Nhóm tập G với phép toán (kí hiệu theo lối nhân) thoả mãn điều kiện (i) Phép toán có tính kết hợp: a♣bcq ✏ ♣abqc, ❅a, b, c € G (ii) G có đơn vị: ❉e € G cho ex ✏ xe ✏ x, ❅x € G (iii) Mọi phần tử G khả nghịch: Với x € G, tồn x✁1 cho xx✁1 ✏ x✁1x ✏ e €G Một nhóm G gọi nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) phép toán giao hoán Nếu G có hữu hạn phần tử số phần tử G gọi cấp G Nếu G có vô hạn phần tử ta nói G có cấp vô hạn Sau số ví dụ nhóm: Z, Q, R, C nhóm giao hoán cấp vô hạn với phép cộng thông thường Với số nguyên m ➙ 1, tập Zm ✏ ta ⑤ a € Z, a ✏ b a ✁ b chia hết cho m✉ số nguyên modulo m với phép cộng a   b ✏ a   b nhóm giao Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hoán cấp m Tập Z✝m ✏ ta € Zm ⑤ ♣a, mq ✏ 1✉ số nguyên modulo m nguyên tố với m với phép nhân ✏ ab nhóm giao hoán cấp ϕ♣mq, ϕ hàm Euler, tức ϕ♣1q ✏ m → ϕ♣mq số số tự nhiên nhỏ m ab nguyên tố với m 1.1.2 Định nghĩa Một nhóm G gọi xyclic tồn a €G cho phần tử G luỹ thừa a Trong trường hợp ta viết G ✏ ♣aq ta gọi G nhóm xyclic sinh a Phần tử a gọi phần tử sinh G 1.1.3 Bổ đề Nhóm nhóm xyclic xyclic ✏ ♣aq nhóm xyclic Cho H nhóm G Nếu H ✏ te✉ H nhóm xyclic sinh e Giả sử H ✘ te✉ Chọn e ✘ x € H Viết x ✏ ak Do x ✘ e nên k ✘ Vì H nhóm nên a✁k € H Trong hai số k ✁k phải có số nguyên dương Chứng minh Giả sử G Vì H chứa lũy thừa nguyên dương a Gọi r số nguyên € H Rõ ràng H ❹ ♣ar q Cho y € H Viết y ✏ at với t ✏ rq   s, ↕ s ➔ r Ta có y ✏ at ✏ ♣ar qq as Do as ✏ y ♣ar q✁q € H Từ cách chọn r ta suy s ✏ Do y ✏ at ✏ ♣ar qq € ♣ar q Vậy H ✏ ♣ar q nhóm xyclic dương bé cho ar 1.1.4 Định nghĩa Tập H nhóm G gọi nhóm G e € H , a✁1 € H ab € H với a, b € H Cho G nhóm Khi te✉ nhóm bé G G nhóm lớn G Cho a € G Đặt ♣aq ✏ tan ⑤ n € Z✉ Khi ♣aq nhóm G, gọi nhóm xyclic sinh a Cấp nhóm ♣aq gọi cấp phần tử a Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.5 Bổ đề Cho G nhóm a phần tử G Các phát biểu sau tương đương (i) a có cấp n (ii) n số nguyên dương bé cho an (iii) an ✏ e ✏ e ak ✏ e k bội n với k € Z Chứng minh (i)ñ(ii) Trước hết ta khẳng định tồn số nguyên ✏ e Giả sử ngược lại, với cặp số tự nhiên k ➔ k✶ ta có ak ✁k ✘ e Suy ak ✘ ak Điều chứng tỏ ♣aq có cấp vô hạn, dương k cho ak ✶ ✶ vô lí với giả thiết (i) Do đó, tồn số nguyên dương k cho ak ✏ e Gọi r số nguyên dương bé có tính chất ar ✏ e Ta thấy phần tử e, a, a2 , , ar✁1 đôi khác Thật vậy, ✏ aj với ↕ i ↕ j ➔ r aj✁i ✏ e ↕ j ✁ i ➔ r, theo cách chọn r ta có i ✏ j Bây ta chứng minh G ✏ te, a, a2 , , ar✁1 ✉ Rõ ràng G ❹ te, a, a2 , , ar✁1 ✉ Cho b € G Khi b ✏ ak với k € Z Viết k ✏ rq   s q, s € Z ↕ s ↕ r ✁ Ta có b ✏ ak ✏ arq s ✏ ♣ar qq as ✏ as € te, a, a2, , ar✁1✉ Vì G ✏ te, a, a2 , , ar✁1 ✉ nhóm cấp r Suy r ✏ n (ii) chứng minh (ii)ñ(iii) Giả sử ak ✏ e Viết k ✏ nq   r với ↕ r ➔ n Vì an ✏ e nên e ✏ ak ✏ anq ar ✏ ar Theo cách chọn n ta phải có r ✏ 0, suy k chia hết cho n (iii)ñ(i) Gọi r số nguyên dương bé cho ar ✏ e Theo (iii), r bội n Do n số nguyên dương bé thỏa mãn an ✏ e Tương tự chứng minh (i)Ñ(ii) ta suy cấp a n ✏ ♣aq nhóm xyclic cấp n Khi phần tử b ✏ ak phần tử sinh G ♣k, nq ✏ 1.1.6 Hệ Cho G Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✏ ak phần tử sinh G Khi b có cấp n Đặt d ✏ ♣k, nq Ta có bn④d ✏ ♣an qk④d ✏ e Theo Bổ đề 1.1.5, n④d bội n Vì d ✏ Ngược lại, giả sử ♣k, nq ✏ Ta có bn ✏ ♣an qk ✏ e Giả sử bt ✏ e Khi akt ✏ e Theo Bổ đề 1.1.5, kt bội n Do ♣k, nq ✏ nên t bội n Theo Bổ đề 1.1.5, b có cấp n Vậy G ✏ ♣bq Chứng minh Giả sử b 1.1.7 Định nghĩa Cho G nhóm H nhóm G Với a € G, kí hiệu Ha ✏ tha ⑤ h € H ✉ Ta gọi Ha lớp ghép trái hay lớp kề trái H G ứng với phần tử a Tập lớp ghép trái H G kí hiệu G④H Khi H có hữu hạn lớp ghép trái số lớp ghép trái H gọi số H G kí hiệu ♣G : H q Trong trường hợp này, số H số phần tử G④H Đặc biệt, cấp G ♣G : eq, số nhóm tầm thường te✉ Với H nhóm nhóm G a, b Ha ✏ Hb ab✁1 € H € G, ta dễ dàng kiểm tra 1.1.8 Định lý (Lagrange) Trong nhóm hữu hạn, cấp số nhóm ước cấp toàn nhóm Chứng minh Giả sử G nhóm có cấp n H nhóm G có € G ta có a ✏ ea € Ha Vì thế, phần tử G thuộc lớp ghép trái H Giả sử Ha ❳ Hb ✘ ❍ Khi tồn h, h✶ € H cho ✏ h✶ b Suy a ✏ h✁1 h✶ b Cho xa € Ha, x € H Khi xa ✏ ♣xh✁1 h✶ qb € Hb Suy Ha ❸ Hb Tương tự, Hb ❸ Ha Ha ✏ Hb Vậy hai lớp ghép trái H khác phải rời Với a € G, rõ ràng ánh xạ f : H ÝÑ Ha xác định f ♣hq ✏ song ánh Vì lớp cấp m Với a ghép trái H có m phần tử Gọi số H s Từ lập luận ta suy n ✏ sm Vì s m ước n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 1.1.9 Hệ Cho G nhóm cấp n a ước n Hơn nữa, an ✏ e € G Khi cấp a Chứng minh Gọi cấp a r Khi nhóm xyclic ♣aq có cấp r Theo Định lí Lagrange, r ước n Theo Bổ đề 1.1.5 ta có ar Suy an ✏ e ✏ e 1.1.10 Hệ Mọi nhóm cấp nguyên tố nhóm xyclic Chứng minh Giả sử G nhóm cấp p nguyên tố Lấy a € G, a ✘ e Theo Định lí Lagrange, a có cấp ước p Vì p nguyên tố nên cấp a là p Do a ✘ e nên cấp a lớn Vậy cấp a p, tức G nhóm xyclic sinh a 1.2 Kiến thức chuẩn bị vành 1.2.1 Định nghĩa Vành tập V trang bị hai phép toán cộng nhân thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) V nhóm giao hoán với phép cộng; (ii) V vị nhóm với phép nhân: Phép nhân có tính chất kết hợp tồn phần tử với x € V ; €V (gọi phần tử đơn vị) cho 1x ✏ x1 ✏ x (iii)Phép nhân phân phối phép cộng Nếu phép nhân giao hoán V gọi vành giao hoán Sau số ví dụ thường gặp vành: 1.2.2 Ví dụ a) Rõ ràng Z, Q, R, C vành giao hoán với phép cộng nhân thông thường; b) Với số tự nhiên n → 0, tập Zn số nguyên modulo n làm thành vành giao hoán với phép cộng phép nhân cho bởi: a   b ✏ a   b a b ✏ ab với a, b € Zn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... chuẩn đa thức hoán vị được, dạng đặc biệt đa thức hoán vị được, nhóm đa thức hoán vị được, trường hợp ngoại lệ đa thức hoán vị đa thức hoán vị số dạng bất định Lidl Mullen [LM1,2] nghiên đa thức hoán. .. chuẩn bị đa thức 17 Đa thức hoán vị 20 2.1 Khái niệm đa thức hoán vị 20 2.2 Một số lớp đa thức hoán vị trường 26 2.3 Đa thức hoán vị modulo 2k 30 Kết... C.Small [MS] R.Rivest [Riv] đặc trưng tính hoán vị đa thức dạng xn đa thức dạng xk   bxj   c với ♣k → j ➙ 1q trường hữu hạn, đồng thời xét tính hoán vị đa thức dạng P ♣xq ✏ a0   a1 x     an xn với