Đa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tốĐa thức hoán vị được modulo lũy thừa một số nguyên tố
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐINH NGỌC PHÚC ĐA THỨC HOÁN VỊ ĐƯỢC MODULO LŨY THỪA MỘT SỐ NGUYÊN TỐ THÁI NGUYÊN, 08/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐINH NGỌC PHÚC ĐA THỨC HOÁN VỊ ĐƯỢC MODULO LŨY THỪA MỘT SỐ NGUYÊN TỐ CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: GS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN, 08/2018 Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Phần mở đầu Cấu trúc trường hữu hạn 1.1 Đa thức bất khả quy 1.2 Trường phân rã đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn 7 15 Đa tố 2.1 2.2 2.3 21 21 27 35 thức hoán vị modulo lũy thừa số nguyên Đa thức hoán vị trường hữu hạn Đa thức hoán vị vành Z2n Đa thức hoán vị vành Z3n Z5n Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin gửi lời biết ơn chân thành đến GS TS Lê Thị Thanh Nhàn hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Khi bắt đầu nhận đề tài thực cảm nhận đề tài mang nhiều nội dung mẻ Hơn với vốn kiến thức ỏi với kinh nghiệm làm đề tài không nhiều nên chưa thực tự tin để tiếp cận đề tài Mặc dù bận rộn công việc Cô dành nhiều thời gian tâm huyết việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tơi suốt thời gian thực đề tài Trong trình tiếp cận đề tài đến q trình hồn thiện luận văn Cơ ln tận tình bảo tạo điều kiện tốt nhất cho tơi hồn thành luận văn Cho đến luận văn thạc sĩ tơi hồn thành, xin cảm ơn Cơ đôn đốc, nhắc nhở Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Tốn - Tin Phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy, Cơ tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô giáo trường THPT Nguyễn Đăng Đạo -Bắc Ninh nơi cơng tác tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành công việc chuyên môn nhà trường để hồn thành chương trình học tập cao học Cuối cùng, tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, người khơng ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho suốt trình học tập thực luận văn Thái nguyên, ngày 10/08/2018 Tác giả PHẦN MỞ ĐẦU Trong Toán học, đa thức biến f (x) với hệ số vành giao hoán V gọi đa thức hoán vị V (hay gọi đa thức hoán vị V ) f (x) tác động hoán vị V, nghĩa ánh xạ cảm sinh a → f (a) song ánh V Chẳng hạn, V = R trường số thực, đa thức f (x) = x + hoán vị R, nhiên đa thức g(x) = x2 khơng hốn vị R Khi V = Z2 , đa thức f (x) = x+1 hốn vị Z2 (do f (0) = f (1) = 0), đa thức g(x) = x2 + x + khơng hốn vị (vì g(0) = = g(1)) Các nghiên cứu tính hốn vị đa thức trường hữu hạn có nhiều ứng dụng Tổ hợp, Hình học, Khoa học máy tính đóng vai trò quan trọng mã hóa, bảo mật, đặc biệt thuật tốn phát lỗi, thuật tốn hiệu đính, Đa thức hoán vị được, bắt đầu nghiên cứu Charles Hermite (1822-1901) cho trường hợp trường Zp , với p số nguyên tố Tiếp đó, Leonard Eugene Dickson (1874-1954) người mở rộng nghiên cứu tính hoán vị đa thức trường hữu hạn tùy ý Nếu F trường hữu hạn số phần tử F pn với p số nguyên tố n số nguyên dương Vì đa thức f (x) hốn vị trường F ta nói f (x) hốn vị modulo pn Khi đó, ý F trường hữu hạn, đa thức f (x) ∈ F [x] hoán vị F ánh xạ cảm sinh f : F → F đơn ánh, ánh xạ tồn ánh Vì thế, việc xét tính hốn vị có phần giảm nhẹ Tuy nhiên, đặc trưng tính hốn vị đa thức trường hữu hạn toán khó, chưa có lời giải Đã có nhiều nhà tốn học quan tâm có số cơng trình cơng bố gần tính hốn vị đa thức vành có pn phần tử, với p số nguyên tố n số ngun dương Gần cơng trình mình, hai tác giả Rajesh P Singh Soumen Maity đưa điều kiện cần đủ để đa thức f (x) = a0 +a1 x+ .+ad xd với hệ số nguyên hoán vị vành Zpn , với p = 2, 3, thông qua hệ số a0 , a1 , , ad Mục đích luận văn trình bày lại kết tính hốn vị đa thức modulo lũy thừa số nguyên tố, bao gồm tính hốn vị trường hữu hạn tính hốn vị vành Zpn với p số nguyên tố Luận văn gồm hai chương Chương trình bày đa thức bất khả quy, trường phân rã đa thức, cấu trúc trường hữu hạn Trong Chương 2, chúng tơi tập trung trình bày số định nghĩa, kết ban đầu tính hốn vị đa thức trường hữu hạn Tiếp theo trình bày lại kết tính hốn vị đa thức biến với hệ số nguyên vành Zpn , với p = 2, 3, báo hai tác giả Rajesh P Singh Soumen Maity, kết thể Định lý 2.2.7, Định lý 2.3.3 Định lý 2.3.8 Chương Cấu trúc trường hữu hạn Mục đích chương trình bày tính chất trường phân rã cấu trúc trường hữu hạn Các kết Chương viết theo tài liệu [1] 1.1 Đa thức bất khả quy Trong suốt luận văn xét đa thức với hệ số trường K Trong trường hợp này, đa thức khác khả nghịch Do ta định nghĩa đa thức bất khả quy sau 1.1.1 Định nghĩa Đa thức f (x) với hệ số trường K bất khả quy deg f (x) > f (x) khơng phân tích thành tích hai đa thức có bậc bé Tiếp theo, định nghĩa khái niệm đa thức bất khả quy phần tử đại số K Trước tiên ta nhắc lại số khái niệm sau 1.1.2 Định nghĩa Cho F trường chứa K Một phần tử a ∈ F gọi đại số K nghiệm đa thức khác không với hệ số K Đa thức dạng chuẩn đa thức có hệ số cao Mệnh đề đóng vai trò quan trọng để định nghĩa đa thức bất khả quy phần tử đại số 1.1.3 Mệnh đề Cho F trường chứa K a ∈ F phần tử đại số K Khi tồn đa thức p(x) ∈ K[x] bất khả quy dạng chuẩn nhận a làm nghiệm Hơn nữa, g(x) ∈ K[x] nhận a làm nghiệm g(x) bội p(x) Chứng minh Vì a phần tử đại số F nên tồn f (x) ∈ K[x] đa thức khác có bậc bé nhận a làm nghiệm Đặt p(x) = b−1 f (x), b hệ số cao f (x) Khi p(x) ∈ K[x] đa thức dạng chuẩn có bậc bé nhận a làm nghiệm Rõ ràng deg p(x) > Nếu p(x) khả quy p(x) tích hai đa thức K[x] với bậc bé hai đa thức phải nhận a làm nghiệm, điều mâu thuẫn với cách chọn p(x) Do p(x) bất khả quy Tiếp theo, giả sử g(x) ∈ K[x] nhận a làm nghiệm Nếu g(x) khơng chia hết cho p(x) p(x) bất khả quy nên gcd(g(x), p(x)) = Khi đó, tồn q(x), h(x) ∈ K[x] cho = p(x).q(x) + g(x).h(x) Thay x = a vào hai vế ta = 0, điều vô lý Vậy g(x) chia hết cho p(x) Giả sử q(x) ∈ K[x] đa thức bất khả quy dạng chuẩn nhận a làm nghiệm Theo chứng minh trên, q(x) bội p(x) Viết q(x) = p(x).k(x) với k(x) ∈ K[x] Vì q(x) bất khả quy nên k(x) = c với = c ∈ K Do q(x) = cp(x) Đồng hệ số cao hai vế với ý q(x) p(x) có dạng chuẩn, ta suy c = Vì p(x) = q(x) 1.1.4 Định nghĩa Cho a phần tử đại số trường K Đa thức p(x) ∈ K[x] bất khả quy dạng chuẩn nhận a làm nghiệm gọi đa thức bất khả quy a 1.1.5 Ví dụ Đa thức x3 − ∈ Q[x] bất khả quy (vì có bậc khơng có nghiệm hữu tỷ), đa thức bất khả quy phần Luận văn đầy đủ file: Luận văn Full ... đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn 7 15 Đa tố 2.1 2.2 2.3 21 21 27 35 thức hoán vị modulo lũy thừa số nguyên Đa thức hoán vị trường hữu hạn Đa thức hoán vị. .. THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐINH NGỌC PHÚC ĐA THỨC HOÁN VỊ ĐƯỢC MODULO LŨY THỪA MỘT SỐ NGUYÊN TỐ CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ... nghiên cứu tính hốn vị đa thức trường hữu hạn tùy ý Nếu F trường hữu hạn số phần tử F pn với p số nguyên tố n số nguyên dương Vì đa thức f (x) hốn vị trường F ta nói f (x) hốn vị modulo pn Khi đó,