Một số đa tạp trong đại số tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)

Một số đa tạp trong đại số tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Một số đa tạp trong đại số tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Một số đa tạp trong đại số tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Một số đa tạp trong đại số tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Một số đa tạp trong đại số tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Một số đa tạp trong đại số tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Một số đa tạp trong đại số tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Một số đa tạp trong đại số tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Một số đa tạp trong đại số tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Một số đa tạp trong đại số tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Một số đa tạp trong đại số tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Một số đa tạp trong đại số tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Một số đa tạp trong đại số tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH

MỘT SỐ ĐA TẠP

TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH

MỘT SỐ ĐA TẠP

TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THANH SƠN

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

1 Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học vi phân 3

1.1 Khái niệm đa tạp 3

1.1.1 Đa tạp tô pô 3

1.1.2 Đa tạp khả vi 4

1.1.3 Đa tạp con 5

1.1.4 Hàm, ánh xạ trên đa tạp 7

1.1.5 Nhóm Lie 8

1.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc 10

1.2.1 Không gian tiếp xúc Rm 10

1.2.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc của đa tạp 12

1.2.3 Đạo hàm của ánh xạ 13

1.2.4 Một số ánh xạ khả vi đặc biệt 14

1.3 Phân thớ tiếp xúc 15

1.3.1 Phân thớ tiếp xúc của đa tạp tô pô 16

1.3.2 Phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi 18

1.3.3 Móc Lie 21

1.3.4 Đại số Lie 22

1.3.5 Trường véc tơ bất biến trên nhóm Lie 24

1.4 Đa tạp Riemann 24

1.4.1 Khái niệm 24

1.4.2 Khoảng cách 26

1.4.3 Nhóm đẳng cự 27

1.4.4 Không gian thuần nhất Riemann 27

1.4.5 Phân thớ chuẩn tắc 29

1.5 Liên thông Levi- Civita 30

1.5.1 Liên thông trong Rm 30

1.5.2 Liên thông Levi- Civita 30

1.5.3 Trường chuẩn tắc 32

1.5.4 Dạng cơ bản thứ hai và liên thông Levi- Civita trên đa tạp con 33 1.6 Đường trắc địa 34

1.6.1 Trường véc tơ tiếp xúc 34

1.6.2 Cung trắc địa 35

1.6.3 Ánh xạ mũ 37

2 Một số đa tạp trong đại số tuyến tính 39 2.1 Đa tạp Grassmann 39

2.1.1 Cấu trúc tô pô củaG(k, n) 40

2.1.2 Cấu trúc vi phân củaG(k, n) 41

2.1.3 Cấu trúc Riemann của đa tạp Grassmann 44

2.1.4 Đường trắc địa, ánh xạ mũ và ánh xạ logarith 45

2.2 Đa tạp các ma trận đối xứng nửa xác định dương 48

2.2.1 Định nghĩa và đặc trưng 48

2.2.2 Không gian tiếp xúc 49

2.2.3 Mêtríc Riemann 50

2.2.4 Không gian pháp và phép chiếu 51

2.2.5 Liên thông Riemann 52

Bảng ký hiệu

dimM Số chiều của đa tạpM

C∞(M ) tập tất cả các hàm trơn trên M

C∞(E) tập các lát cắt trơn của(E, M, π)

C∞(T M ) tập các trường vectơ trơnX : M → T M

Sm mặt cầu đơn vị trong Rm

TpRm tập các toán tử vi phân tuyến tính tại p

TpM không gian tiếp xúc củaM tạip

G đại số Lie của G

⊗ tích tenxơ của các không gian vectơ

Ap hạn chế đa tuyến tính củaAtrên tích tenxơTpM ⊗ ⊗

TpM G(k, n) tập tất cả các không giankchiều của R

O(k, n) tập các ma trận có các cột trực chuẩn trong Rn

ST (k, n) tập các ma trận hạng đủ n hàng, k cột

colsp(Y ) không gian con của Rn sinh bởi các cột củaY

Ink tập tất cả các đa chỉ số J với J = (j1, , jk) ∈ Nk với

1 ≤ j 1 < < jk ≤ n

AJ ma trận con cỡ k × k chứa các hàngj1, , jk củaAvới

A ∈Rk×n

ACJ ma trận bù củaAJ trongA

Mở đầu

Đa tạp là một trong những đối tượng cơ bản của hình học và giải tích Nó là mộtcấu trúc phong phú không chỉ về tính chất mà ta còn có thể xây dựng rất nhiều kháiniệm khác trên đó Thông thường, chúng ta được làm quen với đa tạp trong Rn haycác đa tạp trừu tượng trong không gian tôpô ở bậc đại học Trên thực tế, nhiều vấn đềtính toán, tối ưu có ràng buộc được quy về bài toán trên các tập các đối tượng trongđại số tuyến tính có tính chất đặc biệt, chẳng hạn như tập các không gian conk chiềucủa Rn, hay tập các ma trận đối xứng nửa xác định dương có hạng cố định Ta khôngthể tính toán trên các tập đó, chẳng hạn nội suy, chiếu từ không gian lớn hơn lên đónếu không có hiểu biết đầy đủ về chúng Hóa ra, các tập đó có những cấu trúc phongphú và lập lên những đa tạp khả vi Luận văn này sẽ trình bày một số đa tạp mà cácphần tử của nó lại là các đối tượng trong đại số tuyến tính Chúng tôi sẽ trình bày cấutrúc hình học của chúng, cũng như khía cạnh tính toán các đối tượng liên quan đến

đa tạp Những kiến thức này vô cùng quan trọng và là nền tảng không thể thiếu đượccho việc tính toán trong đại số tuyến tính số cũng như ứng dụng trong những thuậttoán tối ưu trên đa tạp Nội dung của luận văn được dự kiến như sau Chương I trìnhbày, có phần chi tiết, lý thuyết hình học vi phân, lý thuyết đa tạp đã được nghiên cứu

ở bậc đại học Tài liệu về vấn đề này bằng tiếng Việt, thậm chí cả tiếng Anh tươngđối phong phú Tuy nhiên, chúng tôi đã không thể tìm được một cuốn sách có đầy đủnhững nguyên liệu cần cho chương sau, chẳng hạn ánh xạ mũ, liên thông Riemann,đường trắc địa và phương trình xác định nó, Do vậy, chúng tôi đã dựa vào tập bàigiảng [7]và chọn cách trình bày lại chi tiết các khái niệm một cách hệ thống Nội dung

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thanh Sơn Tác giả xin được bày

tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người

đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm

để tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác

và nghiên cứu của bản thân Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cácThầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y; Nhà trường và cácphòng chức năng của Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, ủng

hộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Tuyết Thanh

1.1 Khái niệm đa tạp

1.1.1 Đa tạp tô pô

Định nghĩa 1.1.1 Cho(M, τ )là không gian tô pô Hausdorff với một cơ sở đếm được.Khi đó M được gọi là một đa tạp tô pô nếu có một số nguyên không âm m sao chovới mỗi điểmp ∈ M, tồn tại một lân cậnU củapvà một tập con mở V ⊂Rm và mộtphép đồng phôix : U → V

Cặp (U, x) được gọi là một bản đồ hay một tọa độ địa phương trongM

Số nguyên m được gọi là chiều của M Ta viết Mm để thể hiện đa tạp M có m

chiều

Như vậy, một không gian tô pô Hausdorff với một cơ sở đếm được là một đa tạp

tô pô m chiều nếu về mặt địa phương, nó đồng phôi với Rm

Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full