Cơ sở Gröbner trong vành đa thức

Header Page of 123 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Phương Thanh CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 Footer Page of 123 Header Page of 123 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Phương Thanh CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 Footer Page of 123 Header Page of 123 Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, nhận giúp đỡ nhiều thầy cô giáo, gia đình bạn bè Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Huyên, người thầy tận tình hướng dẫn truyền đạt cho kiến thức kinh nghiệm quý báu suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn tới thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền thụ kiến thức cho trình học tập trường Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, người động viên, khuyến khích giúp đỡ suốt trình hoàn thành luận văn TP Hồ Chí Minh – Tháng năm 2014 Đỗ Thị Phương Thanh Footer Page of 123 Header Page of 123 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Bảng kí hiệu Lời nói đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1: VÀNH ĐA THỨC §2: MODULE 10 Chương CƠ SỞ GRöBNER 13 §1: IDEAL ĐƠN THỨC 13 §2: IDEAL KHỞI ĐẦU 23 §3: CƠ SỞ GRöBNER 30 §4: VAI TRÒ CỦA CƠ SỞ GRöBNER TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH PHẦN TỬ CỦA IDEAL 34 §5: THUẬT TOÁN BUCHBERGER 39 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Footer Page of 123 Header Page of 123 Bảng kí hiệu Kí hiệu Ý nghĩa K ( x) Vành đa thức nhiều biến K [ x1 , , xn ] f1 , , f n Ideal sinh f1 , , f n ≤lex Thứ tự từ điển ≤ glex Thứ tự từ điển phân bậc ≤ rlex Thứ tự từ điển ngược G(I ) Tập hợp tất đơn thức sinh tối tiểu I in ( f ) Từ khởi đầu đa thức f lm ( f ) Đơn thức đầu f lc ( f ) Hệ số đầu f in ( I ) Ideal khởi đầu ideal I S ( f ,g) S − đa thức f g IR I ideal R  Tập thực ⊆ Tập nhỏ ■ Kết thúc chứng minh Footer Page of 123 Header Page of 123 Lời nói đầu Một toán quan trọng vành đa thức R = K [ x1 , , xn ] là: Cho f ∈ R I = f1 , , f s  R, xác định xem f có thuộc I hay không? Điều đòi hỏi f phải biểu diễn dạng f = q1 f1 + + qs f s Để có biểu diễn này, cách tự nhiên, ta lấy f chia cho f1 , , f s Đối với vành biến R vành nên ideal I ideal chính, theo định lí chia đa thức biến đa thức dư Tuy nhiên, mở rộng lên vành đa thức nhiều biến, chia theo cách khác đa thức dư khác nhau, đa thức f ∈ I đa thức dư áp dụng thuật toán chia f cho f1 , , f s khác Ví dụ Cho f1 =x y + y, f =xy + x Ta có f = x y + x 2= xf hay f ∈ f1 , f ( ) 2 f = yf1 + x − y tức đa thức dư f chia cho f1 , f r = x − y ≠ Vấn đề đặt liệu có hệ sinh g1 , , gt I mà chia f cho g1 , , gt theo thuật toán đa thức dư f ∈ I đa thức dư Điều dẫn tới khái niệm sở Gröbner thuật toán Buchberger giúp ta tìm sở Gröbner từ hệ sinh Nội dung luận văn gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm tiết: Vành đa thức module Chương cung cấp kiến thức vành đa thức biến nhiều biến Đồng thời đưa Footer Page of 123 Header Page of 123 số tính chất số module đặc biệt: module tự do, module hữu hạn sinh, module Noether Chương Cơ sở Gröbner Chương phần luận văn Chương chia làm tiết Tiết 1: Ideal đơn thức Trình bày định nghĩa tính chất ideal đơn thức vài lớp ideal đặc biệt ideal đơn thức Tiết 2: Ideal khởi đầu Trình bày định nghĩa ideal khởi đầu tính chất ideal khởi đầu Tiết 3: Cơ sở Gröbner Trình bày định nghĩa sở Gröbner loại sở Gröbner Tiết 4: Vai trò sở Gröbner việc xác định phần tử ideal Trình bày định lí thuật toán chia vai trò sở Gröbner việc ổn đinh đa thức dư phép chia đa thức Tiết 5: Thuật toán Buchberger Trình bày khái niệm S − đa thức thuật toán Buchberger để tìm sở Gröbner Luận văn xét đến vành đa thức trường Cho nên nói đến vành đa thức mà không nói thêm ta hiểu vành đa thức trường Footer Page of 123 Header Page of 123 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số tính chất vành đa thức để làm tiền đề nghiên cứu chương sau §1: VÀNH ĐA THỨC Vành đa thức biến Cho R vành x biến Ta gọi đa thức tổng có dạng: n a0 + a1 x + a2 x + + an x n = ∑ xi i =0 , i = 0, , n, số thực Nếu a0= 1, a1= = an= đa thức kí hiệu n m i =0 j =0 i Hai đa thức f ( x ) = ∑ x g ( x ) = ∑ b j x j ( ≠ 0, bi ≠ ) xem m = n = a j với i = j Phép cộng đa thức định nghĩa sau:  m  n  m i j k  + = a x b x  ∑ i   ∑ j   ∑ ( ak + bk ) x  ( giả sử m > n ) =  i 0=  j 0=   k Phép nhân đa thức định nghĩa sau: m  n  n+ m k  i  j = a x b x  ∑ i   ∑ j   ∑ ck x  với ck = ∑ b j i+ j= k =  i 0= j0 =   k Định nghĩa 1.1.1: Với hai phép toán cộng đa thức nhân đa thức nêu kiểm tra tập tất đa thức lập thành vành giao hoán có phần tử đơn vị đa thức Tập kí hiệu vành K [ x ] Sau định nghĩa đa thức biến, việc thứ tự số hạng đơn thức cần thiết nên liền xuất khái niệm bậc đa thức: Định nghĩa 1.1.2: Bậc đa thức khác Footer Page of 123 Header Page of 123 f ( x= ) a0 x0 + + an−1 x n−1 + an x n Như ta định nghĩa bậc đa thức khác Đối với đa thức không ta bảo bậc Định lí 1.1.3: Giả sử f ( x ) g ( x ) hai đa thức khác (i) Nếu bậc f ( x ) khác bậc g ( x ) , ta có: f ( x ) + g ( x ) ≠ bậc ( f ( x ) + g ( x )) = max (bậc f ( x ) , bậc g ( x ) ) Nếu bậc f ( x ) = bậc g ( x ) , thêm f ( x ) + g ( x ) ≠ 0, ta có: Bậc ( f ( x ) + g ( x )) ≤ max (bậc f ( x ) , bậc g ( x ) ) (ii) Nếu f ( x ) g ( x ) ≠ 0,thì ta có bậc ( f ( x ) g ( x ) ) ≤ bậc f ( x ) + bậc g ( x ) ) Định lí 1.1.4: Nếu K miền nguyên f ( x ) g ( x ) hai đa thức khác vành K [ x ] , f ( x ) g ( x ) ≠ bậc ( f ( x ) g ( x ) ) = bậc f ( x ) + bậc g ( x ) Hệ 1.1.5: Nếu K miền nguyên, K [ x ] miền nguyên Để giải vấn đề đặt ra: đa thức f có thuộc ideal I sinh hệ đa thức { f1 , , f n } Trong trường hợp đặc biệt, vành K [ x ] vành biến, K trường, K [ x ] vành I ideal sinh đa thức g ( x ) Nếu f ( x ) ∈ I f ( x ) phải biểu diễn f ( x ) = q ( x ) g ( x ) Để có biểu diễn ta phải lấy f ( x ) chia cho g ( x ) , để đảm bảo có phép chia, ta có định lí chia đa thức: Định lí 1.1.6: Giả sử K trường, f ( x ) g ( x ) ≠ vành K [ x ] ; có hai đa thức q ( x ) r ( x ) thuộc K [ x ] cho = f ( x ) g ( x ) q ( x ) + r ( x, ) với bậc r ( x ) < bậc g ( x ) r ( x ) ≠ Do đa thức dư đa thức thương nên điều kiện cần đủ để f thuộc I dư phép chia f ( x ) cho g ( x ) Footer Page of 123 Header Page 10 of 123 Định nghĩa 1.1.7: Ước chung lớn đa thức f1 , , f n ∈ K [ x ] đa thức h cho: (i) h chia hết f1 , , f n , nghĩa f1 q= = qn h; q1 , , qn ∈ K [ x ] 1h , , f n (ii) Nếu p đa thức khác chia hết f1 , , f n , p chia hết h Trong trường hợp ta viết h = UCLN ( f1 , , f n ) Mệnh đề 1.1.8:Cho f1 , , f n ∈ K [ x ] , n ≥ Khi đó: (i) UCLN ( f1 , , f n ) tồn với sai khác số khác K (ii) ( f1 , , f n ) = (UCLN ( f1 , , f n ) ) (iii) Nếu n ≥ UCLN ( f1 , , f n ) = UCLN (UCLN ( f1 , , f n −1 ) , f n ) Thuật toán 1.1.9: (Thuật toán Euclide) để tìm UCLN ( f , g ) ta thực phép chia đa thức biến: = f p0 g + s0 , = g p1 s0 + s1 , = s0 p2 s1 + s2 , , đến lúc ta sm = pm+1sm+1 (ở sm+2 = ) thuật toán dừng với UCLN ( f , g ) = sm+1 Vành đa thức nhiều biến Cho R vành x1 , , xn ( n ≥ 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có n dạng x1a xna ,trong ( a1 , , an ) ∈  gọi số mũ đơn thức Nếu n a= = a= , đơn thức kí hiệu Phép nhân tập đơn thức n định nghĩa sau: Footer Page 10 of 123 Header Page 40 of 123 35 ( ) trong c0' hệ số u0 f ci hệ số in f i0 ( ) f i0 Ta có: ( ) in w0 fi0= w0in fi0= u0 < in ( f ) I f c0' ci−0 1w0 fi0 + h1 Nếu h1 = h1 ≠ mà từ h1 thuộc = biểu diễn tắc f theo f1 , , f s h1 đa thức dư f Nếu từ h1 thuộc I u1 từ lớn với thứ tự từ cho từ ( ( h1 thuộc I Ta có u0 > u1 Thật vậy, từ u h1 mà u > u0 = in w0 f i0 )) u từ f (mâu thuẫn với cách chọn u0 ) Hơn nữa, u0 từ h1 u1 Lấy chia ( ) in fi1 cho f = c0' ci−0 1w0 fi0 + c1' ci−1 1w1 fi1 + h2 , ( ) w1 = u1 / in fi1 ( ) c1' hệ số u1 h1 ci hệ số in f i1 ( ) ( Ta có: f i Ta có: ) in w1 fi1 < in w0 fi0 ≤ in ( f ) Tiếp tục trình trên, ta dãy giảm: u0 > u1 > u2 > Vì R vành Noether nên dãy dừng sau hữu hạn bước, giả sử n bước, ta có biểu diễn: = f n −1 ∑c c t =0 ' −1 t it wt fit + hn , hn = hn ≠ mà từ hn thuộc I , ( ) ( ) in wt fit < < in w0 fi0 ≤ in ( f ) Footer Page 40 of 123 Header Page 41 of 123 Vì vậy, đặt 36 s n −1 ∑q f = ∑c c i i =i =t ' −1 t it f = wt fit r = hn , ta đạt biểu diễn s ∑q f i =1 i i +r thỏa điều kiện (i) (ii) mong muốn ■ Ví dụ: Xét vành R = K [ x, y, x ] với thứ tự từ điển x > y > z Xét f1 = x − z, f = xy − f = x3 − x y − x − Ta có: f = x3 − x y − x − = x ( f1 + z ) − x y − x − = xf1 − x y − x + xz − = xf1 − y ( f1 + z ) − x + xz − = xf1 − yf1 − x + xz − yz − = xf1 − yf1 − ( f1 + z ) + xz − yz − = xf1 − yf1 − f1 + xz − yz − z − = ( x − y − 1) f1 + ( xz − yz − z − 1) Và: f = x3 − x y − x − = x ( f1 + z ) − x y − x − = xf1 − x y − x + xz − = xf1 − x ( f + 1) − x + xz − = xf1 − xf − x + xz − x − = xf1 − xf − ( f1 + z ) + xz − x − = ( x − 1) f1 − xf + ( xz − x − z − 1) biểu diễn tắc f theo f1 , f xz − yz − z − xz − x − z − đa thức dư f Ví dụ cho ta thấy đa thức dư thuật toán chia nói chung không Vậy với cách chia khác đa thức dư khác Hơn nữa, đa thức thuộc ideal sinh hệ không Cho f ∈ f1 , f { f1 , , f s } với cách chia đa thức dư f1 =x y + y, f =xy + x, ( ta có ) f = x y + x 2= xf hay 2 f = yf1 + x − y tức đa thức dư f chia cho f1 , f r = x − y ≠ Như hệ sinh f1 , , f s cần thỏa điều kiện để f ∈ I đa thức dư r 0? Mệnh đề sau trả lời câu hỏi đó: Footer Page 41 of 123 Header Page 42 of 123 37 Mệnh đề 2.4.2: Giả sử F = { f1 , , f s } sở Gröbner thứ tự từ cho trước Khi với đa thức f ∈ R, đa thức dư r phép chia f cho hệ F (trong định lí chia đa thức) xác định Nói riêng, kết thực thuật toán chia đa thức trường hợp không phụ thuộc vào thứ tự đa thức chia F Chứng minh: Sự tồn r đảm bảo định lí chia đa thức Giả sử có hai đa thức dư r r ', tức tồn q1 , , qs , q '1 , , q ' s ∈ R để f = q1 f1 + + qs f s + r= q '1 f1 + + q ' s f s + r ' Khi đó: r − r '= ( q '1 − q1 ) f1 + + ( q 's − qs ) f s ∈ I := f1 , , f s Vì f1 , , f s sở Gröbner I nên tồn i ≤ s để in ( r − r ' ) chia hết cho in ( f i ) Nhưng điều xảy in ( r − r ' ) phải đơn thức r r ', mà theo định lí chia đa thức, từ r r ' chia hết cho in ( f i ) Vậy phải có r = r ' ■ Như vậy, F = { f1 , , f s } sở Gröbner đa thức dư nhất, cho ta điều kiện cần đủ để đa thức thuộc ideal: Hệ 2.4.3: Giả sử F = { f1 , , f s } sở Gröbner ideal I thứ tự từ cho trước đa thức f ∈ R Khi f ∈ I đa thức r phép chia f cho hệ F Chứng minh: Chỉ cần chứng minh điều kiện cần Giả sử f ∈ I Khi tồn q1 , , qs ∈ R để f = q1 f1 + + qs f s + Do tính phần dư, suy r = ■ Footer Page 42 of 123 Header Page 43 of 123 38 Ta có F = { f1 , , f s } sở Gröbner đa thức dư r xác định Vậy thay F ' = { f1' , , f s' } sở Gröbner khác đa thức dư r có thay đổi Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.4.4: Cho G G ' hai sở Gröbner I thứ tự từ Cho f ∈ K [ x ] tùy ý Khi Re mG ( f ) = Re mG ' ( f ) , tức đa thức dư f không phụ thuộc vào việc chọn sở Gröbner Chứng minh: Giả sử G = { g1 , , g s } G ' = { g '1 , , g'n } Re mG ( f ) = r Tacó: f= q1 g1 + + qs g s + r ⇒ f − r= q1 g1 + + qs g s ⇒ f − r ∈= I g '1 , , g'n ⇒ f −= r q '1 g '1 + + q 'n g 'n ⇒= f q '1 g '1 + + q 'n g 'n + r Vì từ r không chia hết cho từ khởi đầu in ( g1 ) , , in ( g s ) nên thuộc in ( I ) từ r không = = in ( g1 ) , , in ( g s ) in ( g '1 ) , , in ( g 'n ) Vậy từ r không chia hết từ khởi đầu in ( g '1 ) , , in ( g 'n ) Như r = Re mG ' ( f Footer Page 43 of 123 ) hay đa thức dư f không phụ thuộc vào sở Gröbner.■ Header Page 44 of 123 39 §5: THUẬT TOÁN BUCHBERGER Ta thấy vai trò sở Gröbner việc xác định phần tử ideal Vậy tiêu chuẩn để biết hệ sinh { f1 , , f n } sở Gröbner, ta dùng thuật toán Buchberger để tìm sở Gröbner từ hệ sinh cho trước Trước hết, ta đưa khái niệm S − đa thức: Định nghĩa 2.5.1: Cho f , g ∈ K [ x ] hai đa thức khác Kí hiệu m fg = in ( f ) UCLN ( lm ( f ) , lm ( g ) ) mgf = in ( g ) UCLN ( lm ( f ) , lm ( g ) ) S − đa thức f g đa thức S ( = f , g ) mgf f − m fg g Chú ý S − đa thức phụ thuộc vào việc chọn thứ tự từ Ví dụ: Cho f = x y − x y + x y g= 3x y − x + 3xy vành K [ x, y ] = m fg x= , mgf y Với thứ tự từ điển phân bậc mà x > y ta có S ( f ,= g ) y ( x y − x y + x y ) − x ( 3x y − x + 3xy ) = − 3x y − 12 x y + x + x y Với thứ tự từ điển mà x > y ta có m fg = y , mgf = −2 S ( f ,g) = −2 ( x y − x y + x y ) − y ( −2 x + 3x y + 3xy ) = x y − 3x y − x y − 3xy Từ định nghĩa thấy S − đa thức thỏa mãn tính chất sau: Mệnh đề 2.5.2: (i) S ( f , g ) = − S ( g , f ) (ii) in ( S ( f , g ) ) < BCNN ( in ( f ) , in ( g ) ) Footer Page 44 of 123 Header Page 45 of 123 40 Mệnh đề 2.5.3: Cho f , g đa thức khác không in ( f ) in ( g ) nguyên tố dư phép chia S ( f , g ) cho hệ { f , g} Chứng minh: Nếu in ( f ) in ( g ) nguyên tố S ( f ,g) = in ( g ) f − in ( f ) g = − ( g − in ( g ) ) f + ( f − in ( f ) ) g smg lm ( g − in ( g ) ) = sm f lm ( f − in ( f ) ) Nếu smg lm ( f ) = sm f lm ( g ) , Đặt = tính nguyên tố suy smg chia hết cho lm ( g ) Điều vô lí, smg < lm ( g ) Do đẳng thức phải có { ( ) ( max lm  g − in ( g )  f , lm  f − in ( f )  g lm ( S ( f , g ) ) , )} = tức có phép chia S ( f , g ) cho G mà phần dư ■ Bổ đề kĩ thuật sau đóng vai trò then chốt việc chứng minh định lí tiêu chuẩn Buchberger n Bổ đề 2.5.4: Cho g1 , , gt ∈ K [ x ] ;αα , , t ∈ K a1 , , at ∈  thỏa mãn tính chất sau: d n (i) Tồn d ∈  để với i ≤ t mà αi ≠ x i lm ( gi ) = x a (ii) in (∑ t i =1 ) x gi < x d Khi tồn α jk ∈ K cho t ∑a x i =1 i gi = ∑a jk x Trong x d − c jk S ( g j , gk ) , j ,k c jk ( ) = BCNN lm ( g j ) , lm ( g k ) ( Hơn với j, k có in x d − c jk ) S ( g j , gk ) < x d Chứng minh: Theo mệnh đề 2.5.2 định nghĩa c jk ta có Footer Page 45 of 123 Header Page 46 of 123 ( in x d − c jk 41 ) S ( g j , gk ) < x d − c jk ( ) BCNN lm ( g j ) , lm ( g k ) = xd Vì phải chứng minh tồn biểu diễn cho tổng ∑ t i =1 a i x a gi i Đặt β i = lc ( gi ) pi = x a gi / β i i Đương nhiên đa thức pi có hệ số đầu Viết tổng cần xét dạng : ∑ t a x a g = ∑ a i βi pi i t i i =i = i = a1β1 ( p1 − p2 ) + (a1β1 + a β ) ( p2 − p3 ) + + (a1β1 + + a t −1βt −1 )( pt −1 − pt ) + (a1β1 + + a t β t ) pt = a1β1 ( p1 − p2 ) + (a1β1 + a β ) ( p2 − p3 ) + + (a1β1 + + a t −1βt −1 )( pt −1 − pt ) Trong đẳng thức cuối ta sử dụng đồng thức sau suy từ điều kiện (ii): t ∑α β i =1 i i = d với i ≤ t Do lm ( gi ) = x i Giả sử in ( gi ) = b i x i Theo điều kiện (i): + bi = b d chia hết x Suy x thức Ta có: Footer Page 46 of 123 b c jk ( ) = BCNN lm ( g j ) , lm ( g k ) chia hết x d Vì x d − c jk đơn Header Page 47 of 123 42   in ( g j ) in ( g k )  x S ( g j , gk ) x gj − gk  =  UCLN lm ( g j ) , lm ( g k )  UCLN lm ( g j ) , lm ( g k )    b  bj d −c k x jk BCNN lm ( g j ) , lm ( g k )  gj − gk   lm ( g j ) lm ( g k )    xd xd g = bb − k j j bk g k b x xj d − c jk d − c jk ( ) ( ( ) )  x a j g j x ak g k − = b j bk   bb j k  = bb j k ( p j − pk )     Thay pi − pi −1 vào biểu diễn ta được: t ∑a x i =1 i aβ β1β 1 d − c12 gi = x S ( g1 , g ) + + (a1β1 + + at −1βt −1 ) β t −1β t (a1β1 + a β ) x d −c x β2 β3 d − c( t −1)t 23 S ( g , g3 ) + S ( gt −1 , gt ) Đó dạng biểu diễn cần tìm (thực cần tới cặp ( j, k ) = ( i − 1, i ) , i ≤ t ) ■ Một cách phát biểu khác bổ đề là: hai điều kiện (i) (ii) thỏa mãn t tổng ∑a x i =1 i gi thuộc ideal sinh S ( g j , g k ) Sử dụng khái niệm S − đa thức, ta nhận tiêu chuẩn sau để hệ sinh sở Gröbner I Định lí 2.5.5 (tiêu chuẩn Buchberger): Cho G = {g1 , , g s } hệ sinh ideal I G sở Gröbner I với cặp ≤ i ≠ j ≤ s (hoặc mọi) đa thức dư S − đa thức S ( gi , g j ) phép chia cho G Chứng minh: Footer Page 47 of 123 Header Page 48 of 123 43 Điều kiện cần: Do gi , g j ∈ I , nên S ( gi , g j ) ∈ I Vì G sở Gröbner theo hệ 2.4.3, đa thức dư S − đa thức S ( gi , g j ) phép chia cho G xác định Điều kiện đủ: Giả sử cặp ≤ i ≠ j ≤ s, đa thức dư S ( gi , g j ) phép chia cho G (đa thức dư chọn theo quy luật đó) Ta cần chứng minh trường hợp G sở Gröbner Cho f ∈ I = ( g1 , , g s ) Khi tồn h1 , , hs ∈ K [ x ] cho ( 2.3) f = h1 g1 + + hs g s Trong tất biểu diễn f , chọn biểu diễn cho max {lm ( h1 g1 ) , , lm ( hs g s )} nhỏ Đơn thức hoàn toàn xác định thứ tự từ thứ tự tốt Kí hiệu m = x Để không làm rắc rối thêm kí hiệu, ta giả sử biểu diễn (2.3) thỏa mãn d max {lm ( h1 g1 ) , , lm ( hs g s )} = m Giả sử lm ( f ) < m Khi từ lớn hi gi triệt tiêu Đặt mi = lm ( hi gi ) Tách từ cao để vận dụng bổ đề sau: = f ∑hg + ∑hg mi m = = i i mi < m i i ∑ in ( h ) g + ∑ ( h − in ( h ) ) g + ∑ h g i i mi m= mi m = i i i mi < m i i ( 2.4 ) Vì hạng tử tổng riêng thứ hai thứ ba (2.4) có từ khởi đầu nhỏ m in ( f ) < m, nên phải có   in  ∑ in ( hi ) gi  < m ( xem mệnh đề 2.2.2)  mi =m  Từ bổ đề 2.5.4 suy Footer Page 48 of 123 Header Page 49 of 123 44 ∑ in ( h ) g = ∑T S ( g , g ) , i mi = m i jk j ( 2.5) k j ,k Trong T jk từ cho ( ) in T jk S ( g j , g k ) < m ( 2.6 ) Theo giả thiết đa thức dư S ( g j , g k ) phép chia cho G không, nên viết S ( g j , g k ) = ∑ pijk gi , s ( 2.7 ) i =1 ( ( ( ) )) ( 2.8) Trong pijk ∈ K [ x ] cho in pijk gi ≤ in S g j , g k Thay (2.7) vào (2.5) ta s = ∑ in ( hi ) gi = mi m s = T jk ∑ pijk gi ∑  ∑  ∑T = j ,k i =i  jk j ,k  pijk  gi  Do đó, từ (2.4) suy f = s ∑ hi gi + i =1 ∑ ( h − in ( h ) ) g + ∑ h g mi =m i i i mi < m i s i = : ∑ h 'i g i ( 2.9 ) i =1 Trong hi = ∑ T jk pijk j ,k Chú ý mệnh đề 2.2.2, (2.6) (2.8) dẫn đến { ( )} { ( )} in ( hi gi ) ≤ max T jk in S ( g j , g k ) = max in T jk S ( g j , g k ) < m j ,k j ,k Cùng với điều mệnh đề 2.2.2, (2.9) cho ta biểu diễn f mà max {lm ( h '1 g1 ) , , lm ( h ' s g s )} < m Footer Page 49 of 123 Header Page 50 of 123 45 Điều mâu thuẫn với cách chọn m Vậy phải có lm ( f ) = m Do tồn i để = lm ( f ) lm = ( hi gi ) lm ( hi ) lm ( gi ) , hay in ( f ) ∈ in ( g1 ) , , in ( g s ) Theo định nghĩa, G sở Gröbner I ■ Sau số ý để giảm bớt số phép thử áp dụng tiêu chuẩn Buchberger: • Vì S ( f , g ) = − S ( g , f ) nên để thử xem G = {g1 , , g s } có phải sở Gröbner hay không, cần thử cho cặp ( gi , g j ) với i < j • Nếu f , g hai từ S ( f , g ) = Do không cần thử tiêu chuẩn Buchberger cho cặp từ • Không cần thử tiêu chuẩn Buchberger cho cặp có từ khởi đầu nguyên tố Ví dụ: Cho I =− x ( x y z, y − z ) Đối với thứ tự từ điển ta có in ( x − y ) = in ( y − z ) = y nguyên tố Theo ý trên, tập { x − y z, y − z } sở Gröbner I Tuy nhiên thứ tự từ điển phân bậc S ( − y z + x, − z + y ) = − z3 ( − y3z + x ) + y3 ( − z4 + y ) = − xz + y Không thể chia hết cho G ={− y z + x, − z + y} được, tức có đa thức dư khác không Vậy G không sở Gröbner I Tiêu chuẩn Buchberger cho ta thuật toán để tính sở Gröbner từ hệ sinh ideal Thuật toán Buchberger Lấy { f1 , , f n } hệ sinh ideal I R Tính S − đa thức S ( fi , f j ) Nếu tất dư phép chia S ( fi , f j ) cho hệ { f1 , , f n } theo tiêu chuẩn Buchberger, { f1 , , f n } sở Gröbner Nếu S ( fi , f j ) có dư f n+1 khác Khi đó, không đơn thức đơn thức in ( f1 ) , , in ( f n ) Footer Page 50 of 123 Header Page 51 of 123 46 chia hết in ( f n+1 ) Do đó: in ( f1 ) , , in ( f n ) ⊂ in ( f1 ) , , in ( f n ) , in ( f n +1 ) ngặt Chú ý f n+1 ∈ I nên ta thay hệ sinh { f1 , , f n } hệ sinh { f1 , , f n , f n +1} tính tất S − đa thức cho hệ sinh Nếu tất dư phép chia S ( fi , f j ) cho hệ { f1 , , f n , f n+1} theo tiêu { f1 , , f n , f n+1} sở Gröbner Nếu có dư ta có hệ sinh { f1 , , f n , f n +1 , f n + } và: chuẩn Buchberger, f n+ khác không in ( f1 ) , , in ( f n ) , in ( f n +1 ) ⊂ in ( f1 ) , , in ( f n ) , in ( f n +1 ) , in ( f n + ) ngặt Nhờ bổ đề Dickson, trình dừng lại sau hữu hạn bước, sở Gröbner tính Thật vậy, giả sử có dãy tăng ngặt vô hạn ideal đơn thức: in ( f1 ) , , in ( f n ) ⊂ in ( f1 ) , , in ( f n ) , in ( f n +1 ) ⊂ ⊂ in ( f1 ) , , in ( f n ) , in ( f n +1 ) , , in ( f n + j ) ⊂ Tuy nhiên, tập tất đơn thức {in ( f1 ) , , in ( f n ) , } tập sinh tối tiểu G(I ) {in ( f ) , in ( f ) , , in ( f )}, i1 i2 iq i1 < i2 < < iq Với j > iq ta có: ( ) ( ) ( ) in fi1 , n fi2 , , in fiq ( ) ( ) = in ( f1 ) , in ( f ) , , in fiq , in fiq +1 , , in ( f j ) mâu thuẫn Thuật toán để tìm sở Gröbner từ hệ sinh I trình bày thuật toán Buchberger f x1 x4 − x2 x3 Ví dụ: Cho R = K [ x1 , , x7 ] thứ thự từ điển với x1 > > x7 Lấy= = g x4 x7 − x5 x6 với ideal khởi đầu = in ( f ) x= x4 x7 Lấy I = f , g Ta x4 , in ( g ) { f , g} không sở Gröbner với thứ tự từ điển Theo thuật toán Buchberger, ta tính S ( f , g ) = x7 f − x1 g = x1 x5 x6 − x2 x3 x7 Ta chọn dư phép chia S ( f , g ) cho hệ { f , g} S ( f , g ) Đặt = h S(= f , g ) x1 x5 x6 − x2 x3 x7 có Footer Page 51 of 123 Header Page 52 of 123 47 in ( h ) = x1 x5 x6 Ta có in ( g ) in ( h ) nguyên tố Mặt khác dư phép S ( f , h ) x2 x3 ( x4 x7 − x5 x6 ) cho { f , g , h} Vậy theo tiêu chuẩn Buchberger chia= hệ { f , g , h} sở Gröbner I với thứ tự từ điển Footer Page 52 of 123 Header Page 53 of 123 48 Kết luận Luận văn trình bày kiến thức cách có hệ thống để giải toán đặt ra: Trong vành đa thức R = K [ x1 , , xn ] , cho f ∈ R I = f1 , , f s R, xác định xem f có thuộc I hay không? Để f ∈ I f phải biểu diễn dạng f = q1 f1 + + qs f s Để có biểu diễn này, luận văn trình bày thuật toán chia f cho hệ f1 , , f s Tuy nhiên, R vành đa thức nhiều biến đa thức dư chia f cho f1 , , f s không Thậm chí, f ∈ f1 , , f s chia f cho f1 , , f s đa thức dư khác không Như vậy, liệu có hệ sinh g1 , , gt I mà chia f cho g1 , , gt theo thuật toán chia đa thức dư f ∈ I đa thức dư Đó sở Gröbner Để có khái niệm sở Gröbner, luận văn nghiên cứu khái niệm tính chất ideal đơn thức, ideal khởi đầu Luận văn đưa thuật toán Buchberger để tìm sở Gröbner I từ hệ sinh f1 , , f s ban đầu Footer Page 53 of 123 Header Page 54 of 123 49 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông – Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Gröbner, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Hoàng Xuân Sính (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh M.F Atiyah and I.G Macdonald (1996), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, Reading, Masachusetts D Bayer and M Stillman (1987), “A criterion for detecting m-regularity”, Invent Math 87 pp 1-11 Th Becker and V Weispfenning (1993), Gröbner Bases – A Computational Approach to Commutative Algebra, Springer Verlag W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay Rings, Cambridge Univ Press B Buchberger (1985), Gröbner base: An algorithmic method in polynomial ideal theory, in “Multidimensional system theory” (edited by N K Bose), Approach to Commutative Algebra, Springer Verlag W Gröbner (1970), Algebraische Geometrie, Vol II, Bibliographaishes Institul 10 S Mac Lane (1986), Homology, Springer-Verlag, New York Footer Page 54 of 123 ... với vành biến R vành nên ideal I ideal chính, theo định lí chia đa thức biến đa thức dư Tuy nhiên, mở rộng lên vành đa thức nhiều biến, chia theo cách khác đa thức dư khác nhau, đa thức f ∈ I đa. .. 3: Cơ sở Gröbner Trình bày định nghĩa sở Gröbner loại sở Gröbner Tiết 4: Vai trò sở Gröbner việc xác định phần tử ideal Trình bày định lí thuật toán chia vai trò sở Gröbner việc ổn đinh đa thức. .. vành đa thức trường Footer Page of 123 Header Page of 123 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số tính chất vành đa thức để làm tiền đề nghiên cứu chương sau §1: VÀNH ĐA THỨC Vành đa thức