Cơ sở Grobner

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Phạm Thị Thùy ¨ CƠ SỞ GROBNER KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Phạm Thị Thùy ¨ CƠ SỞ GROBNER Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Th.s Nguyễn Huy Hưng Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 i LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể thầy cô khoa Toán, thầy cô tổ Đại số, người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ em trình học tập làm khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Th.s Nguyễn Huy Hưng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em thời gian em thực khóa luận Hà nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Phạm Thị Thùy Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Thùy LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Huy Hưng, với cố gắng thân trình nghiên cứu thực khóa luận, em có tham khảo tài liệu số tác giả ( nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Phạm Thị Thùy i Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 Các kiến thức sở 1.1 Vành đa thức nhiều biến 1.1.1 Đa thức bậc đa thức 1.1.2 Định lý Hilbert sở 1.2 Iđêan đơn thức 10 1.3 Thứ tự từ 13 1.3.1 Thứ tự, giả thứ tự 13 1.3.2 Thứ tự từ 15 1.3.3 Một số thứ tự từ 16 Cơ sở Gr¨ obner 2.1 2.2 19 Iđêan khởi đầu sở Gr¨obner 19 2.1.1 Từ khởi đầu, đơn thức đầu 19 2.1.2 Iđêan khởi đầu 22 2.1.3 Định nghĩa sở Gr¨obner 24 Thuật toán chia 30 2.2.1 Phép chia với dư vành đa thức biến 30 2.2.2 Phép chia với dư vành đa thức nhiều biến 34 Footer Page of 161 ii Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 Phạm Thị Thùy Thuật toán Buchberger 40 2.3.1 Tiêu chuẩn Buchberger 40 2.3.2 Thuật toán Buchberger 46 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Footer Page of 161 iii Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Thùy Lời mở đầu Tính toán hình thức, hay gọi Đại số máy tính, xuất khoảng bốn chục năm gần trở thành chuyên ngành độc lập Với đời Đại số máy tính người ta giải phương trình với hệ số chữ, tính tích phân bất định, điều mà trước máy tính thực với phương trình có hệ số số, tính tích phân xác định Đây chuyên ngành kết hợp chặt chẽ toán học khoa học máy tính Nó đời ảnh hưởng phát triển phổ cập máy tính cá nhân Sự phát triển đòi hỏi phải xây dựng lí thuyết toán học làm sở cho việc thiết lập thuật toán phần mềm toán học Sự phát triển đại số máy tính có tác dụng tích cực trở lại nghiên cứu toán học lý thuyết Nhiều kết lí thuyết phán đoán có phản ví dụ nhờ sở dụng máy tính Trong Đại số giao hoán, nghiên cứu vành đa thức biến K [x] (với K trường), ta biết iđêan đa thức I sinh đa thức g ta gọi phần tử sinh I, với f ∈K [x] bất kì, ta thực phép chia đa thức f cho đa thức g theo thuật toán Euclid để tìm đa thức dư r, đa thức xác định f ∈ I r = Khi ta mở rộng lên vành đa thức nhiều biến K [x1 , ,xn ], để xác định đa thức f ∈ K [x1 , , xn ] có thuộc iđêan đa thức I ⊆ K [x1 , ,xn ] cho trước hay không, ta tìm tập phần tử sinh{g1 , , gn } = G, gi ∈ I, sau thực phép chia đa thức f cho tập đa thức G Tuy Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Thùy nhiên liệu có thực phép chia đa thức f cho tập G để tìm đa thức dư r hay không? Và đa thức xác định nhất? Thuật toán chia thay đổi so với thuật toán Euclid? Liệu f ∈ I r = 0? Cơ sở Gr¨obner Đại số máy tính cho phép giải đáp tất thắc mắc Lý thuyết sở Gr¨obner nhà toán học người Áo Bruno Buchberger đưa luận án tiến sĩ vào năm 1965, dẫn dắt người thầy Wolfgang Gr¨obner Điểm chốt khởi đầu cho hình thành lí thuyết Buchberger việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức biến sang trường hợp đa thức nhiều biến Do vai trò quan trọng lý thuyết sở Groebner phát triển Đại số với động viên, giúp đỡ thầy cô khoa Toán, đặc biệt thầy cô tổ Đại số, em chọn đề tài “Cơ sở Gr¨ obner” Nội dung đề tài trình bày khái niệm sở lý thuyết sở Gr¨obner Xây dựng quan hệ thứ tự từ tập đơn thức nhiều biến, từ thấy làm rõ cách thức mở rộng thuật toán chia đa thức biến trung học sở sang trường hợp đa thức nhiều biến Đề tài trình bày hai chương Chương Các kiến thức sở Chương dành cho việc trình bày lí thuyết bổ trợ liên quan vành đa thức nhiều biến, iđêan đơn thức khái niệm thứ tự từ, xuất Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Thùy phát điểm để xây dựng sở Gr¨obner Chương Cơ sở Gr¨obner Nội dung chủ yếu chương đưa khái niệm iđêan khởi đầu, từ khởi đầu định nghĩa số tính chất sở Gr¨obner Tiếp đó, em trình bày việc mở rộng thuật toán chia với dư vành đa thức nhiều biến Cuối đề cập đến thuật toán Buchberger Do trình độ chuyên môn kinh nghiệm hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận cảm thông ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Tác giả khóa luận Phạm Thị Thùy Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Chương Các kiến thức sở 1.1 1.1.1 Vành đa thức nhiều biến Đa thức bậc đa thức Cho R vành x1 , , xn (n ≥ 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có dạng xa11 xann , ( a1 , , an ) ∈ Nn gọi phận số mũ đơn thức Nếu a1 = = an = 0, đơn thức kí hiệu Phép nhân tập đơn thức định nghĩa sau (xa11 xann ) xb11 xbnn = xa11 +b1 xann +bn Do đó, đồng x1 với đơn thức x11 x02 x0n , , xn với đơn thức x01 x0n−1 x1n đơn thức tích biến Từ biểu thức có dạng αxa11 xann , α ∈ R gọi hệ số từ Thông thường phần tử vành sở R gọi phần tử vô hướng Hai từ khác không αxa11 xann βxa11 xann đồng dạng với Như vậy, ta xem đơn thức từ với hệ số 1, phần tử vô hướng α từ α Ta kí hiệu x := (x1 , , xn ), a = (a1 , , an ) ∈ Nn xa := xa11 xann Footer Page 10 of 161 Header Page 41 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Thùy dư f chia cho F kí hiệu r = RemF (f ) Bản thân biểu diễn f gọi biểu diễn tắc f theo f1 , , fs Nhận xét + Đa thức RemF (f ) không xác định + Các đa thức q1 , , qs đóng vai trò đa thức thương, chúng không quan trọng lí thuyết trình bày nên không đặt tên gọi tên riêng Chứng minh định lí 2.2 Định lí chứng minh Thuật toán cho phép xây dựng đa thức q1 , , qs , r thỏa mãn tính chất Thuật toán Thuật toán chia đa thức Tìm PHANDU(f ; f1 , , fs ) := r chia f cho f1 , , fs Input: f1 , , fs , f : đa thức K[x] Output: q1 , , qs , r: đa thức K[x] qi := 0, , qs := 0, r := p := f WHILE p = DO i := Chiahet := false WHILE i ≤ s AND Chiahet = false DO IF in (fi ) |in (p) THEN qi := qi + in (p) /in (fi ) p := p − (in (p) /in (fi )) fi Chiahet := true Footer Page 41 of 161 35 Header Page 42 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Thùy ELSE i := i + IF Chiahet = false THEN r := r + in (p) p := p − in (p) Để chứng tỏ đầu thuật toán đa thức thỏa mãn Định lí chia đa thức, trước hết ta chứng minh bước thuật toán ta có f = q1 f1 + + qs fs + p + r in (q1 f1 ) , , in (qs fs ) , in (p) ≤ in (f ) , Theo đặt ban đầu q1 = = qs = r = p = f nên lúc đầu (1), (2) Giả sử hệ thức (1), (2) bước Nếu bước thực hện tiếp phép chia (mà chưa thay đổi r ), tồn i để in (fi ) |in (p) Khi qi nhận giá trị qi = qi + in (p) /in (fi ), p nhận giá trị p = p − (in (p) /in (fi )) fi Do qi fi + p = (qi + in (p) /in (fi )) fi + p − (in (p) /in (fi )) fi = qi fi + p Vì qj , j = i r không thay đổi, nên (1) bước Từ Bổ đề 2.1 giả thiết qui nạp ta có in(qi fi ) ≤ max {lm (qi fi ) , lm ((in (p) fi ) in (fi ))} Footer Page 42 of 161 36 Header Page 43 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Thùy = max {lm (qi fi ) , lm (p)} ≤ in (f ) Thêm nữa, p = p − (in (p) /in (fi )) fi in ((in (p) /in (fi )) fi ) = (in (p) /in (fi )) in (fi ) = in (p) nên theo Bổ đề 2.1 suy in (p ) < in (p) ≤ in (f ) Như (2) bước Nếu bước không thực phép chia, mà đổi phần dư r, giá trị p r tương ứng p = p − in (p) r = r + in (p) Vì p + r = (p − in (p)) + (r − in (p)) = p + r q1 , , qs không thay đổi nên ta có (1) bước Từ Bổ đề 2.1 suy in (p ) < in (p) ≤ in (f ), (2) Như theo nguyên lí qui nạp, (1) (2) bước Nếu thuật toán dừng, tức p = 0, (1) trở thành f = q1 f1 + + qs fs + r Chú ý r tăng thêm từ Chiahet = false, tức in(fi ) chia hết in(p) Khi đó, từ thêm vào r in(p), nên r thỏa mãn (i) Định lí chia đa thức Điều kiện (ii) suy từ (2) Cuối , ta chứng minh thuật toán dừng sau hữu hạn bước Nếu kí hiệu p0 = f, pi , i ≥ đa thức p thay đổi lần thứ i, vừa chứng tỏ in (p0 ) > in (p1 ) > in (p2 ) > Footer Page 43 of 161 37 Header Page 44 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Thùy Vì thứ tự từ thứ tự tốt, nên theo Bổ đề 1.6, dãy phải dừng, tức tồn i để pi = 0, hay thuật toán dừng Khi chia đa thức chia lập thành sở Gr¨obner lại khác, lúc thuật toán chia đa thức lại cho ta đa thức dư xác định Điều khẳng định định lí sau Định lý 2.3 Giả sử F = {f1 , , fs } sở Gr¨obner thứ tự từ cho trước Khi với đa thức f ∈ K[x], đa thức dư r phép chia f cho hệ F xác định Nói riêng, kết thực Thuật toán chia đa thức trường hợp không phụ thuộc vào thứ tự đa thức chia F Chứng minh Sự tồn r khẳng định Định lí chia đa thức Ta chứng minh tính r Giả sử có hai đa thức r r , tức tồn q1 , , qs ; q1 , , qs ∈ K [x] để r = f − (q1 f1 + + qs fs ) ; r = f − (q1 f1 + + qs fs ) Khi r − r = (q1 − q1 ) f1 + + (qs − qs ) fs ∈ I = (f1 , , fs ) Vì f1 , , fs sở Gr¨obner I nên tồn i ≤ s để in (r − r ) chia hết cho in(fi ) Nhưng điều xảy in(r − r ) = 0, đơn thức in (r − r ) phải đơn thức r r Mặt khác, theo Định lí chia đa thức, từ r r chia hết cho in(fi ) Vậy, r = r Footer Page 44 of 161 38 Header Page 45 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Thùy Hệ 2.3 Giả sử F = {f1 , , fs } sở Gr¨obner iđêan I thứ tự từ cho trước đa thức f ∈ R Khi đó, f ∈ I đa thức dư r phép chia f cho hệ F Chứng minh Hiển nhiên, đa thức dư phép chia f cho hệ F f ∈ I Ngược lại, giả sử: f ∈ I Khi tồn q1 , , qs ∈ R để f = q1 f1 + + qs fs + Do tính phần dư, suy r = Nhận xét Từ định lí trên, ta có thuật toán tìm sở Gr¨obner rút gọn iđêan I từ sở Gr¨obner tối tiểu cách thay đổi đa thức g ∈ G đa thức RemG (g) G = G\ {g} Thuật toán trình bày sau: Thuật toán 6: Thuật toán tìm sở Gr¨ obner rút gọn Tìm sở Gr¨obner rút gọn CSGRRG(f1 , , fr ) := {g1 , , gs } từ sở Gr¨obner f1 , , fr Input: f1 , , fr sở Gr¨obner Output: g1 , , gs {g1 , , gs } := CSGRTT(f1 , , fr ) FOR i ≤ s DO gi := P HAN DU (gi ; g1 , , gi−1 , gi+1 , , gs ) Footer Page 45 of 161 39 Header Page 46 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 2.3.1 Phạm Thị Thùy Thuật toán Buchberger Tiêu chuẩn Buchberger Định nghĩa 2.9 Cho f, g ∈ K[x] hai đa thức khác Kí hiệu mf g = in(f ) U CLN (lm(f ), lm(g)) mgf = in(g) U CLN (lm(f ), lm(g)) S - đa thức f g đa thức S (f, g) = mgf f − mf g g Chú ý S - đa thức phụ thuộc vào việc chọn thứ tự từ Ví dụ Cho f = 4x3 y + 2x4 y + 2xy g = 3x3 y + 2x4 y + y vành K[x] Đối với thứ tự từ điển mà x > y, ta có mf g = 2x4 y U CLN (x4 y,x4 y ) = 2; mgf = 2x4 y U CLN (x4 y,x4 y ) = 2y nên S (f, g) = mgf f − mf g g = 2y 2x4 y + 4x3 y + 2xy − 2(2x4 y + 3x3 y + y ) = 8x3 y + 4xy − 6x3 y − 2y Đối với thứ tự từ điển phân bậc mà x > y, ta có mf g = 4x3 y x3 y = 4y; mgf = 2x4 y x3 y = 2x nên S (f, g) = mgf f − mf g g = 2x 2x4 y + 4x3 y + 2xy − 4y 2x4 y + 3x3 y + y = 4x5 y + 4x2 y − 12x3 y − 4y Bổ đề 2.5 (i) S (f, g) = −S (g, f ) (ii) in (S (f, g)) < BCN N (in (f ) , in (g)) Footer Page 46 of 161 40 Header Page 47 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Thùy Bổ đề 2.6 Cho g1 , , gt ∈ K [x] , α1 , , αt ∈ K a1 , , at ∈ Nn thỏa mãn tính chất sau (i)Tồn d ∈ Nn để với i ≤ t mà αi = xai lm (gi ) = xd t (ii) in αi xai gi < xd i=1 Khi tồn αjk ∈ K cho t αi xai gi = i=1 αjk xd−cjk S (gj , gk ), j,k xcjk = BCN N (lm (gj ) , lm (gk )) Hơn với j, k có in(xd−cjk S (gj , gk )) < xd Chứng minh Theo Bổ đề 2.5 định nghĩa cjk ta có in(xd−cjk S (gj , gk )) < xd−cjk BCN N (in (f ) , in (g)) = xd Vì vậy, cần phải chứng minh tồn biểu diễn cho tổng t αi xai gi Đặt i=1 βi = lc (gi ) pi = xai gi /βi Khi đó, rõ ràng lc(pi ) = Viết tổng cần xét dạng t i=1 t αi xai gi = αi βi pi i=1 = α1 β1 (p1 − p2 ) + (α1 β1 + α2 β2 ) (p2 − p3 ) + + (α1 β1 + + αt−1 βt−1 ) (pt−1 − pt ) + (α1 β1 + + αt βt ) pt = α1 β1 (p1 − p2 ) + (α1 β1 + α2 β2 ) (p2 − p3 ) + + (α1 β1 + + αt−1 βt−1 ) (pt−1 − pt ) Footer Page 47 of 161 41 Header Page 48 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Thùy t αi βi = điều kiện (ii)) ( Vì i=1 Giả sử in (gi ) = βi xbi Theo điều kiện (i): + bi = di với i ≤ t Do lm (gi ) = xbi chia hết xd Suy xcjk = BCN N (lm (gj ) , lm (gk )) chia hết xd Vì vậy, xd−cjk đơn thức Ta có: xd−cjk S (gj , gk ) = xd−cjk in(gk ) U CLN (lm(gj ),lm(gk )) gj − in(gj ) U CLN (lm(gj ),lm(gk )) gk βk lm(gj ) gj = xd−cjk BCN N (lm (gi ) , lm (gk )) d d = βk xxbj gj − βj xxbk gk = βj βk Thay pi − pi−1 t i=1 αi xai gi = xaj gj βj − − βj lm(gk ) gk xak gk βk = βj βk (pj − pk ) vào biểu diễn ta α1 β1 d−c12 S β1 β2 x (g1 , g2 ) + (α1 β1 +α2 β2 ) d−c23 x S β2 β (g2 , g3 ) + t−1 βt−1 ) d−c(t−1)t + (α1 β1 + +α S (gt−1 , gt ) x βt−1 βt Đó dạng biểu diễn cần tìm Định lý 2.4 ( Tiêu chuẩn Buchberger) Cho G = {g1 , , gs } hệ sinh iđêan I G sở Gr¨obner I với cặp ≤ i = j ≤ s ( ) đa thức dư S - đa thức S(gi , gj ) phép chia cho G Chứng minh Điều kiện cần: Do gi , gj ∈ I, nên S (gi , gj ) ∈ I Vì G sở Gr¨obner, theo Hệ 2.3, đa thức dư S - đa thức S (gi , gj ) phép chia cho G xác định Điều kiện đủ: Giả sử với cặp ≤ i = j ≤ s, đa thức dư S (gi , gj ) phép chia cho G ( đa thức dư chọn nhất, theo qui luật đó) Ta cần chứng minh trường hợp G sở Gr¨obner Footer Page 48 of 161 42 Header Page 49 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Thùy Cho f ∈ I = (g1 , , gs ) Khi đó, tồn h1 , , hs ∈ K [x] cho f = h1 g1 + + hs gs Trong tất biểu diễn cuả f , chọn biểu diễn cho max {lm (h1 g1 ) , , lm (hs gs )} nhỏ Đơn thức hoàn toàn xác định thứ tự từ thứ tự tốt Kí hiệu đơn thức m = xd Ta giả sử max {lm (h1 g1 ) , , lm (hs gs )} = m Giả sử lm(f ) < m Khi từ khởi đầu hi gi triệt tiêu Đặt mi = lm (hi gi ), ta có f= hi gi + mi =m = hi gi mi z > x ta có: in x2 − 3y = −3y; in y + z = y Footer Page 51 of 161 45 Header Page 52 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Thùy S x2 − 3y, y + z = y x2 − 3y − (−3y) y + z = x2 y + 3yz chia hết cho G = x2 − 3y, y + z được, tức có đa thức dư khác không Vậy G không sở Gr¨obner I 2.3.2 Thuật toán Buchberger Dựa vào khái niệm S− đa thức tiêu chuẩn Buchberger, xây dựng sở Gr¨obner iđêan xuất phát từ hệ sinh tùy ý Cho f ∈ K[x] F = (f1 , , ft ) ⊆ K[x] tập Theo Thuật toán chia đa thức, PHANDU(f ; F ) đa thức dư f phép chia cho F xác định Thuật toán Thuật toán Buchberger Tìm sở Gr¨obner CSGR (f1 , , ft ) := {g1 , , gs } từ (f1 , , ft ) Input: F = (f1 , , ft ) Output: sở Gr¨obner G = {g1 , , gs } F ⊆ G G := F REPEAT G := G FOR cặp {p, q} ⊆ G , p = q DO S := P HAN DU (S (p, q) ; G ) IF S = T HEN G := G ∪ {S} U N T IL G = G Định lý 2.5 Thuật toán dừng số hữu hạn bước G sở Gr¨ obner chứa {f1 , , ft } I = (f1 , , ft ) Footer Page 52 of 161 46 Header Page 53 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Thùy Chứng minh Ta thấy rằng, bước thuật toán, đa thức S thêm vào có dạng S = S (p, q) − hg g = mqp p − mpq q − g∈G hg g g∈G Lúc ban đầu {f1 , , ft } ⊆ G ⊆ I Do đó, từ đẳng thức qui nạp theo số bước suy bao hàm thức Vì I = (f1 , , ft ), nên I = (G) Thuật toán dừng đơn thức thêm vào G, tức là: RemG (p, q) = với p, q ∈ G, p = q Theo tiêu chuẩn Buchberger, G sở Gr¨obner I Bây giờ, ta chứng minh tính dừng thuật toán Kí hiệu: Gi tập G nhận bước thứ i thuật toán Ta dùng kí hiệu trước in (G) = {in (g) |g ∈ G} Do G0 ⊆ G1 ⊆ G , nên (in (G0 )) ⊆ (in (G1 )) ⊆ (in (G2 )) ⊆ Vì K[x] vành Noether, nên dãy phải dừng sau số hữu hạn bước Gọi i số nhỏ để in (Gi ) = in (Gi+1 ) Nếu Gi ⊂ Gi+1 tồn p, q ∈ Gi để đa thức RemGi (S (p, q)) thêm vào Gi+1 Vì từ RemGi (S (p, q)) không chia hết cho từ khởi đầu Gi , suy ta in (Gi ) ⊂ in (Gi+1 ) Vô lí Vậy Gi = Gi+1 , thuật toán dừng sau bước i + Footer Page 53 of 161 47 Header Page 54 of 161 Kết luận Nội dung lí thuyết sở Gr¨obner trình bày cách logic hệ thống Nhờ lí thuyết sở Gr¨obner mà vấn đề như: thực phép chia đa thức f cho tập đa thức {g1 , , gs } hay không? Làm để biết đa thức f có thuộc iđêan cho trước? giải triệt để Khóa luận mang tính chất giới thiệu, nghiên cứu phần nhỏ Nhiều kiến thức khác ứng dụng lí thuyết sở Gr¨obner cho modun, Hình học đại số, chưa đề cập khóa luận Đề tài thực có ý nghĩa tiếp tục nghiên cứu, bổ sung ý tưởng lẫn phương pháp Hy vọng tài liệu góp ích phần bạn sinh viên quan tâm đến đại số nói riêng toán học nói chung Footer Page 54 of 161 48 Header Page 55 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính: Cơ sở Gr¨obner, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hà Huy Khoái - Phạm Huy Điển ( 2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hoàng Xuân Sính (2006), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [4] Ngô Việt Trung (1999), Cơ sở Gr¨obner Hình học Đại số, Thông tin Toán học, Hội toán học Việt Nam, Tập số Footer Page 55 of 161 49 ... iđêan khởi đầu tương đương với việc tìm sở Gr¨obner I thứ tự Tuy nhiên, việc làm không đơn giản sở I sở Gr¨obner I Hơn nữa, sở cho I sở Gr¨obner thứ tự không sở Gr¨obner thứ tự khác Ví dụ • Cho I... gọi sở Gr¨obner, sở Gr¨obner iđêan sinh phần tử Từ Bổ đề Dickson 1.4 suy iđêan có sở Gr¨obner ( hữu hạn) Chú ý ( khóa luận này) ta hiểu sở hệ sinh Bổ đề 2.3 Cho I iđêan tùy ý R Nếu g1 , , gs sở. .. thuyết sở Groebner phát triển Đại số với động viên, giúp đỡ thầy cô khoa Toán, đặc biệt thầy cô tổ Đại số, em chọn đề tài Cơ sở Gr¨ obner” Nội dung đề tài trình bày khái niệm sở lý thuyết sở Gr¨obner