Cơ sở Grobner của đại số toàn phương đối chiều thấp.

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN DUY ÁI NHÂN CƠ SỞ GR ¨ OBNER CỦA ĐẠI SỐ TOÀN PHƯƠNG ĐỐI CHIỀU THẤP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐHSP Chuyên ngành: Đại số Giảng viên hướng dẫn TS. PHAN VĂN THIỆN Huế, Khóa học 2007 - 2011 i Mục lục Trang phụ bìa i Mục lục 1 Lời nói đầu 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Vành phân bậc, môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đại số phân bậc chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Iđêan phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Chuỗi Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1 Hàm Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Chuỗi Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chương 2 Cơ sở Gr¨obner của Iđêan 9 2.1 Thứ tự đơn thức trên K [x 1 , . . . , x n ] . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Một số thứ tự đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.3 Bậc của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Thuật toán chia trong K[x 1 , . . . , x n ] . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Iđêan đơn thức và bổ đề Dickson . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Định lí cơ bản Hilbert và cơ sở Gr¨obner . . . . . . . . . . . . 16 2.5 Tính chất của cơ sở Gr¨obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 Thuật toán Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 3 Cơ sở Gr¨obner của đại số toàn phương đối chiều 1 thấp 27 3.1 Một số kết quả mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Định lí chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Chứng minh định lí chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 2 LỜI NÓI ĐẦU Cơ sở Gr¨obner là cơ sở có những ứng dụng quan trọng trong đại số giao hoán và đại số máy tính. Đối với đại số toàn phương đối chiều thấp dạng R = K[x 1 , . . . , x n ]/I thì iđêan xác định I của R luôn tồn tại cơ sở Gr¨obner gồm các phần tử thuần nhất bậc hai trừ trường hợp I = (x 2 , xy, y 2 − xz, yz). Lúc này, ta nói R được xác định bởi một cơ sở Gr¨obner các phần tử thuần nhất bậc hai hay R là G-toàn phương. Trường hợp này là nội dung nghiên cứu chính của khóa luận. Nội dung của khóa luận được chia thành 3 chương: 1. Chương 1: Giới thiệu một số kiến thức liên quan đến đại số phân bậc, iđêan phân bậc, chuỗi Hilbert 2. Chương 2: Xây dựng định nghĩa cơ sở Gr¨obner của iđêan và nêu một số tính chất. 3. Chương 3: Chứng minh trường hợp đặc biệt được nêu ra ở trên. Phương pháp nghiêu cứu chung của khóa luận là nghiên cứu các tài liệu liên quan, tổng hợp và trình bày lại theo cách hiểu của bản thân. Do trình độ chuyên môn và kinh nghiệm còn hạn chế nên khóa luận này không tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự cảm thông và những ý kiến nhận xét từ phía người đọc. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô và bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa luận, đặc biệt là thầy giáo Phan Văn Thiện đã giúp đỡ tôi chọn đề tài, hướng dẫn nghiên cứu và cho những nhận xét đánh giá quý báu. Huế, tháng 05 năm 2011 Nguyễn Duy Ái Nhân 3 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành phân bậc, môđun phân bậc 1. Vành phân bậc. Một vành A được gọi là vành phân bậc nếu có sự phân tích thành tổng trực tiếp của các nhóm Aben A = ⊕ n≥0 A n thỏa mãn A n A m ⊆ A n+m với mọi n, m. 2. Môđun phân bậc. Cho A là vành phân bậc, A-môđun phân bậc M là A-môđun M có sự phân tích thành tổng trực tiếp M = ⊕ n≥0 M n thỏa mãn A n M m ⊆ M n+m với mọi n, m. 3. Mỗi phần tử của A n hoặc M n được gọi là thuần nhất bậc n. 4. Một môđun con N của M được gọi là môđun con phân bậc nếu N = ⊕ n≥0 (N ∩ M n ). 1.2 Đại số phân bậc chuẩn Cho K là một trường. 1. Nếu một K-đại số giao hoán A có sự phân tích thành tổng trực tiếp thành A = A 0 ⊕ A 1 ⊕ A 2 ⊕ . . . 4 với A 0 = K và A i A j ⊆ A i+j (∀i, j ≥ 0) thì A được gọi là K-đại số phân bậc và ta viết A =  n≥0 A n .  Ví dụ: Xét K[x] là vành đa thức một biến x trên trường K. Một đa thức thuộc K[x] có thể viết dưới dạng a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n , n ≥ 0, a i ∈ K ∀i = 1, . . . , n Như vậy K[x] = A 0 + A 1 + A 2 + A 3 + . . . với A 0 = {a 0 |a 0 ∈ K}, A 1 = {a 1 x|a 1 ∈ K},. . . Mặt khác, A i ∩A j = {0} với i = j nên suy ra K[x] = A 0 ⊕A 1 ⊕A 2 ⊕. . Ta có A 0 = K và với mọi a i x i ∈ A i , a j x j ∈ A j thì (a i x i )(a j x j ) = (a i a j )(x i+j ) ∈ A i+j ⇒ A i A j ⊆ A i+j Như vậy, K[x] là một K-đại số phân bậc. 2. Mỗi a ∈ A n được gọi là thuần nhất bậc n và viết deg(a) = n. Chú ý: 0 có bậc tùy ý. 3. Một K-đại số phân bậc A được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại một tập hữu hạn các phần tử thuần nhất {a i } 1≤i≤m thỏa mãn A được sinh như một không gian vectơ bởi các đơn thức {a e 1 1 . . . a e m m |e i ∈ N, 1 ≤ i ≤ m} Nếu deg(a i ) = 1, ∀i = 1, . . . , m thì A được gọi là một K-đại số phân bậc chuẩn. Lúc này, A i = {a e 1 1 . . . a e m m |e 1 + . . . + e m = i}  Ví dụ: Xét S = K[x 1 , . . . , x n ] là vành đa thức n biến trên trường K, deg(x i ) = 1 với 1 ≤ i ≤ n. Ta có S là K-đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh, S =  i≥0 S i . Trong đó S i = {x α 1 1 . . . x α n n |α j ∈ N, 1 ≤ j ≤ n, n  j=1 α j = i} (Xem [5, Định lí 2.2.5]). 5 1.3 Iđêan phân bậc 1. Cho A =  n≥0 A n là một K-đại số phân bậc, một iđêan phân bậc là một không gian vectơ con có dạng I =  n≥0 I n thỏa mãn (a) ∀n ≥ 0, I n ⊆ A n (b) A i I j ⊆ I i+j , ∀i, j ≥ 0 2. Cho A =  n≥0 A n là một K-đại số phân bậc, a 1 , . . . , a m là các phần tử của A, iđêan I = (a 1 , . . . , a m ) = { n  i=1 a i b i |b i ∈ A, 1 ≤ i ≤ m} được gọi là iđêan sinh bởi a 1 , . . . , a m . 3. Cho A =  n≥0 A n là một K-đại số phân bậc, iđêan sinh bởi tập các phần tử thuần nhất được gọi là iđêan thuần nhất.  Ví dụ: Cho K[x, y] là K-đại số phân bậc, iđêan I = (x 2 , xy) ⊂ K[x, y] là iđêan thuần nhất (được sinh bởi các phần tử thuần nhất bậc hai). 4. Cho A =  n≥0 A n là một K-đại số phân bậc, giả sử a 1 , . . . , a m ∈ A là các phần tử thuần nhất với deg(a i ) = d i , 1 ≤ i ≤ m. Lúc này, iđêan thuần nhất I = (a 1 , . . . , a m ) là iđêan phân bậc và I =  n≥0 I n với I n = A n ∩ I. (Xem [3, Định lí 2.1.3], [5, Mệnh đề 2.3.5])  Ví dụ: Cho K[x, y] là K-đại số phân bậc, iđêan I = (x 2 , xy) ⊂ K[x, y] là iđêan phân bậc I = ⊕ n≥0 I n trong đó I 0 = I 1 = 0, I 2 = x 2 , xy, I 3 = x 3 , x 2 y, xy 2 , . . . 5. Cho A =  n≥0 A n là một K-đại số phân bậc, I =  n≥0 I n là iđêan phân bậc. Ta có A/I là K-đại số phân bậc và A/I =  n≥0 (A n /I n ). (Xem [5, Định lí 2.3.6])  Ví dụ: Cho A = K[x, y] là K-đại số phân bậc và I = (x 2 , xy) là iđêan phân bậc. Ta có, A/I = ⊕ n≥0 A n /I n trong đó A 0 /I 0 = K, A 1 /I 1 = A 1 , A 2 /I 2 = y 2 , A 3 /I 3 = y 3 , 6 1.4 Chuỗi Hilbert 1.4.1 Hàm Hilbert 1. Cho A =  n≥0 A n là một K-đại số phân bậc hữu hạn sinh. Hàm Hilbert của A được định nghĩa như sau H(A, n) = dim K (A n ) với dim K A n là số chiều của không gian vectơ A n trên trường K.  Ví dụ: Xét K-đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh S = K[x 1 , . . . , x n ], deg(x i ) = 1 với 1 ≤ i ≤ n, S =  i≥0 S i ,với S i = {x α 1 1 . . . x α n n |α j ∈ N, 1 ≤ j ≤ n, n  j=1 α j = i} Ta có, dim K (S i ) = C i n+i−1 = (n + i −1)! i!(n −1)! (xem [5, Mệnh đề 2.2.6]). Vậy H(S, i) = dim K (S i ) = C i n+i−1 = (n + i −1)! i!(n −1)! 2. Nếu I =  n≥0 I n là một iđêan thuần nhất của A, ta có thể định nghĩa H(I, n) = dimI n  Ví dụ: Cho A = K[x, y, z] là vành đa thức theo biến x, y, z trên trường K, iđêan I = (x 2 , y 2 , xz, yz) ⊂ K[x, y, z] là iđêan thuần nhất. Ta có, I là iđêan phân bậc, I =  n≥0 I n với I 0 = I 1 = 0, I 2 = x 2 , y 2 , xz, yz, I 3 = x 3 , y 3 , x 2 y, x 2 z, y 2 x, y 2 z, xz 2 , yz 2 , xyz, . . . Vậy, H(I, 0) = H(I, 1) = 0, H(I, 2) = 4, H(I, 3) = 9, . . . 1.4.2 Chuỗi Hilbert 1. Cho A =  n≥0 A n là K-đại số phân bậc hữu hạn sinh, chuỗi Hilbert của A được định nghĩa như sau F(A, t) = ∞  n=0 H(A, n)t n 7  Ví dụ: Xét K-đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh A = K[x], A =  i≥0 A i và H(A, i) = dim K A i = 1, ∀i ≥ 0. Lúc này, chuỗi Hilbert của A = K[x] là F(A, t) = 1 + t + t 2 + t 3 + . . . = 1 1 −t 2. Nếu I =  n≥0 I n là một iđêan thuần nhất của A thì chuỗi Hilbert của I là F(I, t) = ∞  n=0 H(I, n)t n 3. Cho A =  n≥0 A n là một K-đại số phân bậc và I =  n≥0 I n là một iđêan phân bậc. Khi đó F(A/I, t) = F(A, t) −F(I, t) (Xem [3, Định lí 2.2.2]) 8 Chương 2 CƠ SỞ GR ¨ OBNER CỦA IĐÊAN 2.1 Thứ tự đơn thức trên K [x 1 , . . . , x n ] 2.1.1 Định nghĩa Một thứ tự đơn thức trên K[x 1 , . . . , x n ] là một quan hệ > trên Z n ≥0 thỏa mãn các tính chất sau: 1. > là một thứ tự toàn phần trên Z n ≥0 . 2. Nếu α > β và γ ∈ Z n ≥0 thì α + γ > β + γ. 3. > là thứ tự tốt trên Z n ≥0 . (Nghĩa là mọi tập con khác rỗng của Z n ≥0 đều có phần tử bé nhất theo quan hệ >.) 2.1.2 Một số thứ tự đơn thức 1. Thứ tự từ điển (> lex ). Cho α = (α 1 , . . . , α n ) và β = (β 1 , . . . , β n ) ∈ Z n ≥0 . Ta nói, α lớn hơn β theo thứ tự từ điển nếu trong vectơ (α − β) ∈ Z n thành phần khác 0 đầu tiên bên trái là số dương. Ta viết x α > lex x β nếu α > lex β.  Ví dụ: (a) (1, 0, 2) > lex (0, 1, 2) vì (1, 0, 2) −(0, 1, 2) = (1, −1, 0). (b) (2, 2, 1) > lex (2, 2, 0) vì (2, 2, 1) −(2, 2, 0) = (0, 0, 1). 2. Thứ tự từ điển ngược (> invlex ). Cho α = (α 1 , . . . , α n ) và β = (β 1 , . . . , β n ) ∈ Z n ≥0 . Ta nói, α lớn hơn β theo thứ tự từ điển đảo nếu trong vectơ (α −β) ∈ Z n thành phần khác 9 [...]... g ∈ I, do G là cơ sở Gr¨bner của I nên ta có g − g = 0 o Vì LT (g) = LT (g) nên trong g − g những hạng tử này bị triệt tiêu, các hạng G tử còn lại của g, g không nằm trong LT (G) = LT (G), suy ra g − g = g − g ⇒ g − g = 0 ⇒ g = g ⇒ G ≡ G Vậy cơ sở Gr¨bner thu gọn của I là duy nhất o 26 Chương 3 ¨ CƠ SỞ GROBNER CỦA ĐẠI SỐ TOÀN PHƯƠNG ĐỐI CHIỀU THẤP Trong chương này ta xét những K -đại số phân bậc chuẩn... Như vậy, G − {p} cũng là một cơ sở Gr¨bner của I o Định nghĩa 2.6.3 Một cơ sở Gr¨bner cực tiểu của iđêan đa thức I là một o cơ sở Gr¨bner G của I sao cho với mọi p ∈ G ta có o 1 LC(p) = 1 2 LT (p) ∈ (LT (G − {p})) / Định nghĩa 2.6.4 Một cơ sở Gr¨bner thu gọn của iđêan đa thức I là một o cơ sở Gr¨bner G của I thỏa mãn o 1 LC(p) = 1, ∀p ∈ G 25 2 ∀p ∈ G, không có đơn thức nào của p thuộc (LT (G − {p}))... , t}) Vậy {gi |i = 1, , t} là cơ sở Gr¨bner của I theo quan hệ thứ tự σ o Vì fi thuần nhất bậc hai nên ta có gi cũng thuần nhất bậc hai cho nên I là G -toàn phương hay R là G -toàn phương 31 3.2 Định lí chính Định lí 3.2.1 Cho R = i≥0 Ri là một K -đại số toàn phương phân bậc chuẩn với dimR2 ≤ 2, giả sử rằng K là đại số đóng có đặc số khác 2 Khi đó R là G -toàn phương khi và chỉ khi R không đẳng cấu... các phần tử thuần nhất bậc hai o K -đại số phân bậc chuẩn R được gọi là G -toàn phương nếu iđêan xác định của nó là G -toàn phương 3.1 Một số kết quả mở đầu Bổ đề 3.1.1 Cho R = i≥0 Ri là một K -đại số phân bậc chuẩn, nếu tồn tại một dạng tuyến tính 0 = x ∈ R thỏa x2 = 0 và xR1 = R2 thì R là G -toàn phương (Ri = 0, ∀i > 2) 27 Chứng minh Bổ sung vào x để được một cơ sở của R1 : x1 , x2 , , xn−1 , xn =... , gt } của iđêan I được gọi là một cơ sở Gr¨bner của I nếu o (LT (g1 ), , LT (gt )) = (LT (I)) Nói cách khác {g1 , , gt } ⊂ I là một cơ sở Gr¨bner của iđêan I khi và o chỉ khi hạng tử dẫn đầu của mọi phần tử của I chia hết cho một trong các LT (gi ) Hệ quả 2.4.5 Cố định một thứ tự đơn thức, khi đó mọi iđêan I ⊂ K[x1 , , xn ] = {0} đều có một cơ sở Gr¨bner Hơn nữa, cơ sở Gr¨bner của iđêan... iđêan I có một cơ sở Gr¨bner gồm các phần tử thuần nhất bậc hai o Do đó, R là G -toàn phương và Ri = 0 với i ≥ 0 Bổ đề 3.1.2 Cho R = i≥0 Ri là một K -đại số phân bậc chuẩn trên trường K đóng đại số và W là một không gian con của R1 Nếu dimW > dimW 2 thì tồn tại một phần tử khác không x ∈ W thỏa mãn x2 = 0 Chứng minh Đặt n = dimW, m = dimW 2 Cố định cơ sở x1 , , xn của W và u1 , , um của W 2 Ta... S(fi , fj ) G2 = 0, ∀1 ≤ i < j ≤ 5 Như vậy ta có một cơ sở Gr¨bner của I là o {f1 , f2 , f3 , f4 , f5 } = {x3 − 2xy, x2 y − 2y 2 + x, −x2 , −2xy, −2y 2 + x} Bổ đề 2.6.2 Cho G là một cơ sở Gr¨bner của iđêan đa thức I và p ∈ G là o một đa thức thỏa mãn LT (p) ∈ (LT (G − {p})) Khi đó, G − {p} cũng là cơ sở Gr¨bner của I o Chứng minh Do G là cơ sở Gr¨bner của I nên ta có o (LT (G)) = (LT (I)) Theo giả thiết... xδ−γjk S(gj , gk ) có bậc nhỏ hơn δ Định lí 2.5.5 Cho I là một iđêan đa thức, một cơ sở G = {g1 , , gt } của I là một cơ sở Gr¨bner của I khi và chỉ khi phần dư của phép chia S(gi , gj ) o cho G bằng 0 với mọi i = j Chứng minh ⇒) Giả sử G là cơ sở Gr¨bner của I Do S(gi , gj ) ∈ I nên áp o dụng Hệ quả 2.5.2 ta có phần dư của phép chia S(gi , gj ) cho G bằng 0 ⇐) Với mỗi đa thức f = 0 thuộc I = (g1 ,... là một K -đại số toàn phương phân bậc chuẩn với dimR2 ≤ 2, giả sử rằng K là đại số đóng có đặc số khác 2 và với mọi 0 = x ∈ R1 ta có xR1 = 0 Nếu R không đẳng cấu với K[x, y, z]/(x2 , xy, y 2 − xz, yz) thì R là G -toàn phương Chứng minh Đặt n = dimR1 Ta có thể giả sử n > 1 1 dimR2 = 0 Ta có R2 = 0 ⇒ S2 ⊆ I2 = I ∩ S2 ⇒ S2 ⊆ I ⇒ S2 = (LT (I))2 ⇒ (LT (I)) = ({yi yj |1 ≤ i, j < n}) Vậy R là G -toàn phương. .. , tn−1 để có một cơ sở của V Ta kí hiệu lại các biến của vành đa thức là x, y, để tương ứng với cơ sở x, y, , tn−1 , z của R1 , tức là S = K[x, y, t3 , , tn−1 , z] Ta có xV = 0 nên x2 , xy, xt3 , , xtn−1 ∈ I Đồng thời R2 = xz, y 2 nên các đơn thức bậc hai trong S2 được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của xz và y 2 Như vậy ta có được các phần tử của iđêan I ⊂ S của R như sau x2 , xy,