1
TRUONG DAI HOC VINH KHOA TOAN
CO SO GROBNER
VA CAC THUAT TOAN UNG DUNG KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC
NGANH CU NHAN SU PHAM TOAN
Chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số
Trang 22 MỤC LỤC Trang 0 1117 -ỪŨ 1 CHƯNG | SG SG SE 21123251151 11 1121151151 1101111 g1 xen 3 CÁC KIÊN THỨC CƠ SỞ 2-2 22+2+£+2x£+£z+zzzzx2 3
1.1 Vành đa thức nhiều biến -2¿-©5252++22+22v+2Exverrrrrrxrrrrrrrk 3
Trang 3MỞ ĐẦU
Tính tốn hình thức hay cịn gọi là Đại số máy tính (Computer Algebra) xuất hiện khoảng ba chục năm nay và gần đây đã trở thành một chuyên ngành độc lập
Nếu như thời buổi đầu máy tính chỉ thực hiện được những tính tốn bằng số cụ thé,
như giải phương trình với hệ số bằng số, tính tích phân xác định thì với sự ra đời
của Đại số máy tính người ta cĩ thể giải phương trình với hệ số bằng chữ, tính tích
phân bat dinh, Đây là một chuyên ngành kết hợp chặt chẽ tốn học và khoa học máy tính Ngược lại sự phát triển của Đại số máy tính cũng cĩ tác dụng tích cực trở
lại trong nghiên cứu tốn học lý thuyết Nhiều kết quả lý thuyết đã được phán đốn
hoặc cĩ được phản ví dụ nhờ sử dụng máy tính
Hạt nhân của việc tính tốn hình thức bằng máy tính trong Đại số giao hốn và Hình học đại số chính là lý thuyết cơ sở Grưbner Lý thuyết này được nhà tốn
học người Áo Bruno Buchberger đưa ra trong luận án tiến sĩ của mình vào năm
1965, đưới sự hướng dẫn của người thầy là Wolfgang Grưbner Điểm mấu chốt
khởi đầu cho sự hình thành lý thuyết cơ sở Grưbner là việc mở rộng thuật tốn chia
hai đa thức một biến sang trường hợp các đa thức nhiều biến
Nghiên cứu về cơ sở Grưbner và một số thuật tốn ứng dụng chính là nội
dung của khĩa luận này
Trong khĩa luận này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản về cơ sở
Grưbner, các tính chất của cơ sở Grưbner và các thuật tốn ứng dụng, các tính chất của các đa thức dư Nĩ được thể hiện qua các mục sau:
Chương 1 Các kiến thức cơ sở
1.1 Vành đa thức nhiều biến
Trang 41.3 Thứ tự từ
Chương 2 Cơ sở Grưbner và ứng dụng 2.1 Iđêan khởi đầu và cơ sở Grưbner
2.2 Thuật tốn chia
2.3 Thuật tốn Buchberger
Qua đĩ, chúng tơi đã đi vào nghiên cứu một số điều kiện một tập hữu hạn
của iđêan 7 là cơ sở Grưbner, nghiên cứu một số tính chất về đa thức dư khi chia
một đa thức cho một cơ sở Grưbner
Để hồn thành được khĩa luận này tác giả đã nhận được sự hướng dẫn, chỉ
bảo tận tình của Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang và các thầy cơ giáo
trong Tổ Đại số Nhân dịp này, tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang và các thầy cơ giáo trong
Khoa Tốn đã tận tình dạy bảo trong chúng em trong suốt khĩa học vừa qua
Mặc dù đã cố gắng nhưng khĩa luận khơng thể tránh khỏi những thiếu sĩt,
hạn chế Tác giả rất mong nhận được sự đĩng gĩp ý kiến của các thầy cơ giáo và các bạn
Vinh, ngày 6 tháng 5 năm 2010 Tác giả
Trang 5CHƯƠNG 1
CÁC KIÊN THỨC CƠ SỞ 1.1 Vành đa thức nhiều biến
1.1.1 Đa thức Cho R là một vành và x, x„(w >1) là các biến Ta gọi đơn thức là
một biểu thức cĩ dạng x x/, trong đĩ (ai, ,an) e ''” được gọi là bộ số mũ của
đơn thức Nếu ai = = an= 0 thì đơn thức được kí hiệu là 1 Phép nhân trên tập
các đơn thức được định nghĩa như sau:
Oe OT a) = ay org
Như vậy phép nhân đơn thức tương ứng với phép cộng các bộ số mũ trong nhĩm cộng ''”
Từ là biểu thức cĩ dạng øx; x⁄“, trong đĩ ze® được gọi là hệ số của rừ Phần tử
của vành được gọi là phần tử vơ hướng Hai từ khác khơng ơx;' x„" Và Bx x” 1a
đồng dạng với nhau Như vậy cĩ thể xem đơn thức là từ cĩ hệ số là 1, phan tử vơ
hướng z là từ ø.I
Ta kí hiệu x = (Xị; , Xa), a = (at, ., an) 6 [Ì” VAX" = xx,
Đa thức n biến XỊ, , xạ trên vành R là một tổng hình thức của các từ:
f(x)= ¥ a,x", trong dé chi co mét s6 hitu han hé sé a, 40 Tir a,x" voi a, #0
được gọi là từ của đa thức /(+) và x“ là đơn thức cua f(x)
Hai đa thức ƒ(+)= È)ø„x“ và g(x)= 3 Ø,x“ được xem là bằng nhau nếu z,= a voimoiaell”
Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau:
(Lax + CY Bx = Y (a, + Bx"
Trang 66
Vì z,+/Ø, z0 nếu øz, =0 hoặc Ø, =0nên trong biểu thức của đa thức tổng cũng chi
cĩ hữu hạn hệ số khác 0 Như vậy tổng của hai đa thức là một đa thức
Bằng cách nhĩm các từ đồng dạng, ta cĩ thé viết F(x) dưới dạng: ƒ(v) =@x"+ +@,x”,
trong do aj, ., ase" 1a cac bd số mũ khác nhau Biểu diễn này là duy nhất và
được gọi là biểu điễn chính tắc của đa thức f(x)
Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau:
(Dax YB = D 728" aca”
trong đĩ;,= 3 a,f
bce btema
Ta cĩ z„0 khi và chỉ khi tồn tai b vac sao cho a, #0 va £ 40 dé a=b+c#0
Suy ra biểu thức của đa thức tích cũng chỉ cĩ hữu hạn hệ số khác 0 hay tích của hai
đa thức là một đa thức
Với hai phép tốn cộng và phép tốn nhân đa thức nĩi trên tập tất cả các đa thức trên vành R là một vành giao hốn, cĩ đơn vị là đơn thức 1 Kí hiệu vành này là
R[xi , xa] hay R[x]
1.1.2 Vành đa thức Vành RỊx:, ., xa] xây dựng như trên được gọi là vành đa
thức n biến trên vành R
1.1.3 Bậc của đa thức Bác tong thé ctia đa thức ƒ(x)= 3` ơ,x“ là số
degf(x) = max {a, + +.a,|a, #0}
Chú ý: Bậc tơng thể của đa thức hằng là 0 Bậc tổng thể của đa thức khơng được quy ước là một số tuỳ ý
1.1.4 Mệnh đề
e_ Nếu R là miền nguyên thì vành đa thức R[x] cũng là miền nguyên
e Nếu R là miền nguyên thì với mọi đa thức (x), g(x) e R[x] déu co
deg(/ƒ(+)g()) = degf(x)+ degg(x)và deg(ƒ(x)+ ø(+)) < max {degf(x),deg g(x)}
1.1.5 Định lí Hilbert về cơ sở Cho R là vành Noether và x là tập n biến Khi đĩ
Trang 7Hệ quả Mọi ideal của vành đa thức K[x] trên trường K là hữu hạn sinh
1.1.6 Định nghĩa Ước chung lớn nhất của các đa thức ƒ ƒ, e K[x] là đa thức ø sao cho:
() » chia hết /, / nghĩa là tồn tại các đa thức 4„ 4„eK[x] sao cho
ƒ⁄, = hạ, ƒ„ = hq,„
(ï) Nếu p là đa thức khác chia hết /, /, thì p chia hết h
Khi đĩ ta kí hiệu =UCLN(ƒ, /,)
1.1.7 Mệnh đề Cho /, /, e K[x], a>2 Khi đĩ:
(i) UCLN(f,, ,f,) tồn tại và duy nhất với sai khác một hằng số khác 0 của K
(1) (7¡ /„) = (UCLN(ƒ, /„))-
Trang 8ƒ,)-1.2 Iđêan đơn thức
1.2.1 Định nghĩa lđêan 7c KỊx] được gọi là /đêan đơn thức nếu nĩ sinh bởi các
đơn thức
Idéan đơn thức cĩ dạng 7 =(x“;ze 4), trong đĩ A c:'”
1.2.2 Bỗ đề Cho 7=(x“;ze 4) là iđêan đơn thức Đơn thức x°e7 khi và chỉ khi
x° chia hết cho một đơn thức x“ với ae 4 nào đĩ
1.2.3 Bố đề Cho 7 là iđêan đơn thức và ƒK[x] Các điều kiện sau là tương
đương: (i) fel
(1đ) Mọi từ của ƒ thuộc 7
(iii) Z là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc 7
1.2.4 Hệ quá Hai iđêan đơn thức trong một vành đơn thức bằng nhau nếu chứa cùng một tập đơn thức
1.2.5 Bố đề lđêan 7 là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi / e7, các từ của ƒ
đều thuộc 7
2.6 Bé dé Dickson Moi idéan đơn thức 7 =(x“;ze 4) bao giờ cũng viết được đưới
Trang 91.3 Thứ tự từ 1.3.1 Thứ tự, giả thứ tự
1.3.1.1 Quan hệ Cho X là một tập khác rỗng Quan hệ (hai ngơi) trên X là một
tập con ® cua tich Decarts XxX Ki hiéu 1a: xRy, (x,y) eR
1.3.1.2 Thứ tự, giả thứ tự
e Quan hệ 9% trên tập X được gọi là một /hứ f (bộ phận) nếu nĩ thoả mãn các điều kiện sau với mọi x,y,ze X:
(i) xRx ;
(ii) Néu x®y, yRz thi xz;
(iii) Néu Ry va yRx thi x=y
Kí hiệu: <,>,<,>
x<y:“x nhỏ hơn hoặc bằng y”
e Nếu % là một bộ phận thì quan hệ ngược:Wt' ={Œ.z)|G,x) e®} cũng là thứ tự
và là /hứ fự ngược của 9
Nếu dùng <,« để kí hiệu 9 thì >,~ tương ứng chỉ các thứ tự ngược của chúng
Kí hiệu x< y để chỉ quan hệ x< y và x#y
e Một quan hệ < cĩ tính chất bắc cầu và với mọi x„yeXY thì x«y hoặc y<x hoặc x và y khơng cĩ quan hệ, sẽ sinh ra một quan hệ thứ tự (bộ phận) một cách tự nhiên: x<y nếu và chỉ nếu x=y hoặc x<y Lạm dụng ngơn ngữ ta cũng gọi kiểu quan hệ này là thứ tự (bộ phận)
e Trên tập X cĩ một thứ tự (bộ phận) <, ta nĩi X 1a tap được sắp (bộ phận) Nếu x.,yexX; x<y hoặc y<x thì ta nĩi x,y so sánh được với nhau Ngược lại x,y
Trang 1010
e Quan hệ thứ tự < trên X được goi 1a thir tr toan phan (hoặc thứ tự tuyến tính) nếu mọi cặp phần tỬ x,yeX đều so sánh được với nhau Khi đĩ ta nĩi tap X là
tập được sắp hồn tồn
e Quan hé chi thoả mãn tính chat phan xa va bắc cầu được gọi là giá thir tu (bộ phận, tồn phân)
e_ Cho Y là một tập được sắp bởi thứ tự từ < và 4c X
Phần tử ae4 được gọi là phân rử tối tiểu (ối dai) néu véi moi be A ma
b<a(a<b) thì a=b, tức là khơng cĩ phần tứ nào nhỏ hơn (lớn hơn) z ở trong 4
Phan tir ae A được gọi là phẩn tử nhỏ nhất (lớn nhất) nếu với mọi be A ta cĩ a<b(b<a)
Phan tir be X duoc gọi là chặn trên (chặn dưới) của A nếu mọi bed ta cĩ
a<b(b<a)
e Tập X được gọi là đập được sắp thứ tự tối nêu nĩ được sắp hồn tồn với mọi tập con khác rồng của nĩ cĩ phần tử nhỏ nhất Khi đĩ, thứ tự tương ứng là /
tự tot
1.3.1.3 Một số tính chất của thứ tự
e Bồ đề Zorn Nếu x là tập được sắp (bộ phận) sao cho mọi tập con khác rỗng được sắp hồn tồn của nĩ bị chặn trong X, thi X cĩ phần tử tối đại
¢ Dinh li Néu X là tập được sắp thì mọi tập con hữu hạn 4 của X luơn cĩ phần
tử tối tiểu và phần tử tối đại Hơn nữa nếu X là tập được sắp hồn tồn thì 4
luơn cĩ phần tử nhỏ nhất và lớn nhất
Chứng mình Vì 4 là tập hữu hạn nên giả sử 4= Íx, x„}
Đặt: 4 =Íxe 4|x<x,} với ¡=1,n Ta sẽ chứng minh tồn tại 4, nào đĩ là tập rỗng hay
khơng cĩ phần tử nào trong 4 nhỏ hơn x, từ đĩ suy ra x, là phần tử tối tiểu của 4
+Nếu 4 =Ø thì x, là phần tử tối tiểu của 4
+ Nếu 4 #Ø thì tồn tại một phần tử khác x, của 4 thuộc 4, Khơng mắt tính tổng quát giả sử phần tử đĩ là x, Như vậy x; < x, Suy ra x,.x, £ 4,.(1)
Trang 1111
+Nếu 4, zØ thì tồn tại một phần tử của 4 thuộc 4 Theo (1) ta cĩ phan tir đĩ khác với x,,x, Khơng mắt tính tổng quát giả sử phần tử đĩ là x, Suy ra x, <x Do thứ tự cĩ tính chất bắc cầu nên x; < x, Từ đĩ ta cĩ x,.x;,x, # 4, Cứ tiếp tục như vậy, nếu các tập hợp 4 4„, nl khác rỗng thì suy rax, x, # 44 n hay 4,=2 Tương tự bằng cách dat B,={x¢ A|x>x,}ta cing ching minh duge 4 cé phần tử tối đại
Nếu tập X được sắp hồn tồn thì 4 cũng là tập được sắp hồn tồn Khi đĩ phần
tử tối tiểu chính là phần tử nhỏ nhất, phần tử tối đại chính là phần tử lớn nhất
e Định lí Cho X là tập vơ hạn và z là tập các tập con thực sự của X Cho
x,x,, là một dãy vơ hạn các phần tử của X Khi đĩ với quan hệ thứ tự bao
hàm thức c, mỗi phần tử của z đều nhỏ hơn hoặc bằng một phần tử tối đại,
nhưng tập con được sắp hồn tồn
A= {X\{x,.x„ }Ìn ef }
khơng bị chặn trong z (Điều này chứng tỏ bổ đề Zorn chỉ cho điều kiện đủ)
Chứng minh Ta sẽ chứng minh tập c⁄# được sắp hồn tồn bởi quan hệ bao hàm
thức nhưng khơng bị chặn trong z
+ Chứng minh là tập c£# được sắp hồn tồn bởi quan hệ bao hàm thức Đặt X„= X\{x,,x„u } VỚI me['
Vì {x,.x; } Đ OÍ{x,.x„¡ } Đ nên X, c X„c Như vậy c# là tập được sắp
hồn tồn gồm đãy tăng thực sự
+ Chứng minh mỗi phần tử của z đều nhỏ hơn hoặc bằng một phần tử tối dai
Gọi Y là một tập con thực sự bất kì của z Khi đĩ tồn tại phần tử xeX mà xeŸY
Suy ra Yc X\{x} Mà yc X\{x} là phan tir ti dai trong z
Trang 1212
Gia st A bi chin trong z tức là ton tại Y nào đĩ trong z sao cho
X\Íx,„x,„ }c Y với mọi øer: Vì Y nhỏ hơn phần tử tối đại X\{x} nào đĩ của z
nên X\{zx,x„„, } X\{x}(*) Suy ra xe{x,x; } Như vậy x là một phần tử nào đĩ của dãy vơ hạn {zx,x; } hay ton tai ie) sao cho a=x, Khi đĩ, X,u=X\{xuux„; } chứa x, hay chính là x Suy ra ton tai ie sao cho
X,, 0X \{x} Điều này trái với (*) hay điều giả sử là sai
1.3.2 Thứ tự từ
1.3.2.1 Định nghĩa Thứ tự từ < là một /# / tồn phẩn trên tập tất cả các đơn thức K[x] thoả mãn các tính chất sau:
(a) Với me thì l<m
(b) Moi m,,m,,me-d/ ma m, <m, thi mm, < mm
1.3.2.2 Một số thứ tự từ
Cho < là một thứ tự từ Bằng cách đổi chỉ số ta luơn cĩ x, > x; > > x,
© Thứ tự từ điển <,, xác định như sau:
đi
x .x#“<¿ x2 x“ nếu thành phần đầu tiên khác khơng kể từ bên trái của véctơ A
(z—/, œ„—/,) là một số âm Nĩi cách khác nếu tồn tại 0<i<n sao cho
a = By =8 nhưng Bin < Piss
Thứ tự từ điển <, là một thứ tự từ Tex
© Thứ tự từ điển phan béc <,,, xac dinh như sau:
2 x? nêu đeg(x”" x#“) < deg(xỂ x/') hoặc deg(x/' xƒ”) = deg(x/ v?') và
om v0, XX" Seiex Xi
thành phan đầu tiên khác khơng kể từ bên trái của véctơ (ø,- Ø, z,—/đ,) là một số
âm Nĩi cách khác x” x<„ xf.xf! m glex “1 nêu ø+ +z,</Ø+ +/Ø, hoặc
= à x#i a, Bry By
A, + 4, = Bo + + B, VA x Ke < xP lex xl n
Thứ tự từ điển phân bậc < „ là một thứ tự từ glex
Trang 1313
a,
xx <P neu deg(x® x2") < deg(x/ x/) hoặc deg(x”' x””) = deg(x/ x/”) tex *1 va
thanh phan dau tién khac khong ké tir bén phai ctia vécto (a,-f,, a,-8,) là một
số.đương
Thứ tự từ điển ngược <„ là một thứ tự từ
1.3.2.3 Thứ tự theo trọng 7 // (heo trọng liên kết với 2 là thử tự bộ phận <, trên ⁄4xác định bởi x“ <, x” nếu và chỉ nếu 2(z)< 40) Trong đĩ, hàm trọng số
2 trên K[x] là một phiếm hàm tuyến tính : ”——›-”
Ta nĩi hàm trọng số 2 tương thích với thứ tự từ < nếu m, <, m„, kéo theo m, <m, Thứ tự theo trọng là một thứ tự bộ phận, khơng phải là thứ tự từ
Cho <, <_ là các thứ tự bộ phận trên tập X Tích điển 9 của các thứ tự này là quan hệ xây dựng như sau: với mọi x,ye X,xRy nếu và chỉ nếu tồn tại I<¡<s để
x,y khơng so sánh được với nhau theo <, <,, và x<, y Nĩi chung tích từ điển
của các thứ tự bộ phận khơng phải là thứ tự
1.3.2.4 Tính chất của thứ tự từ
¢ Bố đề Một thứ tự tồn phan < trên ⁄ là thứ tự tốt khi và chỉ khi mọi dãy đơn
thức thực sự giảm m, > m, > m, > sẽ đừng sau hữu hạn phan tử
e Bỗ đề Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt Ngược lại mọi thứ tự tốt trên thoả mãn điều kiện (b) của định nghĩa 1.3.2.1 là thứ tự từ
e Bỗ đề Tích từ điển của các thứ tự theo trọng là thứ tự bộ phận trên ⁄ Hơn
Trang 1414 c2 củ xX; >X,Xx Vi x,>x, nén theo 4.2.1.b ta si X;X; >x Mà thứ tự từ cĩ tính chất bắc cầu nén x? > x? hay (1) đúng với s=2 + Giả sử (1) đúng tới k tức là x‡ > x° >x,x XX; Khi đĩ vì x,>x, và x/ >x/ ta cĩ: +, , XpX; > Xi k+l k+l
Suy TA x, >x, hay (1) đúng voi s=k+1 Như vậy (1) được chứng minh hồn tồn Từ đĩ suy ra xj > >x}) VỚI s>2 ©_ Định lí Cho < là một thứ tự tir Khi dé néu m,\m, thi m,<m, Diéu ngugc lai khơng đúng Chứng mình + Vì z„\z, nên tồn tại đơn thức ø» sao cho m,=mm, Vi < 1a mot tht ty tir nén 1<m Theo 4.2.1.b ta cd: 1.m, <mm, =m, hay m, <m,
+ Điều ngược lại khơng đúng Thật vậy giả sử với thứ tự từ < thì x,<x, Khi đĩ ta chon m,=x,,m, =x, R6 rang m,<m, nhung m, khéng chia hét m,
¢ Dinh li Cho < 1a mét tht ty tir va m, <m, Khi do voi thứ tự bất ki thi gitta m,
va m, c6 thé c6 v6 sé đơn thức (tức là các đơn thức lớn hơn ø, và nhỏ hon m,)
Nhưng với thứ tự từ phân bậc thì giữa mm, và m, chỉ cĩ hữu hạn đơn thức Chứng mình
+ Xét thứ tự từ điển <,
Chon m,=x,;,m, =x, Khi do m,<,, m,
Với các đơn thức dạng m=x; với kel” thi m, <,, m<,, m,
Vì cĩ vơ số cách chọn đơn thức ø„ như vậy nên giữa m, và m, co vo s6 don thức
+Với thứ tự từ phân bậc:
Ta CĨ: mị <m, © deg(m,) < deg(m, )
Trang 1515
Mặt khác với mỗi số tự nhiên z thì tồn tại hữu hạn bộ số (4, 4„)eL1” sao cho
a + +4, =da
n
Do d6 cé hitu han bé sé (a,, ,.a,)€0" sao chodeg(m,) <a, + ta, <deg(m,) hay ton
tại hữu han don thức m sao cho deg(m,) < deg(m) < deg(m,)
¢ Dinh li Cho u=(u, u,)€0" sao cho u, u, la cac s6 thue duong doc lap tuyến tinh trén () Khi do quan hé sau đây là thứ tự từ: n n a b x“<,x© Yau, < du, i=l i=l Chứng mình + <„ là một thứ tự: (@) Với mọi đơn thức x“ hiên nhiên ta cĩ Ð`zz,= Yau, nén x“ <, x" i=l i=l (ii) Voi mọi đơn thức x“,x”,x' mà x“<, x”,x”<,x° Suy ra n n n n
Yau, < Youd bu, < Yew,
isl isl i=l isl n n Do dd Yan, < Yeu, hay x’ <, x° isl i=l ” mà x“<, x”,x” <„ x“ Điêu này tương đương với u n n n n Yau, < bài; bại, < Yan,
isl isl isl isl
(iii) Với moi don thite x",x
Trang 1616 — " Vi a,,u, khơng âm với mọi ¡=I,z nên ta cĩ 0<”zz, Suy ra 1<, x“ isl (b) Voi moi don thite x“,x’,x°ma x’ <, x’ thi Pau, < Ð bại, isl i=l n n n n Suy ra: Yan, + Yew, < Sd du, + Yeu,
i=l i=l i=l i=l o Xứ, +Œ,)w, < Sứ, +¢,)u; i=l i=l ate -b+e SxS, xX S xix <x? x ¢ Dinh lí, Tích từ điển của một thứ tự theo trọng nhận 1 làm phần tử cực tiểu và một thứ tự từ là một thứ tự từ
Chứng mình Giả sử 2 là hàm trọng số, <, là thứ tự theo trọng liên kết với hàm trọng số 4, < là thứ tự từ Gọi < là tích từ điển của <, và < (a) < là thứ tự * m<m VỚI mỌI me * MỌI m,,im,,m, c.// mà mị <m,„m, < m, Ta sẽ chứng mình m, <m, Néu m, =m, hoac m, =m, thi cĩ ngay điều phải chứng minh Do đĩ ta chứng minh cho m, <m,,m,<m, Gia stt m, = x“,m, =x’,m, =x"
Truong hop 1: m, <, m,.Tacd: A(a)< A(b) (1)
+ m, <, m, thi m,<, m, (do <, cĩ tính chất bắc cầu)
+ m,,m, khơng so sánh được với nhau theo thứ tự <, và m, <, m, Vì m,.m, khơng so sánh được với nhau theo thứ tự <, và m, #, nên
Â(b)= A(e) Kết hợp với (1) ta cĩ 2(z)< 2(c) Từ đĩ suy ra m, <; m, Vậy m, <m,
Trường hợp 2: m,.m, khơng so sánh được với nhau theo thứ tự <, và
Trang 1717
+ m,<,m, thi 4(b)< A(c) Kết hợp với (2) ta cĩ A(a)< A(c) Suy ra _m, <, m, Do dd
m, <m <m,
+ m,,m, khơng so sánh được với nhau theo thứ tự <, và m, <, m, Suy ra
A(b) = A(c) Két hop voi (2) suy ra A(a)= A(c) Nhu vay m,,m, kh6ng so sanh duoc với nhau theo thứ tự <;
Vì < là thứ tự từ nên <, cĩ tính chất bắc cầu hay m, < m, Vậy m, <m,
* Moi m,m,¢-d/ma m,<m,,m,<m, Ta sé ching minh m,=m, That vay, gia su m, #m, Theo chứng minh trén ta co m,<m, hay m,<, m, vO li vi m, =m, theo thu tu
<,-
(b) < là thứ tự tồn phần
Vì <, là thứ tự từ nên nếu hai đơn thức nào đĩ khơng so sánh được với nhau theo thứ tự <, thì lại luơn so sánh được với nhau theo < Như vậy hai đơn thức bat ki đều cĩ thể so sánh được với nhau theo thứ tự <
(e) < là thứ tự từ:
* Mọi we.⁄ ta cĩ:
+ Nếu „ so sánh được với 1 theo thứ tự < ; thì do <, nhận 1 làm phần tử cực tiểu
nên 1<, m Suy ra I<m
+Nếu m khơng so sánh được với | theo thir tu <, thi do <, 1a thứ tự từ nên 1<, m Vay I<m *Moi m,m,,m, e-4/ma m, <m, Gia stl m=x",m, =x’,m, =x Ta sẽ chứng minh mm, <mm, hay x“? <x*** Néu m, =m, thi ta co ngay điều phải chứng minh Vì vậy ta chứng minh cho trường hợp m <m,
+ Néu m,<, m, thi A(b)< A(c)
Tir do suy ra: A(a)+ A(b) < A(a)+ U(c) > A(atb) < Mate)=> x0? <x
Trang 1818
Vi m, #m, nén A(b) = A(c) Tu do suy ra mm, # mm, va A(a+b) = A(a+c) nén mm,,mm, khơng so sánh được với nhau theo thứ tự <,
Mặt khác <, là thứ tự từ nén mm, < mm, Vay mm, <mm,
e Định lí Cho < là một thứ tự từ Hình nĩn dương của thứ tự từ này là tập Bcr”" bao gồm các hiệu za- sao cho x“ >x” Khi đĩ, ? là tập nĩn lỗi thực sự theo nghĩa: (4) u,veP,— pu+qve P, néu 0<p,qgeU va pu+qvel” (b) veR >-weéP Chứng mình (a) Giả sử z,ve P Suy ra tồn tại a,b,c,d ri” sao cho: v=c-d,x>x° [ =a-b,x"ˆ>x° +Nếu p.qeLÌ ta cĨ: pu+qv = p(a—b)+q(e— đ) = (pa+ qe)—(pb—qđ) \ |m=a-b,xt>x°” [xt > x”? Ma - nên ) v=c-—d,x° > x4 x" > x" Suy ra x?.x% > x? x” ` > (pa+qe)—(pb+qđ) c P Hay put+qveP +Nếu 0<p.geL' thì: Giả sử p="; qa ilkslys,t€0") t Khi đĩ: purqy= "ate _ t t
Trang 1919 Như vậy, ø, và ” đồng dư với nhau khi chia cho /r =Ite,+r, Dat §& =e, +1; h, =ltw,+r _ _ 8 Thị — _ pp
Khi đĩ: g, —h, =It(e, -w,) > “+ =e, -w, > pu+qv=e-w -
Ta sẽ chứng minh x° > x" Thật vậy, giả sử x° <x*
Suy ra x”°”<x*““ hay x*<x“ Điều này trái với (*)
Vậy x°>x" hay pu+qveP,
(b) Vì ze„ nên ton tai a,be0” sao cho #=a—b,x" >x° Ta sé chung minh -w¢ P Gia str -we h Khi đĩ tồn tai c,de0”" sao cho -w=c-—d,x° >x* fxt>x’ ate b+d Ta cĩ: =x““>x”“(1) x>xt Mặt khác lại cĩ: 0=1z+l(T—) =>0=(a-j)+(c-đ) =Sa+c=b+d > xr =x"“(2) (1) và (2) mâu thuẫn với nhau nên điều giả sử là sai Vậy -ue P
Trang 2020
CHƯƠNG 2
CƠ SỞ GRƯBNER VÀ ỨNG DỤNG
2.1 Iđêan khởi đầu và cơ sớ Grưbner 2.1.1 Từ khới đầu, đơn thức đầu
2.1.1.1 Định nghĩa Cho < là một thứ tự từ và / e8 = Kịx, x,] Từ khởi đầu của
Z kí hiệu là ø (7), là từ lớn nhất của đa thức / đối với thứ tự từ <
Néu in.(f)=ax' voi 0#a€K, thi /e(7)=ø được gọi là hệ số đầu và Im.(f)=x' 1a
đơn thức đầu của ƒ đối với thứ tự từ <
Nếu thứ tự từ < đã được ngầm hiểu, ta sẽ viết i(ƒ) (tương ứng /e(/),/m(/)) thay
cho (7) (tương ứng /c.(/),1m.(7))
Từ khởi đầu của đa thức 0 được xem là khơng xác định (cĩ thể nhận giá trị tuỳ ý)
Từ khởi đầu cịn gọi là từ đầu hay từ đầu tiên Như vậy, nếu trong biểu diễn chính
tắc của đa thức / ta viết các từ theo thứ tự giảm dần, thì z(ƒ) sẽ xuất hiện đầu tiên Cách viết này cũng như từ khởi đầu phụ thuộc vào thứ tự từ đã chọn
2.1.1.2 Bỗ đề Cho /,ge R và me.⁄ Ta cĩ:
(a) in( fg) = in(f)in(g) (b) in(mf) = min(f)
(c) Im(f +g) < max {Im(f),lm(g)}
Dấu “<” xảy ra khi (ƒ)= —in(g)
2.1.2 Iđêan khởi đầu:
2.1.2.1 Định nghĩa Cho 7 là iđêan của vành ®# và < là một thứ tự từ /đêan khởi
đâu của ï kí hiệu là im (1) là iđêan của & sinh bởi các từ dấu của các phần tử của
T, nghia 1a in.(1) =(in.(f), f €D)
Tương tự ta cũng cĩ thể viết in(/) thay cho in.(1) khi đã biết rõ thứ tự từ <
Trang 2121
(a) Tập tất cả các đơn thức trong in(/) 1a tap {im(f)|f el}
(b) Nếu 7 là iđêan đơn thức thì i(7)=7
(c) Nếu 7c thì ¡z() c¡i(J) Hơn nữa nếu 7C J va in(1) = in(J) thì =7 (đ) ứm(7)in(2) G im(J)
(e) in(1) + in(J) G im(1 +2)
2.1.2.3 Dinh li Macaulay Với mọi thứ tự từ <, tập B tất cả các đơn thức của ⁄ nằm ngồi (7) lập thành một cơ sở của khơng gian véctơ ®/7 trên trường K 2.1.2.4 Định lí Cho ideal Jc R và < là một thứ tự từ trên R Khi đĩ:
(a) Nếu < là một thứ tự từ phân bậc và seí' thì
dim, (R., / 1.) = dim, (R., / (in ))<5)
(b) Néu m6t trong hai khong gian vécto R/I va R/in(1) hữu hạn chiều thì khong
gian kia cũng hữu hạn chiều và dim #/7 = dim 8/in(1)
2.1.3 Cơ sở Grưbner
2.1.3.1 Định nghĩa Cho < là một thứ tự từ và 7 là một iđêan của R Tập hữu hạn
các đa thức khác khơng ø, g, <7 được gọi là một cơ sở Grưbner của ¡ đối với
thứ tự từ < nếu: ứ (7) = (in, (g,) in.(8,))-
Tập s, øg, được gọi là cơ sở Grưbner nếu nĩ là cơ sở Grưbner của iđêan sinh bởi
chính các phần tử này
Đơi khi người ta cũng gọi cơ sở Grưbner là cơ sở chuẩn tắc
2.1.3.2 Bố đề Cho 7 là một ideal tuỳ ý của # Nếu g, g, là cơ sở Grưbner của
7 đối với thứ tự từ nào đĩ thì g, g, là cơ sở của 7
2.1.3.3 Cơ sở Grưbner tối tiểu
e _ Định nghĩa Cơ sở Grưbner tối tiểu của ! đối với một thứ tự từ đã cho là một
cơ sở Grưbner Gc7 thoả mãn các tính chất sau:
(a) /(g)=1 với mọi geŒ
Trang 2222
¢ Hé qiia Cho < 1a mét tht ty tir Khi đĩ, mọi iđêan đều cĩ cơ sở Grưbner tối
tiểu và mọi cơ sở Grưbner tối tiểu của cùng một iđêan đều cĩ chung một số
lượng phần tử và chung tập từ khởi đầu
2.1.3.4 Cơ sở Grưbner rút gọn
e_ Định nghĩa Cơ sở Grưbner rút gọn của iđêan 7 đối với một thứ tự từ đã cho là một cơ sở Grưbner của 7 thoả mãn các tính chất sau:
(a) /c(g)=1 với mọi gcŒ
(b) Voi moi g eG và mọi tir m cla g khơng tồn tại g'eG\{ø} để i(g')\m
e Mệnh đề Cho /z0 Khi đĩ với mỗi thứ tự từ 7 cĩ duy nhất một cơ sở
Grưbner rút gọn
2.1.3.5 Định lí Cho ơc7 là tập hữu hạn của Ideal 7 Khi đĩ, G là cơ sở Grưbner nếu và chỉ nếu mọi fel, in(f) chia hét cho in(g) cua geG nao đĩ
Chứng mình Giả sử G = {g, g,}
Ta cĩ: là cơ sở Grưbner của 7 © in(/) = (in(g,), ,in(g,))
Ta sẽ chung minh in(/) = (in(g,), ,in(g,)) mọi ƒ 7, ¿z(ƒ) chia hét cho in(g) của
geG nao do
=) Giả sử in(Z) = (in(g,) in(g,)) -
Với mọi fel thi ø(ƒ/) im(1) = (in(g,) in(g,)) Theo bổ đề 2.2 phải tồn tại g, eG
nao d6 sao cho in(f) chia hét cho in(g,)
©) Giả sử mọi ƒe!, in(f) chia hét cho in(g) cua geG nao do
* Hién nhién in(1) > (in(g,) in(g,)) (1)
* Moife/l, in(f) chia hét cho in(g) cua geG nao do nén voi moi fe/ thi
in(f) € in) = (in(g,) in(g,)) hay in) C (in(g,) in(g,)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra iz(7) = (in(g,), ,in(g,)) -
Trang 2323
Vì ƒe(x x,) nên đa thức ƒ cĩ dạng f= dim tal trong đĩ ø, là các từ khác 1 và 0zzeK
Ta sẽ chứng minh ở là cơ sở Grưbner của 7
Thật vậy, với mọi đa thức ø#e7 ta cĩ ¿z(;) luơn chia hết cho 1= m()
Theo định lí 2.1.3.5 suy ra G là cơ sở Grưbner của 7
Rõ ràng với mọi đa thức trong # luơn biểu diễn tuyến tính được qua các đa thức của Œ ={x, x„.1} Vậy Œxị x„.ƒ) =Â
2.1.3.7 Định lí Cho S là tập sinh đơn thức của ¿(7) Với mỗi „e S kí hiệu g„ là
đa thức tối tiểu trong 7 cĩ i(g„)=m Khi đĩ {z„|»eS} lập thành cơ sở Grưbner
rút gọn của 7
Chứng minh Chú ý rằng ¡n() là iđêan đơn thức Theo bổ đề Dickson ta cĩ (7)
hữu hạn sinh Do đĩ ta chứng minh với S là tập sinh tối tiểu hữu hạn Như vậy
{z„|m S} cĩ hữu hạn phần tử và hiển nhiên {z„|m e S} c 7
V6i moi da thitc fel taco in(f) €in(/) Suy ra in(f) chia hết cho me S nào đĩ hay in(f) chia hết cho ¡z(z„) Theo định lí 4.3.5 suy ra {z„ |» e S} là cơ sở Grưbner của
I
Bây giờ ta sẽ chứng minh {z„|z e S} là cơ sở Grưbner rút gọn của 7
(i) RO rang /c(g,,)=1 voi moi meS
(ii) V6i moig,, va mọi từ m của g„ ta chứng minh khơng tồn tại g„ sao cho
in(g,,)\m
Thật vậy, goi g,,.g,, 1a hai da thitc bat kì thuộc {z„ |» e 5} Giả sử tồn tại từ nào đĩ
của g„ sao cho từ đĩ chia hết cho in(g,,)- Goi m là từ lớn nhất trong các từ chia
hết cho ¿(z„ ).Vì S là tập sinh đơn thức tối tiểu nên m + in(g,, )
Vi m, =in(g,,)\m nén me in(I) Suy ra tồn tại đa thức gel sao cho in(g)=m Vi I
Trang 2424
2.2 Thuật tốn chia
2.2.1 Định lí Cĩ định một thứ tự < trên ⁄ và cho F={ƒ, /,}c R= KĂu x„]
Khi đĩ mọi đa thức /e®R cĩ thể viết dưới đạng /=4,/,+ +g,/,+r, trong đĩ
q,,reR thoả mãn các điều kiện sau:
() Hoặc z=0 hoặc khơng cĩ từ nào của z chia hết cho một trong các từ khởi đầu
im(/)) im(ƒ,) hơn nữa ứ() <im(ƒ)
(ii) Néu g, =0 thi in(g,f,)< in(f) Voi i=1s
2.2.2 Định nghĩa Da thire r 6 trén duge goi la da thirc dir hoac phan di của ƒ
khi chia cho F va dugc ki hiéu 1a r=Rem,(f) Biéu dién trén của ƒ được gọi là biểu dién chính tắc ctia f theo f, , f
2.2.3 Thuật tốn chia đa thức
Định lí 5.I được chứng minh bằng thuật tốn sau: Tìm PHANDU(ƒ: ƒ ƒ,):= r khi chia ƒ cho ƒ f Input: ƒ ƒ ƒ : các đa thức trong K[x]
Trang 2525 q, =q, +in(p) lin(ƒ,) p= p-(n(p)1in(ƒ))7 Chiahet := true ELSE i=i+l IF Chiahet = ƒalse THEN r=r+im(p) p= p—in(p)
Thuật tốn này dừng sau hữu han bước thực hiện
2.2.4 Mệnh đề Giả sử r = {Z /,} là một cơ sở Grưbner đối với một thứ tự cho trước Khi đĩ với mỗi đa thức / e®, đa thức dư z của phép chia / cho hệ Ƒ trong
định lí 2.2.1 là duy nhất
Nĩi riêng, kết quả thực hiện Thuật tốn chia đa thức trong trường hợp này khơng
phụ thuộc vào thứ tự các đa thức chia trong Z
Hệ quả Giả sử # ={ƒ/ /.} là một cơ sở Grưbner của iđêan 7 với một thứ tự cho
trước và đa thức #e# Khi đĩ #7 khi và chỉ khi đa thức dư r của phép chia f cho hệ F bang 0 2.2.5 Định lí Trên vành đa thức KỊx, x,] cho hệ đa thức # ={ƒ, /,} trong đĩ: ⁄=x,—xị VỚI ¡=2,n Khi đĩ mọi đa thức / đều cĩ thể viết dưới dang: #=h,ƒ,+ +h,ƒ, +r „ trong đĩ r chỉ phụ thuộc x, Chứng mình Ta sẽ chứng minh mỗi đơn thức x* x“ đều biểu diễn được dưới dạng: x! xfn =h, / + +h„/,+r „ trong đĩ z chỉ phụ thuộc x,
+ Nếu z,=0với ¡=2,n nào đĩ thì chọn =0
+ Gọi k là chỉ số nhỏ nhất sao cho z, <0 Ta cĩ:
, kv a-l
a dy _ ay a, _ ant Ay (yn uk Af Ay
Trang 2626
Đặt g,=x‡x#'' x“ Lại tiếp tục biểu diễn øg, theo cách trên Nhận thấy sau mỗi lần biểu điễn như vậy bậc của x, giảm đi l đơn vị Như vậy, sau hữu hạn bước ta sẽ cĩ
biểu diễn khơng phụ thuộc vào x,
Cứ tiếp tục làm như vậy với chỉ số tiếp theo ta được:
xi x" =h, / + +hị„/,+r „ trong đĩ z chỉ phụ thuộcx,
Vì mọi đa thức Z là tổ hợp tuyến tính của các từ nên ta cĩ điều phải chứng minh
2.3 Thuật tốn Buchberger
2.3.1 Định nghĩa Cho /f,geK[x] la hai đa thức khác 0 Kí hiệu
hs = TN (Im(f),1m(g) va Mey -— in(g) _ UCLN(Im(f),lm(g) S_da thitc cua f va g la da thức S(/,g)=m„ƒ~ mg -
Đa thức S(ƒ.g) cĩ các tính chất sau:
() SỨ.ø)=—S(g./)
(ii) in(S(f,g)) < BCNN(in(f),in(g))
2.3.2 Bé dé Cho g,, g,€K[x]; Q, @,€K va a,, ,a,€0” thod man cac tinh chất sau: (i) Tén tai de” dé với mọi ¡<¿ mà ø,#0 thì x“im(g,)= x“ (ii) in(S`à,x“g,) < x, isl ` t _e Khi đĩ tồn tại a, sao cho Ð`ø,x*g,=Sø„x” “^§(g,,8,), ia ik trong đĩ x'* = BCNN(Im(g,),/m(g,))
Hơn nữa với mọi /,k đều cĩ in(x”°^%(g,„g,))<x”
2.3.3 Tiêu chuẩn Buchberger Cho G= {z, ø,} là hệ sinh của iđêan 7 G 1a co
sở Grưbner của 7 khi và chỉ khi với mọi cặp 1<¡z 7 < s một (hoặc mọi) đa thức du
của S_đa thức S(z,,ø,) trong phép chia cho G bằng 0
Trang 2727
2.3.4 Định nghĩa Cố định một thứ tự từ và cho G={g, ø,} K[x] Ta nĩi đa
thức ƒ dẫn về đa thức g modulo G và kí hiệu ƒ—®>g, hoặc đơn giản f > gkhi
đã rõ G nếu / cĩ thể viết đưới dạng /ƒ=4,g,+ +4,g,+ø sao cho nếu q,g,z0 thì
in(q,8,) <in(7)
Nhu vay f—*>0 khi va chi khi co m6t gia tri của Rem„(ƒ) bang 0
2.3.5 Định li Cho G={g, g,} la hé sinh cua idéan 7 G 1a co so Grdbner ctia J
khi và chỉ khi voi moi cap 1<i# j<s ta cd S(g,,g,)—90
Hệ quả Cho G={g, ,g,} la hé sinh cua idéan J G 14 co so Grébner cia J khi
và chỉ khi với mọi cặp I<¡z j< s ta cĩ PHANDU(S(g,,g,);G) =0
2.3.6 Thuật tốn Buchberger Tìm cơ sở Grưbner CSGR(ƒ, ƒ) = (gị g,) từ (ƒ, ƒ,) Input: P =(ƒ, ƒ) Output: G=(g,, g,) Va FCG G=F REPEAT G'=G FOR mdi cap {p,q} G',p#q DO S:= PHANDU(S(p,q):G’) IF S#0THEN G=GU{S} UNTIL G=G'
Thuật tốn trên dừng sau hữu han bước
Thơng thường cơ sở tìm được trong thuật tốn trên khơng phải là cơ sở Grưbner tối
tiểu Bằng cách bỏ đi những đa thức cĩ từ khởi đầu chia hết cho từ khởi đâu của
một đa thức khác trong Ớ ta sẽ được một cơ sở Grưbner tối tiểu
2.3.7 Dinh lí Cho G va G' là hai cơ sở Grưbner của 7 đối với một thứ tự từ Cho
/ƒeKRx] tuỳ ý Khi đĩ Rem,(ƒ)= Rem,(ƒ) tức kà đa thức dư của / khơng phục
thuộc vào việc chọn cơ sở Grưbner
Trang 2828
Với ƒe K|x] giả sử £= Wag,+r(1), trong đĩ
isl
() r=0 hoặc khơng cĩ từ nào của z chia hết cho một trong các từ khởi đầu
in(g,) in(g,) hơn nữa i(r) < in(ƒ)
(ii) Néu g, 40 thi in(g,g,)<in(f) voi i=1,s
Vì G' là cơ sở Grưbner, g,e7 nên khi chia g, cho G' cĩ một phần dư bằng 0 Do
R: ` ` ˆ `
đĩ với mơi i=1,s thi g, =>`h,g, ' mà in(h;g,) < in(g,)
jal
Tương tự với mỗi g,'eŒ' cũng là tổ hợp tuyến tính của các đa thức trong ớ Lại vì khơng cĩ từ nào của của z chia hết cho một trong các từ khởi đầu
im(g,) in(g,) nên khơng cĩ từ nào của của z chia hết cho một trong các từ khởi đầu z(g, ) im(g,) Thay vào (1) ta cĩ: f= Vang, +r = VM akyg, +r jal il Dat q;'=>gh,.Khido f=>q,'g,' i=l j=l Mặt khác (4, 'g,) =in(4,g,) < in(ƒ)
Vậy r cũng là đa thức dư khi chia f cho G'
2.3.8 Dinh li Cho G là một cơ sở Grưbner và f,g e K[x] Khi đĩ
() Rem,(Rem,(ƒ).Rem, (g)) = Rem, (fg) (ii) Rem, (f + g) = Rem,(ƒ)+ Rem,(g)
Ching minh Gia stt G ={g,, g,}3 Rem,(f)=n, va Rem,(g) =r;
Khi đĩ z=0,; =0 hoặc các từ của „ và z; khơng chia hết cho một trong các từ khởi đầu ¿(g,), ix(g,) Suy ra z +; =0 hoặc các từ của (z +z,) khơng chia hết cho
các từ khởi đầu ¡(g,) i(g,).(*)
Từ đĩ suy ra ƒ-z„g—z, chia cho G cĩ phần đư bằng 0
Trang 2929
nh =(ƒT—nX8~r,)+ng+r,ƒ~ 2n?
=(~nX8~P)+5(ƒ—nđ)+n(g~?)
Nhu vay fg-nr, chia cho G cé phần dư bằng 0 hay fg va ry CĨ cùng phần dư khi
chia cho ớ, từ đĩ suy ra điều phải chứng minh (¡) Ta cĩ:
(7+g)-Œ;+r,)=(ƒ—nđ)+(g—r,) cĩ phần dư khi chia cho bằng 0 Suy ra (ƒ +ø).(z +r,) cĨ cùng phần dư khi chia cho G
Kết hợp với (*) ta cĩ ngay điều phải chứng minh
2.3.9 Dinh lí Nếu 7 là iđêan sinh bởi các đa thức bậc nhất (tức bậc tơng thể là 1)
thì 7 cĩ cơ sở Grưbner tối tiểu cĩ khơng quá n phần tử (với n là số biến)
Chứng mình Giả sử 7 sinh bởi các đa thức bậc nhất F =Œf ƒ)
Bằng thuật tốn 6.6 ta sẽ tìm được cơ sở Grưbner từ f, , f Sau đĩ ta bỏ đi những
đa thức cĩ từ khởi đầu chia hết cho từ khởi đâu của một đa thức khác trong để
được cơ sở Grưbner tối tiểu Ta sẽ chứng minh cơ sở Grưbner tối tiểu này gồm
những đa thức bậc nhất hoặc từ cĩ dạng z.I(øz eK)
Sau mỗi bước thì đa thức thêm vào là một đa thức bậc nhất Thật vậy, với f, f, bat
kì, vì 7,7, là các đa thức bậc nhất nên z(/),„iz(7,) là các đơn thức bậc nhất Do
đĩ chỉ xảy ra hai trường hợp sau:
e« Nếu in(f),,in(f,) nguyén t6 cung nhau thi phan dư cua S(f,,f,) khi chia cho F
bằng 0 Như vậy trong trường hợp này khơng cĩ đa thức thêm vào
e« Nếu Im(ƒ)=1m(7,) thì S(7, ƒ,) = le(ƒ,)ƒ,~— le(7,)/, là da thức bậc nhất hoặc là từ cĩ dạng z.l(ø eK)
Như vậy bằng thuật tốn 6.6 ta thu được cơ sở Grưbner gồm các đa thức bậc nhất hoặc từ cĩ dạng z.I(zeK) Mà theo điều kiện (b) của định nghĩa 4.3.3 thì một cơ
sở Grưbner tối tiêu khơng thể chứa hoặc từ cĩ đạng z.1(z e K) Do đĩ ta cĩ một cơ
Trang 3030
nghĩa 4.3.3 nên cơ sở Grưbner tối tiểu này khơng thể cĩ quá n phần tử Từ đĩ suy ra điều phải chứng minh
KÉT LUẬN
Khĩa luận đã thu được một số kết quả như sau:
1 Trình bày một số khái niệm cơ bản về lý thuyết cơ sở Grưbner Đặc biệt là
khái niệm thứ tự từ - khái niệm mở đầu cho lý thuyết cơ sở Grưbner
2 Nghiên cứu một số thuật tốn ứng dụng của lý thuyết cơ sở Grưbner như
thuật tốn chia đa thức, thuật tốn Buchberger
3 Nghiên cứu một số điều kiện để một tập hữu hạn của iđêan 7 là cơ sở
Grưbner như định lí 2.1.3.5, 2.1.3.6, 2.1.3.7
4 Nghiên cứu một số tính chất về đa thức dư khi chia một đa thức cho một
Trang 310] [2] [3] [4] [5] [6] [7] 31
TAI LIEU THAM KHAO
Phạm Huy Điển, Tính tốn, lập trình và giảng dạy tốn học trên Maple,
Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 2002
Lê Tuấn Hoa, Đại số máy tính Cơ sở Groebner, Nhà xuất bản Đại học
Quốc gia Hà Nội, 2003
Phạm Minh Hồng, Mfaple và các bài tốn ứng dụng, Nhà xuất bản Khoa
học và Kỹ thuật, TP Hồ Chí Minh, 2005
Hà Huy Khối, Phạm Huy Điển, Số học thuật tốn, Nhà xuất bản Đại
học Quốc gia Hà Nội, 2003
Nguyễn Thành Quang, Số học hiện đại, Đại học Vinh, 2003
Nguyễn Thành Quang, Lý /huyết trường và Lý thuyết Galois, Dai hoc Vinh, 2005
Ngơ Việt Trung, Cơ sở Groebner trong Hình học và Đại số, Thơng tin