Cơ sở grobner và các thuật toán ứng dụng

1 TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN - CƠ SỞ GRƯBNER VÀ CÁC THUẬT TỐN ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN SƢ PHẠM TOÁN Chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG Sinh viên thực ĐÀO THỊ BÍCH HỒI Lớp 47A – Khoa Toán – Trƣờng Đại học Vinh VINH 2010 MỤC LỤC Trang Mở đầu CHƢƠNG .3 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Vành đa thức nhiều biến 1.2 Iđêan đơn thức 1.3 Thứ tự từ CHƢƠNG .18 CƠ SỞ GRÖBNER VÀ ỨNG DỤNG .18 2.1 Iđêan khởi đầu sở Gröbner 18 2.2 Thuật toán chia .22 2.3 Thuật toán Buchberger 24 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 MỞ ĐẦU Tính tốn hình thức hay cịn gọi Đại số máy tính (Computer Algebra) xuất khoảng ba chục năm gần trở thành chuyên ngành độc lập Nếu nhƣ thời buổi đầu máy tính thực đƣợc tính tốn số cụ thể, nhƣ giải phƣơng trình với hệ số số, tính tích phân xác định… với đời Đại số máy tính ngƣời ta giải phƣơng trình với hệ số chữ, tính tích phân bất định,… Đây chuyên ngành kết hợp chặt chẽ toán học khoa học máy tính Ngƣợc lại phát triển Đại số máy tính có tác dụng tích cực trở lại nghiên cứu toán học lý thuyết Nhiều kết lý thuyết đƣợc phán đốn có đƣợc phản ví dụ nhờ sử dụng máy tính Hạt nhân việc tính tốn hình thức máy tính Đại số giao hốn Hình học đại số lý thuyết sở Grưbner Lý thuyết đƣợc nhà toán học ngƣời Áo Bruno Buchberger đƣa luận án tiến sĩ vào năm 1965, dƣới hƣớng dẫn ngƣời thầy Wolfgang Gröbner Điểm mấu chốt khởi đầu cho hình thành lý thuyết sở Grưbner việc mở rộng thuật tốn chia hai đa thức biến sang trƣờng hợp đa thức nhiều biến Nghiên cứu sở Gröbner số thuật tốn ứng dụng nội dung khóa luận Trong khóa luận này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở Grưbner, tính chất sở Grưbner thuật tốn ứng dụng, tính chất đa thức dƣ Nó đƣợc thể qua mục sau: Chƣơng Các kiến thức sở 1.1 Vành đa thức nhiều biến 1.2 Iđêan đơn thức 1.3 Thứ tự từ Chƣơng Cơ sở Gröbner ứng dụng 2.1 Iđêan khởi đầu sở Grưbner 2.2 Thuật tốn chia 2.3 Thuật tốn Buchberger Qua đó, chúng tơi vào nghiên cứu số điều kiện tập hữu hạn iđêan I sở Grưbner, nghiên cứu số tính chất đa thức dƣ chia đa thức cho sở Grưbner Để hồn thành đƣợc khóa luận tác giả nhận đƣợc hƣớng dẫn, bảo tận tình Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang thầy cô giáo Tổ Đại số Nhân dịp này, tác giả xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang thầy giáo Khoa Tốn tận tình dạy bảo chúng em suốt khóa học vừa qua Mặc dù cố gắng nhƣng khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Tác giả mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn Vinh, ngày tháng năm 2010 Tác giả Đào Thị Bích Hồi CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Vành đa thức nhiều biến 1.1.1 Đa thức Cho R vành x1 , , xn (n  1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có dạng x1a xna , (a1,…,an)  n đƣợc gọi số mũ n đơn thức Nếu a1 = … = an = đơn thức đƣợc kí hiệu Phép nhân tập đơn thức đƣợc định nghĩa nhƣ sau: ( x1a1 xnan )( x1b1 xnbn )  x1a1 b1 xnan bn Nhƣ phép nhân đơn thức tƣơng ứng với phép cộng số mũ nhóm cộng n Từ biểu thức có dạng  x1a xna ,   R đƣợc gọi hệ số từ Phần tử n vành đƣợc gọi phần tử vô hƣớng Hai từ khác không  x1a xna  x1a xna n n đồng dạng với Nhƣ xem đơn thức từ có hệ số 1, phần tử vơ hƣớng  từ  Ta kí hiệu x = (x1,…, xn), a = (a1, …, an)  n xa = x1a xna n Đa thức n biến x1, …, xn vành R tổng hình thức từ: f ( x)   a a x a , có số hữu hạn hệ số  a  Từ  a x a với  a  n đƣợc gọi từ đa thức f ( x) xa đơn thức f ( x) Hai đa thức f ( x)   x a với a  n  x g ( x)  a a a a a n đƣợc xem  a   a n Phép cộng đa thức đƣợc định nghĩa nhƣ sau: (   a xa )  (  a xa )  a n a n  ( a n a  a ) xa Vì  a   a   a   a  nên biểu thức đa thức tổng có hữu hạn hệ số khác Nhƣ tổng hai đa thức đa thức Bằng cách nhóm từ đồng dạng, ta viết f ( x) dƣới dạng: f ( x)  1 xa1    p x p , a a1, …, ap  n số mũ khác Biểu diễn đƣợc gọi biểu diễn tắc đa thức f ( x) Phép nhân đa thức đƣợc định nghĩa nhƣ sau: (   a x a ).(  a x a )  a  a  b ,c  n n a n  a a xa , n b c ;b  c  a Ta có  a  tồn b c cho  b  c  để a  b  c  Suy biểu thức đa thức tích có hữu hạn hệ số khác hay tích hai đa thức đa thức Với hai phép toán cộng phép toán nhân đa thức nói tập tất đa thức vành R vành giao hốn, có đơn vị đơn thức Kí hiệu vành R[x1, …, xn] hay R[x] 1.1.2 Vành đa thức Vành R[x1, …, xn] xây dựng nhƣ đƣợc gọi vành đa thức n biến vành R 1.1.3 Bậc đa thức Bậc tổng thể đa thức f ( x)   x a a a số n d egf ( x)  max a1   an  a  0 Chú ý: Bậc tổng thể đa thức Bậc tổng thể đa thức không đƣợc quy ƣớc số tuỳ ý 1.1.4 Mệnh đề  Nếu R miền nguyên vành đa thức R[x] miền nguyên  Nếu R miền nguyên với đa thức f ( x), g ( x)  R[x] có deg( f ( x) g ( x))  d egf ( x)  deg g ( x) deg( f ( x)  g ( x))  max degf ( x),deg g ( x) 1.1.5 Định lí Hilbert sở Cho R vành Noether x tập n biến Khi R[x] vành Noether Hệ Mọi ideal vành đa thức K[x] trƣờng K hữu hạn sinh 1.1.6 Định nghĩa Ước chung lớn đa thức f1 , , f n  K[x] đa thức h cho: (i) h chia hết f1 , , f n nghĩa tồn đa thức q1 , , qn  K[x] cho f1  hq1 , , f n  hqn (ii) Nếu p đa thức khác chia hết f1 , , f n p chia hết h Khi ta kí hiệu h  UCLN ( f1 , , f n ) 1.1.7 Mệnh đề Cho f1 , , f n  K[x] , n  Khi đó: (i) UCLN ( f1 , , f n ) tồn với sai khác số khác K (ii) ( f1 , , f n )  (UCLN ( f1 , , f n )) (iii) Nếu n  UCLN ( f1 , , f n )  UCLN (UCLN ( f1 , , f n1 ), f n ) 1.2 Iđêan đơn thức 1.2.1 Định nghĩa Iđêan I  K[x] đƣợc gọi iđêan đơn thức sinh đơn thức Iđêan đơn thức có dạng I  ( x a ; a  A) , A  n 1.2.2 Bổ đề Cho I  ( x a ; a  A) iđêan đơn thức Đơn thức xb  I xb chia hết cho đơn thức xa với a  A 1.2.3 Bổ đề Cho I iđêan đơn thức f  K[x] Các điều kiện sau tƣơng đƣơng: (i) f  I (ii) Mọi từ f thuộc I (iii) f tổ hợp tuyến tính K đơn thức thuộc I 1.2.4 Hệ Hai iđêan đơn thức vành đơn thức chứa tập đơn thức 1.2.5 Bổ đề Iđêan I iđêan đơn thức với f  I , từ f thuộc I 2.6 Bổ đề Dickson Mọi iđêan đơn thức I  ( x a ; a  A) viết đƣợc dƣới dạng I  ( x a (1) , , x a ( s ) ) , a(1), , a(s)  A Nói riêng I hữu hạn sinh 1.3 Thứ tự từ 1.3.1 Thứ tự, giả thứ tự 1.3.1.1 Quan hệ Cho X tập khác rỗng Quan hệ (hai ngơi) X tập  tích Decarts X  X Kí hiệu là: xy,( x, y)  1.3.1.2 Thứ tự, giả thứ tự  Quan hệ  tập X đƣợc gọi thứ tự (bộ phận) thoả mãn điều kiện sau với x, y, z  X : (i) xx ; (ii) Nếu xy, yz xz ; (iii) Nếu xy yx x  y Kí hiệu: , , , x  y : “ x nhỏ y ”  Nếu  phận quan hệ ngược: 1  ( x, y) ( y, x)  thứ tự thứ tự ngược  Nếu dùng , để kí hiệu  , tƣơng ứng thứ tự ngƣợc chúng Kí hiệu x  y để quan hệ x  y x  y  Một quan hệ có tính chất bắc cầu với x, y  X x y y x x y khơng có quan hệ, sinh quan hệ thứ tự (bộ phận) cách tự nhiên: x y x  y x y Lạm dụng ngôn ngữ ta gọi kiểu quan hệ thứ tự (bộ phận)  Trên tập X có thứ tự (bộ phận)  , ta nói X tập (bộ phận) Nếu x, y  X ; x  y y  x ta nói x, y so sánh đƣợc với Ngƣợc lại x, y không so sánh đƣợc với 10  Quan hệ thứ tự  X đƣợc gọi thứ tự toàn phần (hoặc thứ tự tuyến tính) cặp phần tử x, y  X so sánh đƣợc với Khi ta nói tập X tập hồn tồn  Quan hệ thoả mãn tính chất phản xạ bắc cầu đƣợc gọi giả thứ tự (bộ phận, toàn phần)  Cho X tập đƣợc thứ tự từ  A  X Phần tử a  A đƣợc gọi phần tử tối tiểu (tối đại) với b  A mà b  a(a  b) a  b , tức khơng có phần tử nhỏ (lớn hơn) a A Phần tử a  A đƣợc gọi phần tử nhỏ (lớn nhất) với b  A ta có a  b(b  a) Phần tử b  X đƣợc gọi chặn (chặn dưới) A b  A ta có a  b(b  a)  Tập X đƣợc gọi tập thứ tự tốt đƣợc hồn tồn với tập khác rỗng có phần tử nhỏ Khi đó, thứ tự tƣơng ứng thứ tự tốt 1.3.1.3 Một số tính chất thứ tự  Bổ đề Zorn Nếu X tập đƣợc (bộ phận) cho tập khác rỗng đƣợc hồn tồn bị chặn X , X có phần tử tối đại  Định lí Nếu X tập đƣợc tập hữu hạn A X ln có phần tử tối tiểu phần tử tối đại Hơn X tập đƣợc hồn tồn A ln có phần tử nhỏ lớn Chứng minh Vì A tập hữu hạn nên giả sử A  x1, , xn  Đặt: Ai  x  A x  xi  với i  1, n Ta chứng minh tồn Ai tập rỗng hay khơng có phần tử A nhỏ xi từ suy xi phần tử tối tiểu A + Nếu A1   x1 phần tử tối tiểu A + Nếu A1   tồn phần tử khác x1 A thuộc A1 Khơng tính tổng qt giả sử phần tử x2 Nhƣ x2  x1 Suy x1 , x2  A2 (1) +Nếu A2   x2 phần tử tối tiểu A 17 + m2  m3  (b)   (c) Kết hợp với (2) ta có  (a)   (c) Suy m1  m3 Do m1  m3 + m2 , m3 không so sánh đƣợc với theo thứ tự   m2 * m3 Suy  (b)   (c) Kết hợp với (2) suy  (a)   (c) Nhƣ m1 , m3 không so sánh đƣợc với theo thứ tự   Vì * thứ tự từ nên * có tính chất bắc cầu hay m1 * m3 Vậy m1  m3 * Mọi m1 , m2  M mà m1  m2 , m2  m1 Ta chứng minh m1  m2 Thật vậy, giả sử m1  m2 Theo chứng minh ta có m1  m1 hay m1  m1 vơ lí m1  m1 theo thứ tự  (b)  thứ tự toàn phần Vì * thứ tự từ nên hai đơn thức khơng so sánh đƣợc với theo thứ tự   lại ln so sánh đƣợc với theo * Nhƣ hai đơn thức so sánh đƣợc với theo thứ tự  (c)  thứ tự từ: * Mọi m M ta có: + Nếu m so sánh đƣợc với theo thứ tự     nhận làm phần tử cực tiểu nên  m Suy  m + Nếu m không so sánh đƣợc với theo thứ tự   * thứ tự từ nên * m Vậy  m *Mọi m, m1 , m2 M mà m1  m2 Giả sử m  x a , m2  xb , m3  x c Ta chứng minh mm1  mm2 hay xab  xac Nếu m1  m2 ta có điều phải chứng minh Vì ta chứng minh cho trƣờng hợp m1  m2 + Nếu m1  m2  (b)   (c) Từ suy :  (a)   (b)   (a)   (c)   (a  b)   (a  c)  x a b  x a c + m1 , m2 không so sánh đƣợc với theo thứ tự   m1 * m2 18 Vì m1  m2 nên  (b)   (c) Từ suy mm1  mm2  (a  b)   (a  c) nên mm1 , mm2 không so sánh đƣợc với theo thứ tự   Mặt khác * thứ tự từ nên mm1 * mm2 Vậy mm1  mm2  Định lí Cho  thứ tự từ Hình nón dƣơng thứ tự từ tập P  n bao gồm hiệu a  b cho xa  xb Khi đó, P tập nón lồi thực theo nghĩa: (a) u, v  P  pu  qv  P  p, q  pu  qv  n (b) u  P  u  P Chứng minh (a) Giả sử u, v  P Suy tồn a, b, c, d  n cho: u  a  b, x a  x b  c d v  c  d , x  x + Nếu p, q  ta có: pu  qv  p(a  b)  q(c  d )  ( pa  qc)  ( pb  qd ) u  a  b, x a  x b  x pa  x pb Mà  nên  qc c d qd v  c  d , x  x  x  x Suy x pa xqc  x pb xqd  x pa  qc  x pb qd  ( pa  qc)  ( pb  qd )  P Hay pu  qv  P + Nếu  p, q  thì: s t k l Giả sử p  ; q  (k , l , s, t  k l s t Khi đó: pu  qv  u  v  Vì u, v  P ; k , l , s, t  Do tồn g , h  Vì pu  qv  g i  hi  lt n nên * n * ) ktu  slv lt nên theo chứng minh ta có kut  slv  P cho ktu  slv  g  h mà x g  xh (*) g h  lt n Suy ra: với i  1, n hay ( gi  hi ) lt với i  1, n 19 Nhƣ vậy, gi hi đồng dƣ với chia cho lt Đặt gi  ltei  ri hi  ltw i  r Khi đó: gi  hi  lt (ei  w i )  gi  hi  ei  w i  pu  qv  e  w lt Ta chứng minh xe  x w Thật vậy, giả sử xe  x w Suy xelt r  xwlt r hay x g  xh Điều trái với (*) Vậy xe  x w hay pu  qv  P (b) Vì u  P nên tồn a, b  n cho u  a  b, x a  xb Ta chứng minh u  P Giả sử u  P Khi tồn c, d  n cho u  c  d , x c  x d  x a  xb Ta có:  c d  x a c  xb  d (1)  x  x Mặt khác lại có:  1.u  1(u )   ( a  b)  ( c  d )  ac bd  x a  c  xb  d (2) (1) (2) mâu thuẫn với nên điều giả sử sai Vậy u  P  Robiano Mọi thứ tự từ tích từ điển tối đa n thứ tự theo trọng Ngƣợc lại tích từ điển n thứ tự theo trọng liên kết với n hàm trọng số độc lập tuyến tính thứ tự từ, hàm trọng số không âm 20 CHƢƠNG CƠ SỞ GRÖBNER VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Iđêan khởi đầu sở Gröbner 2.1.1 Từ khởi đầu, đơn thức đầu 2.1.1.1 Định nghĩa Cho  thứ tự từ f  R  K [x1 , , xn ] Từ khởi đầu f kí hiệu in ( f ) , từ lớn đa thức f thứ tự từ  Nếu in ( f )   x a với    K , lc ( f )   đƣợc gọi hệ số đầu lm ( f )  x a đơn thức đầu f thứ tự từ  Nếu thứ tự từ  đƣợc ngầm hiểu, ta viết in( f ) (tƣơng ứng lc( f ), lm( f ) ) thay cho in ( f ) (tƣơng ứng lc ( f ), lm ( f ) ) Từ khởi đầu đa thức đƣợc xem không xác định (có thể nhận giá trị tuỳ ý) Từ khởi đầu gọi từ đầu hay từ Nhƣ vậy, biểu diễn tắc đa thức f ta viết từ theo thứ tự giảm dần, in( f ) xuất Cách viết nhƣ từ khởi đầu phụ thuộc vào thứ tự từ chọn 2.1.1.2 Bổ đề Cho f , g  R m M Ta có: (a) in( fg )  in( f )in( g ) (b) in(mf )  min( f ) (c) lm( f  g )  max lm( f ), lm( g ) Dấu “