BË GI�O DÖC V� ��O T�O UBND T�NH THANH HÂA TR×ÍNG ��I HÅC HÇNG �ÙC NGUY�N HÚU TH�N V� MËT LÎP C�C B�I TO�N ÙNG DÖNG CÕA �ÀNH LÞ GI� TRÀ TRUNG B�NH LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC THANH HÂA, N�M 2017 BË GI�O[.]
BË GIO DÖC V O TO UBND TNH THANH HÂA TRìNG I HC HầNG C NGUYN HU THN V MậT LẻP CC BI TON NG DệNG CếA NH Lị GI TRÀ TRUNG BNH LUN VN THC S TON HÅC THANH HÂA, NM 2017 BË GIO DÖC V O TO UBND TNH THANH HA TRìNG I HC HầNG C NGUYN HU THN V MËT LỴP CC BI TON ÙNG DƯNG CÕA ÀNH LÞ GI TRÀ TRUNG BNH LUN VN THC S TON HC Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp M số: 60.46.01.13 Chuyản ngnh: Ngữới hữợng dăn khoa hồc: TS ẫ VN LẹI Thanh Hõa, 2017 Danh sĂch hởi ỗng chĐm thi luên vôn thÔc sắ theo Quyát nh số ng y th¡ng n«m cừa Hiằu trững Trữớng Ôi hồc Hỗng ực: Håc h m, håc Hå v t¶n Cì quan cỉng tĂc Chực danh hởi ỗng Chừ tch PhÊn biằn PhÊn biằn ếy viản Thữ kỵ XĂc nhên cừa ngữới hữợng dăn Hồc viản  chnh sỷa theo ỵ kián cừa hởi ỗng Ngy thĂng nôm 2017 TS é V«n Lđi ii LÍI CAM OAN Tỉi xin cam oan luên vôn ny khổng trũng lp vợi cĂc khõa luên, luên vôn, luên Ăn v cĂc cổng trẳnh nghiản cựu  cổng bố Ngữới cam oan Nguyạn Hỳu Thên iii LI CM èN hon thnh luên vôn ny, trữợc nhĐt tĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh v kẵnh trồng sƠu sưc tợi TS ộ Vôn Lủi, Trữớng Ôi hồc Hỗng ực, ngữới thƯy  tên tẳnh hữợng dăn, giúp ù tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hon thnh bÊn luên vôn ny TĂc gi£ cơng xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u, sau Ôi hồc, khoa KHTN-Trữớng Ôi hồc Hỗng ực  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp tÔi trữớng Qua Ơy tĂc giÊ cụng xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh cĂc thƯy cổ, c biằt l ThÔc sắ Nguyạn Tián , Bở mổn giÊi tẵch-Khoa Khoa hồc Tỹ Nhiản Trữớng Ôi hồc Hỗng ực  ồc, Ănh giĂ v cho nhỳng ỵ kián quỵ bĂu luên vôn ữủc phong phó v ho n thi»n hìn T¡c gi£ cơng xin gûi lới cÊm ỡn tợi gia ẳnh, cĂc bÔn ỗng nghiằp, nhỳng ngữới  ởng viản v tÔo mồi iÃu kiằn tèt nh§t º t¡c gi£ ho n th nh khâa håc cõa mẳnh Tuy  cõ nhiÃu cố gưng thới gian v khÊ nông nghiản cựu cỏn hÔn chá nản bÊn luên vôn cõ th cỏn nhỳng thiáu sõt khõ trĂnh khọi TĂc giÊ rĐt mong nhên ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc thƯy cổ v cĂc bÔn ỗng nghiằp bÊn luên vôn ny ữủc hon thiằn hỡn Luên vôn ữủc thỹc hiằn v hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Hỗng ực, tnh Thanh Hõa dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS ộ Vôn Lủi Thanh Hõa, thĂng nôm 2017 Hồc viản Nguyạn Hỳu Thên iv Mửc lửc Kián thực chuân b 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 nh nh nh nh nh lỵ lỵ lỵ lỵ lỵ Bolzano Rolle Lagrange Cauchy giĂ tr trung bẳnh cho tẵch phƠn 3 6 Sỷ dửng cĂc nh lỵ giĂ tr trung bẳnh vi»c gi£i mët sè c¡c b i to¡n c§p 2.1 2.2 2.3 2.4 Chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh GiÊi phữỡng tr¼nh Chùng minh b§t ¯ng thùc v ¡nh giĂ cĂc tờng hỳu hÔn Chựng minh dÂy số cõ giợi hÔn v tẳm giợi hÔn õ 11 13 23 nh lỵ trung bẳnh dữợi dÔng vi phƠn v cĂc bi toĂn liản quan 28 3.1 Mởt số bi toĂn sỷ dửng nh lỵ Rolle 3.2 Mởt số bi toĂn sỷ dửng nh lỵ Lagrange 28 34 nh lỵ trung bẳnh dữợi dÔng tẵch phƠn v cĂc bi toĂn liản quan 44 4.1 Sỹ kát hủp giỳa nh lỵ giĂ tr giĂ tr trung bẳnh dữợi dÔng tẵch phƠn v vi phƠn 4.2 Sỷ dửng nh lỵ giĂ tr trung bẳnh cừa tẵch phƠn viằc giÊi mởt số bi toĂn và php tẵnh tẵch phƠn 44 48 MÐ U Làch sỷ vĐn à v lẵ chồn à ti CĂc nh lỵ và giĂ tr trung bẳnh õng mởt vai trỏ quan trồng giÊi tẵch toĂn hồc v thữớng xuyản ữủc khai thĂc cĂc ký thi Olympic ToĂn a phữỡng, quốc gia v quốc tá ( cĐp ở hồc sinh THPT hoc sinh viản Ôi hồc) Chúng tọ l mởt cổng cử rĐt mÔnh viằc giÊi cĂc bi toĂn sỡ cĐp cõ liản quan án sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc tẵnh chĐt nh lữủng cừa nghiằm cừa nhiÃu dÔng phữỡng trẳnh khĂc Ngoi ra, viằc sỷ dửng cĂc nh lỵ giĂ tr trung bẳnh cho h m sè mët bi¸n sè vi»c chùng minh mởt số bĐt ng thực cõ dÔng c biằt cụng mang ¸n cho chóng ta nhi·u thó Câ thº nõi rơng, nh lỵ Rolle v cĂc hằ quÊ cừa nh lỵ ny thữớng xuyản ữủc sỷ dửng v khai th¡c mët c¡ch tri»t º vi»c nghi¶n cùu nghi»m cừa nhiÃu loÔi phữỡng trẳnh khĂc cÊ và nh tẵnh lăn nh lữủng ỗng thới viằc kát hủp mởt cĂch kho lo v linh hoÔt giỳa nh lỵ giĂ tr trung gian cừa hm số liản tửc v tẵnh ìn i»u cõa h m sè º gi£i quy¸t c¡c b i to¡n â mët c¡ch câ hi»u qu£ l h¸t sùc cƯn thiát Bản cÔnh cĂc bi toĂn và phữỡng trẳnh; chựng minh bĐt ng thực hay tẳm giợi hÔn dÂy số, cĂc nh lỵ và giĂ tr trung bẳnh cỏn ữủc khai thĂc thổng qua cĂc bi toĂn liản quan án php tẵnh vi phƠn v tẵch phƠn é õ thữớng xuĐt hiằn nhỳng bi toĂn khĂ mào mỹc v tinh tá, tĐt nhiản viằc kát hủp nh lỵ Rolle, Lagrange cụng nhữ nh lỵ Cauchy giÊi quyát cĂc bi toĂn ny l rĐt tỹ nhiản v cƯn thiát Hiằn theo nhữ nhõm nghiản cựu ữủc biát, cụng chữa cõ nhiÃu ti liằu chuyản khÊo khai thĂc và chõ · n y mët c¡ch tri»t º v h» thèng HƯu hát số õ Ãu rới rÔc v ỡn l, vẳ vêy nhõm nghiản cựu chúng tổi quyát nh lỹa chồn tản à ti: Và mởt lợp cĂc bi toĂn ựng dửng cừa nh lỵ giĂ tr trung bẳnh lm nởi dung nghiản cựu cho luên vôn cừa mẳnh ối tữủng nghiản cựu nh lỵ giĂ tr trung bẳnh Mửc ẵch nghiản cựu PhƠn loÔi mởt lợp cĂc ựng dửng cừa nh lỵ giĂ tr trung bẳnh PhÔm vi nghiản cựu Mởt số ựng dửng cừa nh lỵ giĂ tr trung bẳnh Phữỡng phĂp nghiản cựu hon thnh luên vôn chúng tổi kát hủp hai phữỡng phĂp nh tẵnh v nh lữủng ị nghắa cừa luên vôn CĂc kát quÊ cừa luên vôn ữa mởt cĂch cõ hằ thống mởt số ựng dửng quan trồng cừa nh lỵ giĂ tr trung bẳnh Tờng quan v cĐu trúc cừa luên vôn Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo, nởi dung luên vôn gỗm chữỡng: : CĂc kián thực chuân b Trong chữỡng ny, trẳnh by lÔi mởt số kát quÊ quan trong giÊi tẵch cờ in và nh lỵ giĂ tr trung bẳnh Chữỡng Chữỡng 2: nh lỵ giĂ tr trung gian cho h m li¶n tưc v c¡c b i to¡n ¡p dửng Chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh, giÊi nghiằm tữớng minh cừa phữỡng trẳnh; chựng minh bĐt ng thực v tẳm giợi hÔn dÂy số l nhỳng ựng dửng quan trồng s ữủc chúng tổi trẳnh by chữỡng ny Chữỡng 3: nh lỵ trung bẳnh dữợi dÔng vi phƠn v cĂc bi toĂn liản quan Trong chữỡng ny, chúng tổi s trẳnh by nh lỵ giĂ tr trung bẳnh dữợi dÔng vi phƠn v ữa mởt số bi toĂn Ăp dửng Chữỡng 4: nh lỵ trung bẳnh dữợi dÔng tẵch phƠn v cĂc bi toĂn liản quan Trong chữỡng ny, chúng tổi s giợi thiằu ựng dửng quan trồng cừa nh lỵ giĂ tr trung bẳnh dữợi dÔng tẵch phƠn thổng qua mởt số bi to¡n cư thº, tø â câ · xu§t mët sè bi toĂn tờng quĂt Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 nh lỵ Bolzano nh lỵ 1.1.1 [2] GiÊ sỷ f l hm liản tửc trản oÔn [a; b], õ vợi mồi số M thọa mÂn f (a) M f (b) luổn tỗn tÔi số c ∈ [a; b] cho f (c) = M H» qu£ 1.1.1 [2] N¸u f l mët h m liản tửc trản oÔn [a; b] thọa mÂn f (a).f (b) < 0 thẳ luổn tỗn tÔi ẵt nhĐt mët iºm c ∈ (a; b) cho f (c) = 1.2 nh lỵ Rolle nh lỵ 1.2.1 [2] Náu f (x) l hm liản tửc trản oÔn [a; b], cõ Ôo hm trản khoÊng (a; b) v f (a) = f (b) thẳ tỗn tÔi c (a; b) cho f 0(c) = Chùng minh V¼ f (x) liản tửc trản [a; b] nản theo nh lỵ Weierstrass f (x) nhên giĂ tr lợn nhĐt M v giĂ tr nhọ nhĐt m trản [a; b] - Khi M = m ta câ f (x) l h m h¬ng trản [a; b], õ vợi mồi c (a; b) luæn câ f (c) = - Khi M > m, vẳ f (a) = f (b) nản tỗn tÔi c (a; b) cho f (c) = m ho°c f (c) = M , theo bê · Fermat suy f (c) = H» quÊ 1.2.1 Náu hm số f (x) cõ Ôo hm trản (a; b) v phữỡng trẳnh cõ n nghiằm phƠn biằt (n l số nguyản dữỡng lợn hỡn 1) trản (a; b) thẳ phữỡng trẳnh f (x) = cõ ẵt nhĐt n nghiằm trản (a; b) H» qu£ 1.2.2 N¸u h m sè f (x) câ Ôo hm trản (a; b) v phữỡng trẳnh f (x) = vổ nghiằm trản (a; b) thẳ phữỡng trẳnh f (x) = cõ nhiÃu nhĐt mởt nghiằm trản (a; b) Hằ quÊ 1.2.3 Náu hm số f (x) cõ Ôo hm trản (a; b) v phữỡng trẳnh f (x) = câ nhi·u nh§t n nghi»m (n l số nguyản dữỡng) trản (a; b) thẳ phữỡng trẳnh f (x) = cõ nhiÃu nhĐt n + nghi»m tr¶n (a; b) f (x) = C¡c hằ quÊ trản ữủc suy trỹc tiáp tứ nh lỵ Rolle v nõ văn úng náu cĂc nghiằm l nghi»m bëi (khi f (x) l a thùc) C¡c h» quÊ trản cho ta ỵ tững và viằc chựng minh tỗn tÔi nghiằm cụng nhữ xĂc nh số nghiằm cừa phữỡng trẳnh Hỡn nỳa, náu nhữ bơng mởt cĂch no õ ta tẳm ữủc tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh (cõ th mỏ măm) thẳ õ phữỡng trẳnh  ữủc giÊi Tứ nh lỵ Rolle cho php ta chựng minh nh lỵ Lagrange, tờng quĂt hỡn, ch cƯn ta ỵ tợi ỵ nghắa cừa Ôo hm (trung bẳnh giĂ tr bián thiản cừa hm số) 1.3 nh lỵ Lagrange nh lỵ 1.3.1 [2] Náu f l hm số liản tửc trản oÔn [a; b], cõ Ôo hm f (a) trản khoÊng (a; b) thẳ tỗn tÔi c (a; b) cho f 0(c) = f (b)b − a Chùng minh X²t h m sè F (x) = f (x) − f (b) − f (a) x b−a Ta câ: F (x) l h m li¶n tửc trản oÔn [a; b], cõ Ôo hm trản khoÊng (a; b) v F (b) = F (a) Theo ành lỵ Rolle, tỗn tÔi c (a; b) cho F (c) = f (b) − f (a) f (b) − f (a) , suy f (c) = M F (x) = f (x) ba ba nh lỵ Rolle l mởt hằ quÊ cừa nh lỵ Lagrange (trong trữớng hủp f (a) = f (b)) 41 Tø (3.2) v (3.3), ta suy Z1 |f (x)| dx = Z2 |f (x)| dx + 0 Z1 ≤ |f (x)| dx Z2 |f (x0 )|x dx + Z1 |f (x0 )|(1 − x) dx |f (x0 )| = Tø ¥y ta câ i·u ph£i chùng minh B i to¡n 3.20 [7] Gi£ sû f : [0; 1] → R l h m số khÊ vi cho Ôo hm cừa nõ liản tưc tr¶n [0; 1] v n > l mët số nguyản dữỡng cho trữợc Chựng minh rơng X Z1 n−1 f (0) − f (1) j lim − n f (x) dx = f n→∞ n j=0 Chùng minh Ta câ Z1 n−1 n−1 X X j j f − n f (x) dx = n f − n n n j=0 j=0 (j+1)/n Z f (x) dx j/n (j+1)/n n−1 Z X j =n f − f (x) dx n j=0 j/n Mt khĂc, theo nh lỵ Lagrange, vợi mồi x ( nj , j+1 n ) Ãu tỗn tÔi cx ∈ ( nj , x) cho (j+1)/n Z j − f (x) dx = f n j/n (j+1)/n Z j f (cx ) −x n ∀j = 0, 2, , n − j/n V¼ f bà ch°n tr¶n [0; 1] n¶n ta °t: j j + mj := f (x) : ≤ x ≤ , n n j j+1 Mj := max f (x) : ≤ x ≤ n n 42 Do â, vỵi méi j = 0, 2, , n − 1, ta câ (j+1)/n Z mj (j+1)/n Z j −x dx ≤ n j f −f (x) dx ≤ n j/n j/n (j+1)/n Z Mj j −x dx n j/n M°t kh¡c, (j+1)/n Z j −1 − x dx = , n 2n j/n n¶n (j+1)/n n−1 Z n−1 n−1 X X X Mj mj j ≤ − f (x) dx ≤ − − f 2 2n n 2n j=0 j=0 j=0 j/n V â − Z1 n−1 n−1 X X j Mj ≤ − n f (x) dx ≤ − f 2n n 2n j=0 j=0 n−1 X mj j=0 n1 P n1 P Mj mj Vẳ v lƯn lữủt l tờng dữợi v tờng trản cừa f (x) ựng vợi j=0 n j=0 n phƠn hoÔch P = { nj : j = 0, 1, , n} cõa [0; 1] n¶n ta câ lim n→∞ lim n→∞ n−1 X mj j=0 n = f (x) dx = f (1) − f (0) n−1 X Mj j=0 Z1 n Z1 = f (x) dx = f (1) − f (0) Theo nguy¶n lỵ kàp ta cõ Z1 n1 X j f (1) − f (0) lim f − n f (x) dx = − n→∞ n j=0 Vªy X Z1 n−1 j f (0) − f (1) lim f − n f (x) dx = n→∞ n j=0 43 K¸t luên cừa chữỡng CĂc bi toĂn và php tẵnh vi phƠn thữớng khĂ phong phú v a dÔng, â méi b i to¡n th÷íng câ nhúng c¡ch gi£i v cĂch tiáp cên khĂc nhau, nhiản cổng cử xỷ lỵ chúng thữớng ỏi họi phÊi biát kát hủp linh hoÔt giỳa nh lỵ Rolle v nh lỵ Lagrange Ngo i ra, tø c¡c b i to¡n tr¶n cho ta thĐy, xuĐt hiằn Ôo hm cĐp cao giÊ thiát thẳ viằc sỷ dửng khai trin Taylor l hát sực cƯn thiát Cõ th nõi, ối vợi nhiÃu bi toĂn và php tẵnh vi phƠn, viằc sỷ dửng kát hủp hai nh lỵ Rolle v nh lỵ Lagrange nhữ thá no cho hủp lỵ v phĂt huy hát tĂc dưng l i·u r§t quan trång, nhi·u ta khỉng thº ¡p dưng trüc ti¸p º cho k¸t quÊ, m thữớng l phÊi thổng qua mởt vi bữợc bián ời tinh tá cõ th ữa bi toĂn và dÔng ỡn giÊn hỡn V iÃu ny cõ th phÊi lp lÔi nhiÃu lƯn, tũy theo tứng dÔng bi toĂn 44 Chữỡng nh lỵ trung bẳnh dữợi dÔng tẵch phƠn v cĂc bi toĂn liản quan 4.1 Sỹ kát hủp giỳa nh lỵ giĂ tr giĂ tr trung bẳnh dữợi dÔng tẵch phƠn v vi phƠn Trong mët sè b i to¡n, ỉi vi»c k¸t hđp giúa nh lỵ giĂ tr trung bẳnh cừa tẵch phƠn vợi nh lỵ Rolle hay Lagrange s lm bi toĂn ỡn gi£n hìn, b i to¡n sau ¥y s³ minh hồa cho nhên nh ny Bi toĂn 4.1 (Nguyạn Hỳu Thên) Cho f l hm số khÊ vi liản tửc cĐp hai trản oÔn [0; 1] thọa mÂn iÃu kiằn f (0) = 0; |f (x)| ≤ vỵi måi x ∈ [0; 1] v Z1 Z1 f (x)dx = xf (x)dx + 0 Z1 Z1 Chùng minh rơng, tỗn tÔi số thỹc (0; 1) cho f 0(ξ) = Chùng minh Tø gi£ thi¸t: f (x)dx = xf (x)dx + R1 ta câ, (1 − x)f (x)dx = 2, theo ành lỵ giĂ tr trung bẳnh cừa tẵch phƠn, R1 tỗn tÔi c (0; 1) cho f (c) (1 − x)dx = hay f (c) = Ti¸p theo, 45 x²t h m sè: g(x) = ef (x)(f (x)−4) , ta câ g(0) = g(c) = 1, õ hm g thọa mÂn cĂc giÊ thiát cừa nh lỵ Rolle, suy tỗn tÔi số (0; c) cho g (ξ) = 0, tùc l f ()(f ()2) = Những vẳ |f (x)| vợi mồi x [0; 1], nản f (ξ) 6= v vªy f (ξ) = Bi toĂn 4.2 (Nguyạn Hỳu Thên) Cho f l hm số khÊ vi liản tửc trản oÔn [0; 2] thäa m¢n i·u ki»n f (1) = x ∈ [0; 2] v Z2 ; |f (x)| ≤ vỵi måi f (x)dx ≤ Chựng minh rơng, tỗn tÔi hai số thỹc c1 < c2 ∈ [0; 2] cho Z2 xf (x)dx ≥ 4f (c2 ) − c2 + c1 Chùng minh Trữợc hát, ta cõ Z2 Z1 xf (x)dx = Z2 xf (x)dx + xf (x)dx Khi õ, theo nh lỵ giĂ tr trung bẳnh cừa tẵch phƠn, tỗn tÔi c1 [0; 1] v c2 [1; 2] cho Z2 Z1 xf (x)dx = f (c1 ) Z2 xdx + f (c2 ) xdx, hay Z2 f (c1 ) + 3f (c2 ) = xf (x)dx (4.1) 46 N¸u c1 = c2 th¼ c1 = c2 = v â ta câ Z2 = 2f (1) = 12 12 Z Z xf (x)dx ≤ x2 dx f (x)dx 0 v u r uZ2 √ 8u t f (x)dx ≤ 8, ≤ suy i·u vổ lỵ, vêy c1 6= c2 p dửng nh lỵ Lagrange cho hm f trản khoÊng (c1 ; c2 ), tỗn tÔi (c1 ; c2 ) cho f (c2 ) − f (c1 ) = f ()(c2 c1 ) Những vẳ |f (x)| ≤ n¶n f (c2 ) − f (c1 ) ≤ c2 − c1 (4.2) Tø (4.1) v (4.2), ta ÷đc Z2 xf (x)dx ≥ 4f (c2 ) − c2 + c1 Tø â ta câ i·u c¦n ph£i chùng minh B i to¡n 4.3 [8] Cho f l hm số khÊ vi trản oÔn [1; 1] cho Z0 Z1 f (x) dx = −1 f (x) dx Chựng minh rơng tỗn tÔi c (−1; 1) cho f 0(c) = Chùng minh Theo nh lỵ giĂ tr trung bẳnh cừa tẵch phƠn, tỗn tÔi x1 [1; 0], x2 [0; 1] cho Z0 −1 f (x) dx = f (x1 ) v Z1 f (x) dx = f (x2 ) 47 N¸u x1 6= ho°c x2 6= thẳ x1 6= x2 Theo nh lỵ Rolle, tỗn tÔi c (x1 ; x2 ) (1; 1) cho f (c) = N¸u x1 = x2 = th¼ Z0 Z1 f (x) dx = f (0) = −1 f (x) dx N¸u f (x) 6= f (0), ∀x ∈ (0; 1] th¼ g(x) = f (x)−f (0) 6= vỵi måi x ∈ (0; 1] Vẳ vêy g(x) khổng ời dĐu trản (0; 1] v Z1 Z1 g(x) dx = f (x) dx f (0) 6= 0 MƠu thuăn ny chựng tọ tỗn tÔi x3 (0; 1] cho f (x1 ) = f (0) p dửng nh lỵ Rolle mởt lƯn nỳa ta thu ữủc iÃu cƯn phÊi chùng minh B i to¡n 4.4 [6] Cho h m sè f cõ Ôo hm cĐp mởt trản oÔn [1; 2], cõ Ôo hm cĐp trản khoÊng (1; 2), thọa mÂn i·u ki»n: Z2 f (x)dx = 2f (2) − f (1) − 1, f (1) = 1 Chùng minh rơng phữỡng trẳnh xf 00 (x) + f (x) = luæn câ nghi»m kho£ng (1; 2) Chùng minh Ta th§y g(x) = xf 0(x) l h m số liản tửc trản oÔn [1; 2] (vẳ g cõ Ôo hm trản oÔn [1; 2]) Theo nh lỵ giĂ tr trung bẳnh, tỗn tÔi số c (0; 1) cho: Z2 g(x)dx = g (c) (2 − 1) = cg (c) 48 M°t kh¡c, Z2 Z2 g(x)dx = xdf (x) = xf (x)|21 − = 2f (2) − f (1) − Z2 f (x)dx Z2 f (x)dx = 1 Suy cf (c) = X²t h m sè h (x) = xf (x) − Khi â, h l hm liản tửc trản oÔn [1; 2] v khÊ vi kho£ng (1; 2) Ta câ h (1) = h (c) = 0; h0 (x) = xf 00 (x) + f (x) Theo nh lỵ Rolle, tỗn tÔi sè thüc a ∈ (1; c) ⊆ (1; 2) cho h0 (a) = Vêy phữỡng trẳnh xf 00 (x) + f (x) = luæn câ nghi»m trản khoÊng (1; 2) Bi toĂn ữủc chựng minh Bơng lêp luên hon ton tữỡng tỹ ta cõ th ữa b i to¡n têng qu¡t sau ¥y: B i to¡n 4.5 (Nguyạn Hỳu Thên) Cho hm số f cõ Ôo hm cĐp mởt trản oÔn [a; b], cõ Ôo hm cĐp trản khoÊng (a; b), thọa mÂn iÃu kiằn: Zb f (x)dx = bf (b) − af (a) − (b − a) , af (a) = a Chùng minh rơng phữỡng trẳnh xf 00 (x) + f (x) = luæn câ nghi»m kho£ng (a; b) 4.2 Sỷ dửng nh lỵ giĂ tr trung bẳnh cừa tẵch phƠn viằc giÊi mởt số bi toĂn và php tẵnh tẵch phƠn Trong mởt số bi toĂn và php tẵnh tẵch phƠn, cĂc nh lỵ giĂ tr trung bẳnh cừa tẵch phƠn õng mởt vai trỏ quan trồng viằc tẳm lới giÊi Cõ th nõi Ơy l k thuêt cƯn thiát v thữớng hay ữủc sỷ dưng èi vỵi c¡c b i to¡n n y, °c bi»t l cĂc bi toĂn và bĐt ng thực 49 tẵch phƠn CĂc bi toĂn ữủc ữa sau Ơy s lm s¡ng tä th¶m i·u â B i to¡n 4.6 [8] Cho f l hm số liản tửc trản oÔn [0; 1] v thọa mÂn f (x) vợi måi x ∈ [0; 1] Chùng minh r¬ng Z1 f (x) dx ≤ Z1 2 f (x2 ) dx Chùng minh X²t h m sè: Zx2 ϕ(x) = f (t)dt − Zx 2 f (t2 ) dt , x ∈ [0; 1], ta câ ϕ0 (x) = f (x2 ).2x − 2f (x2 ) Zx f (t2 ) dt = 2.f (x2 )[x Zx f (t2 ) dt] Theo nh lỵ giĂ tr trung bẳnh cừa tẵch phƠn, tỗn tÔi ∈ [0; 1] cho ϕ0 (x) = 2.f (x2 )[x − xf (ξ)] = 2xf (x2 )[1 − f (ξ)] ≥ 0, ∀x ∈ [0; 1] Do â ϕ l hm số ỡn iằu tông trản [0; 1] Suy ϕ(1) ≥ ϕ(0) = 0, hay Z1 f (t) dt ≥ Z1 2 f (t ) dt Vêy bi toĂn ữủc chựng minh Bi to¡n 4.7 [8] Cho f l mët h m sè li¶n tửc v nghch bián trản [0; b] Chựng minh rơng vỵi måi a ∈ (0; b), ta câ Za b f (x) dx ≥ a Zb f (x) dx 50 Chựng minh Trữợc hát, ta cõ Za b f (x) dx ≥ a Za Zb f (x) dx + a f (x) dx a ⇔ (b − a) Za f (x) dx ≥ a Za f (x) dx Theo nh lỵ giĂ tr trung bẳnh cừa tẵch phƠn, tỗn tÔi , : ≤ ξ1 ≤ a ≤ ξ2 ≤ b v (b − a) Za f (x) dx = a(b − a)f (ξ1 ); Zb a f (x) dx = a(b − a)f (ξ2 ) a V¼ f (ξ1 ) ≥ f (ξ2 ) n¶n (b − a) Za f (x) dx ≥ a Zb f (x) dx a Ta ữủc iÃu cƯn chựng minh Bi toĂn 4.8 [8] Cho f l h m sè li¶n tưc tr¶n [0; 1] Chựng minh rơng tỗn tÔi c [0; 1] cho Z1 x2 f (x) dx = f (c) Chùng minh Do f l h m sè li¶n tửc trản [0; 1] nản tỗn tÔi x1, x2 [0; 1] cho f (x1 ) = f (x) v f (x2 ) = max f (x) x∈[0;1] x∈[0;1] Do â x2 f (x1 ) ≤ x2 f (x) ≤ x2 f (x2 ), ∀x ∈ [0; 1] 51 Suy f (x1 ) ≤ Z1 x2 f (x) dx ≤ f (x2 ) ⇔ f (x1 ) ≤ Z1 x2 f (x) dx ≤ f (x2 ) Theo ành lỵ giĂ tr trung gian cừa hm số liản tửc, tỗn tÔi c [0; 1] cho Z1 f (c) = x2 f (x) dx â l iÃu cƯn phÊi chựng minh Bi toĂn 4.9 (Nguyạn Hỳu Thªn) Cho f : [0; 1] → R l h m số khÊ vi liản tửc trản oÔn [0; 1], thọa m¢n i·u ki»n m R1 (f (x) + (1 2x)f (x))dx = Chựng minh rơng tỗn tÔi c ∈ (0; 1) cho f 0(c) = 6m Chựng minh Xt tẵch phƠn I = R1 (1 − 2x)f (x)dx, ta °t u = f (x) du = f (x) dx ⇒ dv = (1 − 2x) dx v = x − x2 Khi â: I = x − x2 f (x) − Z1 (x − x2 )f (x)dx = V¥y R1 (x2 − x)f (x)dx (f (x) + (1 − 2x) f (x)) dx = m ⇔ Z1 R1 x2 − x + f (x)dx = m p döng nh lỵ trung bẳnh thự cừa tẵch phƠn vợi h m f (x) v h m g (x) = x2 x + > vợi mồi x, tỗn tÔi c (0; 1) cho m = f (c) Z1 x2 − x + dx = f (c) 52 Hay f (c) = 6m B i to¡n ÷đc gi£i quyát hon ton Nhên xt 4.1 Tứ bi toĂn ny ta cõ th xƠy dỹng ữủc nhiÃu bi toĂn khĂc Chng hÔn, cho m = 10085 ta thu ữủc bi toĂn sau: Bi toĂn 4.10 (Nguyạn Hỳu Thªn) Cho f : [0; 1] → R l h m số khÊ vi liản tửc trản oÔn [0; 1], thọa m¢n i·u ki»n Z1 (f (x) + (1 − 2x) f (x)) dx = 10085 Chùng minh rơng tỗn tÔi c (0; 1) cho f 0(c) = 2017 B i to¡n 4.11 [7] Cho h m số f khÊ vi liản tửc trản oÔn [0; 1] thäa m¢n Z1 Z1 f (x) dx = 1, Z1 xf (x) dx = 2, x2 f (x) dx = Chựng minh rơng vợi mội k [24; 60] tỗn tÔi c (0; 1) cho f 0(c) = k Chùng minh Vỵi p ∈ [0; 1], sỷ dửng tẵch phƠn tứng phƯn ta cõ Z1 f (x)x(1 − x)[p(1 − x) + (1 − p)x]dx = − 7p M°t kh¡c, theo nh lỵ giĂ tr trung bẳnh thự nhĐt, tỗn tÔi c ∈ (0; 1) cho Z1 f (x)x(1 − x)[p(1 − x) + (1 − p)x]dx 0 Z1 = f (c) f (c) x(1 − x)[p(1 − x) + (1 − p)x]dx = 12 Vªy f (c) = 60 − 84p Vỵi méi t [24; 60], tỗn tÔi p [0; 1] cho 60 − 84p = t Tø â ta câ iÃu phÊi chựng minh 53 Kát luên cừa chữỡng Nhữ  à cêp phƯn giợi thiằu chữỡng, cÔnh nhỳng bi toĂn và php tẵnh vi phƠn, cĂc bi toĂn và php tẵnh tẵch phƠn cụng khĂ phực tÔp v gƠy cho khổng ẵt rưc rối Xt mởt phÔm vi hàp, cĂc nh lỵ và giĂ tr trung bẳnh cho tẵch phƠn cụng gõp phƯn quan trồng viằc giÊi quyát nhỳng rưc rối õ Cõ th nõi, Ơy cụng ữủc xem nhữ l chẳa khõa quan trồng giÊi quyát cĂc bi toĂn vẳ ró rng chừ yáu cĂc bi toĂn cừa ch mang tẵnh ữợc lữủng m khổng cƯn ch rã èi t÷đng cư thº n o Nâi kh¡c i, vi»c sỷ dửng nh lỵ giĂ tr trung bẳnh cho tẵch phƠn chng qua ch l mởt k thuêt trung gian mang m u sc c§p º chóng ta câ thº xỷ lỵ bi toĂn mởt cĂch ỡn giÊn hỡn m thæi