Skkn kỹ thuật biến đổi sự phụ thuộc nhiều điểm thành một điểm để giải quyết một lớp bài toán cực trị hình học lớp 10

1 MỞ ĐẦU 1.1.Lý chọn đề tài Trong trình giảng dạy, tơi nhận thấy việc dạy học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tốn nói riêng; muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải tốn thân thầy, cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách hướng dẫn cho học sinh tiếp thu tiếp cận giải đối với bài toán Vấn đề này địi hỏi người giáo viên cần phải tìm tịi nghiên cứu tìm nhiều phương pháp cách giải qua tốn để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động, tư sáng tạo, phát triển tốn đề xuất tự làm toán tương tự Khai thác, phát triển tốn chủ đề khơng có lạ, dạy cho học sinh nắm vững kiến thức đảm bảo trình độ vượt qua các kỳ thi cần thiết, bên cạnh người giáo viên dạy tốn cần phải truyền tải say mê toán học cho học sinh, nhằm giúp hiệu học tập tốt Để thực điều này, người giáo viên cần có say mê chun mơn, đặt cho nhiều nhiệm vụ, truyền say mê cho học trị Khai thác, tìm hiểu và phát triển toán phần việc giúp người giáo viên thành công nghiệp Với chút hiểu biết niềm say mê tốn học, tơi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “KĨ THUẬT BIẾN ĐỔI SỰ PHỤ THUỘC NHIỀU ĐIỂM THÀNH MỘT ĐIỂM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC LỚP 10” với mong muốn chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm tốn, học tốn dạy tốn với các đờng nghiệp Hy vọng đề tài giúp ích phần nào đó cho q thầy q trình cơng tác 1.2.Mục đích nghiên cứu Nhằm nâng cao nghiệp vụ chun mơn, rút kinh nghiệm trình giảng dạy, phát triển tư linh hoạt, sáng tạo học sinh, phát bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn.Thơng qua đề tài này, tài liệu tham khảo cho em học sinh, đặc biệt học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Để cho học sinh có phương pháp giải, kỹ tìm cực trị độ dài véc tơ có chứa điểm M phụ thuộc theo nhiều điểm cố định, tơi có đề tài là: “KĨ TḤT BIẾN ĐỞI SỰ PHỤ THUỘC NHIỀU ĐIỂM THÀNH MỘT ĐIỂM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC LỚP 10” với mong muốn thay đổi cách giảng dạy truyền thụ tri thức chiều sang cách tiếp cận kiến tạo kiến thức suy nghĩ 1.4.Phương pháp nghiên cứu Với đề tài này, phương pháp chủ yếu được sử dụng phương pháp thống kê, lựa chọn tốn hay, độc đáo, có phương pháp giải sau skkn phân tích, so sánh, khái qt hóa, đặc biệt hóa để làm bật phương pháp, từ rút kết luận Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu giáo trình phương pháp dạy học Tốn trường phổ thơng, tài liệu hướng dẫn đổi phương pháp dạy học, sách giáo khoa, sách tham khảo, báo Toán học tuổi trẻ, các đề thi, Nghiên cứu thực nghiệm: Thông qua việc dạy học phần hình học lớp 10 năm giảng dạy thân tổng kết kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp skkn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến nêu các kỹ biến đổi véc tơ theo tính chất trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác Hệ thống số kỹ tìm giá trị nhỏ nhất của đợ dài véc tơ có chứa điểm M phụ thuộc theo nhiều điểm cố định thành kỹ tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài véc tơ có chứa điểm M phụ thuộc theo điểm cố định Sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “KĨ THUẬT BIẾN ĐỔI SỰ PHỤ THUỘC NHIỀU ĐIỂM THÀNH MỘT ĐIỂM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC LỚP 10” làm cho cách giải toán “tìm điểm M thuộc d để có giá trị nhỏ nhất (hoặc có giá trị nhỏ nhất)” có thêm cách nhìn khác, bên cạnh với cách giải sử dụng tính chất trọng tâm tam giác, tính chất trung điểm đoạn thẳng, hỗ trợ cho việc học tập đạt hiệu cao Với phương pháp dạy nhằm giúp em học sinh hiểu vấn đề cách sâu sắc nhìn tốn nhiều góc độ khác nên dễ dàng suy luận để chuyển toán lạ tốn quen thuộc Hơn với cách dạy đó, làm cho học sinh thấy phong phú việc sử dụng các kiến thức liên quan Chính mà em không cảm thấy nhàm chán, từ đó các em hào hứng say mê học tạo tâm lí thoải mái nhẹ nhàng tiết học, tiền đề tốt để học sinh tiếp thu bài, rèn luyện kỹ năng, nâng cao hiệu dạy học 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm a/Thuận lợi: Là giáo viên dạy toán nhiều năm tiếp xúc với nhiều đối tượng học sinh.Đa số học sinh thích học Tốn, thích tìm phương pháp học tập Tổ chun mơn thảo luận chun đề cực trị hình học.Bản thân thích học hỏi nâng cao kiến thức b/Khó khăn: Các kiến thức cực trị hình học lớp 10 học sinh cịn hạn chế Kĩ giải tốn trình bày giải cịn yếu 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1.Đặt vấn đề 2.3.1.1.Bài toán sở: (Dựa theo Bài 40/trang 11/ Sách bài tập Hình học 10 nâng cao) Cho n điểm và n số mà skkn a) Chứng minh rằng có nhất điểm G cho Điểm G thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm gắn với các hệ số Trong trường hợp các hệ số bằng (và coi bằng 1), thì G gọi là tâm của hệ điểm b) Chứng minh rằng nếu G là tâm tỉ cự nói ở câu a) thì mọi điểm O bất kì, ta có [1] Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu toán học, có gặp bài toán sau: 2.3.1.2.Một số toán cụ thể µ Bài tốn “ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4); C(5;–1) đường thẳng : 2x – 3y + 12 = Tìm điểm M tḥc cho nhỏ nhất”, với đáp án sau: - Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ G ( - Khi đó: = , G - Một véctơ phương ) cố định (G không nằm [2] ) mợt véc tơ pháp tuyến d, phương trình d là: 3x + 2y – = Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: - Vậy nhỏ nhỏ nhất, tức MG nhỏ hay MG vng góc với Do M giao điểm vng góc với đường thẳng d qua G skkn  Phân tích: Bài toán được giải với việc chuyển sự phụ thuộc điểm M theo điểm A, B, C thành sự phụ thuộc điểm M theo điểm G (trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC) bằng cách sử dụng công thức =  (SGK Hình học 10 nâng cao, trang 20) Nhận xét * Lối suy nghĩ quen thuộc: Sử dụng công thức trọng tâm của tam giác (như lời giải ở trên) * Hướng suy nghĩ mở rộng: Ta có thể thực hiện biến đổi (với G là trọng tâm tam giác ABC) Thoạt nhìn có vẻ là không có sự khác giữa giải pháp cũ thường làm và giải pháp cải tiến (vì bản chất là giống nhau) Nhưng với giải pháp cải tiến thì ta có thể giải quyết được bài toán nào? Ta thử xét bài toán 1a tương tự sau: “ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4); C(5;–1) đường thẳng :2x – 3y + 12 = Tìm điểm M tḥc cho nhỏ nhất” [1] (Dựa theo Bài 35/trang 11/ Sách bài tập Hình học 10 nâng cao) Rõ ràng tính chất trọng tâm (giải pháp cũ thường làm) rất khó để sử dụng ở đây, để giải quyết bài toán ta cần sử dụng giải pháp cải tiến, với việc biến đổi sau: Trong đó, điểm là điểm thỏa mãn G xác định cụ thể có tọa độ Nội dung giải quyết cụ thể của vấn đề này được trình bày ở bài toán (trang 13) sau này Bây giờ nếu ta bỏ bớt dữ kiện yếu tố điểm C ở bài toán (trang 4), thì ta có bài toán tương tự sau: µ Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4) đường thẳng : 2x – 3y + 12 = Tìm điểm M thuộc cho nhỏ [2] skkn  Phân tích: Bài toán được giải với việc chuyển sự phụ thuộc điểm M theo điểm A, B thành sự phụ thuộc điểm M theo điểm I (trong đó I là trung điểm của đoạn thẳng AB) với công thức =  (theo SGK Hình học 10 nâng cao, trang 20) Lời giải Gọi I trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có tọa độ I ( Khi đó: Vậy = , I cố định (I không nằm nhỏ ) nhỏ nhất, tức MI nhỏ hay MI vng góc với Do M giao điểm vng góc với Một véc tơ phương ) tuyến d, phương trình d là: 3x + 2y + đường thẳng d qua I mợt véc tơ pháp = Tọa độ M nghiệm hệ phương trình:  Nhận xét * Lối suy nghĩ quen thuộc: Sử dụng công thức trung điểm của đoạn thẳng * Hướng suy nghĩ mở rộng: Ta có thể thực hiện biến đổi sau: (với I là trung điểm của đoạn thẳng AB) Cũng nhận xét ở trên, thoạt nhìn có vẻ là không có sự khác giữa giải pháp cũ thường làm và giải pháp cải tiến Nhưng với giải pháp cải tiến thì ta có thể giải quyết được bài toán nào? Ta thử xét bài toán 2a sau: “Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4) đường thẳng : 2x – 3y + 12 = Tìm điểm M thuộc cho nhỏ nhất” Rõ ràng tính chất trung điểm (giải skkn pháp cũ thường làm) rất khó để sử dụng ở đây, để giải quyết bài toán ta cần sử dụng giải pháp cải tiến, với việc sử dụng phép biến đổi sau: Trong đó, là điểm thỏa mãn I xác định cụ thể có tọa độ Nợi dung giải quyết cụ thể của vấn đề này được trình bày ở bài toán (trang 11) sau này Nếu ta thay đổi dữ kiện cuối cùng ở bài toán (trang 5), thì ta có bài toán tương tự sau: µ Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường thẳng : 2x – 3y + 12 = Tìm điểm M tḥc cho: có giá trị nhỏ [2]  Phân tích: Bài toán được giải với việc chuyển sự phụ thuộc điểm M theo điểm A, B thành sự phụ thuộc điểm M theo điểm I (trong đó I là trung điểm của đoạn thẳng AB) với công thức (SGK Hình học 10 nâng cao, trang 58)  Lời giải Gọi I trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có tọa độ I ( Khi đó: Vậy , I nhỏ ) cố định (I không nằm ) nhỏ nhất, tức MI nhỏ (vì AB có độ dài khơng thay đởi) hay MI vng góc với Do M giao điểm đường thẳng d qua I vng góc với Một véc tơ phương tuyến d, phương trình d là: 3x + 2y + mợt véc tơ pháp = Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: skkn  Nhận xét * Lối suy nghĩ quen thuộc: Sử dụng công thức (như lời giải ở trên, với I là trung điểm của đoạn thẳng AB) * Hướng suy nghĩ mở rộng: Ta có thể thực hiện biến đổi sau: (với I là trung điểm của đoạn thẳng AB) Với giải pháp cải tiến thì ta có thể giải quyết được bài toán nào? Ta thử xét bài toán 3a sau: “Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4) đường thẳng : 2x – 3y + 12 = Tìm điểm M thuộc cho nhỏ nhất”.[2] Rõ ràng công thức (giải pháp cũ thường làm) rất khó để sử dụng ở đây, để giải quyết bài toán ta cần sử dụng giải pháp cải tiến, với việc sử dụng phép biến đổi sau: Trong đó, là điểm thỏa mãn I xác định cụ thể có tọa độ Nội dung giải quyết cụ thể của vấn đề này được trình bày ở bài toán (trang 12) sau này Nếu ta thay đổi dữ kiện cuối cùng ở bài toán 3(trang 7), thì ta có bài toán tương tự sau: µ Bài tốn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4), C(5;–1) đường thẳng : 2x – 3y + 12 = Tìm điểm M tḥc cho: có giá trị nhỏ [2] skkn  Phân tích: Bài toán được giải với việc chuyển sự phụ thuộc điểm M theo điểm A, B, C thành sự phụ thuộc điểm M theo điểm G (trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC) với công thức  Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có tọa độ G ( Khi đó: , G định (G khơng nằm Vậy ) cố ) nhỏ nhỏ nhất, tức MG nhỏ (vì AB, BC, CA không thay đởi) hay MG vng góc với Do M giao điểm đường thẳng d qua G vng góc với Một véc tơ phương tuyến d, phương trình d là: 3x + 2y – véc tơ pháp = Tọa độ M nghiệm hệ phương trình:  Nhận xét * Lối suy nghĩ quen thuộc: Sử dụng công thức (như lời giải ở trên) * Hướng suy nghĩ mở rộng: Ta có thể thực hiện biến đổi (với G là trọng tâm của tam giác ABC) skkn Với giải pháp cải tiến thì ta có thể giải quyết được bài toán nào? Ta thử xét toán 4a sau: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4), C(5;–1) đường thẳng :2x – 3y + 12 = Tìm điểm M thuộc cho: có giá trị nhỏ [2] Rõ ràng công thức (giải pháp cũ thường làm) rất khó để sử dụng ở đây, để giải quyết bài toán ta cần sử dụng giải pháp cải tiến, với việc sử dụng phép biến đổi sau: Trong đó, là điểm thỏa mãn Nội dung giải quyết cụ thể của vấn đề này được trình bày ở bài toán (trang 14) sau này Các bài toán 1, bài toán 2, bài toán và bài toán ở nói về việc sử dụng tính chất trung điểm, trọng tâm để giải bài toán “Trong mặt phẳng Oxy, tìm điểm M thuộc đường d cho (*) có giá trị nhỏ nhất”, (trong đó, (*) có thể thay bằng , hoặc ) Mấu chốt để giải các bài toán là biến đổi M phụ thuộc điểm A, B, C trở thành M phụ thuộc theo điểm G (với G là trọng tâm của tam giác ABC); hoặc biến đổi M phụ thuộc điểm A, B trở thành M phụ thuộc theo điểm I (với I là trung điểm của đoạn thẳng AB) Vậy, đối với bài toán 1a, bài toán 2a, bài toán 3a, bài toán 4a ta thay đổi dữ kiện thành điểm M thỏa mãn (hoặc , , , với các số ) thì liệu có sử dụng tính chất trung điểm, trọng tâm để giải được các bài toán mở rộng hay không? Sáng kiến kinh nghiệm này sẽ đề xuất hướng giải quyết vấn đề toán 1a, toán 2a, toán 3a, toán 4a này 2.3.2.Tổng quát vấn đề toán vận dụng Ta có các phép biến đổi sau: Với các số thực a, b, c và các điểm A, B ta có: * Công thức 1a * Công thức 1b 10 skkn * Công thức 2a * Công thức 2b Đặc biệt, với a = b = c = thì các công thức chính là kỹ thuật biến đổi về theo trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác Để nghiên cứu rõ vấn đề này, ta xem xét toán sau: Trước tiên ta có bài toán sở sau: 2.3.2.1.Bài tốn sở µ Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I(1;3) đường thẳng Tìm điểm M tḥc cho MI có độ dài nhỏ [2] Lời giải Với và điểm cố định thì có độ dài nhỏ nhất và chỉ M là hình chiếu vuông góc của I Do M giao điểm đường thẳng d qua I vng góc với Một véc tơ phương là véc tơ pháp tuyến d, phương trình d là: 2x + y – = Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: I M 2.3.2.2.Một số toán ứng dụng 11 skkn µ Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(4;-2), B(5;13) đường thẳng Tìm điểm M tḥc cho có giá trị nhỏ nhất [2] Phân tích Biến đổi Chọn điểm I thỏa sau đó áp dụng bài toán , để biến đổi Lời giải Gọi điểm I thỏa , đó ta có Ta có: Do vậy, với I cố định và M thay đổi đường thẳng thì có giá trị nhỏ nhất và chỉ MI có độ dài nhỏ nhất Theo bài toán 5, ta có đáp số là A A I B M B M (Điểm M phụ thuộc theo điểm A, B) (Điểm M phụ thuộc theo điểm I) Trong bài toán này, chúng ta đã chuyển sự phụ thuộc của điểm M từ điểm về điểm là tâm tỉ cự của điểm ứng với bộ số để chuyển về bài toán sở Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(-2;-3), B(0;1) đường thẳng Tìm điểm M tḥc cho có giá trị nhỏ (Đáp số: M0;5)) [2] µ Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;5), B(1;2) đường thẳng Tìm điểm M tḥc cho có giá trị nhỏ [2] Phân tích Biến đổi 12 skkn Chọn điểm I thỏa , để biến đổi , sau đó áp dụng bài toán Lời giải Gọi điểm I thỏa , đó ta có Ta có Do vậy, với I cố định và M thay đổi đường thẳng thì có giá trị nhỏ nhất có giá trị nhỏ nhất có giá trị nhỏ nhất (vì IA, IB có độ dài không thay đổi) Theo bài toán 5, ta có đáp số cần tìm là M(0;5) Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;3), B(4;3) đường thẳng Tìm điểm M thuộc cho có giá trị nhỏ (Đáp số: ) [2] µ Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(0;1), B(1;-2), C(3;22) đường thẳng Tìm điểm M tḥc cho có giá trị nhỏ [2] Phân tích Biến đổi Chọn điểm I thỏa sau đó áp dụng bài toán , để biến đổi Lời giải Gọi điểm I thỏa , đó ta có , Ta có 13 skkn Do vậy, với I cố định và M thay đổi đường thẳng thì có giá trị nhỏ nhất và chỉ MI có độ dài nhỏ nhất Theo bài toán 5, ta có đáp số là B B A I A C C M M (Điểm M phụ thuộc theo điểm A, B, C) (Điểm M phụ thuộc theo điểm I) Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(-2;5), B(1;1), C(0;3) đường thẳng Tìm điểm M tḥc cho có giá trị nhỏ (Đáp số: M(0;5)) [2] µ Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2;17), B(0;3), C(1;-4) đường thẳng Tìm điểm M tḥc cho có giá trị nhỏ [2] Phân tích Biến đổi Chọn điểm I thỏa , để biến đổi , sau đó áp dụng bài toán Lời giải Gọi điểm I thỏa , đó ta có Ta có 14 skkn Do vậy, với I cố định và M thay đổi đường thẳng thì có giá trị nhỏ nhất có giá trị nhỏ nhất có giá trị nhỏ nhất (vì IA, IB, IC có độ dài không thay đổi) Theo bài toán 5, ta có đáp số là M(0;5) Bài tập tương tự: Bài 1:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm Xác định tọa độ điểm M đường thẳng d: , cho đạt giá trị nhỏ (Trích Đề thi HSG lớp 10, Hà Tĩnh) [3] Bài : Cho tam giác ABC vuông A; BC = a; CA = b; AB = c Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: ; Tìm điểm M cho biểu thức: đạt giá trị lớn (Trích Đề thi HSG lớp 10, Hải Dương) [3] 2.4.Hiệu sáng kiến Đề tài kiểm nghiệm nhiều năm học giảng dạy lớp 10, học sinh đồng tình đạt kết việc nâng cao khả tìm cực trị tốn hình học lớp 10 có nhìn thân thiện với tốn hình học đề thi học sinh giỏi.Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập,học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Những nội dung trình bày sáng kiến kinh nghiệm tơi rút q trình dạy học, xuất phát từ yêu cầu đổi phương pháp dạy học, lấy học sinh làm trung tâm hiếu học phần lớn học sinh động lực lớn để không ngừng phấn đấu, học hỏi, nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục 15 skkn KẾT LUẬNVÀ KIẾN NGHỊ: 3.1.Kết luận: Qua thực tế giảng dạy, thấy vấn đề dù khó mà giáo viên quan tâm truyền thụ cho học sinh lòng say mê nhiệt tình hút em vào đường nghiên cứu Bài tốn tìm cực trị độ dài véc tơ không vấn đề mới, cần tạo mối liên hệ các kiến thức để thấy rằng các kiến thức có sự hỡ trợ với Sáng kiến kinh nghiệm triển khai chuyên đề để giảng dạy cho em học sinh ôn tập các kỳ thi, nhằm giúp em học sinh vượt qua trở ngại tâm lí từ trước tới với lớp toán Cụ thể, học sinh biết phương pháp có hiệu em tự tin giải toán dạng dạng tương tự Tuy nhiên tốn có nhiều cách giải, phương pháp giải dài phương pháp khác lại có đường lối nhận biết rõ ràng dễ tiếp cận hơn, tiền đề cho ta sáng tạo dạng tập khác Từ tốn, tơi đào sâu suy nghĩ đưa nhiều cách giải mở rộng thành nhiều toán khác độ khó tăng lên rõ rệt Với phương pháp tư phần giúp học sinh hứng thú học tập, tạo động lực học tập cách chủ động, tích cực học sinh Đó hay, đẹp toán học, khiến người ta say mê toán học Đề tài nghiên cứu giúp giáo viên học sinh có tài liệu tiếp cận với phương pháp chuyển đổi phụ thuộc điểm M theo nhiều điểm cố định thành phụ thuộc điểm M theo điểm cố định Do kinh nghiệm chưa nhiều, thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài nên đề tài tơi khơng tránh khỏi cịn nhiều hạn chế Rất mong đóng góp đồng nghiệp để tơi hồn thiện đề tài Xin chân thành cảm ơn! 3.2.Kiến nghị: 3.2.1.Đối với Sở GD & ĐT :Tiếp tục phổ biến rộng rãi sáng kiến công nhận cấp ngành cấp tỉnh để giáo viên học hỏi áp dụng thực tiễn giảng dạy học tập 3.2.2.Đối với Trường phổ thông : Tiếp tục nhân rộng đề tài, sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tế giảng dạy 16 skkn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết,không copy người khác Vũ Thị Quyền 17 skkn ... tìm cực trị tốn hình học lớp 10 có nhìn thân thiện với tốn hình học đề thi học sinh giỏi.Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải. .. b/Khó khăn: Các kiến thức cực trị hình học lớp 10 học sinh hạn chế Kĩ giải tốn trình bày giải cịn yếu 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1.Đặt vấn đề 2.3.1.1 .Bài toán sở: (Dựa theo Bài... người ta say mê toán học Đề tài nghiên cứu giúp giáo viên học sinh có tài liệu tiếp cận với phương pháp chuyển đổi phụ thuộc điểm M theo nhiều điểm cố định thành phụ thuộc điểm M theo điểm cố định