Một thuật toán giải một lớp bài toán cân bằng với song hàm tựa lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN DANH HÙNG MỘT THUẬT TOÁN GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG VỚI SONG HÀM TỰA LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN DANH HÙNG MỘT THUẬT TOÁN GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG VỚI SONG HÀM TỰA LỒI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học riêng thân tôi, hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực, không chép chưa cơng bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn tơi có sử dụng tài liệu, thông tin đăng tải tạp chí số kết tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát có chép kết nghiên cứu đề tài khác, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2021 Tác giả TRẦN DANH HÙNG i Lời cảm ơn Trước tiên xin cảm ơn tới GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU người trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo, giúp đỡ tiến hành hoạt động nghiên cứu khoa học để hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Thầy Cô Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, trực tiếp giảng dạy, đóng góp ý kiến Qua tơi trau dồi thêm nhiều kiến thức, kỹ phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Tôi muốn gửi lời cảm ơn Bộ mơn Tốn ứng dụng, Khoa Tốn Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, tạo điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hoàn thành tốt luận văn Do thời gian có hạn, thân tơi cịn hạn chế nên luận văn có thiếu sót Tơi mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây dựng thầy cô, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2021 Tác giả TRẦN DANH HÙNG ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt v Lời mở đầu 1 Tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi 1.1 1.2 Tập lồi 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Tổ hợp lồi tính chất Hàm lồi hàm tựa lồi 1.2.1 Định nghĩa, ví dụ 1.2.2 Các tính chất 10 1.2.3 Đạo hàm vi phân hàm lồi hàm tựa lồi 15 Bài toán cân 2.1 2.2 23 Giới thiệu toán cân 23 2.1.1 Phát biểu toán 23 Các trường hợp riêng toán cân 24 2.2.1 Bài toán tối ưu 24 2.2.2 Bài toán điểm bất động 24 iii 2.2.3 Bài toán cân Nash 25 2.2.4 Bài toán điểm yên ngựa 26 2.2.5 Bài toán bất đẳng thức biến phân 26 Một thuật toán đạo hàm giải toán cân Parađơn điệu 27 3.1 Tính đơn điệu 28 3.1.1 Định nghĩa tính chất 28 Thuật toán hội tụ 29 3.2.1 29 3.2 Khảo sát hội tụ thuật toán Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 iv Một số ký hiệu chữ viết tắt Rn không gian Euclide n−chiều R = R ∪ {−∞, +∞} trục số thực mở rộng xT chuyển vị x coA bao lồi A A bao đóng A ri(A) tập điểm tương đối tập A int(A) tập hợp điểm A f hàm bao đóng f domf miền hữu dụng f epif đồ thị f ∂f (x) vi phân f x Af f (A) giao tất đa tạp affine chứa A ✷ kết thúc chứng minh v Lời mở đầu Ngày nay, lý thuyết tập lồi, hàm lồi hàm tựa lồi ngày khẳng định vị trí quan trọng tốn học nói chung giải tích nói riêng cụ thể liên quan đến hầu hết ngành giải tích phức, giải tích hàm, giải tích lồi, hình học tốn kinh tế, Một cơng cụ giải tích lồi “Bài tốn cân bằng” “Một thuật toán đạo hàm giải toán cân Para-đơn điệu” Bài toán cân tốn Tìm x∗ ∈ C cho φ(x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, (EQ) C tập cho trước φ : C × C → R hàm cho trước cho φ(x, x) = Giải tích lồi đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết toán cực trị ngành tốn học ứng dụng có sử dụng cơng cụ giải tích khơng gian tuyến tính Sau kết H Minkowski (1910) tập lồi hàm lồi, lý thuyết giải tích lồi thu hút quan tâm nghiên cứu nhiêu nhà tốn học Lý thuyết giải tích lồi hoàn thiện khoảng ba chục năm nay, sau cơng trình tiếng H Minkowski, C Carathéodory, W Fenchel, L D Muu Năm 1992 L D Muu W Oettli đặt tên cho bất đẳng thức “Bài toán cân bằng” (equilibrium problem) Bài toán cân toán bao hàm nhiều lớp toán quen thuộc như: toán tối ưu, toán điểm bất động, toán cân Nash, toán điểm n ngựa, Về mặt hình thức, tốn đơn giản, nhiên nói tốn cân bao hàm nhiều lớp toán quan trọng khác thuộc nhiều lĩnh vực quan trọng đời sống Mục tiêu luận văn giới thiệu số kiến thức tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi vi phân hàm lồi hàm tựa lồi Đặc biệt nội dung luận văn tập chung nhấn mạnh vào kiến thức toán cân thuật toán đạo hàm giải toán cân Para- đơn điệu với song hàm tựa lồi theo biến thứ hai Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương sau: Chương Tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi Trong chương giới thiệu tổng quan trình bày số khái niệm bản, tính chất ví dụ minh họa tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi trích dẫn tài liệu số [1] [2], đặc biệt phần cuối chương tơi sâu vào tính chất vi phân hàm lồi hàm tựa lồi Chương Bài toán cân Đây phần luận văn, chương này, chúng tơi trình bày tốn cân bằng, trường hợp riêng toán cân như: Bài toán tối ưu, toán điểm bất động, toán cân Nash toán điểm yên ngựa Với trường hợp tốn cân tơi phát biểu tốn đưa ví dụ minh họa Nội dung cụ thể chương trích dẫn tài liệu số [6] [7] Chương Một thuật toán đạo hàm giải toán cân Para-đơn điệu Đây phần chương cuối luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày hai nội dung hai nội dung quan trọng bao gồm: Thứ đơn điệu song hàm tựa lồi Thứ hai thuật toán hội tụ Nội dung cụ thể chương trích dẫn từ tài liệu số [5] Suy x∗ = T x∗ Vậy toán cân (EQ) tương đương với toán điểm bất động (2.2) 2.2.3 Bài toán cân Nash Cho C tập lồi đóng khác rỗng Rn Khi tốn cân Nash trị chơi khơng hợp tác trình bày sau: Gọi I tập số hữu hạn số người chơi Với i ∈ I tồn tập Ci ⊆ R tập chiến lược người chơi thứ i Đặt C = C1 × C2 × × Cn Với i ∈ I , có hàm cho trước φi : C → R (gọi hàm thua thiệt người chơi thứ i, phụ thuộc vào chiến lược người chơi khác) Với x = (xi )i∈I ∈ C định nghĩa x[yi ] véctơ x thay tọa độ xi yi Điểm x∗ = (x∗i )i∈I ∈ C gọi điểm cân Nash với i ∈ I ta có: φi (x∗ ) ≤ φ(x∗ [yi ]), ∀yi ∈ Ci (2.3) Định nghĩa song hàm φ : C × C → R (φi (x[yi ]) − φi (x)) φ(x, y) := (2.4) i∈I Nếu x∗ điểm cân Nash thành phần cơng thức (2.4) khơng âm, φ(x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Suy toán cân Nash đưa toán cân (EQ) Ngược lại, giả sử x∗ nghiệm toán (EQ), tức φ(x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Ta chứng minh x∗ = (x∗i )i∈I ∈ C điểm cân Nash Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn j yj ∈ Cj cho φi (x∗ [yi ]) < φi (x) Khi đó, với phương án y = x∗ [yj ], theo định nghĩa song hàm φ, ta có: φ(x∗ , y) = φi (x∗ [yi ]) − φi (x∗ ) < 25 Điều mâu thuẫn với x∗ nghiệm toán cân (EQ) 2.2.4 Bài toán điểm yên ngựa Cho C1 C2 tập lồi đóng khác rỗng hai không gian Rn1 , Rn2 ánh xạ có dạng ϕ : C1 × C2 → R Điểm (x∗1 , x∗2 ) gọi điểm yên ngựa hàm ϕ (x∗1 , x∗2 ) ∈ C1 × C2 , ϕ(x∗1 , y2 ) ≤ ϕ(y1 , x∗2 ) ∀(y1 , y2 ) ∈ C1 × C2 (2.5) Đặt C = C1 × C2 định nghĩa φ : C × C → R φ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) := ϕ(y1 , x2 ) − ϕ(x1 , y2 ) Khi x∗ = (x∗1 , x∗2 ) nghiệm toán cân (EQ) điểm (x∗1 , x∗2 ) thỏa mãn (2.5) 2.2.5 Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho C tập lồi đóng khác rỗng, ánh xạ F : C → Rn Bài toán bất đẳng thức biến phân tốn Tìm x∗ ∈ C : F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C (2.6) Đặt f (x, y) = F (x), y − x Khi dễ thấy x∗ nghiệm tốn (2.6) nghiệm toán (EQ) 26 Chương Một thuật toán đạo hàm giải toán cân Para-đơn điệu Trong phần này, chúng tơi trình bày thuật toán để giải toán (EQ), cách sử dụng vi phân-sao biến thứ hai song hàm φ Các kiến thức chương lấy từ tài liệu [2], [4], [5] [6] Giả sử C tập lồi đóng khác rỗng Rn , φ : Rn × Rn → R ∪ {+∞} hàm thỏa mãn φ(x, x) = C × C ⊂ domφ Giả thiết (A1) Với x ∈ C , hàm φ(x, ) tựa lồi φ(., ) nửa liên tục trên tập mở C × C (A2) Hàm φ giả-đơn điệu (pseumonotone) C , φ(x, y) ≤ ⇒ φ(y, x) ≤ ∀x ∈ C, y ∈ C, hàm φ para-đơn điệu C S(EQ), tức x ∈ S(EQ), y ∈ C φ(x, y) = φ(y, x) = ⇒ y ∈ S(EQ) (A3) Tập nghiệm S(EQ) khác rỗng Đặt tập mức chặt hàm φ(x, ) với giá trị vi phân-sao 27 hàm φ(x, ) x sau: Lφ (x) := { y ∈ C : φ(x, y) < φ(x, x) = 0}, ∂2∗ φ(x, x) := { g ∈ Rn : g, y − x < 3.1 3.1.1 ∀y ∈ Lφ (x)} Tính đơn điệu Định nghĩa tính chất Định nghĩa 3.1.1 Cho C tập lồi, S ⊆ C φ : C × C → R Khi song hàm φ gọi • đơn điệu mạnh C với số τ > φ(x, y) + φ(y, x) ≤ −τ ||x − y||2 , ∀x, y ∈ C; • đơn điệu chặt C φ(x, y) + φ(y, x) < 0, ∀x, y ∈ C, x = y; • đơn điệu C tập S φ(x, y) + φ(y, x) ≤ 0, ∀x ∈ S, ∀y ∈ C; • giả đơn điệu (pseumonotone) C tập S φ(x, y) ≥ ⇒ φ(y, x) ≤ 0, ∀x ∈ S, ∀y ∈ C; • para-đơn điệu (paramonotone) C tập S ∀x ∈ S, ∀y ∈ C : φ(x, y) = φ(y, x) = ⇒ y ∈ S Chú ý f (x, y) = g(y) − g(x) tức trường hợp tối ưu f ln para-đơn điệu 28 Mệnh đề sau mô tả số kết quan trọng tồn nghiệm toán cân Mệnh đề 3.1.2 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Rn φ : C × C → R song hàm cân Khi ta có: (i) Nếu φ đơn điệu chặt tốn EQ(C, φ) có nhiều nghiệm (ii) Nếu φ(., y) nửa liên tục với y ∈ C , φ(x, ) hàm lồi, nửa liên tục với x ∈ C φ đơn điệu mạnh tốn EQ(C, φ) có nghiệm 3.2 Thuật tốn hội tụ 3.2.1 Khảo sát hội tụ thuật toán Thuật toán Cho C tập lồi đóng Rn , chọn dãy thực {αk } thỏa mãn điều kiện sau: αk > ∀k ∈ N, ∞ ∞ αk2 < +∞ αk = +∞ k=1 k=1 Bước Chọn điểm x1 cho x1 ∈ C, k = Bước k (k = 1, 2, ) Lấy g k ∈ ∂2∗ φ(xk , xk ) Nếu g k = 0, ta dừng lại: xk nghiệm Nếu g k = 0, ta thực chuẩn hóa ||g k || = Ta tính xk+1 = PC (xk − αk g k ) Nếu xk+1 = xk , tức xk nghiệm ta dừng lại Trái lại cho k ← k + lặp lại bước k 29 Nhận xét 3.2.1 (i) Vì vi phân-sao hình nón, ta ln chuẩn hóa phần tử khác khơng để lấy véc tơ đơn vị vi phân (ii) Nếu thuật tốn tạo nên dãy hữu hạn điểm cuối phải nghiệm thật vậy, ∈ ∂2∗ φ(xk , xk ) theo Bổ đề 1.2.36 ∈ ∂ GP φ(x) ⇔ ∂ GP φ(x) = Rn ⇔ x ∈ arg φ(y) y∈Rn ta có xk ∈ arg φ(xk , y), tức φ(xk , y) ≥ với y ∈ C Nếu x k+1 y∈C k = x xk = PC (xk − αk g k ) Do đó, theo tính chất hình chiếu ta có: −αk g k , y − xk ∀y ∈ C, g k , y − xk ∀y ∈ C Do g k ∈ ∂2∗ φ(xk , xk ), ta có φ(xk , y) ≥ φ(xk , xk ) ≥ với y ∈ C Bổ đề 3.2.2 Ta ln có bất đẳng thức sau cho k ||xk+1 − xk || ≤ αk (3.1) Chứng minh Vì xk = PC (xk − αk g k ), xk+1 − xk + αk g k , y − xk+1 ∀y ∈ C Bằng cách đặt y = xk , ta xk+1 − xk ≤ αk g k , xk − xk+1 ≤ αk g k xk+1 − xk = αk xk+1 − xk Vậy xk+1 − xk ≤ αk 30 Mệnh đề 3.2.3 Với z ∈ C xk điểm lặp bước k ta ln có bất đẳng thức sau: xk+1 − z ≤ xk − z + 2αk g k , z − xk + 2αk2 (3.2) Chứng minh Chọn z ∈ C, ta có: xk+1 − z = xk − z − xk+1 − xk ≤ xk − z + xk − xk+1 , z − xk+1 + xk − xk+1 , z − xk+1 (3.3) Vì xk+1 = PC xk − αk g k z ∈ C xk − xk+1 , z − xk+1 ≤ αk g k , z − xk+1 (3.4) Từ (3.3) and (3.4) xk+1 − z ≤ xk − z + 2αk g k , z − xk+1 = xk − z + 2αk g k , z − xk + 2αk g k , xk − xk+1 (3.5) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ||g k || = 1, ta có: g k , xk − xk+1 xk − xk+1 Do đó, theo Bổ đề 3.2.2, xk − xk+1 αk , theo bất đẳng thức (3.5) ta có: ||xk+1 − z||2 ≤ ||xk − z||2 + 2αk g k , z − xk + 2αk2 31 Bổ đề 3.2.4 (a) Đặt B(x, ) hình cầu đóng có tâm x bán kính Nếu B(x, ) ⊂ Lφ (xk ) với x ∈ Rn > 0, g k , xk − x¯ > (b) lim inf g k , xk − x ≤ ∀x ∈ C k→∞ ¯ x, ) ⊂ Lφ xk , x¯ + g k ∈ Lφ xk , với Chứng minh (a) Nếu B(¯ >0 đủ nhỏ Vì g k ∈ ∂2∗ φ xk , xk , ta có: g k , x¯ + g k − xk < Từ g k = 1, kéo theo g k , xk − x¯ > (b) Giả sử phản chứng tồn z ∈ C, ξ > k0 điểm cho k > k0 , g k , xk − z¯ ≥ ξ > Theo Mệnh đề 3.2.3 ta có: 2αk g k , xk − z¯ ≤ xk − z − xk+1 − z + 2αk2 Bằng cách lấy tổng phần tử αk ξ , ta thu ∞ ∞ αk g k , xk − z¯ αk ξ ≤ 2 k=0 k=0 ∞ ≤ x − z¯ αk2 +2 k=1 Vậy, x0 − z¯ 0 cho f (x, x∗ ) ≤ −a Khi đó, f (., ) nửa liên tục trên C ×C Suy tồn > 0, >0 cho với x ∈ B(x, ), y ∈ B(x∗ , ), ta có: a f (x, y) ≤ − Mặt khác, lim xki = x, tồn i0 ≤ i cho xki thuộc B(x, ), i→∞ ∗ y ∈ B(x , ) suy a − < 0, f xkq , y nghĩa B(x∗ , ) ⊂ Lf (xki ) Khi theo Bổ đề 3.2.4 (a), ta có: g ki , xki − x∗ > ∀i i0 Kết hợp với (3.12) Suy f (x, x∗ ) = Bước 4: Dãy {xk } hội tụ thành nghiệm toán (EQ) Thật Bước ta có f (x, x∗ ) = Do f giả-đơn điệu C , ta có f (x∗ , x) ≤ 0, với x∗ ∈ S(EQ), bao gồm f (x∗ , x) = Khi nhờ tính giả đơn điệu f , x nghiệm toán (EQ) Từ Bước dãy {||xk −x||2 } hội tụ, kết hợp với lim xki = x Tức toàn dãy {xk } hội tụ nghiệm i→∞ x toán (EQ) Kết luận: Trong chương trước hết chúng tơi giới thiệu tốn cân trường hợp riêng quan trọng tốn Tiếp theo chúng tơi giới thiệu chi tiết thuật toán chiếu đạo hàm để giải toán cân para-đơn điệu với song hàm tựa lồi theo biến thứ hai 35 Thuật toán sử dụng vi phân hàm tựa lồi Cuối khảo sát chi tiết hội tụ thuật toán 36 Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày kết cụ thể sau: Giới thiệu tổng quan tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi, bao gồm định nghĩa tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi, tính chất ví dụ minh họa cho định nghĩa Đặc biệt phần cuối chương sâu trình bày vi phân hàm lồi hàm tựa lồi Trình bày toán cân bằng, trường hợp riêng toán cân bao gồm: Bài toán tối ưu, toán điểm bất động, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, toán bất đẳng thức biến phân số ví dụ minh họa cho tốn Trình bày “Một thuật toán đạo hàm giải toán cân Para đơn điệu song hàm cân tựa lồi theo biến thứ 2” chứng minh chi tiết hội tụ thuật toán 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển, Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội, (2015) [2] Lê Dũng Mưu, Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB khoa học kỹ thuật, (1998) Tiếng Anh [3] Giancarlo Bigi, Marco Castellani, Massimo Pappalardo, Mauro Passacantando, Nonlinear Programming Techniques for Equilibria, Springer (2018) [4] Hoang Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, Springer (2015) [5] Le Hai Yen and Le Dung Muu, A subgradient method for equilibrium problems involving quasiconvex bifunctions, Operations Research Letter 48(2020) 579-583 [6] Olvi L Mangasarian, Nonlinear Programming, Society For Industrial and Applied Mathematics (1994) 38 [7] Paulo Santos, Susana Scheimberg, An inexact subgradient algorithm for Equilibrium Problems, Comput Appl Math (2011) 91-107 39 ... phân hàm lồi hàm tựa lồi Chương Bài toán cân Đây phần luận văn, chương này, chúng tơi trình bày tốn cân bằng, trường hợp riêng toán cân như: Bài toán tối ưu, toán điểm bất động, toán cân Nash toán. .. giải tích nói riêng cụ thể liên quan đến hầu hết ngành giải tích phức, giải tích hàm, giải tích lồi, hình học tốn kinh tế, Một cơng cụ giải tích lồi ? ?Bài toán cân bằng? ?? ? ?Một thuật toán đạo hàm. .. ——————–o0o——————– TRẦN DANH HÙNG MỘT THUẬT TOÁN GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG VỚI SONG HÀM TỰA LỒI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học