Tính chất thụ động của một lớp mạng điện trở nhớ với đa trễ biến thiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐÀO THỊ LÝ TÍNH CHẤT THỤ ĐỘNG CỦA MỘT LỚP MẠNG ĐIỆN TRỞ NHỚ VỚI ĐA TRỄ BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Thị Loan HÀ NỘI- 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Trần Thị Loan Qua Luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô Bộ môn Giải tích, thầy cô Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung, đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo TS Trần Thị Loan, người tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ em trình nghiên cứu hoàn thành Luận văn Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, anh chị em khóa Cao học Toán K24 (2014-2016) quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên tinh thần để hoàn thành khóa học Tuy nhiên, hiểu biết thân hạn chế nên trình nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 09 năm 2016 Học viên Đào Thị Lý i MỤC LỤC Mở đầu .1 Một số kí hiệu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình vi phân trễ phương pháp hàm Lyapunov phương trình vi phân trễ 1.2.Giới thiệu mạng lưới MRNNs số định nghĩa 1.3 Một số bổ đề áp dụng 10 Chương Tiêu chuẩn thụ động cho mạng lưới nơron MRNNs 11 2.1 Một số kí hiệu 11 2.2 Định lý tiêu chuẩn thụ động cho mạng lưới nơron MRNNs với đa trễ biến thiên 13 2.3 Tiêu chuẩn thụ động cho mạng lưới nơron MRNNs với trễ rời rạc biến thiên 38 Kết luận chung 46 Tài liệu tham khảo 47 ii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chúng ta tìm hiểu lịch sử ngắn gọn MRNNs (Memristor-based recurrent neural networks) Năm 1971, tồn phần tử mạch thứ tư lần công bố Dr Chua [4] Phần tử mạch thứ tư điện trở nhớ gọi để phân biệt với ba phần tử khác điện trở, tụ điện cuộn cảm Một phần tử điện trở nhớ gồm hai cực, điện trở kháng phụ thuộc vào độ lớn, chiều phân cực khoảng thời gian điện đặt lên Chức điện trở nhớ ghi nhớ lịch sử thân, điện trở nhớ hoạt động giống khớp thần kinh, MRNNs hoạt động giống mạng lưới nơron thần kinh Mạng lưới nơron có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác tái tạo hình ảnh chuyển động, xử lý tín hiệu, nhận dạng mẫu vấn đề tối ưu hóa Tuy nhiên, thời gian trễ mạng lưới nơron tránh gây bất ổn định mạng lưới nơron, nên nghiên cứu gần tập trung nghiên cứu điều kiện ổn định mạng lưới nơron với trễ khác Tính ổn định điểm cân mạng lưới nơron nghiên cứu cách sử dụng lý thuyết ổn định Lyapunov, định lý ánh xạ đồng phôi, lý thuyết ma trận, Tuy nhiên, tính ổn định lại gắn liền với lý thuyết thụ động toán động lực Lý thuyết thụ động lượng cung cấp từ nguồn bên lớn lượng tiêu hao hệ động lực tính chất thụ động hệ thống giữ lại cho hệ thống ổn định nội Do đó, lý thuyết thụ động đóng vai trò quan trọng phân tích tính ổn định hệ động lực thu hút nhiều quan tâm nhà điều khiển Ngoài số trễ quen thuộc trễ rời rạc hay trễ phân phối, loại khác trễ rời rạc trễ rò rỉ hay trễ " quên " Thời gian trễ rò rỉ có tác động lớn lên tính chất động lực mạng lưới nơron khó để xử lý thời gian trễ số hạng phản hồi tiêu cực có xu hướng gây ổn định cho hệ thống Gần đây, số nhà khoa học nghiên cứu hệ với trễ rò rỉ, nhiên nghiên cứu tác giả xét trường hợp đặc biệt, chẳng hạn vấn đề phân tích tính thụ động nghiên cứu cho mạng lưới nơron trung tính với tham số nhảy Markov thời gian trễ rò rỉ tác giả P Balasubramaniam, G Nagamani R Rakkiyappan nghiên cứu công trình [2] Trong báo [12] tác giả C Zeng, Y Wang Z Wang giải ổn định tiệm cận toàn cục mạng lưới nơron mờ với trễ rò rỉ hằng, trễ biến thiên trễ phân phối liên tục nhiễu loạn xung Thực tế, trạng thái tương lai hệ thống động lực không phụ thuộc vào trạng thái mà phụ thuộc vào trạng thái khứ Vì vậy, trễ rò rỉ có liên quan chặt chẽ đến trạng thái tương lai, nên phải xem xét mạng lưới noron với trễ rò rỉ biến thiên Trong [5] L Duan L Huang, mạng lưới nơron BAM (Cohen - Grossberg bidirectional association memory) mờ với trễ phân phối trễ rò rỉ biến thiên nghiên cứu Hơn nữa, [3] tác giả nghiên cứu tính ổn định phụ thuộc trễ cho mạng lưới nơron rời rạc với trễ rò rỉ biến thiên cách chia khoảng trễ thành bội khoảng có độ dài Vì vậy, luận văn chọn vấn đề nghiên cứu tính thụ động (được dịch từ từ passivity tiếng anh) cho mạng lưới MRNNs không chứa trễ rời rạc biến thiên mà chứa trễ rò rỉ biến thiên Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn khai thác phương pháp để đạt tiêu chuẩn thụ động giảm tính bảo thủ cho mạng lưới MRNNs mà bao gồm trễ rời rạc biến thiên trễ rò rỉ biến thiên Cụ thể, nghiên cứu tính thụ động lớp MRNNs sau: n x˙i (t) = − c˘i (xi (t))xi (t − δi (t)) + a ˘ij (xi (t))fj (xj (t)) j=1 n ˘bij (xi (t))fj (xj (t − τj (t))) + ui (t), + t ≥ 0, i = 1, 2, , n, j=1 yi (t) = fi (xi (t)), xi (t) = φi (t), t ≥ 0, t ∈ [−ρ, 0], i = 1, 2, , n, ρ = max{δ2 , τ2 } Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tiêu chuẩn thụ động cho mạng lưới MRNNs sở báo " Improved passivity criteria for memristive neural networks with interval multiple timevarying delays" tác giả Jiang Xiao, Shouming Zhong Yongtao Li [8] Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Các lớp MRNNs với trễ rời rạc biến thiên trễ rò rỉ biến thiên • Phạm vi nghiên cứu : MRNNs với trễ rời rạc biến thiên trễ rò rỉ biến thiên thỏa mãn điều kiện ràng buộc Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov - Krasovskii, cách tiếp cận lồi thuận nghịch bậc bổ đề cận Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này, đưa khái niệm liên quan, giới thiệu mạng lưới MRNNs bổ đề áp dụng cho phần nội dung Chương 2: Tiêu chuẩn thụ động cho mạng lưới MRNNs với đa trễ biến thiên Trong chương đưa định lý tiêu chuẩn thụ động cho mạng lưới MRNNs với đa trễ biến thiên trường hợp có trễ rời rạc biến thiên MỘT SỐ KÍ HIỆU R+ Tập tất số thực không âm Rn Không gian Euclide n−chiều với tích vô hướng x, y = xT y chuẩn vectơ x = ( Rn×r Tập hợp ma trận kích thước n × r AT Ma trận chuyển vị ma trận A I Ma trận đơn vị A>0 Ma trận A xác định dương, tức n 12 i=1 xi ) < Ax, x >> 0, ∀x ∈ Rn , x = A≥0 Ma trận A nửa xác định dương, tức < Ax, x >≥ 0, ∀x ∈ Rn A>B Ma trận A − B xác định dương S+ n Tập ma trận đối xứng xác định dương n × n chiều C([a, b], Rn ) Tập hàm liên tục [a, b] với chuẩn x = supt∈[a,b] x(t) LM Is Bất đẳng thức ma trận tuyến tính A⊗B Tích Kronecker ma trận A B ∗ Khối đối xứng ma trận đối xứng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương dành cho việc trình bày số kiến thức cần thiết cho phần luận văn Trong chương này, đưa định nghĩa phương trình vi phân có trễ, phương pháp hàm Lyapunov phương trình vi phân có trễ, giới thiệu mạng lưới MRNNs, số định nghĩa bổ đề áp dụng chứng minh định lý tiêu chuẩn thụ động cho mạng lưới MRNNs với đa trễ biến thiên 1.1 Phương trình vi phân có trễ phương pháp hàm Lyapunov phương trình vi phân có trễ 1.1.1 Phương trình vi phân có trễ Định nghĩa 1.1.1 C([a, b], Rn ) không gian Banach hàm liên tục từ [a, b] đến Rn , giả sử r ≥ số thực cho trước Nếu [a, b] = [−r, 0], ta kí hiệu C = C([−r, 0], Rn ) không gian hàm liên tục [−r, 0] với chuẩn φ = sup |φ(θ)| θ∈[−r,0] Nếu σ ∈ R, A ≥ x ∈ C([σ − r, σ + A], Rn ) với t ∈ [σ, σ + A], ta xác định xt ∈ C xt (θ) = x(t + θ), −r ≤ θ ≤ Giả sử D tập R × C f : D −→ Rn hàm cho trước Khi đó, ta gọi phương trình x(t) ˙ = f (t, xt ) (1.1) phương trình vi phân có trễ 1.1.2.Phương pháp hàm Lyapunov phương trình vi phân có trễ Cũng với hệ trễ, phương pháp hàm Lyapunov cách hiệu để xác định tính ổn định hệ có trễ Khi hệ trễ, việc xác định tính ổn định yêu cầu việc xây dựng hàm Lyapunov V (t, x(t)), việc xem việc đo phân tán x(t) nghiệm tầm thường Trong hệ trễ, ta cần x(t) để xác định chiều hướng phát triển tương lai hệ qua điểm t Trong hệ có trễ, ta cần trạng thái thời điểm t cho mục đích: xác định giá trị x(t) đoạn [t − h, t]( hay xt ) Do đó, cách tự nhiên ta mong muốn rằng, với hệ có trễ, hàm Lyapunov có dạng V (t, xt ) phụ thuộc vào xt Loại hàm gọi hàm Lyapunov - Krasovskii 1.2 Giới thiệu mạng lưới MRNNs số định nghĩa Theo định luật Krichoff, lớp mạng nơron điện trở nhớ lặp tổng quát giới thiệu sau : n x˙i (t) = − c˘i (xi (t))xi (t − δi (t)) + a ˘ij (xi (t))fj (xj (t)) j=1 n ˘bij (xi (t))fj (xj (t − τj (t))) + ui (t), t ≥ 0, + i = 1, 2, , n, (1.2) j=1 yi (t) = fi (xi (t)), xi (t) = φi (t), t ≥ 0, i = 1, 2, , n, t ∈ [−ρ, 0], ρ = max{δ2 , τ2 }, xi (t) vectơ trạng thái nơron hệ thống, fi (xi (t)) ∈ Rn hàm hoạt động phi tuyến, ui (t) đầu vào, yi (t) ∈ Rn đầu mạng lưới, τj (t) trễ rời rạc biến thiên, δi (t) trễ rò rỉ biến thiên Hai trễ biến thiên hàm khả vi thỏa mãn điều kiện sau với t ≥ 0, ≤ τ1 ≤ τj (t) ≤ τ2 , τ˙j (t) ≤ µ, ≤ δ1 ≤ δi (t) ≤ δ2 , δ˙i (t) ≤ ν, (1.3) với τ1 , τ2 , δ1 , δ2 , µ, ν số biết i, j = 1, 2, , n Ta định nghĩa τ12 = τ (t) − τ1 τ2 − τ (t) δ(t) − δ1 δ2 − δ(t) τ2 −τ1 , δ12 = δ2 −δ1 , α1 = , α2 = , β1 = , β2 = , τ12 τ12 δ12 δ12 φi (t) điều kiện ban đầu hàm bị chặn, khả vi liên tục [−ρ, 0], c˘i mô tả tốc độ mà nơron quay lại trạng thái nghỉ ngơi cô lập bị ngắt kết nối từ hệ thống đầu vào bên ngoài, a ˘ij ˘bij phần tử ma trận kết nối ma trận kết nối trễ rời rạc Chúng thỏa mãn điều kiện sau : c˘i (xi (t)) =  cˆi , |xi (t)| ≤ Gi cˇ , |xi (t)| > Gi , i a ˘ij (xi (t)) =  aˆij , |xi (t)| ≤ Gi aˇ , |x (t)| > G , ij i i  ˆbij , |xi (t)| ≤ Gi ˘bij (xi (t)) = ˇb , |x (t)| > G , ij i i a ˆij , a ˇij , ˆbij , ˇbij , cˆi , cˇi (i, j = 1, 2, , n) số biết Từ mô tả phía trên, mạng nơron nghiên cứu mạng nơron lặp chuyển mạch phụ thuộc trạng thái mà trọng lượng kết nối thay đổi trạng thái chúng thay đổi Để chuyển mạng lưới nơron phụ thuộc trạng thái sang dạng thuận tiện hơn, ta đưa định nghĩa sau Định nghĩa 1.2.1 ([1]) Cho F ⊆ Rn , ánh xạ G : F −→ Rn , x −→ G(x) gọi ánh xạ đa trị G(x) khác rỗng G(x) ⊆ Rn với x ∈ F ⊆ Rn Định nghĩa 1.2.2 ([1]) Cho G ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng G gọi nửa liên tục x0 ∈ F ⊆ Rn với tập mở H chứa G(x0 ), tồn lân cận N x0 cho G(N ) ⊆ H G gọi có ảnh đóng (lồi, compact) G(x) đóng (lồi, compact) với x ∈ F dx = g(t, x), g(t, x) hàm không dt liên tục theo x Ánh xạ đa trị g(t, x) định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.3 ([6]) Cho hệ vi phân G(t, x) = co[g(t, B(x, )\H)], >0 µ(H)=0 B(x, ) = {y : y − x ≤ } hình cầu tâm x, bán kính Giao thực tất tập H có độ đo 0, với > µ(H) độ đo Lebesgue tập H dx = g(t, x) với giá trị ban đầu dt x(0) = x0 liên tục tuyệt đối đoạn [t1 , t2 ] ⊆ [0, T ], mà thỏa mãn Định nghĩa 1.2.4 ([6]) Nghiệm Filippov hệ − α1 − α22 ≤ − = − −τ1 −τ1 t+β t+β T x˙ (s)dsdβS6 −τ (t) t−τ (t) −τ (t) t+β −τ (t) t−τ (t) −τ (t) t+β x˙ T (s)dsdβ x˙ T (s)dsdβS6 −τ2 −τ2 t−τ2 t+β T −τ1 x˙ (s)dsdβ −τ (t) t−τ1 −τ (t) t+β T x˙ (s)dsdβ −τ2 t−τ2 t+β −τ1 x(s)dsdβ ˙ −τ (t) t−τ1 −τ (t) t+β x(s)dsdβ ˙ −τ2 t−τ2 t−τ2 T S6 −T3 − T4 −T3T − T4T S6 T t−τ1 T (s)ds − (τ (t) − τ )xT (t − τ ) x 1 t−τ (t) t−τ (t) T x (s)ds − (τ2 − τ (t))xT (t − τ2 ) t−τ2 S6 −T3 − T4 −T3T − T4T S6 t−τ1 x(s)ds − (τ (t) − τ1 )x(t − τ1 ) t−τ (t) t−τ (t) x(s)ds − (τ2 − τ (t))x(t − τ2 ) t−τ2 = − ξ T (t)(e10 − (τ (t) − τ1 )e4 , e11 − (τ2 − τ (t))e5 ) S6 −T3 − T4 −T3T − T4T S6 (e10 − (τ (t) − τ1 )e4 , e11 − (τ2 − τ (t))e5 )T ξ(t) = ξ T (t)Ξ18 ξ(t), − β1 − β22 ≤ − = − −δ1 (2.23) −δ1 t−δ1 t−δ1 T x˙ (s)dsdβS7 −δ(t) t+β −δ(t) t−δ(t) x(s)dsdβ ˙ −δ(t) t+β −δ(t) t−δ(t) x˙ T (s)dsdβS7 −δ2 −δ2 t+β −δ1 t−δ1 T x˙ (s)dsdβ −δ(t) t+β −δ(t) t−δ(t) T x˙ (s)dsdβ −δ2 t+β −δ1 t−δ1 x(s)dsdβ ˙ −δ(t) t+β −δ(t) t−δ(t) x(s)dsdβ ˙ −δ2 t+β (δ(t) − δ1 )xT (t − δ1 ) − (δ2 − δ(t))xT (t − δ(t)) − (δ(t) − δ1 )x(t − δ1 ) − (δ2 − δ(t))x(t − δ(t)) − x˙ ( s)dsdβ t+β T S7 −T5 − T6 −T5T − T6T S7 T t−δ1 T (s)ds x t−δ(t) t−δ(t) T x (s)ds t−δ2 t−δ1 x(s)ds t−δ(t) t−δ(t) x(s)ds t−δ2 34 S7 −T5 − T6 −T5T − T6T S7 = − ξ T (t)((δ(t) − δ1 )e7 − e13 , (δ2 − δ(t))e6 − e14 ) S7 −T5 − T6 −T5T − T6T S7 ((δ(t) − δ1 )e7 − e13 , (δ2 − δ(t))e6 − e14 )T ξ(t) = ξ T (t)Ξ19 ξ(t), − − β12 β22 ≤− =− −δ1 (2.24) −δ1 t+β t+β x˙ T (s)dsdβS8 −δ(t) t−δ(t) −δ(t) t+β x(s)dsdβ ˙ −δ(t) t−δ(t) −δ(t) t+β x˙ T (s)dsdβS8 −δ2 −δ1 −δ(t) −δ(t) −δ2 −δ1 −δ(t) −δ(t) −δ2 x(s)dsdβ ˙ −δ2 t−δ2 T t+β T (s)dsdβ x ˙ t−δ(t) t+β T x˙ (s)dsdβ t−δ2 t+β x(s)dsdβ ˙ t−δ(t) t+β x(s)dsdβ ˙ t−δ2 t−δ2 S8 −T7 − T8 −T7T − T8T S8 T t−δ1 xT (s)ds − (δ(t) − δ1 )xT (t − δ(t)) t−δ(t) t−δ(t) T x (s)ds − (δ2 − δ(t))xT (t − δ2 ) t−δ2 t−δ1 x(s)ds − (δ(t) − δ1 )x(t − δ(t)) t−δ(t) t−δ(t) x(s)ds − (δ2 − δ(t))x(t − δ2 ) t−δ2 = − ξ T (t)(e13 − (δ(t) − δ1 )e6 , e14 − (δ2 − δ(t))e8 ) S8 −T7 − T8 −T7T − T8T S8 S8 −T7 − T8 −T7T − T8T S8 (e13 − (δ(t) − δ1 )e6 , e14 − (δ2 − δ(t))e8 )T ξ(t) = ξ T (t)Ξ20 ξ(t) (2.25) Ta có Σi = [ei ei+14 ](−Γ ⊗ Li )[eTi = ei ei+14 = ei ei+14 eTi+14 ]T −F3 Li F4 Li F4T Li −Li −F3 Li F4 Li F4T Li −Li T eTi eTi+14 eTi eTi+14 = − ei F3 Li eTi + ei+14 F4T Li eTi + ei F4 Li eTi+14 − ei+14 Li eTi+14 = − ei F3 Li eTi + ei+14 F4 Li eTi + ei F4 Li eTi+14 − ei+14 Li eTi+14 35 Đặt ϑ1 (t) = − xT (t)F3 L1 x(t) + f T (x(t))F4 L1 x(t) + xT (t)F4 L1 f (x(t))− f T (x(t))L1 f (x(t)) = − ξ T (t)(−e1 F3 L1 eT1 + e1 F4 L1 eT15 + e15 F4 L1 eT1 − e15 L1 eT15 )ξ(t) = ξ T (t)Σ1 ξ(t), ϑ2 (t) = − xT (t − τ (t))F3 L2 x(t − τ (t)) + f T (x(t − τ (t)))F4 L2 x(t − τ (t)) + xT (t − τ (t))F4 L2 f (x(t − τ (t))) − f T (x(t − τ (t))L2 f (x(t − τ (t))) = ξ T (t)(−e3 F3 L2 eT3 + e3 F4 L2 eT16 + e16 F4 L2 eT3 − e16 L2 eT16 )ξ(t) = ξ T (t)Σ2 ξ(t), ϑ3 (t) = − xT (t − τ1 )F3 L3 x(t − τ1 ) + f T (x(t − τ1 ))F4 L3 x(t − τ1 ) + xT (t − τ1 )F4 L3 f (x(t − τ1 )) − f T (x(t − τ1 )L3 f (x(t − τ1 )) = ξ T (t)(−e4 F3 L3 eT4 + e4 F4 L3 eT17 + e17 F4 L3 eT4 − e17 L3 eT17 )ξ(t) = ξ T (t)Σ3 ξ(t), ϑ4 (t) = − xT (t − τ2 )F3 L4 x(t − τ2 ) + f T (x(t − τ2 ))F4 L4 x(t − τ2 ) + xT (t − τ2 )F4 L4 f (x(t − τ2 )) − f T (x(t − τ2 )L4 f (x(t − τ2 )) = ξ T (t)(−e5 F3 L4 eT5 + e5 F4 L4 eT18 + e18 F4 L4 eT5 − e18 L4 eT18 )ξ(t) = ξ T (t)Σ4 ξ(t), ϑ5 (t) = − xT (t − δ(t))F3 L5 x(t − δ(t)) + f T (x(t − δ(t)))F4 L5 x(t − δ(t)) + xT (t − δ(t))F4 L5 f (x(t − δ(t))) − f T (x(t − δ(t))L5 f (x(t − δ(t))) = ξ T (t)(−e6 F3 L5 eT6 + e6 F4 L5 eT19 + e19 F4 L5 eT6 − e19 L5 eT19 )ξ(t) = ξ T (t)Σ5 ξ(t), ϑ6 (t) = − xT (t − δ1 )F3 L6 x(t − δ1 ) + f T (x(t − δ1 ))F4 L6 x(t − δ1 ) + xT (t − δ1 )F4 L6 f (x(t − δ1 )) − f T (x(t − δ1 )L6 f (x(t − δ1 )) = ξ T (t)(−e7 F3 L6 eT7 + e7 F4 L6 eT20 + e20 F4 L6 eT7 − e20 L6 eT20 )ξ(t) = ξ T (t)Σ6 ξ(t), 36 ϑ7 (t) = − xT (t − δ2 )F3 L7 x(t − δ2 ) + f T (x(t − δ2 ))F4 L7 x(t − δ2 ) + xT (t − δ2 )F4 L7 f (x(t − δ2 )) − f T (x(t − δ2 )L7 f (x(t − δ2 )) = ξ T (t)(−e8 F3 L7 eT8 + e8 F4 L7 eT21 + e21 F4 L7 eT8 − e21 L7 eT21 )ξ(t) (2.26) = ξ T (t)Σ7 ξ(t) Ta kiểm định theo giả thuyết 1.2.1 ϑi (t) ≥ (i=1,2, ,7) Từ (1.7) ta có −x(t) ˙ − Cx(t − δ(t)) + Af (x(t)) + Bf (x(t − τ (t))) + u(t) = (2.27) Để mở rộng phạm vi áp dụng tiêu chuẩn, đẳng thức sau đưa với ma trận đối xứng X1 X2 = 2(x˙ T (t)X1 + xT (t)X2 )[−x(t) ˙ − Cx(t − δ(t)) + Af (x(t)) + Bf (x(t − τ (t))) + u(t)] = ξ T (t)Ξ21 ξ(t) (2.28) Từ đánh giá phía ta có V˙ (t) = V˙1 (t) + V˙2 (t) + V˙3 (t) + V˙3 (t) + V˙5 (t) ≤ ξ T (t)Ξ1 ξ(t) + ξ T (t)Ξ2 ξ(t) + ξ T (t)Ξ3 ξ(t) τ14 τ14 δ14 δ14 τ14 τ14 δ14 δ14 + x˙ (t)( S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8 ) 4 4 4 4 T x(t) ˙ + ξ (t)(Ξ5 + Ξ6 + Ξ7 + Ξ8 + Ξ9 + Ξ10 + Ξ11 + Ξ12 + Ξ13 T + Ξ14 + Ξ15 + Ξ16 + Ξ17 + Ξ18 + Ξ19 + Ξ20 )ξ(t) 20 T = ξ (t) (2.29) Ξi ξ(t) i=1 Cộng hai vế bất phương trình với −2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t) ta V˙ (t) − 2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t) 20 T Ξi ξ(t) − 2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t) ≤ ξ (t) i=1 20 = ξ T (t) Ξi ξ(t) − 2f T (x(t))u(t) − γuT (t)u(t) i=1 20 = ξ T (t) Ξi ξ(t) + ξ T (t)(−2e15 eT22 − γe22 eT22 )ξ(t) i=1 37 20 Ξi ξ(t) + ξ T (t)Ξ22 ξ(t) T = ξ (t) i=1 20 T T ≤ ξ (t) T ϑi Ξi ξ(t) + ξ (t)Ξ22 ξ(t) + ξ (t)Ξ21 ξ(t) + i=1 i=1 20 T T T T Σi ξ(t) Ξi ξ(t) + ξ (t)Ξ22 ξ(t) + ξ (t)Ξ21 ξ(t) + ξ (t) = ξ (t) i=1 i=1 22 = ξ T (t)( Ξi + i=1 ϑi )ξ(t) i=1 = ξ T (t)Θξ(t) (2.30) Vì Υξ = từ giả thiết (Υ⊥ )T ΘΥ⊥ < 0, áp dụng bổ đề 1.3.4 ta ξ T (t)Θξ(t) < Suy V˙ (t) − 2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t) < (2.31) Với tf ≥ , lấy tích phân theo t từ đến tf (2.31) ta tf [V˙ (t) − 2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t)]dt ≤ 0 tf [−2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t)]dt ≤ V (tf ) − V (0) + Sử dụng điều kiện ban đầu ta tf [−2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t)]dt ≤ −V (tf ) ≤ 0 tf tf T γuT (t)u(t)dt y (t)u(t)dt ≥ − 0 Theo định nghĩa 1.2.5 ta mạng lưới nơron (1.7) thụ động, chứng minh hoàn thành 2.3 Tiêu chuẩn thụ động cho mạng lưới nơron MRNNs với trễ rời rạc biến thiên Nếu mạng lưới nơron (1.7) trễ rò rỉ biến thiên trễ rời rạc biến thiên, tức τ1 = δ1 = Chúng ta dễ dàng đưa tiêu chuẩn thụ động cho mạng 38 lưới nơron (1.7) Dưới ví dụ Giả sử trễ rò rỉ biến thiên, mạng lưới nơron (1.7) trở thành : x(t) ˙ = − Cx(t) + Af (x(t)) + Bf (x(t − τ (t))) + u(t), (2.32) y(t) = f (x(t)), t ∈ [−τ2 , 0] x(t) = φ(t), Giống vấn đề thảo luận định lý 2.2.1, đưa tiêu chuẩn thụ động cho mạng lưới nơron (2.32) Đây kết đưa hệ 2.3.1 Ta đưa số kí hiệu sau : eTi = [0n×(i−1)n In 0n×(13−i)n ] (i = 1, 2, , 13), F1 = diag{F1− , , Fn− }, F2 = diag{F1+ , , Fn+ }, F3 = diag{F1− × F1+ , , Fn− × Fn+ }, F4 = diag{ Γ= F3 −F4 ∗ ¯ = [−C Υ , − In In F1− + F1+ F − + Fn+ , , n }, 2 07n×n A B 02n×n In ], t ξ¯T (t) = [xT (t) x˙ T (t) xT (t − τ (t)) xT (t − τ1 ) xT (t − τ2 ) xT (t)ds t−τ1 t−τ1 t−τ (t) xT (s)ds f T (x(t)) f T (x(t − τ (t))) f T (x(t − τ1 )) xT (s)ds t−τ (t) t−τ2 T T f (x(t − τ2 )) u (t)], η¯T (t) = ξ¯T (t)[e1 e9 ], ¯ = [e1 G e6 ¯ = [e2 G e7 + e8 ], e1 − e4 e4 − e5 ], ¯ = sym(G ¯ 1P G ¯T ) = G ¯ 1P G ¯T + G ¯ 2P G ¯T , Ξ 2 ¯ = [e1 Ξ [e5 e9 ](Q1 + Q5 )[e1 e12 ]T − (1 − µ)[e3 e9 ]T + [e4 e11 ](Q2 − Q1 )[e4 e10 ]Q5 [e3 e11 ]T − [e5 e12 ]Q2 e10 ]T + sym((e9 − F1 e1 )DeT2 ) + sym((F2 e1 − e9 )ΛeT2 ), ¯ = e1 (τ R2 + τ R5 )eT , Ξ 12 ¯ = e2 (τ R1 + τ R5 + τ1 S1 + Ξ 12 ¯ = − (e1 − e4 )R1 (e1 − e4 )T , Ξ τ14 τ4 τ4 S2 + 12 S5 + 12 S6 )eT2 , 4 T ¯ = −e6 R2 e , Ξ ¯ = − (τ1 e1 − e6 )S1 (τ1 e1 − e6 )T , Ξ ¯ = −(−τ1 e4 + e6 )S2 (−τ1 e4 + e6 )T , Ξ 39 ¯ = − (e4 − e3 , e3 − e5 ) R5 W3 (e4 − e3 , e3 − e5 )T , Ξ ∗ R5 ¯ 10 = − (e10 , e11 ) R6 W1 (e10 , e11 )T , Ξ ∗ R6 ¯ 11 = − ((τ (t) − τ1 )e4 − e7 , (τ2 − τ (t))e3 − e8 ) S5 −T1 − T2 Ξ ∗ S5 ((τ (t) − τ1 )e4 − e7 , (τ2 − τ (t))e3 − e8 )T , ¯ 12 = − (e7 − (τ (t) − τ1 )e4 , e8 − (τ2 − τ( t))e5 ) S6 T3 + T4 Ξ ∗ S6 (e7 − (τ (t) − τ1 )e4 , e8 − (τ2 − τ( t))e5 )T , ¯ 13 = 2(e1 X1 + e2 X2 )[−x(t) Ξ ˙ + Af (x(t)) + Bf (x(t − τ (t))) + u(t)], ¯ 14 = − 2e9 eT − e13 γIeT , Ξ 13 13 ¯ i = [ei Σ ei+8 ](−Γ ⊗ Li )[eTi 14 ¯ = Θ (i = 1, 2, 3, 4), ¯i + Ξ i=1 eTi+8 ]T ¯ i Σ i=1 Hệ 2.3.1 Cho số ≤ τ1 ≤ τ2 ,dưới giả thuyết 1.2.1, mạng lưới nơron (2.32) thụ động với ≤ τ1 ≤ τ2 , τ˙ (t) ≤ µ, tồn ma trận chéo dương D = diag{d1 , d2 , , dn }, Λ = diag{λ1 , λ2 , , λn }, Li = diag{li1 , li2 , , lin }(i = 1, 2, 3, 4), ma trận xác định dương P = [Pij ]3n×3n ∈ R3n×3n , Qi ∈ R2n×2n (i = 1, 2, 5), Ri ∈ Rn×n (i = 1, 2, 5, 6), Si ∈ Rn×n (i = 1, 2, 5, 6) ma trận Wi ∈ Rn×n (i = 1, 3), Ti ∈ Rn×n (i = 1, 2, 3, 4) γ > với R6 W1 ¯ ⊥ )T Θ( ¯ Υ) ¯ ⊥ < cho bất đẳng thức ma trận sau xảy : Φ1 = ≥ 0, ((Υ) ∗ R6 ψ1 = S R5 + τ12 W3 ∗ S R5 + τ12  2S5 T1 S5 T2  ∗ 2S5 ∗ ∗ ∗ 40 (2.33)    ∗ Ω1 =   ∗    > 0,  0 S5 ≥ 0, (2.34)  2S6  T3   ∗ Ω2 =   ∗  S6 T4  ∗ 2S6 ∗ ∗ ∗   >  0 (2.35) S6 Chứng minh Xét hàm Lyapunov-Krasovskii sau: V (t) = V1 (t) + V2 (t) + V3 (t) + V4 (t) + V5 (t), (2.36)  T x(t) +2 x(t)  t   t x(s)ds   P  t−τ1 x(s)ds  t−τ1 t−τ1 t−τ1 x(s)ds x(s)ds t−τ2 t−τ2 t t−τ1 t T T η (s)Q2 η(s)ds + η T (s)Q5 η(s)ds η (s)Q1 η(s)ds + t−τ (t) t−τ2 t−τ1 n n xi (t) xi (t) di [fi (s) − Fi− s]ds + λi [Fi+ s − fi (s)]ds, 0 i=1 i=1   V1 (t) =   V2 (t) =    t V3 (t) = τ1 V5 (t) = + 2 τ12 2 τ12 −τ1 t+β −τ1 t x˙ T (s)R5 x(s)dsdβ ˙ + τ12 + τ12 V4 (t) = xT (s)R2 x(s)dsdβ x˙ (s)R1 x(s)dsdβ ˙ + τ1 −τ1 t+β −τ1 t τ12 t T −τ2 t+β t T x˙ (s)S1 x(s)dsdβdγ ˙ + −τ1 γ −τ1 t+β −τ1 xT (s)R6 x(s)dsdβ, −τ2 τ12 t+β γ t x˙ T (s)S2 x(s)dsdβdγ, ˙ −τ1 −τ1 t+β t x˙ T (s)S5 x(s)dsdβdγ ˙ −τ2 −τ1 γ γ t+β t x˙ T (s)S6 x(s)dsdβdγ ˙ −τ2 −τ2 t+β Đầu tiên, ta lấy đạo hàm theo thời gian hàm V(t) Ta có V˙ (t) = V˙1 (t) + V˙2 (t) + V˙3 (t) + V˙4 (t) + V˙5 (t) 41 (2.37) Ta tính đạo hàm theo thời gian hàm V1 (t), V2 (t), V3 (t), V4 (t) V5 (t) Sử dụng kết chứng minh định lý 2.2.1 ta có  T x(t) t x(s)ds   t−τ1 t−τ1 x(s)ds t−τ2  V˙1 (t) =   x(t) ˙ (2.38) x(t − τ1 ) − x(t − τ2 ) e9 ](Q1 + Q5 )[e1 − ξ¯T (t)[e5    ¯ ¯ ξ(t),  = ξ¯T (t)Ξ P x(t) − x(t − τ )    V˙ (t) ≤ ξ¯T (t)[e1  ¯ + ξ¯T (t)[e4 e9 ]T ξ(t) e11 ](Q2 − Q1 )[e4 ¯ − (1 − µ)ξ¯T (t)[e3 e12 ]T ξ(t) e12 ]Q2 [e5 e10 ]Q5 [e3 ¯ e11 ]T ξ(t) e10 ]T ξ(t) + ξ(t)T ¯ + ξ(t) ¯ T sym(e9 − F1 e1 )DeT )ξ(t) ¯ + sym(F2 e1 − e9 )ΛeT2 )ξ(t) ¯ ¯ ξ(t), = ξ¯T (t)Ξ (2.39) ¯ ¯ ξ(t) + xT (t)(τ12 R2 + τ12 ¯5 + Ξ ¯ ξ(t) V˙3 (t) ≤ ξ¯T (t)Ξ R6 )x(t) + ξ¯T (t)Ξ − α1 − α1 t−τ1 t−τ1 T x˙ (s)dsR5 t−τ (t) t−τ1 t−τ1 xT (s)dsR6 t−τ (t) x(s)ds − t−τ (t) t−τ (t) t−τ (t) x(s)ds ˙ − α2 t−τ (t) T x(s)ds ˙ x˙ (s)dsR5 t−τ2 t−τ (t) t−τ2 t−τ (t) α2 xT (s)dsR6 x(s)ds, t−τ2 t−τ2 (2.40) V˙4 (t) ≤ x˙ T (t)( τ14 S1 + τ14 S2 )x(t) ˙ t t T T x (s)ds)S2 (−τ1 x(t − τ1 ) + − (−τ1 x (t − τ1 ) + t t − (τ1 xT (t) − xT (s)ds)S1 (τ1 x(t) − τ14 τ4 ¯ ¯7 + Ξ ¯ )ξ(t), S1 + S2 )x(t) ˙ + ξ¯T (t)(Ξ 4 τ4 τ4 τ α2 V˙ (t) ≤ x˙ T (t)( S5 + S6 )x(t) ˙ − 12 4 α1 − − − τ12 α1 α2 α12 α22 − α1 x(s)ds) t−τ1 t−τ1 = x˙ T (t)( x(s)ds) t−τ1 t−τ1 t−τ (t) t−τ1 x˙ T (s)dsS5 t−τ (t) t−τ2 x(s)ds ˙ t−τ2 −τ1 t−τ1 t−τ1 x˙ T (s)dsdβS5 −τ (t) t+β t−τ (t) T x(s)dsdβ ˙ −τ (t) t+β −τ (t) t−τ (t) x˙ ( s)dsdβ x˙ (s)dsdβS5 t+β −τ1 −τ2 t+β t+β −τ1 t+β T x˙ (s)dsdβS6 −τ (t) t−τ (t) x(s)dsdβ ˙ −τ (t) 42 x(s)ds ˙ t−τ (t) t−τ (t) x˙ T (s)dsS6 −τ1 t−τ1 (2.41) t−τ (t) −τ (t) − α2 −τ (t) t+β t+β T x˙ ( s)dsdβ x˙ (s)dsdβS6 −τ2 −τ2 t−τ2 t−τ2 (2.42) Ta có − α1 t−τ1 t−τ1 T x (s)dsR6 t−τ (t) ≤ − ξ¯T (t)(e10 , e11 ) − − α1 R6 W1 W1T R6 t−τ1 α1 x (s)dsR6 t−τ2 x(s)ds t−τ2 (2.43) t−τ (t) t−τ1 x˙ T (s)dsS5 x(s)ds ˙ − t−τ (t) ≤ − ξ¯T (t)(e4 − e3 , e3 − e5 ) R5 W3 W3T R5 t−τ (t) t−τ (t) α2 x(s)ds ˙ − t−τ (t) t−τ (t) T ¯ = ξ¯T (t)Ξ ¯ ¯ 10 ξ(t), (e10 , e11 )T ξ(t) t−τ1 x˙ T (s)dsR5 t−τ (t) t−τ1 τ12 α2 t−τ (t) x(s)ds − α2 t−τ (t) x˙ T (s)dsR5 τ12 α1 α2 x(s)ds ˙ t−τ2 t−τ2 t−τ (t) t−τ (t) x˙ T (s)dsS6 t−τ2 x(s)ds ˙ t−τ2 ¯ = ξ¯T (t)Ξ ¯ ¯ ξ(t), (e4 − e3 , e3 − e5 )T ξ(t) (2.44) − − α12 α22 −τ1 −τ1 t−τ1 t−τ1 x˙ T (s)dsdβS5 −τ (t) t+β t−τ (t) T x(s)dsdβ ˙ −τ (t) t+β t−τ (t) −τ (t) x˙ ( s)dsdβ x˙ (s)dsdβS5 −τ2 t+β t+β ¯ ≤ ξ¯T (t)Ξ11 ξ(t), (2.45) − − α12 α22 −τ1 −τ1 t+β t+β x˙ T (s)dsdβS6 x(s)dsdβ ˙ −τ (t) t−τ (t) −τ (t) t+β −τ (t) t−τ (t) −τ (t) t+β x˙ T (s)dsdβS6 −τ2 t−τ2 x˙ ( s)dsdβ −τ2 t−τ2 ¯ ≤ ξ¯T (t)Ξ12 ξ(t) (2.46) Ta có ¯ i = [ei Σ ei+14 ](−Γ ⊗ Li )[eTi eTi+14 ]T = − ei F3 Li eTi + ei+14 F4 Li eTi + ei F4 Li eTi+14 − ei+14 Li eTi+14 43 Đặt ϑ¯1 (t) = − xT (t)F3 L1 x(t) + f T (x(t))F4 L1 x(t) + xT (t)F4 L1 f (x(t)) − f T (x(t))L1 f (x(t)) ¯ ¯ ξ(t), = ξ¯T (t)Σ ϑ¯2 (t) = − xT (t − τ (t))F3 L2 x(t − τ (t)) + f T (x(t − τ (t)))F4 L2 x(t − τ (t)) + xT (t − τ (t))F4 L2 f (x(t − τ (t))) − f T (x(t − τ (t))L2 f (x(t − τ (t))) ¯ ¯ ξ(t), = ξ¯T (t)Σ ϑ¯3 (t) = − xT (t − τ1 )F3 L3 x(t − τ1 ) + f T (x(t − τ1 ))F4 L3 x(t − τ1 ) + xT (t − τ1 )F4 L3 f (x(t − τ1 )) − f T (x(t − τ1 )L3 f (x(t − τ1 )) ¯ ¯ ξ(t), = ξ¯T (t)Σ ϑ¯4 (t) = − xT (t − τ2 )F3 L4 x(t − τ2 ) + f T (x(t − τ2 ))F4 L4 x(t − τ2 ) + xT (t − τ2 )F4 L4 f (x(t − τ2 )) − f T (x(t − τ2 )L4 f (x(t − τ2 )) ¯ ¯ ξ(t) = ξ¯T (t)Σ Từ (2.32) ta có −x(t) ˙ + Af (x(t)) + Bf (x(t − τ (t))) + u(t) = (2.47) Để mở rộng phạm vi áp dụng tiêu chuẩn, đẳng thức sau đưa với ma trận đối xứng X1 X2 = 2(x˙ T (t)X1 + xT (t)X2 )[−x(t) ˙ + Af (x(t)) ¯ 13 ξ(t) + Bf (x(t − τ (t))) + u(t)] = ξ (t)Ξ T (2.48) Từ đánh giá phía ta có V˙ (t) = V˙1 (t) + V˙2 (t) + V˙3 (t) + V˙3 (t) + V˙5 (t) ¯ + ξ¯T (t)Ξ ¯ + ξ¯T (t)Ξ ¯ + ξ¯T Ξ ¯ ξ¯ ¯ ξ(t) ¯ ξ(t) ¯ ξ(t) ≤ ξ¯T (t)Ξ ¯ ¯5 + Ξ ¯6 + Ξ ¯7 + Ξ ¯8 + Ξ ¯9 + Ξ ¯ 10 + Ξ ¯ 11 + Ξ ¯ 12 )ξ(t) + ξ¯T (t)(Ξ 12 = ξ¯T (t) ¯ ¯ i ξ(t) Ξ (2.49) i=1 Cộng hai vế bất phương trình với −2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t) ta 44 V˙ (t) − 2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t) 12 ¯ − 2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t) ¯ i ξ(t) Ξ ≤ ξ¯T (t) i=1 12 ¯ + ξ¯T (t)Ξ ¯ + ξ¯T (t)Ξ ¯ + ¯ i ξ(t) ¯ 14 ξ(t) ¯ 13 ξ(t) Ξ ≤ ξ¯T (t) i=1 12 i=1 ϑ¯i ¯ + ξ¯T (t)Ξ ¯ + ξ T (t)Ξ ¯ + ξ¯T (t) ¯ i ξ(t) ¯ 13 ξ(t) ¯ 14 ξ(t) Ξ = ξ¯T (t) i=1 14 ¯ ¯ i ξ(t) Σ i=1 = ξ¯T (t)( ¯ ¯ i )ξ(t) Σ ¯i + Ξ i=1 i=1 ¯ ¯ ξ(t) = ξ¯T (t)Θ (2.50) ¯ < ¯ ξ¯ = từ giả thiết (Υ ¯ ⊥ )T Θ ¯Υ ¯ ⊥ < 0, áp dụng bổ đề 1.3.4 ta ξ¯T (t)Θ ¯ ξ(t) Vì Υ Suy V˙ (t) − 2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t) < (2.51) với tf ≥ lấy tích phân theo t từ đến tf (2.51) ta tf [V˙ (t) − 2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t)]dt ≤ 0 tf [−2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t)]dt ≤ V (tf ) − V (0) + Sử dụng điều kiện ban đầu ta tf [−2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t)]dt ≤ −V (tf ) ≤ 0 tf tf T γuT (t)u(t)dt y (t)u(t)dt ≥ − 0 Theo định nghĩa 1.2.5 ta mạng lưới nơron (2.32) thụ động, chứng minh hoàn thành 45 KẾT LUẬN CHUNG Luận văn đạt kết sau: • Tiêu chuẩn thụ động thiết lập cho mạng lưới MRNNs với không trễ rời rạc biến thiên mà trễ rò rỉ biến thiên • Bằng việc sử dụng hàm Lyapunov - Krasovski với số hạng tích phân ba lớp, bổ đề cận dưới, nguyên lý lồi thuận nghịch bậc hai đẳng thức 0, tiêu chuẩn giảm để ứng dụng cho không MRNNs với trễ rời rạc biến thiên mà cho MRNNs với đa trễ biến thiên 46 Tài liệu tham khảo [1] Aubin J., Frankowska H.,(2009) "Set-valued analysis", Springer (2009) [2] Balasubramaniam P., Nagamani G., Rakkiyappan R.,(2011), "Passivity analysis for neural networks of neutral type with Markovian jumping parameters and time delay in the leakage term", Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 16 (2011), pp 4422-4437 [3] Banua L., Balasubramaniam P., Ratnavelu K.,(2015) "Robust stability analysis for discrete-time uncertain neural networks with leakage time-varying delay", Neurocomputing 151 ( 2015), pp 808-816 [4] Chua L O.,(1971) " Memristor the missing circuit element", IEEE Transactions on Circuit Theory, 18(1971), pp 507-519 [5] Duan L., Huang L.,(2013), "Global exponential stability of fuzzy BAM neural networks with distributed delays and time – varying delays in the leakage terms", Neural Comput Appl 23 (2013), pp 171-178 [6] Fillippov A.,(1988), Differential equations with discontinuous right hand sides, Boston, MA: Kluwer Academic Publisher (1988) [7] Gu K., Kharitonov V L., Chen J.,(2003), "Stability of time-delay systems", Boston: Birkhuser [8] Jiang Xiao, Shouming Zhong, Yongtao Li, (2015), " Improved passivity criteria for memristive neural networks with interval multiple time-varying delays", Neurocomputing, http://dx.doi.org/10.1016/j.neucom.2015.07.075 [9] Oliveira de, M.C, Skelton R E.,(2001), "Stability Test for Constrained Linear Systems" , Springer, Berlin, 2001, pp 241-257 47 [10] Sakthivel R., Vadivel P., Mathiyalagan K., Arunkumar A., Sivachitra M.,(2015) "Design of state estimator for bidirectional associative memory neural networks with leakage delays", Information Sciences 296 (2015), pp 263-274 [11] Seuret A., Gouaisbaut F., Fridman E.,(2013), "Stability of systems with fast varying delay using improved Wirtinger’s inequality", IEEI Conference on Decision and Control, Flounce, Italy, pp 946-951 [12] Zeng C., Wang Y., Wang Z.,(2014), "Global stability of fuzzy cellular neural networks with mixed delays and leakage delay under impulsive perturbation", Circuits Syst Signal Process 33 (2014), pp 1067-1094 48 [...]... −F4 Li −F4T Li In Li , Σi Ξi + i=1 2.2 F3 Li 7 22 Θ= (i = 1, 2, , 7), với Γ ⊗ Li = i=1 Định lý về tiêu chuẩn thụ động cho mạng lưới MRNNs với đa trễ biến thiên Sau đây, tôi đưa ra định lý về tiêu chuẩn thụ động cho MRNNs như sau : Định lí 2.2.1 Cho 0 ≤ τ1 ≤ τ2 , 0 ≤ δ1 ≤ δ2 , bởi giả thuyết 1.2.1, mạng lưới ˙ nơron (1.7) là thụ động với 0 ≤ τ1 ≤ τ2 , τ˙ (t) ≤ µ, 0 ≤ δ1 ≤ δ2 , δ(t) ≤ µ, nếu tồn tại các... khẳng định sau tương đương (i) ξ T Φξ < 0, ∀ ξ = 0, Υξ = 0, (ii) (Υ⊥ )T ΦΥ⊥ < 0 10 Chương 2 TIÊU CHUẨN THỤ ĐỘNG CHO MẠNG LƯỚI MRNNs VỚI ĐA TRỄ BIẾN THIÊN 2.1 Một số kí hiệu Chương này là nội dung chính của luận văn Tôi trình bày định lý về tiêu chuẩn thụ động mới cho MRNNs Trước tiên, tôi đưa ra một số kí hiệu như sau : eTi = [0n×(i−1)n In 0n×(22−i)n ] (i = 1, 2, , 22), F1 = diag{F1− , , Fn− }, F2... văn này, giả sử hàm hoạt động nơron thỏa mãn giả thuyết sau Giả thuyết 1.2.1 Hàm hoạt động nơron f (x(t)) thỏa mãn Fj− ≤ fj (a) − fj (b) ≤ Fj+ , a−b j = 1, 2, , n, (1.8) ở đó fj (0) = 0 với mọi a, b ∈ R, a = b, Fj− và Fj+ là những hằng số đã biết Sau đây chúng tôi đưa ra định nghĩa về tính thụ động cho mạng lưới nơron (1.7) Định nghĩa 1.2.5 Mạng lưới nơron (1.7) được gọi là thụ động nếu tồn tại γ > 0... (1.9) 0 với mọi tf ≥ 0 và điều kiện ban đầu bằng 0 Định nghĩa 1.2.6 Cho Φ1 , Φ2 , , ΦN : Rm −→ R là hàm thực xác định có giá trị dương trên một tập con mở D của Rm Khi đó, tổ hợp lồi thuận nghịch bậc 2 của những hàm trên trên tập D là một hàm có dạng 1 1 1 Φ + Φ + + ΦN : D −→ R, 1 2 2 α12 α22 αN 9 N ở đó αi là các số thực thỏa mãn αi > 0 và αi = 1 i=1 1.3 Một số bổ đề áp dụng n Bổ đề 1.3.1 ([7]) Với. .. x˙ T (s)S6 x(s)dsdβdγ ˙ −τ2 −δ1 −τ2 t+β t −δ1 x˙ T (s)S7 x(s)dsdβdγ ˙ −δ2 −δ1 γ γ t+β t x˙ T (s)S8 x(s)dsdβdγ ˙ −δ2 −δ2 t+β Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm V(t) Ta có V˙ (t) = V˙1 (t) + V˙2 (t) + V˙3 (t) + V˙4 (t) + V˙5 (t) (2.8) Ta tính đạo hàm theo thời gian của các hàm V1 (t), V2 (t), V3 (t), V4 (t) và V5 (t) Ta có 15      ˙ V1 (t) = 2     T x(t)  t  x(s)ds  t−τ1  t−τ1 x(s)ds t−τ2...x(0) = x0 và bao hàm thức vi phân dx ∈ G(t, x), với mọi t ∈ [0, T ] dt Đầu tiên, sử dụng lý thuyết bao hàm thức vi phân và ánh xạ đa trị, từ (1.2) ta được n co{ˆ aij , a ˇij }fj (xj (t)) x˙i (t) ∈ − co{ˆ ci , cˇi }xi (t − δi (t)) + j=1 n co{ˆbij , ˇbij }fj (xj (t − τj (t))) + ui (t), t ≥ 0,... ˇbij }, ¯bij = max {ˆbij , ˇbij }, với mọi i, j = 1, 2, , n Từ (1.4) tồn tại ci ∈ [ci , c¯i , ], aij ∈ [aij , a ¯ij ] và bij ∈ [bij , ¯bij ] sao cho n x˙i (t) = − ci xi (t − δi (t)) + aij fj (xj (t)) j=1 n bij fj (xj (t − τj (t))) + ui (t), t ≥ 0, + i = 1, 2, , n, (1.5) j=1 t ≥ 0, yi (t) = fi (xi (t)), t ∈ [−ρ, 0], xi (t) = φi (t), i = 1, 2, , n, ρ = max{δ2 , τ2 } Một nghiệm x(t) = [x1 (t), x2 (t),... (1.10) a n Bổ đề 1.3.2 ([7]) Với ma trận cho trước R ∈ S+ n và hàm ϕ ∈ P C([a, b], R ), bất đẳng thức sau đúng b s ϕT (u)Rϕ(s)duds ≥ a a 2 (b − a)2 b s b s ϕT (u)dudsR a a ϕ(u)duds a (1.11) a + n×m Bổ đề 1.3.3 ([11]) Cho ma trận M1 ∈ S+ n , M2 ∈ Sm , nếu tồn tại ma trận X ∈ R M1 X sao cho ≥ 0 thì bất đẳng thức sau xảy ra X T M2  1 M1 0 M1 X ≥ α (1.12) 1 X T M2 0 M2 1−α xảy ra với mọi α ∈ (0, 1) Bổ đề... = 1, 2, , n, (1.5) j=1 t ≥ 0, yi (t) = fi (xi (t)), t ∈ [−ρ, 0], xi (t) = φi (t), i = 1, 2, , n, ρ = max{δ2 , τ2 } Một nghiệm x(t) = [x1 (t), x2 (t), , xn (t)]T ∈ Rn (hiểu theo nghĩa nghiệm Filippov) của hệ (1.2) là liên tục tuyệt đối trên bất kì đoạn compact [0, +∞] Để thuận tiện, ta viết (1.2) ở dạng vectơ sau : n ˆ C}x(t ˇ x(t) ˙ ∈ − co{C, − δ(t)) + ˆ A}f ˇ (x(t)) co{A, j=1 n ˆ B}f ˇ (x(t − τ (t)))... η T (t − δ2 )Q4 η(t − δ2 ) − (1 − τ˙ (t)) T ˙ η T (t − τ (t))Q5 η(t − τ (t)) − (1 − δ(t))η (t − δ(t))Q6 η(t − δ(t)) + 2[f (x(t))− F1 x(t)]T Dx(t) ˙ + 2[F2 x(t) − f (x(t))]T Λx(t) ˙ ˙ ≤ ν, khi đó ta có Với giả thiết τ˙ (t) ≤ µ, δ(t) V˙ 2 (t) ≤ η T (t)(Q1 + Q3 + Q5 + Q6 )η(t) + η T (t − τ1 )(Q2 − Q1 )η(t − τ1 ) − η T (t − τ2 )Q2 η(t − τ2 ) + η T (t − δ1 )(Q4 − Q3 )η(t − δ1 ) − η T (t − δ2 )Q4 η(t − δ2