Tính ổn định yếu của một lớp bao hàm thức vi phân cấp phân số với hiệu ứng xung

TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON-TIN QUN TH BCH MAI TNH N NH YU CA MT LP BAO HM THC VI PHN CP PHN S VI HIU NG XUNG Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s 60460102 LUN VN THC S KHOA HC TON HC Ging viờn hng dn : PGS.TS Trn ỡnh K H Ni 10 /2016 Mc lc M u Kin thc chun b 1.1 Cỏc khụng gian hm 1.2 Mt s khỏi nim ca lý thuyt na nhúm 1.3 o khụng compact (MNC) 1.4 nh x nộn v cỏc nh lớ im bt ng 12 1.5 Gii tớch bc phõn s 14 1.5.1 o hm v tớch phõn bc phõn s 14 1.5.2 Cụng thc nghim cho bi toỏn vi phng trỡnh vi phõn bc phõn s 14 Tớnh gii c ton cc 17 2.1 Khụng gian hm v o 17 2.2 S tn ti nghim ton cc 21 Tớnh n nh yu ca im cõn bng 32 3.1 Tớnh n nh yu 32 3.2 p dng 36 Kt lun 42 Ti liu tham kho 43 Li cm n Tỏc gi xin by t lũng cm n ti ton th thy cụ giỏo t Gii tớch, khoa Toỏn Trng i Hc S Phm H Ni ó tn tỡnh dy d v ch bo em cú th hon thnh luõn c bit tỏc gi by t lũng cm n sõu sc nht ti thy giỏo PGS.TS Trn ỡnh K, ngi ó hng dn tn tỡnh quỏ trỡnh thc hiờn lun Tỏc gi xin by t lũng bit n ti Ban giỏm hiờu, Phũng qun lý sau i hc, cỏc thy cụ khoa Toỏn - Trng i Hc S Phm H Ni ó to mi iu kiờn thun li em cú th hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun ca mỡnh Tỏc gi cng xin gi li cm n ti gia ỡnh, bn bố, ngi thõn ó luụn ng viờn, giỳp sut quỏ trỡnh hc tp, giỳp em vt qua mi khú khn v t c kt qu nh ngy hụm Vỡ thi gian v kh nng cú hn, lun khụng trỏnh nhng thiu sút Rt mong nhn c nhng ý kin quý bỏu ca cỏc thy cụ giỏo v bn bố ng nghip lun c hon thin hn H Ni, thỏng 10 nm 2016 Qun Th Bch Mai M u Lý chn ti Xột h vi phõn D0 u(t) Au(t) + F (t, u(t), ut ), t > 0, t = tk , k , (0.1) u(tk ) = Ik (u(tk )), (0.2) u(s) = (s), s [h, 0], (0.3) ú D0 , (0, 1), l o hm cp phõn s loi Caputo, A l toỏn t tuyn tớnh sinh mt C0 -na nhúm trờn mt khụng gian Banach X , u(ã) l hm nhn giỏ tr trờn X , F, Ik v g l cỏc hm phi tuyn H (0.1)-(0.3) l bi toỏn Cauchy tng quỏt vi h vi phõn cp phõn s cha tr hu hn, hiu ng xung (0.2) Cỏc h vi phõn cp phõn s c chng minh l cụng c hu hiu mụ t cỏc quỏ trỡnh din mụi trng fractal, nht n hi Chỳng l i tng nghiờn cu ca nhiu nh toỏn hc ba thp k qua Vi mong mun tỡm hiu sõu v cỏc h vi phõn cp phõn s, chỳng tụi chn ti Tớnh n nh yu ca mt lp bao hm thc vi phõn cp phõn s vi hiu ng xung, ú ni dung nghiờn cu da trờn cỏc kt qu cỏc cụng trỡnh [1, 11, 12] Mc ớch nghiờn cu Tỡm hiu cỏc iu kin cho tớnh gii c v tớnh n nh yu ca h (0.1)-(0.3) Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu lý thuyt na nhúm cỏc toỏn t tuyn tớnh; Tỡm hiu v bao hm thc vi phõn cp phõn s; Tỡm hiu v lý thuyt im bt ng cho ỏnh x a tr i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờu cu: Bi toỏn Cauchy tng quỏt trờn na ng thng Phm vi nghiờn cu: iu kin cho gii c v tớnh n nh yu ca bao hm thc vi phõn cp phõn s Phng phỏp nghiờn cu Lun s dng mt s cụng c ca gii tớch v lý thuyt cỏc h vi phõn a tr bao gm: Gii tớch bc phõn s; Bao hm thc vi phõn; Lý thuyt im bt ng D kin úng gúp mi Trỡnh by h thng mt s kt qu ó cụng b cỏc cụng trỡnh [1, 11, 12] Cu trỳc lun Ngoi phn m u, kt lun v ti liu tham kho lun gm cỏc chng sau: Chng 1: Kin thc chun b Chng ny trỡnh by kin thc c s v cỏc khụng gian hm, mt s khỏi nim ca lý thuyt na nhúm, o khụng compact, ỏnh x nộn v cỏc nh lý im bt ng, gii tớch bc phõn s, s c dựng phn chớnh ca lun Chng 2: Tớnh gii c ton cc Chng ny trỡnh by v s tn ti nghim ton cc Chng 3: Tớnh n nh yu ca im cõn bng Chng ny trỡnh by v tớnh n nh yu v ỏp dng cỏc kt qu tru tng t c trờn cho mt h vi phõn li Chng Kin thc chun b 1.1 Cỏc khụng gian hm Gi s l mt o c, b chn Rn Lp (), p < , l khụng gian bao gm tt c cỏc hm kh tớch Lebesgue bc p trờn Chun trờn Lp () c nh ngha nh sau: u Lp () |u|p dx := 1/p L () l khụng gian bao gm tt c cỏc hm o c v b chn hu khp trờn vi chun u L () := ess sup |u(x)| x Lploc (), p < , l khụng gian cỏc hm kh tớch Lebesgue a phng bc p trờn Lploc () := {f : f Lp (K) vi mi compact K } Gi s (E; ã E) l mt khụng gian Banach Ta s s dng cỏc khụng gian hm sau: C([a, b]; E) l khụng gian bao gm tt c cỏc hm u : [a, b] E liờn tc t [a, b] vo E vi chun u C([a,b];E) = sup u(t) E t[0,T ] Lp (a, b; E) l khụng gian bao gm tt c cỏc hm u : (a, b) E cho b u Lp (a,b;E) := u(t) a 1.2 p E dt 1/p < + Mt s khỏi nim ca lý thuyt na nhúm Trong mc ny, ta a cỏc khỏi nim c bn v lớ thuyt na nhúm; toỏn t sinh v mt s trng hp c bit thng gp Cỏc kin thc mc ny cú th xem ti liu chuyờn kho [7] Gi s E l mt khụng gian Banach v L(E) l khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn trờn E , ta cú cỏc nh ngha sau: nh ngha 1.1 Mt h cỏc ỏnh x S(t) L(E), t < , c gi l na nhúm trờn E nu nú tha món: (i) S(0) = I , I l phộp ng nht trờn E , (ii) S(t + s) = S(t)S(s) vi mi t, s nh ngha 1.2 Mt toỏn t tuyn tớnh A c gi l toỏn t sinh ca na nhúm {S(t)}t0 nu nú c xỏc nh bi: S(t)x x , t0 t Ax = lim vi mi x D(A), ú D(A) l xỏc nh ca A: S(t)x x tn ti } t0 t D(A) = {x E : lim nh ngha 1.3 Na nhúm {S(t)}t0 c gi l na nhúm liờn tc mnh (C0 -na nhúm) nu lim S(t)x = x, t0 vi mi x E nh lớ sau õy cho ta mt iu kin cn toỏn t tuyn tớnh A sinh mt C0 -na nhúm: nh lý 1.1 Toỏn t sinh ca mt C0 -na nhúm phi l mt toỏn t tuyn tớnh úng v xỏc nh trự mt Vớ d Xột E = Cb (R+ ) = {f : R+ R : f = sup |f (s)| < } l khụng gian sR+ cỏc hm liờn tc b chn trờn R+ H toỏn t {S(t)}t0 c xỏc nh nh sau: S(t) : E E (S(t)f )(s) = f (t + s), s R+ Khi ú {S(t)}t0 l mt C0 -na nhúm v toỏn t sinh ca nú l toỏn t o hm Af (s) = f (s), vi xỏc nh D(A) = {f E : f kh vi v f E} nh lý 1.2 Gi s {S(t)}t0 l mt C0 -na nhúm Khi ú tn ti cỏc hng s R v M cho S(t) M et , vi mi t Khi ú Nu < thỡ na nhúm {S(t)}t0 c gi l n nh m Nu 0, M = thỡ na nhúm {S(t)}t0 c gi l na nhúm co nh ngha 1.4 Cho {S(t)}t0 l mt C0 -na nhúm trờn E Na nhúm {S(t)}t0 c gi l: (a) na nhúm liờn tc theo chun nu ỏnh x t S(t) liờn tc ti mi t > theo chun L(E); (b) na nhúm kh vi nu vi mi x E thỡ ỏnh x t S(t)x kh vi ti mi t > 0; (c) na nhúm compact nu S(t) l toỏn t compact vi mi t > Ta bit rng nu na nhúm {S(t)}t0 l kh vi hoc compact thỡ nú liờn tc theo chun (xem [7]) 1.3 o khụng compact (MNC) Trong mc ny, chỳng tụi a cỏc khỏi nim v mt s ỏnh giỏ, c lng c bn thng dựng cho o khụng compact Chi tit hn, cú th xem [2, 10] Xột (E; ã E) l mt khụng gian Banach Ký hiu P(E) = {A E : A = }, B(E) = {A P(E) : A b chn}, K(E) = {A P(E) : A compact }, Kv(E) = {A K(E) : A li} nh ngha 1.5 Hm : B(E) R+ c gi l o khụng compact (MNC) E nu (co ) = () vi mi B(E), ú co l bao li úng ca o c gi l: nh lý 2.9 Gi thit nh B 2.8 Gi s t MA lk + sup t>0 k (t s)1 P (t s) m(s) ds < 1, (t s) (2.28) ú, bi toỏn (2.1)-(2.3) cú ớt nht mt nghim tớch phõn P C Chng minh T B 2.5, ta cú F l úng Hn na, F l -nộn B 2.8 Ngoi ra, F nhn giỏ tr compact Tht vy, vi v P C , ta cú (F(v)) max{ , } ã ({v}) = Tc l (F(v)) = v ú F(v) l tin compact B 2.1 T tớnh úng ca F , ta cú F(v) l compact ỏp dng nh lớ 1.8, ta cũn phi chng minh rng tn ti R > cho F(BR ) BR , ú BR l hỡnh cu P C , tõm ti gc ta , bỏn kớnh R u tiờn, ta s kim tra F(P C ) P C Ly v P C , thỡ d ({v}) = S dng (2.19), ta cú d (F(v)) = T ú ta cú F(v) P C Bõy gi, ta s chng minh tn ti R > tha F(BR ) BR Gi s ngc li, vi mi n N, tn ti Bn v zn F(vn ) cho zn > n Chn fn PFp (vn ) tha S (t tk )Ik (vn (tk )) zn (t) = S (t)(0) + 0 0, tn ti > cho nu mi u () v t > 0, õy ã h h < thỡ ut < vi ký hiu chun sup C([h, 0]; X); hỳt yu: vi mi B, tn ti u () tha ut 3.1 h h t + Tớnh n nh yu Trong mc ny, ta phi thay cỏc gi thit (A), (F) bi cỏc gi thit mnh hn: (A*) Na nhúm W (ã) sinh bi A l liờn tc theo chun v n nh m, tc l tn ti > cho W (t)x MA et x , t 0, x X 32 (F*) Hm phi tuyn a tr F tha (F) vi m L1 (R+ ) Lploc (R+ ) Ta cú mnh sau õy Mnh 3.1 Nu gi thit (A*) tha món, thỡ cỏc toỏn t gii thc S (ã), P (ã) l n nh tim cn, tc l S (t) , P (t) t + Chng minh Gi E, l hm Mittag-Leffler, tc l, E, (z) = n=0 zn , , > 0, z C (n + ) T biu din (xem [14]) ()ez d = E,1 (z), ()ez d = E, (z), ta cú ()||W (t )||d ||S (t)|| ()eat d = M E,1 (at ), M ()||W (t )||d ||P (t)|| ()eat d = M E, (at ) M Mt khỏc, chỳng ta cú s m rng tim cn sau õy cho E, z (xem [8]): E, (z) = z (1)/ exp z 1/ + , (z) nu | arg z| 21 , , nu | arg(z)| (1 21 ), 33 ú N , (z) = n=1 z n + O(|z|N ), as z ( n) Do ú, ||S (t)|| M E,1 (at ) = M ,1 (at ), ||P (t)|| M E, (at ) = M , (at ) T hai bt ng thc ny, ta cú ||S (t)|| v ||P (t)|| tin v t + Mnh c chng minh Nh vy, mc ny, chn (t) vi mi t 0, ta cú P (t) S (t) , t + (t) (t) Xột khụng gian P C0 = {u P C([0, +); X) : lim u(t) = 0}, t+ vi chun u = sup u(t) t0 Khi ú, PC l mt khụng gian Banach Xột ỏnh x nghim F trờn PC v lớ lun tng t nh Mc 2.2, ta chng minh c s tn ti ca nghim hỳt ton cc nh sau nh lý 3.2 Gi s (A*), (F*), v (I) tha Khi ú, bi toỏn (2.1)-(2.3) cú nghim tớch phõn tha u(t) = o(1) t +, vi iu kin t = MA (t s)1 P (t s) àk + sup k t0 < 1, (3.1) (t s)1 P (t s) m(s)ds < (3.2) k(s)ds t = MA lk + sup k t>0 34 Chng minh Trong trng hp ny, cỏc gi thit ca B 2.8 v nh lớ 2.9 u tha Do m L1 (R+ ), ta cú iu kin (2.26) tha Hn na, iu kin (2.27) c suy t (3.2), iu kin (3.2) chớnh l (2.28) Nh vy, ta cú iu phi chng minh Sau õy l nh lớ chớnh ca mc ny nh lý 3.3 Vi cỏc gi thit ca nh lớ 3.2 tha Khi ú, nghim khụng ca bi toỏn (2.1)-(2.3) l n nh tim cn yu Chng minh t () l cỏc nghim tớch phõn ca bi toỏn (2.1)-(2.3) vi iu kin ban u Ta thy (0) F (t, 0, 0) = v Ik (0) = 0, k T nh lớ 3.2 ta cú, vi mi C([h, 0]; X) tn ti u () cho u(t) t + Do ú, ta cú ut t +, tc l nghim khụng l hỳt h yu Nh vy, ta cũn phi chng minh rng nghim ny l n nh Xột C([h, 0]; X) v u (), ú, tn ti f PFp (u) cho u(t) = (t), t [h, 0], S (t tk )I(u(tk )) u(t) = S (t)(0) + 00 ú ã (t s)1 P (t s) m(s)ds, t > 0, sup l chun P C0 T c lng ny, ta cú t u MA (t s)1 P (t s) m(s)ds lk + sup t>0 k Do ú ut h u MA 35 h , t > 0, u + MA h ú c cho (3.2) Bt ng thc cui ny cho ta tớnh n nh ca nghim khụng Nh vy, nh lớ c chng minh 3.2 p dng mc ny, chỳng tụi ỏp dng cỏc kt qu tru tng t c trờn cho mt h vi phõn li d ui (t) = (Au(t))i + fi (t), t > 0, t = tk , k N, dt (3.3) fi (t) [f1i (t, ui (t), ui (t (t))), f2i (t, ui (t), ui (t (t)))], (3.5) ui (tk ) = Iik (ui (tk )), ui (s) = i (s), s [h, 0], j > 0, ú u = (ui ) : [h, +) (0, 1), A : 2, (3.6) d l o hm theo ngha Caputo bc dt l toỏn t tuyn tớnh xỏc nh bi (Av)i = vi+1 (2 + )vi + vi1 , v , : R+ [0, h] l mt hm liờn tc, l mt s dng õy cỏc dóy (vi )iZ tha hng (u, v) = (3.4) iZ ui vi , iZ vi l khụng gian < , v l mt khụng gian Hilbert vi tớch vụ kớ hiu [f1 , f2 ] = { f1 + (1 )f2 : [0, 1]} H vi phõn dng li nh (3.3)-(3.6) xut hin nhiu bi toỏn thc tin, vớ d nh x lớ nh, bi toỏn nhn dng mu, k thut in, Nú cng cú th c coi nh mt mụ hỡnh na ri rc ca bao hm thc o hm riờng bc phõn s u(x, t) = u(x, t) u(x, t) + f (x, t), x R, t > 0, t x2 f (x, t) [f1 (x, t, u(x, t), u(x, t (t))), f2 (x, t, u(x, t), u(x, t (t)))], u(x, tk ) = Ik (x, u(x, tk )), u(x, s) = (x, s), s [h, 0], 36 ú ta ri rc húa bin x Xột B : l toỏn t tuyn tớnh nh ngha bi (Bv)i = vi+1 vi , thỡ B c xỏc nh bi (B v)i = vi1 vi Hn na, nu A : c xỏc nh bi i = vi+1 2vi + vi1 thỡ (Av) A = BB = B B Ta cú A = A I l toỏn t b chn trờn Do ú na nhúm {etA : t 0} l liờn tc u (xem [7]) v ú nú liờn tc theo chun Tuy nhiờn, na nhúm ny l khụng compact, nú cú th m rng thnh nhúm {etA : t R} v toỏn t I = etA etA l khụng compact thu c kt qu n nh m ca {etA : t 0}, ta xột h dv(t) = Av(t) v(t), v(t) dt Nhõn hai v vi v ta cú 1d v(t) dt = (Av(t), v(t)) v(t) = (B Bv(t), v(t)) v(t) = Bv(t) v(t) v(t) p dng B Gronwall ta cú v(t) et v(0) , v ú etA et , t 0, tc l na nhúm {etA : t 0} l n nh m Nh vy, gi thit (A*) tha Trc xột ti cu trỳc ca h (3.3)-(3.6), ta nhc li v o Hausdorff (xem [3, nh lớ 4.2]) Gi Rn : bi Rn (v) = vi ei , |i|>n 37 l toỏn t tuyn tớnh xỏc nh ú ei = (ij )jZ Khi ú : R+ c xỏc nh bi 2 |vi | (B) = lim sup[sup Rn (v) ] = lim sup sup n+ vB l o Hausdorff n+ vB |i|>n Bõy gi ta xột cỏc gi thit (N1) Cỏc hm f1i , f2i : R+ ì R2 R, i Z, liờn tc v tha max{|f1i (t, y, z)|2 , |f2i (t, y, z)|2 } m2 (t)(|y|2 + |z|2 ), (t, , z) R+ ì R2 , ú m C(R+ ; R+ ) tha Cm vi Cm > + t+1 m(t) (N2) Cỏc hm Iik : R R, i Z, k N, l cỏc hm liờn tc v |Iik (y)| lk |y|, vi {lk : k N} l mt dóy khụng õm tha Xột f1 , f2 : R+ ì ì C([h, 0]; 2) kN lk l cỏc hm c xỏc nh nh sau f1 (t, v, w) = (f1i (t, vi , wi ((0))))iZ , f2 (t, v, w) = (f2i (t, vi , wi ((0))))iZ Nh vy f1 , f2 l liờn tc Hn na, t (N1) ta cú f1 (t, v, w) |f1i (t, vi , wi ((0)))|2 = < iZ m2 (t) (|vi |2 + |wi ((0))|2 ) iZ = m2 (t)( v + w((0)) m2 (t)( v + sup s[h,0] 38 w(s) ) Tng t f2 (t, v, w) m2 (t)( v w(s) ) + sup s[h,0] t F (t, v, w) = [f1 (t, v, w), f2 (t, v, w)], v , w C([h, 0]; ), ta cú F (t, v, w) m(t)( v + w Mt khỏc, vi mi (t, v, w) R+ ì 2 ), ì C([h, 0]; h ) F (t, v, w) l mt li, tc l, F l hm a tr vi giỏ tr li Ngoi ra, F (t, v, w) span{f1 (t, v, w), f2 (t, v, w)}, tc l F (t, v, w) l mt b chn nm khụng gian hai chiu ca 2, ú F (t, v, w) l compact Do f1 , f2 liờn tc, hm a tr (v, w) F (t, v, w) úng iu ny kộo theo F (t, ã, ã) l na liờn tc trờn vi mi t R Chỳ ý rng vi mi u P C0 , [0, 1], hm f (t) = f1 (t, u(t), u(t (t))) + (1 )f2 (t, u(t), u(t (t))), [0, 1] l o c mnh Vy, (F)(1)-(F)(3) tha 2, W Bõy gi, ta ỏnh giỏ (F (t, V, W )) vi V C([h, 0]; 2) l cỏc b chn Ta cú 12 sup (v,w)V ìV |f1i (t, vi , wi ((0)))|2 Rn [f1 (t, v, w)] = |i|>n 21 m(t) sup (v,w)V ìV m(t) sup (v,w)V ìV |i|>n 21 |vi |2 + 21 |i|>n |wi ((0))|2 |i|>n 21 wW |i|>n 21 |vi |2 + sup m(t) sup vV |vi |2 + |wi ((0))|2 |wi ((0))|2 |i|>n = m(t) sup Rn (v) + sup Rn (w((0))) vV wW 39 Qua gii hn bt ng thc cui cựng, ta c (f1 (t, V, W )) m(t) (V ) + (W ((0))) m(t) (V ) + sup (W (s)) s[h,0] lớ lun tng t cho f2 , ta cú (f2 (t, V, W )) m(t) (V ) + sup (W (s)) s[h,0] Ta cú F (t, V, W ) co{f1 (t, V, W ) f2 (t, V, W )}, nờn (F (t, V, W )) (f1 (t, V, W ) f2 (t, V, W )) max{ (f1 (t, V, W )) , (f2 (t, V, W ))} m(t) (V ) + sup (W (s)) s[h,0] Nh vy (F)(4) tha v nh vy (F*) cng c tha vi k = m Ta xột Ik : 2, k N, xỏc nh bi Ik (v) = (Iik (vi ))iZ T tớnh liờn tc ca Iik suy tớnh liờn tc ca Ik Hn na, t (N2) ta cú 2 |Iik (vi )|2 Ik (v) = |vi |2 lk iZ iZ = lk v Do ú (I)(1) c tha Vi V |Iik (vi )|2 sup Rn (Ik (v)) = sup vV vV l mt b chn Ta cú 21 |i|>n 21 |vi |2 = lk sup Rn (v) lk sup vV |i|>n 40 vV Qua gii hn bt ng thc cui n +, ta thu c (Ik (V )) lk (V ) Nh vy, gi thit (I) tha vi àk = lk , k N, vi iu kin inf{tk+1 tk : k N} > Cui cựng, ta a c lng cho tớch phõn t (t s)1 P (t s) m(s)ds I(t) = Chỳ ý rng trng hp ny etA 1, ú P (t) Cm I(t) () Cm () t t (t s)1 ds + + s+1 t t t , t () Vy (t s)1 ds + s+1 ds + +1 1+s + 2t t +1 (t s)1 ds t Cm J(t) + , () ú J(t) = t t ds + s+1 Do lim J(t) = lim J(t) = 0, t0 t+ ta cú supt>0 J(t) < , vy supt>0 I(t) < T cỏc iu kin (3.1)-(3.2) tha vi cỏc h s Cm , lk , cj nh, ta thu c tớnh n nh tim cn yu ca nghim khụng ca h (3.3)-(3.6) 41 Kt lun Lun trỡnh by mt s kt qu v tớnh gii c v tớnh n nh yu ca mt h vi phõn bc phõn s cha xung v tr hu hn Vic chng minh tớnh gii c v tớnh n nh yu ca im cõn bng s dng nguyờn lý im bt ng cho ỏnh x nộn v vic la chn o khụng compact trờn khụng gian nghim úng vai trũ quan trng Cỏc kt qu c trỡnh by da trờn cỏc cụng trỡnh [1,11,12], nhng chỳng tụi xem xột mt mụ hỡnh n gin hn T ú cỏc iu kin t c gim nh Cỏc kt qu trỡnh by lun cú th m rng cho cỏc h vi phõn bc phõn s cha xung vi tr vụ hn 42 Ti liu tham kho [1] Lõn, Dỏng iu tim cn ca mt s h vi phõn a tr khụng gian vụ hn chiu, Lun ỏn tin s 2016 [2] R.R Akhmerov, M.I Kamenskii, A.S Potapov, A.E Rodkina, B.N Sadovskii, Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhăauser, Boston-Basel-Berlin, 1992 [3] J M Ayerbe Toledano, T Domớnguez Benavides, G Lúpez Acedo, Measures of noncompactness in metric fixed point theory Operator Theory: Advances and Applications, 99 Birkhăauser Verlag, Basel, 1997 [4] D Bothe, Multivalued perturbations of m-accretive differential inclusions, Israel J Math 108 (1998), 109-138 [5] H Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations Universitext Springer, New York, 2011 [6] J Diestel, W M Ruess, W Schachermayer, Weak compactness in L1 (à, X), Proc Amer Math Soc 118 (1993), 447-453 [7] Engel K.-J., Nagel R., One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer-Verlag, New York, 2000 [8] H.J Haubold, A.M Mathai, R.K Saxena, Mittag-Leffler functions and their applications, J Appl Math Vol 2011, Art ID 298628, 51 pages 43 [9] S Ji, S Wen, Nonlocal Cauchy Problem for Impulsive Differential Equations in Banach Spaces, Int J Nonlinear Sci 10 (2010), 88-95 [10] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001 [11] T.D Ke, D Lan, Decay integral solutions for a class of impulsive fractional differential equations in Banach spaces, Fract Calc Appl Anal 17 (2014), 96-121 [12] T.D Ke, D Lan, Fixed point approach for weakly asymptotic stability of fractional differential inclusions involving impulsive effects, Preprint [13] T.I Seidman, Invariance of the reachable set under nonlinear perturbations, SIAM J Control Optim 25 (5) (1987), 1173-1191 [14] R.-N Wang, D.-H Chena, T.-J Xiao, Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators, J Differential Equations 252 (2012), 202235 [15] Yong Zhou, F Jiao, Existence of mild solutions for fractional neutral evolution equations, Comp Math Appl 59 (2010), 1063-1077 44 [...]... đẳng thức cuối, ta thu được điều mâu thuẫn với (2.28) Định lí được chứng minh 31 Chương 3 Tính ổn định yếu của điểm cân bằng Tính ổn định yếu của nghiệm không của bài toán (2.1)-(2.3) được định nghĩa như sau: Ký hiệu Σ(ϕ) là tập nghiệm của bài toán (2.1)-(2.3) ứng với điều kiện ban đầu ϕ sao cho 0 ∈ Σ(0) Nghiệm không của bài toán (2.1)-(2.3) được gọi là ổn định tiệm cận yếu nếu nó là 1 ổn định: với. .. vậy, ta có ngay điều phải chứng minh Sau đây là định lí chính của mục này Định lý 3.3 Với các giả thiết của Định lí 3.2 thỏa mãn Khi đó, nghiệm không của bài toán (2.1)-(2.3) là ổn định tiệm cận yếu Chứng minh Đặt Σ(ϕ) là tập các nghiệm tích phân của bài toán (2.1)-(2.3) với điều kiện ban đầu ϕ Ta thấy 0 ∈ Σ(0) do F (t, 0, 0) = 0 và Ik (0) = 0, k ∈ Λ Từ Định lí 3.2 ta có, với mỗi ϕ ∈ C([−h, 0]; X) tồn... phân số 1.5.1 Đạo hàm và tích phân bậc phân số Xét L1 (0, T ; E) là không gian các hàm khả tích trên khoảng (0, T ), theo nghĩa Bochner Định nghĩa 1.9 Tích phân bậc α > 0 của hàm f ∈ L1 (0, T ; E) được xác định bởi I0α f (t) 1 = Γ(α) t (t − s)α−1 f (s)ds, 0 trong đó Γ là hàm Gamma Định nghĩa 1.10 Xét hàm f ∈ C N ([0, T ]; E), đạo hàm bậc α ∈ (N − 1, N ) theo nghĩa Caputo được xác định bởi C D0α f (t)... C D0α f (t) 1 = Γ(N − α) t (t − s)N −α−1 f (N ) (s)ds 0 Với u ∈ C N ([0, T ]; E), ta có tính chất C D0α I0α u(t) = u(t), N −1 I0α C D0α u(t) = u(t) − k=0 1.5.2 u(k) (0) k t k! Công thức nghiệm cho bài toán với phương trình vi phân bậc phân số Giả sử (X, · ) là một không gian Banach Xét bài toán Cauchy với phương trình vi phân bậc phân số có xung C D0α u(t) = Au(t) + f (t), t = tk , tk ∈ (0, +∞), k... một tập đóng trong Y × E ; (iv) compact nếu ảnh F(Y ) là tiền compact trong E ; (v) tựa compact nếu hạn chế của nó trên mỗi tập compact A ⊂ Y là compact 12 Từ đây, với dãy {zn } trong một không gian xác định, ta sử dụng ký hiệu zn z để biểu diễn sự hội tụ yếu và zn → z để biểu diễn sự hội tụ mạnh Ta sẽ sử dụng các kết quả sau đây để chứng minh tính nửa liên tục trên hay tính nửa liên tục trên yếu của. .. yn y0 ∈ G(x0 ) Định nghĩa 1.8 Ánh xạ liên tục F : Z ⊆ E → E được gọi là một ánh xạ nén theo độ đo β (β -nén) nếu với tập bị chặn Ω ⊂ Z , mà β(Ω) ≤ β(F(Ω)) sẽ kéo theo tính compact tương đối của Ω Với β là một độ đo đơn điệu, không suy biến trong E , ứng dụng của lí thuyết bậc tôpô cho ánh xạ nén (xem [2, 10]), ta có định lí điểm bất động sau Định lý 1.8 [10, Hệ quả 3.3.1] Giả sử M là một tập con lồi,... ut < với ký hiệu chuẩn sup trong C([−h, 0]; X); 2 hút yếu: với mọi ϕ ∈ B, tồn tại u ∈ Σ(ϕ) thỏa mãn ut 3.1 h h → 0 khi t → +∞ Tính ổn định yếu Trong mục này, ta phải thay các giả thiết (A), (F) bởi các giả thiết mạnh hơn: (A*) Nửa nhóm W (·) sinh bởi A là liên tục theo chuẩn và ổn định mũ, tức là tồn tại β > 0 sao cho W (t)x ≤ MA e−βt x , ∀t ≥ 0, x ∈ X 32 (F*) Hàm phi tuyến đa trị F thỏa mãn (F) với. .. biến nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với mỗi a ∈ E, Ω ∈ B(E); iii) bất biến với nhiễu compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọi tập compact tương đối K ⊂ E và Ω ∈ B(E); iv) nửa cộng tính đại số nếu β(Ω0 + Ω1 ) ≤ β(Ω0 ) + β(Ω1 ) với mỗi Ω0 , Ω1 ∈ B(E); v) chính quy nếu β(Ω) = 0 tương đương với tính compact tương đối của Ω Một ví dụ quan trọng của độ đo không compact là độ đo Hausdorff χ(·), được định nghĩa như sau χ(Ω)... định lí điểm bất động cho ánh xạ nén, có thể xem trong [10, 2] Trước tiên, ta nhắc lại một số khái niệm của giải tích đa trị Định nghĩa 1.7 Cho Y là một không gian metric, ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là: (i) nửa liên tục trên nếu F −1 (V ) = {y ∈ Y : F(y) ∩ V = ∅} là một tập đóng trong Y với mỗi tập đóng V ⊂ E ; (ii) nửa liên tục trên yếu nếu F −1 (V ) là tập đóng trong Y với mọi tập đóng yếu. .. chặn của E và F : M → P(M) là một ánh xạ đóng và β -nén Khi đó Fix(F) := {x ∈ F(x)} là một tập compact khác rỗng Nguyên lí điểm bất động sau đây là một trường hợp đặc biệt của định lí trên Hệ quả 1.1 Giả sử E là một không gian Banach và D ⊂ E là một tập con khác rỗng, compact và lồi Nếu toán tử đa trị F : D → P(D) là đóng với giá trị lồi và đóng, thì F có điểm bất động 13 1.5 Giải tích bậc phân số 1.5.1