Luận văn thạc sĩ nghiệm phân rã theo thời gian của một lớp bao hàm thức vi phân cấp phân số

B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI _ * N G U Y Ễ N VĂN THỌ N G H IỆ M P H  N R à TH EO TH Ờ I G IA N C Ủ A M Ộ T LỚP BA O H À M TH Ứ C VI P H  N C Ấ P P H  N SỐ L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N G IẢ I T ÍC H HÀ NỘI, 2015 B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI _ * N G U Y Ễ N VĂN THỌ N G H IỆ M P H  N R à TH EO T H Ờ I G IA N C Ủ A M Ộ T LỚP BAO H À M TH Ứ C V I P H  N C Ấ P P H  N SỐ C h u y ê n ngành: T oán giải tích M ã số: 60 46 01 02 L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N G IẢ I T ÍC H N g i hư ớng dẫn k h oa học: P G S T S Trần Đ ìn h K ế HÀ NỘI, 2015 LỜI C Ả M Ơ N Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PG S.TS Trần Đình Kế tậ n tình hướng dẫn em trìn h thực luận văn Em xin chân th n h cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, toàn thể thầy giáo, cô giáo K hoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, động viên giúp đỡ tạo điều kiện th u ận lợi để em có điều kiện tố t n h ất suốt trìn h học tập , thực đề tà i nghiên cứu khoa học Do thời gian kiến thức có hạn nên luận văn không trá n h khỏi hạn chế thiếu sót n h ất định Em xin chân th àn h cảm ơn nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn học viên Hà Nội, ngày 08 tháng 07 năm 2015 Tác giả N g u y ễ n V ăn T h ọ LỜI C A M Đ O A N Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PG S.TS Trần Đình Kế, luận văn tố t nghiệp “N g h iệ m ph ân rã th e o th i gian c ủ a m ộ t lđp h m bao th ứ c vi ph ân cấp ph â n số” hoàn th àn h nhận thức th ân tác giả không trù n g với b ất kỳ luận văn khác Trong trìn h làm luận văn, kế th a th àn h tự u nhà khoa học với trâ n trọng biết ơn Hà Nội, ngày 08 tháng 07 năm 2015 Tác giả N g u y ễ n V ăn T h ọ M uc luc M đầu 1 K iế n th ứ c chuẩn bị 1.1 Giải tích bậc phân s ố 1.2 Độ đo không com pact ánh xạ đa trị n é n T ín h giải tr ê n đ o n c o m p a c t 10 Sự tồ n tạ i n g h iệ m ph ân rã 19 3.1 Nghiệm phân r ã 19 3.2 Áp dụng 27 KẾT LUẬN 33 Tài liệu th a m khảo 33 M đầu l.L ý chọn đề tài Chúng ta nghiên cứu toán sau m ột không gian Banach X D%Bu(t) € Au(t) + F(t,u(t)), t ỹỂ t k, tk € (0, +oo), k € A, Au ( t k) = Ik(u(tk)), (0.1) (0.2) u(0) = g(u), (0.3) D q , a € (0,1), đạo hàm bậc phân số theo nghĩa C aputo, A B toán tử tuyến tính, đóng không bị chặn X , A c N, Au ( t k) = u(tk ) - u ( t k ) Các hàm F, g I k hàm cho trước Phương trìn h kiểu Sobolev tìm thấy công trìn h B arenblat cộng [5], tác giả người đưa m ột mô hình dòng chảy chất lỏng môi trường đá nứt, phương trìn h dt{u - dịu) - dịu = Mô hình sau p hát triển nghiên cứu báo [7, 26] tác giả xét phương trìn h phi tuyến trừ u tượng at - Au(t) = f { t , u { t )) không gian Banach, với A B toán tử không bị chặn G ần đây, giải tích bậc phân số trở th àn h m ột công cụ hữu dụng để miêu tả tượng vật lí khác dòng chảy môi trường rỗ thủng, dao động điều khiển (xem, chẳng hạn [17, 24, 27]), phương trìn h vi phân bậc phân số đề x u ất thay cho phương trìn h vi phân bậc nguyên mô hình M ột số lớp phương trìn h vi phân bậc phân số kiểu Sobolev th u hú t nhiều nghiên cứu vài năm gần Có th ể kể đến công trìn h [3, 4, 15, 19, 25], m ột số kết tồ n điều khiển được th iết lập Liên quan tới hệ (0.1)-(0.3), ánh xạ phi tuyến đa trị F hình th àn h từ nhiều toán khác nhau, có toán quy hóa phương trìn h vi phân thường với vế phải không liên tụ c ([16]), bất đẳng thức vi biến phân ([29]), toán điều khiển phản hồi ([21]), Điều kiện xung (0.2) m ột hiệu ứng x u ất hàm trạn g th i chịu th ay đổi đột ngột, tượng thường x u ất sinh học kĩ th u ậ t Điều kiện không cục (0.3) lần nghiên cứu [10], cho phép mô tả kiện đầu vào tố t điều kiện ban đầu so với toán Cauchy cổ điển Trong ứng dụng, điều kiện không cục thường có dạng sau m li(O) = u + ^ li(O) = UQ + ■ C ị ĩ i { t ị ), Cị ẽ R ,t ị> 0, k(s)u(s)ds, b > 0, k m ột hàm thực M ột vấn đề quan trọng liên quan tới toán (0.1)-(0.3) câu hỏi dáng điệu nghiệm thời gian t lớn Chú ý lý thuyết tập hú t toàn cục (xem [11]) áp dụng với toán thiếu tín h chất nửa nhóm toán tử nghiệm Ngoài ra, sử dụng hàm Lyapunov để phân tích ổn định nghiệm không thực tế khó khăn tín h toán ước lượng đạo hàm bậc phân số, chí trường hợp hữu hạn chiều Bởi lí trên, kết dáng điệu nghiệm với phương trìn h vi phân bậc phân số thời gian lớn biết đến Trong m ột số báo gần [12, 22, 23], tác giả nghiên cứu m ột số mô hình phương trìn h vi phân bậc phân số nửa tuyến tín h không gian Banach bao gồm điều kiện không cục hiệu ứng xung, tồ n tạ i nghiệm phân rã chứng m inh cách sử dụng nguyên lí ánh xạ co Cách tiếp cận giới thiệu B urton Furum ochi [8, 9] để nghiên cứu tín h ổn định cho toán phương trìn h vi phân thường phương trìn h vi phân hàm Tuy nhiên, kĩ th u ậ t dùng [12, 22, 23] không sử dụng toán hàm phi tuyến F,g I k giả th iết Lipschitz Với mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết bao hàm thức vi phân bậc phân số, chọn vấn đề " N g h iệ m p h â n r ã th e o th i g ia n c ủ a m ộ t lớp b a o h m th ứ c v i p h â n c ấ p p h â n số" cho đề tà i nghiên cứu luận văn Các kết trìn h bày dựa công trìn h (0.2) Trong luận văn này, chứng m inh toán (0.1)-(0.3) có m ột tập com pact nghiệm phân rã VC([0, +oo); X) Để làm việc đó, xây dựng m ột độ đo không com pact quy (M NC), gọi X* m ột không gian đóng VC{[0, +oo); X ), sau toán tử nghiệm đa trị liên kết với (0.1)-(0.3) x*-nén Luận văn trìn h bày ba chương Chương bao gồm kiến thức chuẩn bị liên quan đến giải tích bậc phân số độ đo không com pact Chương trìn h bày tín h giải toán (0.1)-(0.3) đoạn com pact Chương chứng m inh tồn tạ i nghiệm phân rã trìn h bày m ột ví dụ áp dụng M ục đích nghiên cứu Nghiên cứu tín h giải đoạn com pact tồn tạ i nghiệm phân rã t 00 hệ (0.1)-(0.3) Chứng m inh chi tiết kết công trìn h [18, 22], N hiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu độ đo không com pact; Tìm hiểu giải tích bậc phân số; Nghiên cứu tín h giải hệ đoạn compact; Nghiên cứu điều kiện tồn tạ i nghiệm phân rã t ->■ 00 hệ Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiêu cứu: Bao hàm thức vi phân bậc phân số suy biến • Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện tồn tạ i nghiệm đoạn com pact điều kiện tồn tạ i nghiệm phân rã D ự kiến đóng góp Chứng m inh chi tiết kết công trìn h [18, 22], Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng m ột số phương pháp công cụ giải tích bao gồm: • Giải tích đa trị, giải tích bậc phân số, độ đo không compact; • Lý thuyết điểm b ất động cho ánh xạ nén Chương K iến thứ c chuẩn bi 1.1 Giải tích bậc phân số Cho L l {ũ, T]X) không gian hàm khả tích [0,T1], theo nghĩa Bochner Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Tích phẫn bậc phẫn số cấp a > hàm số / € L l {ũ, T]X) định nghĩa = r r(a) í (t - s r - i f ( s ) d s , J0 hàm Ga mma , với điều kiện tích phẫn hội tụ Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Cho hàm / € C N {[0,T]; X) , đạo hàm Caputo bậc phẫn số cấp a € {N - 1, N) định nghĩa D^ = m ^ r ) I ‘{ t - s)N~“~ ' ÍÍN>is)ds' Chú ý có nhiều khái niệm đạo hàm bậc phân số, định nghĩa Riemann-Liouville C aputo sử dụng rộng dãi Nhiều toán ứng dụng, biểu diễn phương trìn h vi phân bậc phân số, đòi hỏi điều kiện đầu li(o), đạo hàm C aputo bậc phân số thỏa m ãn điều kiện xác định X ét toán (1.1)-(1.3) D qBu{t) = Au{t) + f(t), t =£ tk, t k e (0, +oo),k e A , (1.1) Aii(ífc) = I k{u{tk)), (1.2) u(0) = g(u) (1.3) Giả th iết D { B ) c D(A), B song ánh có ánh xạ ngược bị chặn Áp dụng biến đổi Laplace cho phương trìn h (1.1), ta r ( l 1- a) B C [ ( r a * u'](A) = AC[u]{\) + £ [/](A), D qU = ^ y(') “ * li', £ kí hiệu biến đổi Laplace hàm nhận giá trị vector Suy - ^ B [ \ C [ u } ( \ ) - Y , e - Aí*/fc - U(0)] = AC[u}(A) + £[/](A) ke A Bởi 5£[ii](A) =A“ _1(A°7 + A“ _1(A“ / - Ấ “ 1)“ 1# e_Aífc/fc + (A“ - ^4-B_1)_1£[/](A), (1.4) ke A với toán tử đồng n h ất xác định X Cho {T{t)} C q- nửa nhóm sinh A B - Thế {T{t)} vào (1.4), ta BC[u}{ A) =A“ _1 e-A“sT(s)Bií(0)ds + A“ _1 í e_A“ sT ( s ) B e_Aífc/fcds + í 1/0 fceA J ° e_A“ sT(s)£[/](A)ds Do £[ii](A) =A“ _1 B ~ 1e~xasT{s)Bu{0)ds +A“ _1 í B _ 1e_A“ sT ( s ) B e_Aífc/fcds + J° ke t í B _ 1e_A“ sT(s)£[/](A)ds J° (1.5) Sử dụng lí luận [15], ta th u u{t) =S a {t)Bg(u) + ỵ , s a{t - t k) B I k(u{tk)) T + tNa (3.13) k ta có E 3{t) = ( [ +Ị v >'0 - s T ' ^ l P a i t - s)\\m{s)'ỉ'F {\\u{s)\\)ds J st ' < ^ f {P) ị Jn (t - s) “ -1 \\pa {t - s ) II m(s)ds + ^ f (c) / > - ) - p a (t — s)|| m(s)ds J ỗt rỗt < R -— í [(1 -"íjt] m l-ah II'p a (t — s)|| m(s)ds Ip a (t — s )II m(s)ds + e J ỗt (3.10) õt > T\ Giờ ta chọn T ị > y- cho R < e, Ví > T3, [(1 - 5)t] 1—a từ ta (3.14) E 3(t) < (ớ + /c)e, với ớ,/í đưa (3.8)-(3.9) K ết hợp (3.12)-(3.14) suy z(í)|| < e [ g( R ) + ( Y , lk + S ™) *i ( R) + ê + K], k max{T2 + tNo, T3} B ất đẳng thức cuối chứng tỏ Z e VC - Bổ đề chứng m inh xong □ B ố đ ề Cho (A *), (F*), (G *) (I*) thỏa mẫn Nếu ứ < +00 max{/í, í} < 1, d,K đưa (3.8)-(3.9) í = Í7?+ X] fcẼA + 4suP í (t - ■ s)“_1H-pa(t - s)||xfc(s)ds, (3.15) í >0 J ° T x * - n é n VC q Chứng minh Bởi giả th iết Bổ đề 3.3, ta có th ể xét to án tử nghiệm T : VC q —> VỰPCq)- Cho D c VC q m ột tập bị chặn Lấy r > th ỏ a m ãn 23 Mloo < r, V ue I? Ta có 7TT( D ) bị chặn PC([0, T]; X ) Dùng lí luận chứng m inh Bổ đề 2.3, ta có X p c {^ t {^{D))) < Ỉ T ■X p c Í^t ÍD)), h = \ { rì + L £ /i fc)5'I + SUP / (t - s )a ll-P«(í — -s)||x fc(s)ds , tfc£(0,T) J với II • IIx ỵ-chuẩn m ột toán tử tuyến tín h bị chặn định nghĩa (1.8) Điều suy Xooự{D)) < i-Xoo{D) Ta cần ước lượng d00{D) Với (3.16) € Jr {D), tồn tạ i u € D / € Pp{u) cho z(t) =S a {t)Bg(u) + £ s a{t - tk) B I k(u(tk)) 0 Khi P{D) = Tị (D) + P 2{D) + P 3{D) + T ầ{D) (3.17) dnự íiD )) = dnự ĩiD )) = dnựaiD)) = (3.18) Trước tiên ta lí luận với e > 0, tồn tạ i T > cho với z e Pị (D), i e {1,2,3}, |z (í)Il < Ce với t > T , c = C(r) > 24 Cho Z € T\(D), th ì ta lấy u € D cho z(t) = Sa {t)Bg{u) Ta có \\z{t)\\ < ||S'Q(t)||®9(||u||oo) < || ' > , ứ xác định (3.8) Chúng ta giải với doo(P/í(D)) Lấy z = (14), 14 e D , ta có |z(t)|| < / {t - s)“ Il-Pa (£ - s)||m (s)||u(s)||ds L'ót -t \a —1 Ip a {t — s)||m (s)ds I sup ||ii(s < [ I (t —s)a ỗt ' s>6t < K sup I14(s) II < K sup sup I14(s) II, Ví > 0, s>ỗt ME D s>ỗt 25 với K đưa (3.9) Lấy T € (0,ổt], ta thấy z(t) Il < K sup sup I14(s) II = K dx{D),Wt > T u e D s >T Bởi sup sup||z(í)|| < K(Ìt {D), z^ Fi ( D) t>T định nghĩa đoo, ta (3.19) doo{Fi{D)) < K dœ (D) Từ (3.17)-(3.19) suy d0ữ(Jr(D)) < /í dœ (D) K ết hợp với (3.16), ta dẫn tới X * ự ( D ) ) = Xooự{D)) + docựi D) ) < max{/c,í} (Xoo(-D) + dœ (D)) = max{/c, í}x*(D) □ Bổ đề chứng m inh xong K ết th ể định lí sau Đ ịn h lí Cho (A*), (F*), (G*) (I*) thỏa mẫn Khi toán (0.1)-(0.3) có tập compact nghiệm phẫn rã, với điều kiện < +00 max{ể,p} < 1, định nghĩa (3.8), l đưa ỏ (3.15) + sup / (t — s)a 1||PQ(t —s) ||m(s)ds (3.20) t >0 J Chứng minh Bởi (3.20), lí luận tương tự chứng m inh Định lí 2.4 ta có m ột hình cầu đóng B# = B ( 0, R) VC q th ỏ a m ãn F(Bfi) c B fi Từ trở đi, ta xét T m ột ánh xạ đa trị từ B fi Chú ý điều kiện P < suy K < Nên Bổ đề 3.4, T x*-nén Ta phải T m ột ánh xạ đa trị nửa liên tục Viết lại T = T\ + Ti, với Ki{u){t) = Sa {t)Bg(u) + ^2 0[...]... trờn E nu P(cừớl) = P(ớl) vi mi 2 e V b(E), vụi c n l bao li úng ca 2 Mt M N C p c gi l i) n iu nu ớlo ,ới e V b(E), 20 c SI 1 thỡ y(Sl0) < /(SI 1 )/ ii) khụng suy bin nu P({a} u 2) = /?(ớl) vi mi a e E, ớ ỡ e 'Pb(E); ni) bt bin theo min vi tp compact nu P ( K U2) = P(ớl) vi mi tp compact tng i K c E v 2 e Vb(E); iv) na i s cng tớnh di nu y(Sl0 + ớli) < /(Sl0) + /(SI 1 ) vi mi Sl0; ớới e V b(E); v)... lng MNC Vic chng m inh cú th xem trong [21] M n h 1.4 ([21]) Nu {wn} c , T; E) tha món \\wn{t)\\E < v{t), vi m i t [0,T1] h.k.n, v vi mt V L 1{0,T), thỡ ta cú x({ U!n{s)ds}) < 2 d0 x({wn(s)})ds, J0 vi t e [0,Tj Ta cng cn c lng MNC cho trng hp cỏc tp khụng m c M n h 1.5 (2[) Cho D c L l (,T]E) tha món (1) ||Ê(t)\\E < v{t), vi mi Ê e D v vi m i t e [0, T] h.k.n, (2) x{E{t)) < q(t), vi mi t... mt khụng gian Banach v l l mt tp con khỏc rng ca mt khụng gian Banach khc Gi s rng G : -> V ( X ) l mt ỏnh x a tr nhn giỏ tr li, compact yu Khi ú G l na liờn tc trờn yu nu v ch nu {xn} c vi x n > XQ v yn G{xn) suy ra yn >yo G{xo), theo mt dóy con Chỳng ta nhc li m t s khỏi nim ca ỏnh x a tr nộn ([21]) n h n g h a 1.5 Mt ỏnh x a tr T : Z ỗ E -> V{E) c gi l nộn theo mt M N C ò (ò-nen) nu vi mi tp... F(-,v) tha nhn mt hm chn vi mi V X v ỏnh x a tr F{t, ) l na liờn tc trờn vi mi t (0,T) h.k.n; 2 Tn ti cỏc hm m Lp{0,T), p > - v ty F l hm khụng gim v liờn tc, nhn giỏ tr thc, tha món \\F(t, v) I < m(t)tyF (\\v\\), vi mi V X v vi mi t (0,T) h.k.n, õy ||F (t,u)|| = sup{||Ê|| : F(t,v)}; 3 Nu B _1 v T{-) khụng compact, thỡ vi bt kỡ tp con B c X , ta cú x ( F( t , B) ) < k(t)x(B), vi mi t (0,T) h.k.n,... ngha l F ( t , u n(t)) c F(t,u*(t)) + B e, vi mi n ln, õy e > 0 cho trc v B E l hỡnh cu trong X tõm ti gc bỏn kớnh e Nờn fn{t) F(t, u*{t)) + B e, vi mi t (O.T1) h.k.n, v bao hm thc tng t cng ỳng cho n{t) nh tớnh li ca F{t,u*{t)) + B e T ú, f ( t ) F(t,u*(t)) + B t , vi mi t (0,T) h.k.n Vỡ e l tự y ý, chỳng ta th u c /* V P p{u*) Tip theo ta cn ch ra rng vi mi V PC([0, T]; V ), V P p{v) 0- T iu... t i nghim tớch phõn phõn ró vi bi toỏn (0.1)-(0.3) Ta xột khụng gian hm VCo = {li 'PC([0, +oo); X) : lim u(t) = 0} t-ỡoo vi chun IIXIIIoo = sup ||li(t)||, t>0 õy PC([0, +oo); X) c nh ngha tng t nh VC{\ề,T]]X) khi T = + 0 0 Khi ú VC q l m t khụng gian Banach mc ny, ỏnh x a tr Vp c nh ngha nh sau: vi lớ VC{[0, +oo);X ), Vp(iớ) = { / Lpt (M+ ;X ) : f(t) F( t , u( t )) vi mi t R + h.k.n } nh ngha... lim ||pa (t)|| = 0 t Ơ 00 K V(X) tha món (F) vi mi T > 0, vi m , k (R +) v $jr(r) < r vi mi r > 0 (G *) Hm g : VC{[0, +CX)); X) -> D{B) tha món (G ) vi bt kỡ T > 0 (*) Cỏc hm bc nhy /fc : X -> D { B ) tha món (I) vi h < + 00 v ke A E hk < +00ke A M nh sau õy ch ra m t trng hp m (A*) c tha món M n h 3 2 Gi s na nhúm {T{t)}t >0 sinh bi AB 1 liờn tc theo chun v n nh m, ngha l, cú hai s dng a ,... thc cui suy ra vi mi +00 Z T\ (D), II2:(ớ)II < f f j ( r ) vi t > T\ > 0 i vi F 1 (D), ta nhn thy rng vi z = Jr2 (u),u D \\z{t)\\ < ^ 2 lirait - ớfc)||ifc1M ||u(ớfc)||) 0 D(B) tha món: 1 B I k : X -> X liờn tc v tn ti mt hm khụng gim, liờn tc, nhn giỏ tr thc tyJ v mt dóy khụng õm {IkỡkeA tha món \\BI .( x )\\x < vi mi X e X , k e A; 2 Tn ti mt dóy khụng õm {òkikeA tha món x { B I h{D)) < PkX{D), vi. .. Vi mi e > 0, vỡ dao{D) = 0 nờn ta cú th ly T > 0 sao cho supớ>T ||ii(t)|| < | , vi mi u D iu ny cú ngha l |li - 7Tj'(li)||00 < vi mi u D, õy 7iT(ii) c xem nh m t hm trờn VC theo ngha sau u (t) * [0.r ] _ 7TT(li) = s lo, t>T Bõy gi, do nT {D) l m t t p com pact trong VC{[0,T]; X) , ta cú th vit N * t {D) c (3.5) i=1 vi U VC{[0, T] ; X) , i = 1, , N, kớ hiu B T (u; r ) l hỡnh cu trong VC{[0, T];