cơ sở grobner và giải hệ phương trình đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ NGỌC THỦY CƠ SỞ GR ¨ OBNER VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ NGỌC THỦY CƠ SỞ GR ¨ OBNER VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Tạ Duy Phượng Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Chương 1. Cơ sở Gr ¨ obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.Cấu trúc đại số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.Vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Đa thức và bậc đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Định lý Hilber về cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Đa thức một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4. Iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.Cơ sở Gr ¨ obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1. Thứ tự từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2. Một số thứ tự từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3. Từ khởi đầu, đơn thức đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4. Ideal khởi đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.5. Định nghĩa cơ sở Gr ¨ obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.6. Thuật toán chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.7. Tiêu chuẩn Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.8. Thuật toán Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 2. Hệ phương trình đa thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.Nghiệm của hệ phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.Cách giải hệ phương trình đa thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.Các hàm liên quan tới Gr ¨ obner của Maple . . . . . . . . . . . . . . . 49 Chương 3. Giải hệ phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Phụ lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý thuyết cơ sở Gr ¨ obner được nghiên cứu lần đầu tiên vào khoảng thập kỉ 60 của thế kỉ 20, nó nhanh chóng trở thành hạt nhân của ngành Đại số máy tính (Computer Algebra) và là một công cụ hữu hiệu trong rất nhiều bài toán cơ bản của Đại số giao hoán, Hình học đại số. Dưới sự hướng dẫn của Giáo sư Wolfgang Gr ¨ obner, năm 1965, Bruno Buchberger đã đưa ra thuật toán Buchberger trong luận án tiến sĩ của mình. Điểm mấu chốt khởi đầu cho sự hình thành lý thuyết của Buchberger chính là việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức một biến sang trường hợp các đa thức nhiều biến. Cơ sở Gr ¨ obner về phương diện lý thuyết còn được khẳng định bằng việc cung cấp chứng minh cho ba định lý của Hilbert: Định lý Hilbert về cơ sở, Định lý Hilber t về xoắn và Định lý Hilbert về không điểm. Trong các ứng dụng gần gũi nhất của lý thuyết cơ sở Gr ¨ obner, chúng tôi quan tâm tới việc giải hệ phương trình đa thức. Thực chất việc tìm cơ sở Gr ¨ obner của một hệ phương trình đa thức là đưa hệ phương trình ban đầu về một hệ phương trình mới có dạng tam giác. Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ. Dưới góc độ của một giáo viên phổ thông, hy vọng đề tài này sẽ đem đến cho chúng tôi cơ hội được học hỏi thêm nhiều hơn các công cụ toán học hiện đại, góp phần soi sáng cho những nội dung liên quan trong chương trình toán phổ thông. • Luận văn Cơ sở Gr ¨ obner và giải hệ phương trình đa thức có mục đích cung cấp cho giáo viên phổ thông, các em học sinh và những người yêu toán một hướng tiếp cận mới, một công cụ giải hệ phương trình đa thức, một phương pháp chung cho hầu hết các bài toán dạng này. Luận văn cũng cung cấp cho người sử dụng một số hàm quan trọng 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trong Maple liên quan tới cơ sở Gr ¨ obner. • Luận văn gồm ba Chương. • Chương 1: Trình bày tổng quan lý thuyết cơ sở Gr ¨ obner. • Chương 2: Trình bày điều kiện có nghiệm và cách giải tổng quát hệ phương trình đa thức. • Chương 3: Trình bày một số hệ phương trình đa thức được giải dựa vào cơ sở Gr ¨ obner và các hàm liên quan tới cơ sở Gr ¨ obner trong Maple. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn thầy hướng dẫn đã tận tình giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình tập dượt nghiên cứu và viết luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên và các thầy cô giáo Viện Toán học đã tận tâm giảng dạy và giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường THPT Bạch Đằng - Hải Phòng, nơi tác giả đang công tác, các đồng nghiệp, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập. Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Cơ sở Gr ¨ obner 1.1. Cấu trúc đại số cơ bản 1.1.1. Vành Định nghĩa 1.1.1 Vành là một tập hợp R = /0 được trang bị phép toán cộng “+”: (a,b) →a +b và phép toán nhân “.”: (a,b) →a.b thỏa mãn các tính chất sau: (i) Đối với phép cộng, R là một nhóm giao hoán. (ii) Phép nhân có tính kết hợp, tức là với mọi a, b,c ∈ R: a.(b.c) = (a.b).c (iii) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng, tức là a,b, c ∈ R: a.(b + c) = a.b + a.c và (b + c).a = b.a + c.a. Phần tử "không" của vành được kí hiệu là 0. Để cho tiện, thông thường ta viết ab thay cho tích a.b. R được gọi là vành có đơn vị nếu nó chứa phần tử 1 thỏa mãn a1 = 1a = a với mọi a ∈ R. Khi cần nhấn mạnh vành R ta dùng kí hiệu 0 R ,1 R để chỉ các phần tử không và đơn vị của R. Vành R được gọi là vành giao hoán nếu với mọi a,b ∈ R,ab = ba. Trong luận văn này ta chỉ xét đến vành giao hoán, có đơn vị. Do đó vành luôn hiểu theo nghĩa này. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ : 1. Tập số nguyên Z, số thực R, số phức C, với các phép cộng và phép nhân thông thường lập thành các vành. Tuy nhiên tập N không phải là vành. 2. Tập R [x] các đa thức một biến x với hệ số thực lập thành một vành. Định nghĩa 1.1.2 Cho R là một vành và a ∈ R. Phần tử a được gọi là: (i) ước của không nếu a = 0 và tồn tại 0 = b ∈ R sao cho ab = 0. (ii) khả nghịch (hoặc đơn vị) nếu tồn tại c ∈R sao cho ac = 1. Vành R không chứa ước của 0 được gọi là miền nguyên. Ví dụ : Vành Z là miền nguyên với hai phần tử đơn vị là 1 và −1. Định nghĩa 1.1.3 Giả sử R là một vành, A là một bộ phận ổn định của R đối với hai phép toán trong R nghĩa là x + y ∈ A và xy ∈ A với mọi x,y ∈ A. A là một vành con của vành R nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành. Định lý 1.1.4 Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của vành R. Các điều kiện sau đây là tương đương: (i) A là một vành con của vành R. (ii) Với mọi x,y ∈ A, x +y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A. (iii) Với mọi x,y ∈ A, x −y ∈ A, xy ∈ A. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2. Ideal Định nghĩa 1.1.5 Cho R là một vành. Tập con I = /0 của R được gọi là iđêan nếu hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với mọi a, b ∈ I, a + b ∈ I. (ii) Với mọi a ∈I và r ∈ R, ra ∈I. Ví dụ : 1. Mọi vành R đều chứa iđêan tầm thường I = 0 và chính nó I = R . 2. Tập nZ là các iđêan trong vành Z. Định nghĩa 1.1.6 Ta gọi là đêan trái (iđêan phải) của một vành R, là một vành con A của R thỏa mãn điều kiện x a ∈ A(ax ∈ A) với mọi a ∈ A với mọi x ∈ R. Một vành con A của vành R gọi là một iđêan của R nếu và chỉ nếu A vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của R. Định lý 1.1.7 Một tập A khác rỗng của một vành R là một iđêan của R nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn: (i) a −b ∈ A với mọi a,b ∈ A. (ii) xa ∈ A, ax ∈ A với mọi a ∈A và mọi x ∈ X. Ví dụ : 1. Tập { 0 } và X là hai iđêan của vành X. 2. Tập mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước. Định lý 1.1.8 Giao của một họ bất kì những iđêan của một vành R là một iđêan của R. Định lý 1.1.9 Giả sử X vành giao hoán có đơn vị và a 1 ,a 2 , ,a n ∈X. Bộ phận A của X gồm các phần tử có dạng x 1 a 1 + x 2 a 2 + + x n a n với 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x 1 ,x 2 , ,x n ∈ X là iđêan của X sinh bởi a 1 ,a 2 , ,a n . 1.1.3. Trường Định nghĩa 1.1.10 Ta gọi trường là một miền nguyên R trong đó mọi phần tử khác 0 đều có một nghịch đảo trong vị nhóm nhân R. Vậy một vành R giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử là một trường nếu và chỉ nếu R\ { 0 } là một nhóm đối với phép nhân của R. Ví dụ : Tập hợp Q các số hữu tỉ cùng với phép cộng và phép nhân các số là một trường. Ta cũng có trường số thực R và trường số phức C. Định nghĩa 1.1.11 Giả sử X là một trường, A là một bộ phận của X ổn định đối với hai phép toán trong X. A gọi là một trường con của trường X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một trường. Định lý 1.1.12 Giả sử A là một bộ phận có nhiều hơn một phần tử của một trường X. Các điều kiện sau đây là tương đương: (i). A là một trường con của trường X. (ii). Với mọi x,y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A, x −1 ∈ A nếu x = 0. (iii). Với mọi x,y ∈A, x −y ∈ A, xy −1 ∈ A nếu y = 0. Ví dụ : 1 . X là một trường con của trường X. Bộ phận { 0 } không phải là một trường con của X, vì theo định nghĩa một trường có ít nhất hai phần tử. 2 . Trường số hữu tỉ Q là trường con của trường số thực R, bản thân R lại là trường con của trường số phức C. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2. Vành đa thức 1.2.1. Đa thức và bậc đa thức Cho R là một vành và x 1 ,x 2 , ,x n (n  1) là các biến. Ta gọi đơn thức là một biểu thức có dạng x a 1 1 x a n n trong đó a i ∈N, i = 1, ,n được gọi là bộ số mũ của đơn thức. Nếu a 1 = = a n = 0 thì đơn thức được kí hiệu là 1. Phép nhân trên tập các đơn thức được định nghĩa như sau  x a 1 1 x a n n   x b 1 1 x b n n  = x a 1 +b 1 1 x a n +b n n . Từ là biểu thức có dạng αx a 1 1 x a n n , trong đó α ∈ R gọi là hệ số của từ. Hai từ khác không αx a 1 1 x a n n và βx a 1 1 x a n n là đồng dạng với nhau. Để cho tiện ta kí hiệu x = (x 1 , x n ), a = (a 1 , ,a n ) ∈ N n và x a = x a 1 1 x a n n . Đa thức n biến x 1 , ,x n trên vành R là một tổng hình thức của các từ: f (x) = ∑ α a x a , trong đó chỉ có hữu hạn hệ số α a = 0. Từ α a x a với α a = 0 được gọi là từ của đa thức f (x) và x a là đơn thức của f (x). Hai đa thức f (x) = ∑ a∈N n α a x a và g(x) = ∑ a∈N n β a x a được xem là bằng nhau nếu α a = β a với mọi a ∈N n . Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau:  ∑ a∈N n α a x a  +  ∑ a∈N n β a x a  = ∑ a∈N n (α a + β a )x a . Vì α a +β a = 0 nếu một trong hai hệ số α a hoặc β a bằng 0, nên trong 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Một vành thỏa mãn một trong ba điều trên được gọi là vành Noether Định lý 1.2.6 (Định lý Hilbert về cơ sở) Cho R là vành Noether và x là tập n biến Khi đó vành R [x] cũng là vành Noether Hệ quả 1.2.7 Mọi iđêan của vành đa thức K [x] trên trường K là hữu hạn sinh 1.2.3 Đa thức một biến Định lý 1.2.8 (Định lý chia đa thức một biến) Cho K là một trường và g (x) là đa thức khác 0 của K [x] Khi đó mọi đa thức. ..biểu thức ở vế phải cũng chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 và nó đúng là đa thức Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau: ∑ n αa x a + a∈N trong đó γa = ∑ b,c∈N n ; b+c=a ∑ n βa x a a∈N = ∑ n γa x a , a∈N αb βc Định nghĩa 1.2.1 Vành R [x1 , , xn ] xây dựng như trên được gọi là vành đa thức n biến trên vành R Chú ý 1.2.2 1 Khi n = 1 ta có vành đa thức một biến thông thường Đa thức một biến x... một thứ tự từ cho trước Khi đó với mỗi đa thức f ∈ R, đa thức dư r của phép chia f cho hệ F (trong Định lý chia đa thức) được xác định duy nhất Nói riêng, kết quả thực hiện Thuật toán chia đa thức trong trường hợp này không phụ thuộc vào thứ tự các đa thức chia trong F Chứng minh Sự tồn tại của r được đảm bảo bởi Định lý chia đa thức Giả sử có hai đa thức dư r và r , tức là tồn tại q1 , , qs , q1 ,... và hoặc r (x) = 0 hoặc deg r (x) < deg f (x) Hơn nữa q (x) và r (x) được xác định duy nhất Hệ quả 1.2.9 Vành đa thức K [x] trên một trường tùy ý là vành các iđêan chính, nghĩa là mọi iđêan đều sinh bởi một đa thức Định nghĩa 1.2.10 Ước chung lớn nhất của các đa thức f1 , , fn ∈ K [x] là đa thức h sao cho: (i) h chia hết f1 , , fn nghĩa là f1 = q1 g, , fn = qn g; q1 , , qn ∈ K [x] (ii) Nếu h là đa thức. .. αx11 xnn xm+1 trên vành R [x1 , , xn ], có thể xem R [x1 , , xn ] như là vành đa thức n − m biến xm+1 , , xn trên vành R [x1 , , xm ], tức là R [x1 , , xn ] = R [x1 , , xm ] [xm+1 , , xn ] Với quan điểm trên có thể xây dựng vành nhiều biến (vô hạn biến R [xi , i ∈ I]) từ vành một biến theo quy nạp Tuy nhiên mỗi đa thức của các vành đó vẫn là một đa thức hữu hạn biến 3 Khi tập đa thức đã được xác định,... các phần tử này Từ Bổ đề Dickson 1.2.15 suy ra mọi iđêan đều có cơ sở Gr¨ bner (hữu o hạn) Chú ý rằng trong luận văn này ta luôn hiểu cơ sở như một hệ sinh Bổ đề 1.3.17 Cho G là cơ sở Gr¨ bner của iđêan I đối với một thứ o tự từ nào đó Nếu đa thức g ∈ G thỏa mãn, tồn tại đa thức g ∈ G sao cho in (g ) |in (g) , thì G\ {g} cũng là một cơ sở Gr¨ bner của I o Chứng minh Nếu tồn tại g ∈ G sao cho in (g )... iđêan khởi đầu tương đương với việc tìm một cơ sở Gr¨ bner của I (đối với một thứ tự từ nào đó) Tuy nhiên việc này không o đơn giản tí nào vì không phải mọi cơ sở của I là cơ sở Gr¨ bner của I Hơn o nữa, một cơ sở đã cho của I có thể là cơ sở Gr¨ bner đối với thứ tự này, o nhưng không là cơ sở Gr¨ bner đối với thứ tự khác o Ví dụ: 1 Cho I = xy, y3 ⊆ K [x, y] và f1 = xy, f2 = xy − y3 Cho x > y, khi đó... x cho x2 và x2 + 1 có thể cho đa thức dư là x hoặc 0 Chú ý 1.3.25 Kết quả thực hiện Thuật toán chia đa thức phụ thuộc vào việc sắp thứ tự các phần tử của tập F = { f1 , , fs } Đa thức PHANDU ( f ; F) (phần dư của đa thức f khi chia cho F) xác định duy nhất và là một giá trị của Re mF ( f ) Tuy nhiên nói chung Re mF ( f ) = PHANDU ( f ; F) Mệnh đề 1.3.26 Giả sử F = { f1 , , fs } là một cơ sở Gr¨ bner... thể của đa thức hằng là 0 Bậc tổng thể của đa thức 0 được quy ước là một số tùy ý 2 Nhiều khi ta còn dùng bậc của đa thức đối với tập con các biến, chẳng hạn {x1 , , xm }, được định nghĩa như sau: degx1 xm f (x) = max {a1 + + am |αa = 0} , trong đó m < n cố định Nói cách khác, đó là bậc tổng thể của đa thức f (x) xét như đa thức của vành K [xm+1 , , xn ] [x1 , , xm ] 1.2.2 Định lý Hilber về cơ sở Định... bậc Định nghĩa 1.3.21 Cơ sở Gr¨ bner rút gọn của iđêan I đối với một o thứ tự từ đã cho là một cơ sở Gr¨ bner G của I thỏa mãn các tính chất sau: o (i) l c (g) = 1 với mọi g ∈ G (ii) Với mọi g ∈ G và mọi từ m của g không tồn tại g ∈ G\ {g} để in (g ) |m Rõ ràng mọi cơ sở Gr¨ bner rút gọn là cơ sở Gr¨ bner tối tiểu Kết quả o o sau đây nói rõ rằng cơ sở Gr¨ bner rút gọn tồn tại và duy nhất o Mệnh đề . 35 Chương 2. Hệ phương trình đa thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.Nghiệm của hệ phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.Cách giải hệ phương trình đa thức. . Thực chất việc tìm cơ sở Gr ¨ obner của một hệ phương trình đa thức là đưa hệ phương trình ban đầu về một hệ phương trình mới có dạng tam giác. Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ. Dưới góc độ của. tới cơ sở Gr ¨ obner. • Luận văn gồm ba Chương. • Chương 1: Trình bày tổng quan lý thuyết cơ sở Gr ¨ obner. • Chương 2: Trình bày điều kiện có nghiệm và cách giải tổng quát hệ phương trình đa thức. •