Xét hệS P1(x1, ...,xn) =0 P2(x1, ...xn) =0 ...
GọiI là iđêan sinh bởi các đa thức
I = (P1(x1, ...,xn),P2(x1, ...xn)...). Bổ đề 2.1.1 F ∈ I(S) thì F x01, ...,xn0 = 0 với mọi x01, ...,x0n là nghiệm của hệS. Chứng minh F ∈I(S)⇔F =r1P1+r2P2+...+rmPm. Từ đó suy ra F x01, ...,x0n=r1 x10, ...,x0n.P1 x01, ...,x0n+r2 x01, ...,xn0.P2 x01, ...,x0n +...+rm x01, ...,x0n.Pm x01, ...,x0n =r1 x01, ...,x0n.0+r2 x01, ...,x0n.0+...+rm x01, ...,x0n.0=0 .
Mệnh đề 2.1.2ChoK là một trường đóng đại số và f1, ...,fm∈K[x].
Các điều kiện sau tương đương:
(i) Hệ phương trình f1(x) =...= fm(x) = 0vô nghiệm.
(ii) Tồn tại cơ sở Gr¨obner của I = (f1, ...,fm) (đối với thứ tự từ nào đó) chứa một đa thức hằng.
(iii) Mọi cơ sở Gr¨obner củaI = (f1, ..., fm)chứa một đa thức hằng.
Đối với hệ thuần nhất ta có
Mệnh đề 2.1.3 Cho f1, ..., fm ∈K[x] là các đa thức thức thuần nhất khác hằng, trong đó K là trường đóng đại số. Các điều kiện sau tương đương:
(i) Hệ phương trình f1(x) = ... = fm(x) = 0 chỉ có nghiệm tầm thường (0, ...,0).
(ii) ) Tồn tại một cơ sở Gr¨obner G của I = (f1, ...,fm), sao cho với mỗi
06i 6n, tồn tạig ∈G để lm(g) =xai
i , ai >0.
(iii) Mọi cơ sở Gr¨obnerGcủa I = (f1, ...,fm)có tính chất: với mỗi 06i6
n, tồn tạig∈G sao cholm(g) =xai
i , ai>0.
Bây giờ ta xem xét khi nào hệ phương trình đa thức có hữu hạn nghiệm.
Mệnh đề 2.1.4 Cho I là là iđêan thực sự của vành K[x]. Các điều
kiện sau là tương đương:
(i) Với mỗii,16i 6n, I có một đa thức khác 0 chỉ chứa biến xi.
(ii) Với mỗi 16 i 6 n, có một đa thức khác 0 mà từ khởi đầu của nó chỉ chứa biến xi.
thức mà từ khởi đầu của nó chỉ chứa biến xi.