Dựa vào khái niệm S-đa thức và tiêu chuẩn Buchberger, có thể xây dựng cơ sở Gr¨obner của một iđêan từ một hệ sinh tùy ý của nó. Cho
f ∈ K[x] và F = {f1, ..., ft} ∈ K[x] là một tập được sắp. Nhớ lại rằng
PHANDU(f;F) là đa thức dư của f trong phép chia cho F theo Thuật toán chia đa thức. Nó được xác định duy nhất.
Thuật toán 1.3.34Thuật toán Buchberger
Tìm cơ sở Gr¨obnerCSGR(f1, ...,ft):={g1, ...,gs} từ(f1, ..., ft) Input:F = (f1, ..., ft)
Output: cơ sở Gr¨obnerG= {g1, ...,gs} vàF ∈G G:=F REPEAT G0:=G FOR mỗi cặp{p,q} ∈G0, p6=q DO S:= PHANDU(S(p,q);G0) IFS 6=0 THENG:=G∪ {S} UNTILG =G0
Ta tạm hiểu bước của Thuật toán (trừ bước cuối cùng) là một lần tập
G được tăng thêm một đa thức. Bước cuối cùng là khi có G= G0. Trong thuật toán trên, tại mỗi bước ta có thể thay PHANDU(f;F) bằng bất kì giá trị nào củaRemF(f). Định lý sau đây phát biểu cho dạng tổng quát này.
Định lý 1.3.35 Thuật toán 3.7.2.1 dừng sau một hữu hạn bước và G
là cơ sở Gr¨obner chứa{f1, ..., ft} củaI ={f1, ...,ft}.
Chứng minh.Trước hết ta nhận xét rằng tại mỗi bước, đá thức S được
thêm vào có dạng S =S(p,q)− ∑ g∈G hg.g= mqp.p−mpq.q− ∑ g∈G hg.g.
Lúc khởi đầu {f1, ...,ft} ⊆G⊆I. Do đó từ đẳng thức trên và bằng quy nạp theo số bước suy ra các bao hàm thức đó luôn đúng. VìI = (f1, ..., ft), nênI = (G). Thuật toán dừng chỉ khi không có đa thức nào được thêm vào
G, tức là khi RemG(p,q) = 0 với mọi p,q ∈ G,p 6= q. Theo tiêu chuẩn Buchberger,G là cơ sở Gr¨obner của I.
Bây giờ chỉ còn phải chứng minh thuật toán dừng. Kí hiệuGi là tập
G nhận được ở bước thứ i của thuật toán. Ta dùng lại kí hiệu trước đây
in(G) ={in(g)|g∈G}. Do G0 ⊆G1 ⊆ ...,nên
(in(G0))⊆(in(G1))⊆ (in(G2)) ⊂...
K[x] là vành Noether (theo Định lý Hilbert về cơ sở - Lê Tuấn Hoa,
Đại số máy tính cơ sở Gr¨obner,33), nên dãy trên phải dừng sau một số hữu
hạn bước. Gọi i là chỉ số nhỏ nhất để in(Gi) = in(Gi+1). Nếu Gi ⊂ Gi+1
thì tồn tại p,q ∈ Gi để đa thức RemGi(S(p,q)) được thêm vào Gi+1. Vì các từ của RemGi(S(p,q)) không chia hết cho bất kì từ khởi đầu nào của
và thuật toán dừng sau bước thứ i+1.
Chú ý 1.3.36 Để đơn giản hóa Thuật toán Buchberger, ta sẽ dùng
dạng tổng quát (hay bất định) của nó.
Nếu RemG(f) = 0 và G ⊆ G0 thì có thể chọn RemG0(f) =0. Hơn nữa, nếu S=RemG(S(p,q)) và G0=G∪ {S} thì
S(p,q) = ∑
g∈G
hg.g+1.S+0,
thỏa mãn Định lý chia đa thức và do đó có thể chọn RemG0(S(p,q)) =0. Vì vậy trong bước tiếp theo của Thuật toán, không cần xét lại các cặp phần tử(p,q)đã xét ở bước trước đó.
Chương 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hệ phương trình đa thức