Trong 1.2.3 ta đã thấy vai trò quan trọng của định lý chia đa thức một biến để nghiên cứu cấu trúc của vành đa thức một biến. Ý tưởng chính trong việc mở rộng định lý này là dùng thứ tự từ thay cho bậc của đa thức để giảm dần các từ khởi đầu của đa thức bị chia, cho đến khi không thể “chia được” thì dừng. Bằng cách này không những có thể mở rộng thuật toán chia ra trường hợp nhiều biến, mà còn chia được cho nhiều đa thức cùng một lúc. Nhưng việc mở rộng đó làm cho đa thức dư và các “đa thức thương” không còn xác định duy nhất như trong trường hợp chia cho một đa thức một biến. Tuy nhiên điều đó cũng đủ cho việc áp dụng sau này.
Định lý 1.3.23 (Định lý chia đa thức) Cố định một thứ tự từ 6 trên
M và cho F = {f1, ..., fs} ⊂ R= K[x1, ...,xn]. Khi đó mọi đa thức f ∈R
có thể viết được dưới dạng
f = q1f1+...+qsfs+r,
trong đó qi,r∈Rthỏa các điều kiện sau đây:
(i) Hoặc r = 0, hoặc không có từ nào của r chia hết cho một trong các từ khởi đầuin f1, ...,in fs. Hơn nữa inr 6in f.
(ii) Nếuqi 6=0 thìin(qifi)6in(f), i =1, ...,s.
Định nghĩa 1.3.24Đa thứcrở trên được gọi làđa thức dưhoặcphần
dư của f khi chia cho F và được kí hiệu là r = RemF(f). Bản thân biểu diễn trên của f được gọi làbiểu diễn chính tắccủa f theo f1, ...,fs.
Mặc dù gọi như vậy, nhưng sau này sẽ thấy đa thức dư RemF(f) không xác định duy nhất. Các đa thức q1, ...,qs đóng vai trò như các đa thức thương, nhưng chúng không quan trọng đối với lý thuyết trình bày ở đây, nên người ta không đặt tên gọi riêng.
Ví dụ:
x3+x = x. x2+1+0.x2+0 = 0. x2+1+x.x2+x, tức là chia
x3+xcho x2 và x2+1 có thể cho đa thức dư là x hoặc 0.
Chú ý 1.3.25 Kết quả thực hiện Thuật toán chia đa thức phụ thuộc
vào việc sắp thứ tự các phần tử của tậpF ={f1, ...,fs}. Đa thức
PHANDU(f;F) (phần dư của đa thức f khi chia cho F) xác định duy nhất và là một giá trị của RemF(f). Tuy nhiên nói chung RemF(f) 6=
PHANDU(f;F).
Mệnh đề 1.3.26Giả sửF ={f1, ..., fs}là một cơ sở Gr¨obner đối với một thứ tự từ cho trước. Khi đó với mỗi đa thức f ∈ R, đa thức dư r của phép chia f cho hệ F (trong Định lý chia đa thức) được xác định duy nhất. Nói riêng, kết quả thực hiện Thuật toán chia đa thức trong trường hợp này không phụ thuộc vào thứ tự các đa thức chia trongF.
Chứng minh. Sự tồn tại củar được đảm bảo bởi Định lý chia đa thức.
Giả sử có hai đa thức dưr vàr0, tức là tồn tạiq1, ...,qs,q01, ...,q0s ∈Rđể
f =q1f1+...+qsfs+r=q01f1+...+q0sfs+r0.
Khi đó
r−r0 = q01−q1 f1+...+ q0s−qs fs ∈I := (f1, ...,fs).
Vì f1, ..., fs là cơ sở Gr¨obner của I nên tồn tại i6 s để in(r−r0) chia hết choin(fi). Nhưng điều đó không thể xảy ra nếuin(r−r0)6=0, vì đơn thức của in(r−r0) phải là một đơn thức của r và r0, mà theo Định lý chia đa thức, không có từ nào củar vàr0 chia hết choin(fi). Vậy phải cór= r0.
Trong chứng minh trên thực ra không sử dụng điều kiện (ii) của Định lý 1.3.23, nghĩa là mệnh đề trên vẫn còn đúng khi đa thức dư được hiểu theo nghĩa rộng hơn (chỉ thỏa mãn điều kiện (i) của Định lý 3.6.1). Từ đó suy ra:
Hệ quả 1.3.27Giả sửF={f1, ..., fs}là một cơ sở Gr¨obner của iđêan
I đối với một thứ tự từ cho trước và đa thức f ∈R. Khi đó f ∈I khi và chỉ khi đa thức dư rcủa phép chia f cho hệ F bằng 0.
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh điều kiện cần. Giả sử f ∈I. Khi
đó tồn tại q1, ...,qs ∈R để f = q1f1+...+qsfs+0. Do tính duy nhất của
phần dư, suy ra r=0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});