Cơ sở Groebner và hệ phương trình đa thức

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN THỊ THANH VÂN CƠ SỞ GROEBNER VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 Cơng trình hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Chánh Tú Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Toán học họp trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng vào ngày .tháng .năm Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn phổ thơng, giải hệ phương trình đa thức biến ta thường sử dụng phép chia có dư thuật tốn Euclide Vậy hệ phương trình đa thức nhiều biến ta sử dụng phép chia có dư thuật tốn Euclide khơng hay sử dụng phép chia thuật toán tương tự ? Cách chia thuật tốn có đặc biệt có ứng dụng rộng rãi không ? Khi học môn đại số giao hoán, ta giải đáp câu hỏi dựa vào lý thuyết sở Groebner với phần ứng dụng Cơ sở Groebner nhà toán học Bruno Buchberger giới thiệu luận án tiến sĩ vào năm 1965 hướng dẫn giáo sư Wolfgang Groebner Sử dụng thuật toán Buchberger giúp ta tìm sở Groebner cho đa thức nhiều biến Và từ giúp ta hình thành phương pháp giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Ngồi lý thuyết sở Groebner mở ứng dụng khác thực phong phú từ Với lý hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Chánh Tú, chọn nghiên cứu đề tài: Cơ sở Groebner hệ phương trình đa thức Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết sở Groebner, tiêu chuẩn Bucheberger, thuật toán Buchberger ứng dụng sở Groebner vào việc giải hệ phương trình đa thức nhiều biến 2 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Nắm khái niệm đa thức, thứ tự đơn thức, iđêan dẫn đầu, sở Groebner, tiêu chuẩn thuật toán Buchberger Sử dụng thuật toán Buchberger tìm sở Groebner đa thức nhiều biến ứng dụng vào giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cơ sở Groebner ứng dụng giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: thu thập, đọc nghiên cứu tài liệu, báo, giáo trình vấn đề: đa thức, thứ tự đơn thức, iđêan dẫn đầu, sở Groebner, tiêu chuẩn thuật toán Buchberger, số toán ứng dụng Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn giảng viên khác thuộc khoa Toán trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn giúp thân hiểu rõ lý thuyết sở Groebner, nắm ứng dụng nghiên cứu toán học đặc biệt việc ứng dụng vào giải hệ phương trình đa thức nhiều biến biết số loại hệ phương trình đa thức nhiều biến giải thơng qua việc tìm sở Groebner Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày theo cấu trúc gồm 02 chương: Chương I Lý thuyết sở Groebner Chương II Ứng dụng sở Groebner giải hệ phương trình đa thức với hỗ trợ phần mềm Maple 3 CHƯƠNG LÝ THUYẾT VỀ CƠ SỞ GROEBNER Trong chương này, nêu khái niệm, tính chất iđêan đơn thức, thứ tự đơn thức, hạng tử dẫn đầu, sở Groebner, tiêu chuẩn thuật toán Buchberger Tất khái niệm, kết chương này, lấy từ tài liệu tham khảo [1], [4], [5] 1.1 Vành đa thức 1.1.1 Các khái niệm vành đa thức Vành đa thức n biến k k[x1 , , xn ] Sau đây, ta kí hiệu k[X] = k[x1, , xn] Các phần tử k[X] gọi đa thức n biến f Vành k[X] không phụ thuộc vào thứ tự biến đa thức n biến f có dạng cα1, ,αn xα1 xαnn f (X) = α1 + +αn ≤α với α số tự nhiên cα1 , ,αn ∈ k Các phần tử cα1 , ,αn gọi hệ số, c0, ,0 hệ số tự f Các biểu thức xα1 xαnn gọi đơn thức Bậc đơn thức xα1 xαnn tổng α1 + + αn số mũ Bậc đa thức f = bậc lớn bậc đơn thức với hệ số khác khơng f Ta kí hiệu bậc f degf 1.1.2 Iđêan đơn thức Định nghĩa 1.1.1 Iđêan I ⊂ k[x1 , , xn ] iđêan đơn thức có tập A ⊂ Zn≥0 mà I bao gồm tất đa thức tổng hữu hạn dạng α∈A hα xα , hα ∈ k[x1, , xn] Trong trường hợp này, ta viết I = xα : α ∈ A Ví dụ 1.1.2 Trong vành k[x, y], I = x3, xy 2, x iđêan đơn thức Bổ đề 1.1.3 Cho I = xα : α ∈ A iđêan đơn thức Một đơn thức xβ ∈ I xβ chia hết cho xα với α ∈ A Bổ đề 1.1.4 Cho I iđêan đơn thức f ∈ k[x1 , , xn ] Các điều kiện sau tương đương: (i) f ∈ I (ii) Mọi hạng tử f thuộc I (iii) f tổ hợp tuyến tính k đơn thức I Hệ 1.1.5 Hai iđêan đơn thức gọi tập đơn thức chúng Định lí 1.1.6 (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I viết dạng I = xα(1), , xα(s) , ta có α(1), , α(s) ∈ A Đặc biệt, I có hệ sinh hữu hạn 1.1.3 Định lí Hilbert Định nghĩa 1.1.7 Vành k gọi vành Noether iđêan k hữu hạn sinh Bổ đề 1.1.8 Các điều kiện sau tương đương: (i) Vành k vành Noether, (ii) Mọi dãy tăng iđêan k : I1 ⊆ I2 ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ dừng, tức tồn j ≥ để Ij = Ij+1 = (iii) Mọi hệ khác rỗng iđêan k có phần tử cực đại (khơng nằm iđêan khác hệ) Định lí 1.1.9 Nếu k vành Noether vành đa thức k[x] Noether 5 Áp dụng định lí nhiều lần ta kết sau: Hệ 1.1.10 (Định lí Hilbert sở) Nếu k vành Noether vành đa thức nhiều biến k[X] vành Noether 1.1.4 Tập đại số Trong phần quan tâm đến tập đại số, tức tập nghiệm họ đa thức vành đa thức k[x1 , , xn ] trường k Ta gọi k n = {(a1 , , an )|ai ∈ k, ∀i = 1, , n} không gian affin n chiều Với tập S k[x1, , xn], kí hiệu: Z(S) = {(a1, , an) ∈ k n|f (a1, , an) = 0, ∀f ∈ S} tập nghiệm (hay tập không điểm chung) S Định nghĩa 1.1.11 Một tập A k n gọi tập đại số (hay đa tạp affin) tồn S ⊆ k[x1 , , xn ] cho A = Z(S) Khi ta nói A tập đại số định nghĩa S Ví dụ 1.1.12 Trong mặt phẳng affin R2 , tập đại số Z(x2 + y − 1) đường tròn bán kính tâm gốc tọa độ Mệnh đề 1.1.13 Mỗi tập đại số k n tập nghiệm iđêan vành đa thức k[x1 , , xn ] Mệnh đề 1.1.14 Mỗi tập đại số tập nghiệm hữu hạn đa thức Chú ý 1.1.15 Việc quy tập đại số tập nghiệm hữu hạn đa thức vơ quan trọng Nó cho phép thực thuật tốn Buchberger để tìm sở Groebner iđêan xuất phát từ hệ sinh hữu hạn 6 1.2 Cơ sở Groebner 1.2.1 Thứ tự đơn thức Định nghĩa 1.2.1 Thứ tự đơn thức k[x1 , , xn ] quan hệ > tập đơn thức xα k[x1 , , xn ], α ∈ Zn≥0 thỏa mãn tính chất sau: (i) > quan hệ thứ tự toàn phần Zn≥0 (ii) Nếu α > β, với γ ∈ Zn≥0 α + γ > β + γ (iii) > quan hệ thứ tự tốt Nghĩa tập khác rỗng Zn≥0 có phần tử nhỏ Sau ta định nghĩa số thứ tự đơn thức quan trọng: Định nghĩa 1.2.2 Thứ tự từ điển (Lexicographic Order) Với α = (α1 , , αn ) β = (β1 , , βn ) ∈ Zn≥0 Ta có α >lex β α−β ∈ Zn thành phần bên trái số dương Ta viết xα >lex xβ α >lex β Định nghĩa 1.2.3 Thứ tự từ điển phân bậc (Graded Lex Order) Với α = (α1 , , αn ) β = (β1 , , βn ) ∈ Zn≥0 Ta nói α >grlex β n i=1 αi > n i=1 βi n i=1 αi = n i=1 βi α >lex β Định nghĩa 1.2.4 Thứ tự từ điển ngược (Graded Reverse Lex Order) Với α = (α1 , , αn ) β = (β1 , , βn ) ∈ Zn≥0 Ta có α >grevlex β n i=1 αi > n i=1 βi n i=1 αi = n i=1 βi α − β ∈ Zn có thành phần bên phải số âm Ví dụ 1.2.5 Cho đa thức f = 3x3 y z +4x2 y −y z +2x4 −5y +2, với x > y > z a) Xếp theo thứ tự từ điển >lex ta được: f = 2x4 + 3x3y 2z + 4x2y − 5y − y 2z + b) Xếp theo thứ tự từ điển phân bậc >grlex ta được: f = 3x3y 2z + 4x2y + 2x4 − 5y − y 2z + c) Xếp theo thứ tự từ điển ngược >grevlex ta được: f = 4x2y + 3x3y 2z + 2x4 − 5y − y 2z + 1.2.2 Hạng tử dẫn đầu, iđêan dẫn đầu Định nghĩa 1.2.6 Cho f đa thức khác không k[x1 , , xn ] thứ tự đơn thức > Hạng tử dẫn đầu f , kí hiệu LT> (f ), hạng tử lớn đa thức f thứ tự > Nếu LT> (f ) = α cα x α hệ số dẫn đầu f , kí hiệu LC> (f ), cα đơn thức dẫn đầu f , kí hiệu LM>(f ), xα Chú ý: LT (0), LC(0), LM (0) khơng xác định Ví dụ 1.2.7 Cho đa thức f = 3x3 y z+4x3 y −y z+2x4 −5y +2y a) Đối với thứ tự từ điển ta có hạng tử dẫn đầu, hệ số dẫn đầu đơn thức đầu là: LT (f ) = 2x4 , LC(f ) = 2, LM (f ) = x4 b) Đối với thứ tự từ điển phân bậc ta có hạng tử dẫn đầu, hệ số dẫn đầu đơn thức đầu là: LT (f ) = 3x3 y z, LC(f ) = 3, LM (f ) = x3 y z c) Đối với thứ tự từ điển ngược ta có hạng tử dẫn đầu, hệ số dẫn đầu đơn thức đầu là: LT (f ) = 4x2 y , LC(f ) = 4, LM (f ) = x2 y Định lí 1.2.8 (Thuật toán chia vành đa thức) Cố định thứ tự đơn thức > Zn≥0 Đặt F = (f1 , , fs ) S - đa thức thứ tự k[x1 , , xn ] Vì thế, đa thức f ∈ k[x1 , , xn ] viết dạng f = a1 f1 + + as fs + r, , r ∈ k[x1 , , xn ], thỏa mãn: (i) Với i = 1, , s, aifi = LT>(f ) ≥ LT>(aifi) (ii) r = r tổ hợp tuyến tính đơn thức,với hệ số k , khơng có đơn thức chia hết cho LT>(f1), , LT>(fs) Ta gọi r phần dư f chia cho F Kí hiệu r = f¯F Định nghĩa 1.2.9 Cho I ⊂ k[x1 , , xn ] iđêan khác (i) LT (I) tập hợp hạng tử dẫn đầu f I Hay ta có: LT (I) = {cα xα : ∃f ∈ I|LT (f ) = cα xα } (ii) LT (I) iđêan dẫn đầu sinh phần tử LT (I) Mệnh đề 1.2.10 Cho I ⊂ k[x1 , , xn ] iđêan (i) LT (I) iđêan đơn thức (ii) Với g1, , gt ∈ I ta có LT (I) = LT (g1), , LT (gt) 1.2.3 Định nghĩa sở Groebner Định nghĩa 1.2.11 Cố định thứ tự đơn thức k[x1 , , xn ] I ⊂ k[x1, , xn] iđêan Một sở Groebner I tập hữu hạn đa thức G = {g1 , , gs } ⊂ I nếu: LT (I) = LT (g1), , LT (gs) Định lí 1.2.12 Nếu G = {g1 , , gs } sở Groebner iđêan I với f ∈ I ta có f¯G = Chứng minh Với f ∈ k[x1 , , xn ] Khi theo Định lí 1.2.8 Thuật tốn chia đa thức, tồn r ∈ k[x1 , , xn ] cho f¯G = r Do đó: f − r ∈ I Vậy f ∈ I r ∈ I Dễ thấy, r = f ∈ I Ngược lại f ∈ I r = r ∈ I G sở Groebner ideal I nên tồn i ∈ {1, , s} cho LT (gi)|LT (f ), mâu thuẫn r = f¯G Do r = f¯G = 9 Hệ 1.2.13 Nếu G = {g1 , , gs } sở Groebner iđêan I G hệ sinh I tức I = g1 , , gs Nếu I = G = ∅ ∅ = {0} Định lí 1.2.14 Cố định thứ tự đơn thức > I ⊂ k[x1 , , xn ] iđêan Phép chia f ∈ k[x1 , , xn ] sở Groebner I viết f = g + r với g ∈ I khơng có hạng tử r chia hết cho phần tử LT (I) Phần dư r xác định 1.2.4 Tiêu chuẩn Buchberger, Thuật toán Buchberger Định nghĩa 1.2.15 Với f, g ∈ k[x1 , , xn ] đa thức khác đa thức không Cố định thứ tự đơn thức > LT (f ) = cxα , LT (g) = dxβ với c, d ∈ k Đặt xγ = LCM (LM (f ), LM (g)) bội chung nhỏ LM (f ) LM (g) Một S - đa thức f g đa thức xác định bởi: xγ xγ S(f, g) = f− g LT (f ) LT (g) Lưu ý: S(f, g) ∈ f, g Ví dụ 1.2.16 Xét f = x3 y − 2x2 y + x g = 3x4 − y Q[x, y] với thứ tự từ điển Ta có: xγ = x4 y tính S(f, g) sau: y y2 2 S(f, g) = x(x y − 2x y + x) − (3x − y) = −2x y + x + 3 s Bổ đề 1.2.17 Giả sử ta có f = i=1 ci fi , ci ∈ k với 2 i deg(fi) = δ ∈ Zn≥0 Nếu deg( s i=1 ci fi ) < δ s i=1 ci fi tổ hợp tuyến tính với hệ số k S -đa thức S(fj , fk ) với ≤ j, k ≤ s Hơn nữa, đa thức S(fj , fk ) có bậc < δ Định lí 1.2.18 (Tiêu chuẩn Buchberger) Cho I = g1 , , gt Một tập hợp hữu hạn G = {g1 , , gs } G sở Groebner I S(gi , gj ) = ∀i = j 10 Chú ý 1.2.19 i) Vì S(f, g) = −S(g, f ) nên để thử xem G = {g1, , gs} có phải sở Groebner hay không, ta cần thử cho cặp hạng tử S(gj , gk ) với j < k ii) Không cần thử Tiêu chuẩn Buchberger cho cặp có hạng tử dẫn đầu nguyên tố Với khái niệm S−đa thức tiêu chuẩn Buchberger, ta có thuật tốn tìm sở Groebner iđêan I từ hệ sinh tùy ý S sau: Định lí 1.2.20 (Thuật tốn Buchberger) Xét iđêan I = f1 , , fs = iđêan đơn thức Cơ sở Groebner G = {g1, g2, , gt} I xây dựng qua số bước hữu hạn theo thuật toán sau: Input: F = {f1 , , fs } Output: Cơ sở Groebner G = {g1 , g2 , , gt } I với F ⊂ G G := F REPEAT G := G FOR cặp {p, q} ∈ G (p = q) DO S := S(p, q) G IF S = THEN G := G ∪ {S} UNTIL G = G Ví dụ 1.2.21 Cho ideal I = x2 y + x, xy + y − 2x Tìm sở Groebner I 11 Giải: Xét đa thức: f1 = x2 y + x, f2 = xy − 2x + y với thứ tự từ điển x > y > z Ta có: LCM (LM (f1 ), LM (f2 )) = x2 y Theo tiêu chuẩn Buchberger ta có: F S(f1, f2) = y(x2y +x)−x(xy −2x+y) = 2x2 = → S(f1, f2) = F Đặt f3 = 2x2 Ta xét F = (f1 , f2 , f3 ) Ta có: S(f1 , f2 ) = F y S(f1, f3) = (x2y + x) − (x2) = x2y + x − x2y = x → S(f1, f3) = Đặt f4 = x Ta xét F = (f1 , f2 , f3 , f4 ) F F Ta có: S(f1 , f2 ) = S(f1 , f3 ) = Ta tiếp tục tính: S(f1 , f4 ) = (x2 y + x) − xy(x) = x = f4 F → S(f1, f4) = F y2 S(f2, f3) = x(xy + y − 2x) − (2x ) = −2x2 + xy → S(f2, f3) = 2 Đặt f5 = −2x + xy Ta xét F = (f1 , f2 , f3 , f4 , f5 ) F F F F Ta có: S(f1 , f2 ) = S(f1 , f3 ) = S(f2 , f3 ) = S(f1 , f4 ) = Ta tiếp tục tính kết sau: F S(fi, fj ) = ∀1 ≤ i ≤ j ≤ Vậy sở Groebner I là: {f1, f2, f3, f4, f5} = {x2y + x, xy − 2x + y, 2x2, x, −2x2 + xy} 12 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CƠ SỞ GROEBNER GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA PHẦN MỀM MAPLE Trong chương này, sở kiến thức chương I nêu phương pháp ứng dụng sở Groebner vào giải hệ phương trình đa thức Đồng thời chúng tơi đưa ví dụ cho việc ứng dụng giải hệ phương trình đa thức ưu, nhược điểm việc ứng dụng 2.1 Hệ phương trình đa thức Định nghĩa 2.1.1 Hệ phương trình đa thức P tập gồm phương trình fi (x1 , , xn ) = fi (x1 , , xn ) với i = 1, , m đa thức vành k[x1 , , xn ] Tập nghiệm đa thức fi (x1 , , xn ) xác định bởi: Z(fi(x1, , xn)) = Z(I) = Z(G) 2.2 Ứng dụng sở Groebner giải hệ phương trình đa thức Trước ứng dụng sở Groebner vào giải hệ phương trình đa thức nào, ta cần tìm hiểu thêm iđêan khử biến đinh lí khử biến sau Định nghĩa 2.2.1 ([5], Definition 1, Chapter 3) Xét I iđêan k[x1 , , xn ], iđêan khử biến thứ xác định sau: I = I ∩ k[x +1, , xn] Chú ý 2.2.2 I = I0 iđêan khử biến thứ Định lí 2.2.3 ([5], Theorem 2, Chapter 3) Cho I ⊂ k[x1 , , xn ] G sở Groebner I với thứ tự từ điển x1 > x2 > > xn 13 Khi với < < n, ta có G = G ∩ k[x , , xn] sở Groebner iđêan khử biến thứ Ta tóm tắt phương pháp giải qua bước sau: Xét hệ phương trình đathức: f (x , , xn)    1 =0 =0 f2(x1, , xn)    fs(x1, , xn) = Gọi I iđêan sinh đa thức f1 , , fs Bước 1: Sử dụng thuật tốn Buchberger tìm sở Groebner G I , G = {g1, , gt} Bước 2: Ta xét đa thức gi với i = 1, , t lấy đa thức khử biến Tức đa thức chứa biến xn chứa tổ hợp biến xn, xn−1 Giải phương trình đa thức gi(xn) = gi(xn, xn−1) = 0, ta tìm giá trị xn xn−1 Bước 3: Ứng với giá trị xn xn−1 tìm Bước 2, ta thay vào đa thức lại G giải phương trình đa thức để xác định giá trị biến lại Bước 4: Tập nghiệm hệ phương trình ban đầu xác định qua nghiệm đa thức G vừa tìm Để hiểu rõ việc ứng dụng sở Groebner vào giải hệ phương trình đa thức thực cụ thể sao, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.2.4 Giải hệphương trình: xz − xyz + = xy + 3y − xz + y −  =0 =0 Đầu tiên ta xét iđêan I = xz − xyz + 2, xy + 3y − 1, xz + y − Bước 1: Sử dụng thuật tốn Buchberger ta tìm sở Groebner 14 I theo thứ tự từ điển G = {g1, g2, g3} đó: g1 = 40z + 47z + 12; g2 = −40z − 66 + 17y; g3 = 287 + 40z + 102x Bước 2: Trong đa thức G, đa thức g1 chứa biến z Các biến lại bị khử Ta giải phương trình g1 = sau:  −3 g1 = ⇐⇒ 40z + 47z + 12 = ⇐⇒   −4 z= −3 , ta thay vào đa thức g2 , g3 nhận Bước 3: Với z = đa thức biến y x, tiến hành giải phương trình đa thức tương z= ứng g2 = g3 = để tìm giá trị x, y sau: −3 − 66 + 17y = ⇐⇒ y = −3 g3 = ⇐⇒ 287 + 40 + 102x = ⇐⇒ x = −4 ta thay vào đa thức g2 , g3 để nhận Tương tự với giá trị z = đa thức biến y , x Và ta giải phương trình đa thức tương ứng g2 = ⇐⇒ −40 g2 = g3 = 0, tức là: −4 g2 = ⇐⇒ −40 − 66 + 17y = ⇐⇒ y = −4 g3 = ⇐⇒ 287 + 40 + 102x = ⇐⇒ x = Bước 4: Từ giá trị biến vừa tìm ta rút tập nghiệm hệ phương trình: (x, y, z) = −4 −3 ; 3; , ; 2; Nhận xét 2.2.5 Như vậy, sử dụng thuật tốn Buchberger tìm sở Groebner theo thứ tự từ điển giúp ta chuyển từ việc giải hệ phương trình cho thành hệ phương trình có chứa phương trình đa thức 15 khử biến Từ đó, việc tìm nghiệm hệ phương trình thực dễ dàng, thuận lợi Trong trình giải hệ phương trình thực việc tìm sở Groebner I thông qua hỗ trợ phần mềm Maple 2.3 Tìm sở Groebner với hỗ trợ phần mềm Maple Phần mềm Maple phần mềm tính tốn chun dụng với nhiều gói lệnh hỗ trợ việc thực tính tốn phức tạp Trong luận văn ta sử dụng phiên Maple 17 quan tâm chủ yếu đến gói lệnh Groebner Để gọi gói lệnh này, menu cửa sổ phần mềm ta chọn Tools/LoadPackage/Groebner Basis Calculations Cửa sổ tính tốn câu lệnh: Loading Groebner Khi sử dụng gói lệnh ta thực thuật tốn chia đa thức, tìm sở Groebner số câu lệnh liên quan đến sở Groebner tìm hạng tử dẫn đầu, hệ số đầu, đơn thức dẫn đầu hay tìm S - đa thức hai đa thức 2.4 Giải hệ phương trình đa thức với hỗ trợ phần mềm Maple Khi giải hệ phương trình đa thức có ứng dụng sở Groebner, ta thấy trình thực phụ thuộc chủ yếu vào sở Groebner G tìm iđêan sinh đa thức hệ Cụ thể sở Groebner G phải có chứa đa thức mà từ ta tìm giá trị biến Và đa thức đa thức chứa biến, đa thức chứa tổ hợp biến mà phân tích tiếp ta tìm giá trị biến Ta xét số ví dụ ứng với trường hợp sở Groebner tìm nhờ hỗ trợ phần mềm Maple 16 Trường hợp 1: Cơ sở Groebner có đa thức chứa biến xn Ví dụ 2.4.1 Giải hệ phương trình: x2y + xy + 3x = 2xy − xy + 4y = (2.1) Xét iđêan I = x2 y + xy + 3x, 2xy − xy + 4y ⊂ C[x, y] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 } đó: g1 = 2y + y − 3y; g2 = 4y + 3x + 8y  y=0  y=1 Xét: g1 = ⇐⇒ y(y − 1)(2y + 3) = ⇐⇒  −3 y= Thay y = vào g2 = ta x = Thay y = vào g2 = ta + 3x + = suy x = −4 Thay y = −3 −3 vào g2 = ta + 3x + = suy x = Vậy hệ phương trình (2.1) có nghiệm: (x, y) = (0; 0), (−4; 1), 1; −3 Ví dụ 2.4.4 Giải hệ phương trình: x4 − 2x2y + 3xy = 5x2 + 4xy − 6y = (2.2) Xét iđêan I = x4 − 2x2 y + 3xy, 5x2 + 4xy − 6y ⊂ C[x, y] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 , g3 } đó: g1 = 64y − 125y 2; g2 = 25xy + 32y 2; g3 = 125x2 − 128y − 150y 17 y=0 125 y= 64 Xét: g1 = ⇐⇒ y (64y − 125) = ⇐⇒ Với y = thay vào g3 = ta x = Với y = 125 thay vào g2 = ta được: x = 64 Vậy hệ phương trình (2.2) có nghiệm: (x, y) = (0; 0), 125 ; 64 Nhận xét 2.4.5 Trong ví dụ này, sở Groebner gồm đa thức Ngoài đa thức g1 chứa biến y có đa thức g2 , g3 chứa biến x, y Với y = thay vào g2 = ta không xác định giá trị cụ thể biến x x nhận giá trị tùy ý Vì ta phải thay y = vào g3 để tìm giá trị x = Trường hợp 2: Cơ sở Groebner có đa thức chứa tổ hợp biến xn−1 , xn Trong trường hợp này, ta cần phân tích tổ hợp biến đa thức gi phương pháp biến đổi thông thường để giải phương trình đa thức gi = Ví dụ 2.4.8 Giải hệ trình:  phương 2 4x − x z + 3xy = 4yz + x2 − 6y  3x − 4y =0 =0 (2.3) Xét iđêan I = 4x2 − x2 z + 3xy, 4yz + x2 − 6y, 3x2 − 4y ⊂ C[x, y, z] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 , g3 , g4 } với: g1 = 6yz − 7y; g2 = 243y − 289y; g3 = 27xy + 34y; g4 = 3x2 − 4y 18 Xét: g1 = ⇐⇒ y(6z − 7) = ⇐⇒ Với y = thay vào g4 = ta x = y=0 z= y=0 289 Xét: g2 = ⇐⇒ y(243y − 289) = ⇐⇒ y= 243 289 34 34 Với y = thay vào g4 = ta x = x = − 243 27 27 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (x, y, z) = 0; 0; 34 289 34 289 , ; ; , − ; ; 27 243 27 243 Nhận xét 2.4.11 Các hệ phương trình ví dụ giải ứng dụng sở Groebner Việc tìm sở Groebner có chứa đa thức biến đa thức tổ hợp biến phân tích hỗ trợ ta nhanh chóng tìm nghiệm hệ Tuy nhiên, khơng phải hệ phương trình giải phương pháp ứng dụng sở Groebner Các ví dụ sau cho ta thấy điều Ví dụ 2.4.12 Giải hệ phương trình:  x + y + xy = 37 x2 + z + xz = 28  y + z + yz = 19 (2.4) Xét iđêan I = x2 + y + xy − 37, x2 + z + xz − 28, y + z + yz − 19 với I ⊂ C[x, y, z] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1, g2, g3, g4} đó: g1 = x − 2y + z; g2 = 2yz + z − 16; g3 = 2y + z − 22; g4 = 3z + 32y − 60z 19 Nhận xét 2.4.13 Ta thấy sở Groebner G ví dụ có đa thức g1 , g2 , g3 , g4 Trong đa thức khơng có đa thức chứa biến chứa tổ hợp biến ví dụ 2.4.1 - 2.4.9 Do ta khơng thể tìm giá trị biến dẫn đến ta khơng thể tìm nghiệm hệ phương trình (2.10) Trong dạng hệ phương trình hốn vị, ta áp dụng phương pháp biến đổi tương đương đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình cho với kết tập nghiệm hệ là: (x, y,√z) = √ √ √ √ √ −10 − 10 3 −8 (4; 3; 2) , (−4; −3; −2) , ; ; , ; ; 3 3 3 Ví dụ 2.4.14 Giải hệ trình:  phương x − x y + y = xz − xy + 3x3 + z  =0 =0 (2.5) Xét iđêan I = x6 − x2 y + y , xz − 2, xy + 3x3 + z ⊂ C[x, y, z] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 , g3 } đó: g1 = z 16 + 96z 12 + 3488z + 56064z + 1024z + 331776; g2 = −z 14 − 96z 10 − 3488z − 42240z + 27648y − 1024; g3 = z 15 + 96z 11 + 3488z + 56064z + 165888x + 1024z Nhận xét 2.4.15 Trong ví dụ trên, sở Groebner G vừa tìm có chứa đa thức g1 = z 16 + 96z 12 + 3488z + 56064z + 1024z + 331776 đa thức biến z Khi giải phương trình đa thức g1 = ta khơng tìm giá trị z ∈ C Do ta khơng giải phương trình ví dụ việc ứng dụng sở Groebner 20 Ví dụ 2.4.16 Giải hệ trình:  phương x2 − 2xy + y = x2y − 3x − =  xy − y + = (2.6) Xét iđêan I = x2 − 2xy + y, x2 y − 3x − 4, xy − y + ⊂ C[x, y] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {1} Nhận xét 2.4.17 Cơ sở Groebner G ví dụ gồm phần tử Buchberger [3] chứng minh hệ phương trình khơng giải ∈ G, với G sở Groebner sinh tập đa thức hệ phương trình 21 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu, luận văn đạt mục đích đề Trước hết, luận văn giải vấn đề thuật toán chia đa thức nhiều biến, việc dùng tiêu chuẩn Buchberger để hình thành thuật tốn chia Nắm tiêu chuẩn Buchberger thuật tốn Buchberger, ta tiếp tục tìm thấy sở Groebner iđêan I Từ luận văn trình bày vai trò sở Groebner việc giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Tuy nhiên việc giải hệ phương trình đa thức nhiều biến ứng dụng sở Groebner gặp khó khăn khâu tính tốn dài dòng Luận văn đưa công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc tìm sở Groebner Đó phần mềm Maple Nhờ phần mềm mà việc tìm sở nhanh chóng thuận tiện Để minh họa cho phần ứng dụng sở Groebner, luận văn trình bày 10 ví dụ giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Ngoài ra, luận văn thêm ví dụ cho trường hợp hệ phương trình khơng giải áp dụng sở Groebner Luận văn khía cạnh chưa nhắc đến hệ phương trình giải sử dụng sở Groebner Đây hướng nghiên cứu luận văn 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Ngô Việt Trung (2012), Nhập môn Đại số giao hốn Hình học đại số, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ Tiếng Anh [2] William Wirt Adams, Philippe Loustaunau (1994), An Introduction to Groebner Bases, American Mathematics Society [3] Bruno Buchberger (1986), Groebner Bases: An Algorithmic Method in Polynomial Ideal Theory, D.Reidel Publishing Company [4] David Archibald Cox, John Little, Donal O’Shea (2004), Using Algebraic Geometry, Springer-Verlag [5] David Archibald Cox, John Little, Donal O’Shea (1997), Ideal, varieties and Algorithms, second edition, Springer-Verlag [6] Ernst Kunz (1987), Introduction to commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birhkhauser [7] Hideyuki Matsumura (1986), Commutative Ring Thoery, Cambridge University Press [8] Miles Reid(2013), Undergraduate Algebraic Geometry, Mathematics Institute, University of Warwick  ... Buchberger tìm sở Groebner đa thức nhiều biến ứng dụng vào giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cơ sở Groebner ứng dụng giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Phương. .. Maple Khi giải hệ phương trình đa thức có ứng dụng sở Groebner, ta thấy trình thực phụ thuộc chủ yếu vào sở Groebner G tìm iđêan sinh đa thức hệ Cụ thể sở Groebner G phải có chứa đa thức mà từ ta... tốn chia đa thức, tìm sở Groebner số câu lệnh liên quan đến sở Groebner tìm hạng tử dẫn đầu, hệ số đầu, đơn thức dẫn đầu hay tìm S - đa thức hai đa thức 2.4 Giải hệ phương trình đa thức với hỗ