1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

cơ sở gröbner trong vành đa thức

54 1,8K 2

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 54
Dung lượng 555,81 KB

Nội dung

Trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của ideal đơn thức và một vài lớp ideal đặc biệt trong ideal đơn thức.. Tiết 4: Vai trò của cơ sở Gröbner trong việc xác định phần tử của ide

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Trang 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đỗ Thị Phương Thanh

CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Trang 3

L ời cảm ơn

Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự giúp đỡ của nhiều thầy

cô giáo, gia đình và bạn bè

Tôi xin bày t ỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Huyên, người thầy đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt cho tôi những kiến thức và kinh nghi ệm quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành g ởi lời cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán trường Đại

h ọc Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền thụ kiến

th ức cho tôi trong quá trình học tập tại trường

Cu ối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, những người đã luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn

TP H ồ Chí Minh – Tháng 9 năm 2014

Đỗ Thị Phương Thanh

Trang 4

M ỤC LỤC

L ời nói đầu 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

§1: VÀNH ĐA THỨC 3

§2: MODULE 10

Chương 2 CƠ SỞ GRöBNER 13

§1: IDEAL ĐƠN THỨC 13

§2: IDEAL KHỞI ĐẦU 23

§3: CƠ SỞ GRöBNER 30

§4: VAI TRÒ CỦA CƠ SỞ GRöBNER TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH PH ẦN TỬ CỦA IDEAL 34

§5: THUẬT TOÁN BUCHBERGER 39

K ết luận 48

Tài li ệu tham khảo 49

Trang 6

L ời nói đầu

M ột trong các bài toán quan trọng trong vành đa thức R = K x [ 1, , xn] là: Cho

f ∈ và R I = f1, , f sR, xác định xem f có thuộc I hay không? Điều đó

đòi hỏi f phải biểu diễn được dưới dạng f =q f1 1+ + q f s s Để có biểu diễn này, m ột cách tự nhiên, ta lấy f chia cho f1, , f s Đối với vành một biến thì R

là vành chính nên ideal I s ẽ là ideal chính, theo định lí chia đa thức một biến thì

đa thức dư là duy nhất Tuy nhiên, khi mở rộng lên vành đa thức nhiều biến, khi chia theo nh ững cách khác nhau thì đa thức dư cũng khác nhau, hơn nữa một đa

th ức f I ∈ thì đa thức dư khi áp dụng một thuật toán nào đó chia f cho f1, , f s

r= xy ≠ V ấn đề đặt ra là liệu có một hệ sinh g1, ,g t c ủa I mà khi chia f

cho g1, ,g ttheo b ất kỳ thuật toán nào thì đa thức dư cũng là duy nhất và do đó

n ếu f I ∈ thì đa thức dư luôn bằng 0 Điều đó dẫn tới khái niệm cơ sở Gröbner

và thu ật toán Buchberger giúp ta tìm cơ sở Gröbner từ một hệ sinh Nội dung của

lu ận văn gồm:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm 2 tiết: Vành đa thức và module Chương này cung cấp

nh ững kiến thức cơ bản của vành đa thức một biến và nhiều biến Đồng thời đưa

Trang 7

ra m ột số tính chất của một số module đặc biệt: module tự do, module hữu hạn sinh, module Noether

Chương 2 Cơ sở Gröbner

Chương này là phần chính của luận văn Chương này chia làm 5 tiết

Trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của ideal đơn thức và một vài lớp ideal đặc biệt trong ideal đơn thức

Tiết 2: Ideal khởi đầu

Trình bày định nghĩa ideal khởi đầu và các tính chất cơ bản của ideal khởi đầu

Trình bày định nghĩa cơ sở Gröbner và các loại cơ sở Gröbner

Tiết 4: Vai trò của cơ sở Gröbner trong việc xác định phần tử của ideal

Trình bày định lí thuật toán chia và vai trò của cơ sở Gröbner trong việc ổn đinh

đa thức dư trong phép chia đa thức

Trình bày khái ni ệm S − đa thức và thuật toán Buchberger để tìm một cơ sở

Gröbner

Lu ận văn chỉ xét đến vành đa thức trên một trường Cho nên khi nói đến vành đa

th ức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là vành đa thức trên một trường

Trang 8

Chương 1 KI ẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số tính chất cơ bản nhất của vành đa thức để làm

ti ền đề nghiên cứu chương sau

Định nghĩa 1.1.1: Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên có thể

kiểm tra tập tất cả đa thức lập thành vành giao hoán có phần tử đơn vị là đa thức 1. Tập này được kí hiệu là vành K x [ ]

Sau khi định nghĩa được đa thức một biến, việc sắp thứ tự các số hạng trong đơn thức

là c ần thiết nên liền xuất hiện khái niệm bậc đa thức:

Định nghĩa 1.1.2: Bậc của đa thức khác 0

Trang 9

Định lí 1.1.3: Giả sử f x( ) và g x( ) là hai đa thức khác 0

(i) Nếu bậc của f x( ) khác bậc g x( ) , thì ta có:

Để giải quyết vấn đề đặt ra: một đa thức f có thu ộc một ideal I sinh b ởi một hệ đa

th ức { f1, , fn} Trong trường hợp đặc biệt, vành K x [ ] là vành m ột biến, K là trường, khi đó K x [ ] là vành chính thì I là ideal chính sinh b ởi một đa thức g x( )

N ếu f x( )∈I thì f x( ) ph ải được biểu diễn f x( )=q x g x( ) ( ) Để có biểu diễn này

ta ph ải lấy f x( ) chia cho g x( ), để đảm bảo có phép chia, ta có định lí chia đa thức:

Định lí 1.1.6: Giả sử K là một trường, f x( ) và g x( )≠0 của vành K x [ ] ; thế thì bao

giờ cũng có hai đa thức duy nhất q x( ) và r x( ) thuộc K x [ ] sao cho

f x( )=g x q x( ) ( ) ( )+r x, với bậc r x( )< bậc g x( ) nếu r x( )≠0

Do đa thức dư và đa thức thương duy nhất nên điều kiện cần và đủ để f thu ộc I là dư

c ủa phép chia f x( ) cho g x( ) b ằng 0.

Trang 10

Định nghĩa 1.1.7: Ước chung lớn nhất của các đa thức f1, , f nK x[ ] là đa thức h

sao cho:

(i) h chia hết f1, , f n , nghĩa là f1=q h1 , , f n =q h q n ; 1, ,q nK x[ ]

(ii) Nếu p là đa thức khác chia hết f1, , f n , thì p chia hết h

Trong trường hợp đó ta viết h UCLN f = ( 1, , fn)

M ệnh đề 1.1.8:Cho f1, , f nK x n[ ], ≥2 Khi đó:

(i) UCLN f ( 1, , fn) tồn tại và duy nhất với sai khác một hằng số khác 0 của K

(ii) (f1, , f n)=(UCLN f( 1, , f n) )

(iii) Nếu n ≥ 3thì UCLN f( 1, , f n)=UCLN UCLN f( ( 1, , f n−1), f n)

phép chia đa thức một biến:

1 0 1

0 2 1 2

,,, ,

s = p + s + (ở đây s m+2 =0 ) và thuật toán dừng với UCLN f g( , )=s m+1

2 Vành đa thức nhiều biến

Cho R là một vành và x1, ,x n(n≥1) là các biến Ta gọi đơn thức là một biểu thức có

Trang 11

a ,trong đó a ∈ R được gọi là hệ số của từ Thông

thường các phần tử của R gọi là phần tử vô hướng Hai từ khác không 1

Định nghĩa 1.1.10: Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên có thể

kiểm tra tập tất cả đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị là đơn thức 1

Tập này được kí hiệu là vành K x[ , ,x ] hay K x[ ]

Trang 12

Định nghĩa 1.1.11: Bậc tổng thể của đa thức deg f x ( ) = max { a1+ + an | aa ≠ 0 }

Đối với đa thức một biến, bậc tổng thể chính là bậc thông thường Đôi khi bậc tổng thể

của đa thức nhiều biến cũng được gọi tắt là bậc, nếu như không có sự hiểu nhầm nào

xảy ra

Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức f x( ) khác không, ta s ắp xếp theo các thứ tự

c ủa các từ được gọi là thứ tự từ:

của K x[ ] thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Với mọi mM,1≤m

(ii) Nếu m m m1, 2, ∈Mm1 ≤m2 thì mm1≤mm2

T ừ định nghĩa trên ta thấy ngay trên vành đa thức một biến chỉ có một thứ tự từ Đó là

th ứ tự xác định bởi bậc đơn thức Dưới đây ta sẽ thấy có nhiều cách định nghĩa thứ tự

t ừ khi số biến từ hai trở lên Trước hết ta thiết lập một số tính chất chung của thứ tự từ

đơn thức thực sự giảm:

1 2 3

m >m >m >

sẽ dừng (sau hữu hạn phần tử)

kiện (ii) của định nghĩa 1.1.12 là thứ tự từ

Cho ≤ là một thứ tự từ Sau khi đổi chỉ số các biến luôn có thể giả thiết:

1 2 n

x > x > > x

Sau đây là một số thứ tự từ quan trọng:

Trang 13

một số âm (Nói cách khác, nếu tồn tại 0 i ≤ < n sao cho a1 =β1, ,aii, nhưng

Sau khi s ắp xếp được các hạng tử của đa thức, ta sẽ mở rộng phép chia đa thức nhiều

bi ến sẽ xét ở chương sau Trước tiên, ta thấy vành đa thức nhiều biến cũng có một số tính ch ất được mở rộng trực tiếp từ vành đa thức một biến

Trang 14

( ) ( )

Hơn nữa, ta có bất đẳng thức chặt khi và chỉ khi deg f x( )=degg x( ) và

degf x degg x

Trang 15

§2: MODULE

V ới định nghĩa module và các tính chất cơ bản của module đã học ở đại số đồng điều,

ti ết này ta xem xét một vài module đặc biệt

1 Module t ự do và module hữu hạn sinh

{ r s1 1+ + r s nn n | ∈  , , , r1 rnR s ; , ,1 snS }

lập thành module con của M gọi là module con sinh bởi S và kí hiệu là S

Tập con ∅ ≠ ⊆S M được gọi là tập sinh hay hệ sinh của M nếuM = S

Tập được gọi là tập sinh tối tiểu (hay hệ sinh tối tiểu) nếu nó không thực sự chứa một

hệ sinh khác của M

Ta gọi M là module hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn

là tập sinh của M và mỗi phần tử mM có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

Khác v ới không gian vector, không phải module nào cũng có cơ sở Một module có cơ

s ở là module tự do Nếu e F là m ột phần tử của cơ sở của module tự do F thì module con Re ≅ R Khi đó ta có ngay:

với tổng trực tiếp ⊕i IR i ,trong đó R i = R với mọi iI

Module tự do có cơ sở hữu hạn thì số phần tử của một cơ sở là không thay đổi:

Trang 16

M ệnh đề 1.2.4: Cho R là vành không tầm thường và F là mdule tự do với cơ sở hữu

hạn Khi đó mọi cơ sở của F cũng hữu hạn và hai cơ sở tùy ý của F có số phần tử như nhau

n

R n ≥ nào đó

R − module hữu hạn sinh Khi đó x1, ,x n là tập sinh của M khi và chỉ khi ảnh

đều dừng sau hữu hạn bước, tức là tồn tại k để M k = M k+1 =

(iii) Mọi module con của M đều hữu hạn sinh

Module thỏa mãn một trong ba điều kiện trên được gọi là module Noether

T ừ định nghĩa ta suy ra ngay: R là vành Noether n ếu và chỉ nếu nó là module Noether trên chính nó

Noether khi và chỉ khi cả hai module NM /N là R − module Noether

Trang 17

Định lí Hilbert về cơ sở: Cho K là vành Noether và x là tập n biến Khi đó vành

Một ideal I của một vành R được gọi là có sự phân tích nguyên sơ nếu có hữu hạn

ideal Q1, ,Q ncủa R sao cho:

i) Q1, ,Q n là các ideal nguyên sơ

ii) I =Q1∩ ∩ Q n.`

Định lý 1.2.11 (Lasker-Noether):

Trong một vành Noether mọi ideal thực sự đều có sự phân tích nguyên sơ

Định nghĩa 1.2.12:

Một ideal thực sự của một vành R được gọi là bất khả quy nếu nó không phải là giao

của 2 ideal chứa nó thực sự

Nói cách khác ideal I của R là bất khả quy khi và chỉ khi IR và với mọi ideal ,

M N nếu I = MN thì I = M hay I = N

Mỗi ideal thực sự của một vành nơte R là giao của một số hữu hạn ideal bất khả quy

(i) Nếu ideal 0 trong vành Noether là bất khả quy thì nó là ideal nguyên sơ

(ii) Mỗi ideal bất khả quy trong vành Noether là nguyên sơ

Trang 18

Chương 2 CƠ SỞ GRöBNER

Chương này chủ yếu giải quyết bài toán đặt ra trên vành đa thức nhiều biến Để

có khái ni ệm cơ sở Gröbner, ta cần nghiên cứu ideal đơn thức, ideal khởi đầu Sau khi

có khái ni ệm cơ sở Gröbner, ta sẽ tìm hiểu vai trò của nó trong việc xác định phần tử

c ủa một ideal Từ đó, ta có thuật toán tìm cơ sở Gröbner để giải quyết hoàn toàn bài toán đặt ra.

Trong các l ớp ideal của vành đa thức nhiều biến, có một lớp ideal rất quan trọng là ideal đơn thức, là cơ sở giúp ta đưa ra các khái niệm ideal khởi đầu hay cơ sở Gröbner được trình bày trong các mục sau

Như vậy một ideal đơn thức có dạng I = x aa; ∈ A ,trong đó A⊆ n. Chú ý r ằng trong định nghĩa này không yêu cầu tập A h ữu hạn Tuy nhiên các kết quả sau đây cho

ta các thông tin chính xác hơn về số phần tử của tập sinh của nó

1 T ập sinh của ideal đơn thức

Nghiên c ứu một đơn thức thì dễ dàng và đơn giản hơn đa thức Chẳng hạn, xét quan hệ chia h ết của hai đa thức ta cần làm phép chia đa thức, đối với đơn thức ta chỉ cần xét

s ố mũ của các biến và giữa hai đa thức có thể không tồn tại ướcchung lớn nhất nhưng đối với đơn thức thì luôn có ước chung lớn nhất Cụ thể ta có:

Trang 19

(i) Đơn thức b

x chia hết cho đơn thức a

x khi và chỉ khi tồn tại đơn thức c

(iii) Tương tự (ii) ta có điều phải chứng minh ■

xI thì tồn tại h iK[x ] và a i( )∈A , i= 1, ,s sao cho:

i i

=

=∑ Xem h i như tổng hữu hạn của các từ và khai triển vế phải của đẳng thức trên ta thấy

mỗi từ của nó phải chia hết cho a i( )

x nào đó Sau khi giản ước, một trong số đó còn lại

(b) Mọi từ của f thuộc I

(c) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I

Trang 20

Ch ứng minh: Hiển nhiên có ( ) ( ) ( )cba . Đối với ( ) ( )ac nhận xét rằng tương

tự như chứng minh mệnh đề trên ta có mỗi từ của f phải chia hết cho a

x với a A∈ nào đó Mà mọi đơn thức chia hết cho a

x lại thuộc I Do đó mỗi từ của f là tích của

thức của các đa thức trong I sẽ sinh ra I Do đó điều kiện đủ được chứng minh ■

Theo định nghĩa, ideal đơn thức được sinh bởi các đơn thức, nhưng tập này có thể không h ữu hạn Nhưng định lí Hibert về cơ sở đã cho ta một kết quả đẹp là mọi ideal

c ủa vành đa thức K x[ ] v ới K là trường đều hữu hạn sinh Vậy một ideal đơn thức là

h ữu hạn sinh Điều đó được phát biểu dưới dạng một bổ đề sau:

theo số biến n Khi n= ta có 1 A⊆  Chọn b A∈ là số nhỏ nhất Khi đó 1

b

x chia hết cho mọi đơn thức 1

,

q n

Trang 21

Theo định nghĩa với mỗi i= 1, , s tồn tại m i∈  sao cho ' ( )

.

i

i m n

x xβ ∈I Lại theo giả thiết qui nạp,

x xa ∈I nếu qm,theo cách xây dựng J, x'a phải chia hết cho ' ( )i

x xa chia hết cho một đơn thức ở dòng thứ q+ 2 ở trên Theo mệnh đề 2.1.3 và Hệ

quả 2.1.5 các đơn thức liệt kê ở trên sinh ra I

Như vậy I sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức ( ) 1 ( )

, , r .

I = xγ xγ ■

Khi đó ta có mỗi ideal đơn thức I có m ột tập sinh tối tiểu gồm các đơn thức Tập sinh này được gọi là tập sinh đơn thức tối tiểu của I Ta kí hi ệu tập này là G I( ). M ỗi đơn

th ức trong tập sinh này được gọi là đơn thức sinh của I Khi đó:

Trang 22

Ch ứng minh: Giả sử đơn thức sinh u trong G I( ) có ước thực sự v trong I Khi đó

v thuộc G I( ) (mâu thuẫn tính sinh tối tiểu của u ) Vậy các đơn thức sinh trong tập

( )

G I không có ước thực sự trong I

Ch ứng minh: gọi G1 ={u1 , ,u r}G2 ={v1 , ,v s} là hai tập sinh tối tiểu của ideal I

u iI, nên tồn tại v j sao cho u i = w1v j với đơn thức w1 nào đó Tương tự tồn tại

2

,

k

u w sao cho v j =w u2 k. Suy ra u i =w w u1 2 kG1 là tập sinh tối tiểu của I nên k = i

w w1 2 =1 Vậy w1 =1, vì thế u i = ∈v j G2 Vậy G1⊂G2 Tương tự như vậy ta cũng có

GG

chỉ ra tập sinh đơn thức tối tiểu của I Mỗi đơn thức a

x có thể biểu diễn bởi điểm có

tọa độ ( a1, , an) trong không gian n. Khi đó đơn thức b

x chia hết cho đơn thức a

x

khi và chỉ khi b1≥a1, ,b na n hay tương đương điểm ( b1, , bn) nằm trong khối vuông đầu tiên của hệ tọa độ Đề Các thông thường với gốc tọa độ là điểm ( a1, , an) Như vậy nếu ( ( )1 ( ))

, ,

I = x x với a( )1 , ,a s( )∈A ,thì tất cả các đơn thức của I

những điểm nguyên nằm trong các khối vuông có đỉnh là các điểm thuộc A, và tập các đỉnh này là tập sinh đơn thức tối tiểu của I

2 Các tính ch ất ideal đơn thức

đơn thức Hơn nữa, nếu I = m1, ,m rJ = n1, ,n s ,m n i, j là các đơn thức, thì: (a) I∩ =J BCNN m n( i, j)|1≤ ≤i r;1≤ ≤i j

(b) I n: j = m UCLN m n i / ( i, j)|1≤ ≤i r Do đó I J : có thể tính được theo công thức

Trang 23

Ch ứng minh: Ta có I J: = ∩s j=1(I n: j) Do đó chỉ cần chứng minh I J∩ là ideal đơn

thức, và các công thức tính ở ( )a và ( )b đúng Cho f ∈ ∩I Jm là một từ của f

,

I J là các ideal đơn thức nên theo mệnh đề 2.1.6 m I∈ và m∈ Do đó J m∈ ∩ I J

Lại theo mệnh đề 2.1.6, I J∩ là ideal đơn thức

Để chứng minh ( )a , nhận xét rằng bao hàm thức ⊇ là hiển nhiên Cho đơn thức

m∈ ∩ Theo mệnh đề 2.1.3, I J m chia hết cho m in j nào đó Do đó m chia hết cho

( i, j)

BCNN m n Suy ra mBCNN m n( i, j |1 ≤ ≤i r;1 ≤ ≤i j) , và ta có ( )a Chứng minh ( )b tương tự nếu để ý rằng UCLN m n BCNN m n( i, j) ( i, j)=m n i j

Ch ứng minh: Lấy f =cx a1 + ∈ I với 0≠ ∈ Ta có c K f kI, vì I là ideal đơn thức nên mọi từ của k

f đều thuộc I Gọi { a1, , a r}

S= x x là tập các đơn thức của . Bao lồi

của tập {a1 , ,a r}⊂ n là một đa giác lồi Ta có thể giả sử a1 là một đỉnh của đa giác hay a1 không thuộc bao lồi của tập {a2 , ,a r}.

x là một đơn thức của f kf kI

nên ( )x a1 k∈ Vì vậy I a1

xIfcx a1 ∈ I. Tiếp tục với a2, , a r

x x ta sẽ có mọi từ

của f đều thuộc I vì thế I là một ideal đơn thức

Căn của một ideal đơn thức có thể được tính một cách tường minh thông qua

Trang 24

Ch ứng minh: Dễ thấy { u u G I: ∈ ( ) }⊂ I.Vì I là một ideal đơn thức, điều này đủ

để chứng tỏ mỗi đơn thức uI là một tích của một vài phần tử u với uG I( ).

Thật vậy, nếu vI thì v kI với k≥ 0, vì thế v k =wu với w là một đơn thức Vậy

ta có điều phải chứng minh.■

3 Ideal đơn thức nguyên tố, ideal bất khả quy và sự phân tích nguyên sơ

Ch ứng minh:( )⇒ gọi G I( ) {= m1 , ,m r} , gọi S={x1 , ,x n}là tập các biến sinh ra các

phần tử m i i, ∈ 1,s Ta chứng minh I = S Dễ thấy IS . Lấy x kS thì tồn tại m i

sao cho m i =q x k kvới q k là một đơn thức Vì I là ideal nguyên tố nên q kI hoặc

k

xI Nhưng ∀ ∈m i G I( ) không có ước thực sự trong I nên q k cũng không là một ước thực sự của m i suy ra m i =ux k với u∈ Vậy K x kI Suy ra SI. ( )⇐ Ta có I = x1, ,x s . Lấy f x g x( ) ( )∈I suy ra mỗi từ của f x g x( ) ( ) chia hết cho

i

x với x i∈{x1 , ,x s}. Mà mỗi từ của f x g x( ) ( ) là tích của một từ của f x( ) và một từ

của g x( ) nên từ của f x( ) chia hết cho x i hoặc từ của g x( ) chia hết cho x i Vậy ( )

f xI hoặc g x( )∈I Vậy I là một ideal nguyên tố.■

Như vậy mỗi ideal đơn thức nguyên tố đều hữu hạn sinh, đặc biệt đối với vành đa thức

n bi ến thì số ideal đơn thức nguyên tố là hữu hạn

Trang 25

• Nếu I sinh bởi 2 biến thì có 2

C +C + +C = + −C = − ideal đơn thức nguyên tố ■

Trong s ố các ideal đơn thức nguyên tố trên vành đa thức n bi ến thì ideal nào là ideal

R là vành đa thức trên trường nên là vành Noether Theo định lí Lasker-Noether, mỗi ideal trên vành Noether đều có phân tích nguyên sơ Cho nên ta xét sự phân tích nguyên sơ của các ideal đơn thức

M ột phân tích nguyên sơ của ideal : m1 i

i

I I == Q được goi là tối giản nếu không ideal

i

Q nào có th ể lược bỏ trong biểu diễn này Ta có định lí nền tảng sau:

Định lí 2.1.16: Cho I ⊂ =S K x[ ] là một ideal đơn thức Khi đó I =m i=1Q i với Q i được sinh bởi lũy thừa của các biến nghĩa là 1

1 , , k k

a a

Q = x x Hơn nữa sự phân tích nguyên

sơ này là duy nhất

m1, ,m r là các đơn thức Khi đó m , ,m mn, = m, ,m m, ∩ m , ,m n,

Trang 26

Chứng minh bổ đề: Chỉ cần chứng minh ⊇ Nếu đơn thức

1 , , r, 1 , , r,

um m mm m n chia hết cho m i nào đó,ir, thì um1, ,m mn r,

Trong trường hợp ngược lại, vì um1 , ,m m r, , nên theo mệnh đề 2.1.3 phải có m u|

m n, không chứa biến chung nên mn u| Do đó um1 , ,m mn r,

Ch ứng minh định lí: Lấy G I( ) {= u1 , ,u r} và giả sử u1 không là một lũy thừa của các

biến Khi đó ta có thể viết u1=vw với v w, là những đơn thức nguyên tố cùng nhau Áp

dụng bổ đề ta có I = ∩I1 I2 với I1 = v u, 2 , ,u rI2 = w u, 2, ,u r .

Nếu G I( )1 hoặc G I( )2 chứa phần tử không là lũy thừa của các biến thì tiếp tục làm như trên Sau hữu hạn bước ta sẽ được một phân tích của I bằng giao của cái ideal đơn thức sinh bởi lũy thừa của các biến Loại bỏ các ideal chứa giao của các ideal khác,

ta được một phân tích nguyên sơ tối giản của I

Bây giờ ta đi chứng minh sự phân tích nguyên sơ tối giản này là duy nhất

Q ∩ ∩Q =Q ∩ ∩Q là hai phân tích nguyên sơ tối giản của I Ta sẽ chỉ ra

rằng mỗi i∈1, r thì tồn tại j∈1,s sao cho '

x chia hết u (điều này không thể) Vậy

ta có điều phải chứng minh ■

M ột ideal được gọi là bất khả quy nếu nó không thể viết được như hai giao thật sự của hai ideal đơn thức Nó được gọi là khả quy nếu nó không bất khả quy

thừa của các biến

Trang 27

Ch ứng minh: Lấy 1

1 , , k ,

k

a a

Q= x x và cho Q= ∩I J với I J, là những ideal đơn thức

thật sự chứa Q. Theo định lí trên ta có r1

i i

I ==Q và '

1

s j j

Q Q sinh bởi lũy

thừa của các biến Vì thế ta có biểu diễn: '

=  Bởi việc loại bỏ những ideal

có sẵn trong giao ở vế phải, ta sẽ có sự phân tích nguyên sơ tối giản của Q. Do tính duy nhất của sự phân tích nguyên sơ tối giản ta có Q=Q i hoặc '

j

Q=Q với i j, nào đó (mâu thuẫn)

Ngược lai, nếu G Q( ) chứa một đơn thức u=vw với UCLN v w( , )= 1 và v≠ ≠ , Áp 1 w

dụng bổ đề Q có thể được viết bằng giao thật sự của các ideal đơn thức ■

M ỗi ideal đều có sự phân tích nguyên sơ, vậy ideal có mang tính chất của các thành

ph ần nguyên sơ Mệnh đề sau cho ta kết quả nếu các thành phần nguyên sơ không

ch ứa trong một ideal thì ideal ban đầu cũng không chứa trong ideal đó

x của I i sao cho nó không thuộc I Vì

Ngày đăng: 02/12/2015, 07:34

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w