Cơ sở GRoBNER trong vành đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Phương Thanh CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Phương Thanh CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 Lời cảm ơn Để hồn thành luận văn này, tơi nhận giúp đỡ nhiều thầy cô giáo, gia đình bạn bè Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Huyên, người thầy tận tình hướng dẫn truyền đạt cho kiến thức kinh nghiệm quý báu suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn tới thầy khoa Tốn trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền thụ kiến thức cho tơi q trình học tập trường Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, người ln động viên, khuyến khích giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh – Tháng năm 2014 Đỗ Thị Phương Thanh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Bảng kí hiệu Lời nói đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .3 §1: VÀNH ĐA THỨC §2: MODULE 10 Chương CƠ SỞ GRöBNER 13 §1: IDEAL ĐƠN THỨC 13 §2: IDEAL KHỞI ĐẦU 23 §3: CƠ SỞ GRöBNER 30 §4: VAI TRỊ CỦA CƠ SỞ GRöBNER TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH PHẦN TỬ CỦA IDEAL 34 §5: THUẬT TOÁN BUCHBERGER 39 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Kí hiệu Ý ng K (x) Vành Ideal f1, , fn ≤ lex Thứ t glex Thứ t ≤ ≤ rlex Thứ t G(I) Tập h in ( f ) Từ kh lm ( f ) Đơn t lc ( f ) Hệ số in (I ) Ideal S(f,g) S−đ I R I i Tập c ⊆ ■ Tập c Kết th Lời nói đầu Một tốn quan trọng vành đa thức R = K [x1 , , xn ] là: Cho f ∈ R I = f1, , f s R, xác định xem f địi hỏi f có thuộc I hay khơng? Điều phải biểu diễn dạng f = q f + + q f Để có biểu diễn 1 s s này, cách tự nhiên, ta lấy f chia cho f1, , fs Đối với vành biến R vành nên ideal I ideal chính, theo định lí chia đa thức biến đa thức dư Tuy nhiên, mở rộng lên vành đa thức nhiều biến, chia theo cách khác đa thức dư khác nhau, đa thức f ∈ I đa th khác Ví d f ∈ f , f2 f = yf r = x − y2 ≠ Vấn đề đặt liệu có hệ sinh g1, , gt I mà chia f cho g1, , gt theo thuật toán đa thức dư f ∈ I đa thức dư ln Điều dẫn tới khái niệm sở Grưbner thuật tốn Buchberger giúp ta tìm sở Gröbner từ hệ sinh Nội dung luận văn gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm tiết: Vành đa thức module Chương cung cấp kiến thức vành đa thức biến nhiều biến Đồng thời đưa số tính chất số module đặc biệt: module tự do, module hữu hạn sinh, module Noether Chương Cơ sở Grưbner Chương phần luận văn Chương chia làm tiết Tiết 1: Ideal đơn thức Trình bày định nghĩa tính chất ideal đơn thức vài lớp ideal đặc biệt ideal đơn thức Tiết 2: Ideal khởi đầu Trình bày định nghĩa ideal khởi đầu tính chất ideal khởi đầu Tiết 3: Cơ sở Grưbner Trình bày định nghĩa sở Gröbner loại sở Gröbner Tiết 4: Vai trị sở Grưbner việc xác định phần tử ideal Trình bày định lí thuật tốn chia vai trị sở Grưbner việc ổn đinh đa thức dư phép chia đa thức Tiết 5: Thuật tốn Buchberger Trình bày khái niệm S − đa thức thuật tốn Buchberger để tìm sở Gröbner Luận văn xét đến vành đa thức trường Cho nên nói đến vành đa thức mà khơng nói thêm ta hiểu vành đa thức trường Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số tính chất vành đa thức để làm tiền đề nghiên cứu chương sau §1: VÀNH ĐA THỨC Vành đa thức biến Cho R vành x biến Ta gọi đa thức tổng có dạng: n a0 + a1 x + a2 x + + an x n = ∑ai xi i=0 kí hiệu Hai đa thức m = n = aj với i = j Phép cộng đa thức định nghĩa sau: n ∑ x i i =0 Phép nhân đa thức định nghĩa sau: n ∑ x i i =0 Định nghĩa 1.1.1: Với hai phép toán cộng đa thức nhân đa thức nêu kiểm tra tập tất đa thức lập thành vành giao hốn có phần tử đơn vị đa thức Tập kí hiệu vành K [x] Sau định nghĩa đa thức biến, việc thứ tự số hạng đơn thức cần thiết nên liền xuất khái niệm bậc đa thức: Định nghĩa 1.1.2: Bậc đa thức khác f (x ) = a0 x + + a n −1x n −1 + a n xn Như ta định nghĩa bậc đa thức khác Đối với đa thức khơng ta bảo khơng có bậc Định lí 1.1.3: Giả sử f (x) g (x) hai đa thức khác (i) Nếu bậc f (x) khác bậc g (x) , ta có: (x ) + g (x) ≠ bậc ( f (x ) + g (x)) = max (bậc f (x) , bậc g (x) ) Nếu bậc f (x) = bậc g (x) , thêm f (x ) + g (x) ≠ 0, ta có: f Bậc ( f (x ) + g (x)) ≤ max (bậc f (x), bậc g (x) ) (ii) Nếu f (x) Định lí 1.1.4: Nếu K miền nguyên vành K [x], f (x ) g (x) ≠ bậc ( f (x ) g (x)) = bậc f (x) + bậc g (x) Hệ 1.1.5: Nếu K miền nguyên, K [x] miền nguyên Để giải vấn đề đặt ra: đa thức f thức { f1, , fn} Trong trường hợp đặc biệt, vành K [x] trường, Nếu f (x )∈ I ta phải lấy f (x) Định lí 1.1.6: Giả sử K trường, có hai đa thức q (x) f (x ) = g (x )q (x ) + r (x,) với bậc r (x) < bậc g (x) r (x) ≠ Do đa thức dư đa thức thương nên điều kiện cần đủ để f thuộc I dư phép chia f (x) cho g (x) Định nghĩa 1.1.7: Ước chung lớn đa thức f 1, , f n ∈ K [x] đa thức h cho: (i) h chia hết f 1, , fn , nghĩa f = q1 h , , f n = qn h ; q1 , , qn ∈ K [x] (ii) Nếu p đa thức khác chia hết f 1, , fn , p chia hết h Trong trường hợp ta viết h = UCLN ( f 1, , fn ) Mệnh đề 1.1.8:Cho f 1, , f n ∈ K [x ], n ≥ Khi đó: UCLN ( f 1, , fn ) tồn với sai khác số khác K (i) (ii) ( f , , f n ) = (UCLN ( f 1, , fn )) (iii) Nếu n ≥ 3thì UCLN ( f 1, , f n ) = UCLN (UCLN ( f , , f n −1 ), fn ) Thuật tốn 1.1.9: (Thuật tốn Euclide) để tìm UCLN ( f , g ) ta thực phép chia đa thức biến: f = p g + s0 , g = p1 s0 + s1, s0 = p2 s1 + s2 , , đến lúc ta sm = pm +1 sm+1 (ở sm+2 = ) thuật toán dừng với UCLN ( f , g ) = sm+1 Vành đa thức nhiều biến Cho R vành x1 , , x n (n ≥ 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có dạng x1a xna ,trong (a1, ,an )∈ n gọi số mũ đơn thức Nếu a1 = n = an = , đơn thức kí hiệu Phép nhân tập đơn thức định nghĩa sau: 37 Mệnh đề 2.4.2: Giả sử F = {f 1, , fs } sở Gröbner thứ tự từ cho trước Khi với đa thức f ∈ R, đa thức dư r phép chia f cho hệ F (trong định lí chia đa thức) xác định Nói riêng, kết thực thuật toán chia đa thức trường hợp không phụ thuộc vào thứ tự đa thức chia F Chứng minh: Sự tồn r đảm bảo định lí chia đa thức Giả sử có hai đa thức dư r r ', tức tồn q1 , , qs , q '1 , , q 's ∈ R để f = q1 f + + q s f s + r = q '1 f + + q ' s f s + r ' Khi đó: r − r ' = ( q '1 − q1 ) f1 + + ( q ' s − q s ) f s ∈ I := f1, , fs Vì f1, , fs sở Gröbner I nên tồn i ≤ s để in (r − r ') chia hết cho in( fi ) Nhưng điều khơng thể xảy in (r − r ') phải đơn thức r in ( fi ) Vậy r ', mà theo định lí chia đa thức, khơng có từ r r ' chia hết cho phải có r = r ' ■ Như vậy, F = {f 1, , fs }là sở Grưbner đa thức dư nhất, cho ta điều kiện cần đủ để đa thức thuộc ideal: Hệ 2.4.3: Giả sử F = {f 1, , fs } sở Gröbner ideal I tự từ cho trước đa thức f ∈ R chia f cho hệ F Chứng minh: Chỉ cần chứng minh điều q1 , ,qs ∈ R để f = q1 f + + q s fs 38 Ta có F = { f1, , fs} sở Grưbner đa thức dư r xác định Vậy thay F ' = { f1' , , fs'} sở Grưbner khác đa thức dư r có thay đổi Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.4.4: Cho G G ' hai sở Gröbner I thứ tự từ Cho f ∈ K [x] tùy ý Khi Re m G ( f ) = Re m G ' ( f ), tức đa thức dư f không phụ thuộc vào việc chọn sở Gröbner Chứng minh: Giả sử G = {g1, , gs } G ' = {g '1 , , g'n } Re mG ( f ) = r Tacó: f = q1 g1 + + q s g s + r ⇒ f − r = q1 g1 + + q s gs ⇒ f − r ∈ I = g '1 , , g'n ⇒ f − r = q '1 g '1 + + q 'n g 'n ⇒ f = q '1 g '1 + + q ' n g ' n + r Vì từ r không chia hết cho từ khởi đầu in (g1 ), ,in (gs ) nên từ r không thuộc in (I ) = in (g1 ), ,in (g s ) = in (g '1 ), , in (g ' n ) Vậy từ r không chia hết từ khởi đầu in (g '1 ), , in (g 'n ).Như r = Re mG ' ( f ) hay đa thức dư f không phụ thuộc vào sở Grưbner.■ 39 §5: THUẬT TỐN BUCHBERGER Ta thấy vai trò sở Gröbner việc xác định phần tử ideal Vậy tiêu chuẩn để biết hệ sinh { f1, , fn} sở Gröbner, ta dùng thuật tốn Buchberger để tìm sở Grưbner từ hệ sinh cho trước Trước hết, ta đưa khái niệm S − đa thức: Định nghĩa 2.5.1: Cho in ( f ) mfg = UCLN (lm ( f ),lm S − đa thức f g đa thức S ( f , g ) = m gf f − m fg g Chú ý S − đa thức phụ thuộc vào việc chọn thứ tự từ Ví dụ: Cho f = x y − x y + 2x y2 Với thứ tự từ điển phân bậc mà x > y ta có m fg = x , m gf = 3y3 S ( f , g ) = y (x y − x y + x y ) − x (3 x y − x + 3xy5 ) = − 3x y − 12x y + 2x + 6x y5 Với thứ tự từ điển mà x > y ta có mfg = y,mgf = −2 S ( f , g ) = − (x y − 4x y + 2x y ) − y (− x + 3x y + 3xy5 ) = 8x y − 3x y − 4x y − 3xy6 Từ định nghĩa thấy S − đa thức thỏa mãn tính chất sau: Mệnh đề 2.5.2: (i) S ( f , g ) = −S (g , f ) (ii) in (S ( f , g )) < BCNN (in ( f ), in (g )) 40 Mệnh đề 2.5.3: Cho nguyên tố dư phép chia S ( f , g ) Chứng minh: Nếu in ( f ) in (g ) nguyên tố S ( f , g ) = in (g ) f − in ( f )g = − ( g − in (g )) f + ( f − in ( f ))g sm g = lm (g − in (g )) sm f = lm ( f − in ( f )) Đặt tính nguyên tố suy < lm (g ) Do đẳng thức phải có sm g { max ( g − in lm S(f,g) cho G mà phần dư 0.■ Bổ đề kĩ thuật sau đóng vai trị then chốt việc chứng minh định lí tiêu chuẩn Buchberger Bổ đề 2.5.4: Cho g1 , , g t ∈ K [x ]; α1 , ,αt ∈ K a1, ,at ∈ n thỏa mãn tính chất sau: (i) Tồn d ∈ (ii) in (∑ t i =1ai n để với i ≤ t mà αi ≠ x lm (g i ) = xd ) x a g i < xd i Khi tồn α jk ∈ K cho t ∑ a i xa i=1 i gi = ∑a jk xd −c jk ( S g j ) , gk , j,k ( ( ) ) Trong x c jk = BCNN lm g j , lm (gk ) ( ) Hơn với j ,k có in x d −c jk S (g j , g k ) < xd Chứng minh: Theo mệnh đề 2.5.2 định nghĩa c jk ta có 41 ( ) ( ) in x d − c jk S (g j , g k ) < x d −c jk BCNN lm (g j ), lm (g k ) = xd Vì cịn phải chứng minh tồn biểu diễn cho tổng ∑it=1ai x a gi i Đặt βi = lc (gi ) pi = x a gi / βi i Đương nhiên đa thức pi có hệ số đầu Viết tổng cần xét dạng : ∑ a i x g i = ∑ti=1a i βi pi t i =1 =a β1 ( p1 − p2 ) + ( a β1 + a β2 )( p2 − p3 ) + ( a β1 + + a t −1 βt −1 )( pt −1 − pt ) + ( a β1 + + a t + βt ) pt = a β1 ( p1 − p2 ) + ( a β1 + a β2 )( p2 − p3 ) + + (a β1 + + a t −1 βt −1 )( pt −1 − pt ) Trong đẳng thức cuối ta sử dụng đồng thức sau suy từ điều kiện (ii): t ∑αi βi = i =1 Giả sử in (g )=b chia hết xd thức Ta có: Suy i i 42 d−c x jk ( ) S gj,gk =x d −c jk =x = bk xd x gj−bj xd BCNN gk b b j x k =b j = b j bk ( p j − pk ) pi − pi−1 vào biểu diễn ta được: Thay t i=1 a β + + a +( 1 β t −1βt β t −1 t−1 ) x d − c( t −1)t S ( g , g ) t −1 t Đó dạng biểu diễn cần tìm (thực cần tới cặp ( j , k ) = (i − 1, i ), i ≤ t) ■ Một cách phát biểu khác bổ đề là: hai điều kiện (i) (ii) thỏa mãn t tổng ∑ai x gi thuộc ideal sinh S (g j , gk ) i =1 Sử dụng khái niệm S − đa thức, ta nhận tiêu chuẩn sau để hệ sinh G sở Grưbner I Định lí 2.5.5 (tiêu chuẩn Buchberger): Cho G = {g1, , gs } hệ sinh ideal I G sở Gröbner I với cặp ≤ i ≠ j ≤ s (hoặc mọi) đa thức dư S − đa thức S (g i , g j ) phép chia cho ( Chứng minh: 43 Điều kiện cần: Do g i , g j ∈ I, nên S (g i , g j )∈ I Vì G sở Grưbner theo hệ 2.4.3, đa thức dư S − đa thức S (g i , g j ) Điều kiện đủ: chia cho G (đa thức dư chọn theo quy luật đó) Ta cần chứng minh trường hợp G sở Gröbner Cho f ∈ I = (g1, , gs ) Khi tồn h1 , ,hs ∈ K [x] cho (2.3) f = h1 g1 + + hs gs Trong tất biểu diễn f, chọn biểu diễn cho max {lm (h1 g1 ), ,lm (hs gs )} nhỏ Đơn thức hoàn tồn xác định thứ tự từ thứ tự tốt Kí hiệu m = xd Để khơng làm rắc rối thêm kí hiệu, ta giả sử biểu diễn (2.3) thỏa mãn max {lm (h1 g1 ), ,lm (hs g s )}= m Giả sử lm ( f ) < m Khi từ lớn hi gi triệt tiêu Đặt mi = lm (hi gi ) Tách từ cao để vận dụng bổ đề sau: f= ∑ h g + i i ∑ h g i i mi =m = ∑ in (hi ) g i + ∑ ( hi − in (hi ))g i + ∑ hi gi mi =m Vì hạng tử tổng riêng thứ hai thứ ba (2.4) có từ khởi đầu nhỏ m in ( f ) < m, nên phải có mi =m Từ bổ đề 2.5.4 suy 44 ∑ in (hi )g i = ∑T jk S (g j , gk ), mi =m Trong Tjk từ cho ( ) in T jk S (g j , g k ) < m Theo giả thiết đa thức dư ( 2.6) S (g j , gk ) phép chia cho G khơng, nên viết s S (g j , g k ) = ∑ pijk gi , i ( 2.7) =1 Trong pijk ∈ K [x] cho in ( pijk g i ) ≤ in (S (g j , gk )) Thay (2.7) vào (2.5) ta ∑ in (hi ) g i = ∑ T jk ∑ pijk g i = ∑ mi =m Do đó, từ (2.4) suy s f=∑ hi i =1 Trong hi = ∑T jk pijk j ,k Chú ý mệnh đề 2.2.2, (2.6) (2.8) dẫn đến { ( in (hi g i ) ≤ maxj,k T jk in S (g j , g k ) )}= max {in (T j,k jk S (g j , g k ) )}< m Cùng với điều mệnh đề 2.2.2, (2.9) cho ta biểu diễn f mà max {lm (h '1 g1 ), , lm (h ' s g s )}< m g + i 45 Điều mâu thuẫn với cách chọn m Vậy phải có lm ( f ) = m Do tồn i để lm (f) = lm (hi g i ) = lm (hi )lm (gi ), hay in ( f )∈ in (g1 ), , in (gs ) Theo định nghĩa, G sở Gröbner I ■ Sau số ý để giảm bớt số phép thử áp dụng tiêu chuẩn Buchberger: • Vì S ( f , g ) = −S (g , f ) nên để thử xem G = {g1, , gs } có phải sở Grưbner hay khơng, cần thử cho cặp (g i , g j ) với i < j • Nếu f , g hai từ S ( f , g ) = Do khơng cần thử tiêu chuẩn Buchberger cho cặp từ • Khơng cần thử tiêu chuẩn Buchberger cho cặp có từ khởi đầu nguyên tố Ví dụ: Cho I = (x − y z , y − z4 ) Đối với thứ tự từ điển ta có in (x − y ) = x in ( y −z ) = y nguyên tố Theo ý trên, tập {x − y z , y − z4 } sở Gröbner I Tuy nhiên thứ tự từ điển phân bậc S (− y z + x , − z + y ) = − z (− y z + x ) + y (− z + y ) = − xz + y4 Không thể chia hết cho G = {− y z + x , − z + y} được, tức có đa thức dư khác không Vậy G không sở Gröbner I Tiêu chuẩn Buchberger cho ta thuật tốn để tính sở Grưbner từ hệ sinh ideal Thuật toán Buchberger { f1, , fn} Lấy hệ sinh ideal I R Tính S − đa thức S ( f i , f j ) Nếu tất dư phép chia S ( f i , f j ) cho hệ Buchberger, { f1, , fn} theo tiêu chuẩn { f1, , fn} sở Gröbner Nếu S ( f i , f j ) có dư fn+1 khác Khi đó, không đơn thức đơn thức in ( f1 ), ,in ( fn ) 46 chia hết in ( fn+1 ) Do đó: in ( f1 ), ,in ( f n ) ⊂ in ( f1 ), , in ( f n ),in ( fn+1 ) Chú ý f n+1 ∈ I nên ta thay hệ sinh { f1, , tính tất S − đa thức cho hệ sinh Nếu tất dư phép chia S ( f i , f j ) cho hệ { f1 , , chuẩn Buchberger, { f1 , , f n , fn+1} sở Grưbner Nếu có dư fn+2 ta có hệ sinh { f1 , , f n , f n +1 , fn+2} và: in ( f1 ), , in ( f n ),in ( f n+1 ) ⊂ in ( f1 ), , in ( f n ), in ( f n +1 ),in ( fn+2 ) Nhờ bổ đề Dickson, trình dừng lại sau hữu hạn bước, sở Gröbner tính Thật vậy, giả sử có dãy tăng ngặt vô hạn ideal đơn thức: in ( f1 ), ,in ( f n ) ⊂ in ( f1 ), , in ( f n ),in ( fn+1 ) ⊂ ⊂ in ( f1 ), , in ( f n ), in ( f n+1 ), , in ( fn + j ) ⊂ Tuy nhiên, tập tất đơn thức {in ( f1 ), , in ( fn ), } tập sinh tối tiểu { G(I) Với j > iq ta có: ( ) ( ) ( ) in f i1 ,n f i2 , ,in f iq = thuẫn Thuật tốn để tìm sở Grưbner từ hệ sinh I trình bày thuật tốn Buchberger Ví dụ: Cho R = K [x1 , , x7 ] thứ thự từ điển với x1 > g = x4 x7 − x5 x6 với ideal khởi đầu in ( f ) = x1 x4 , in (g ) = x4 x7 Lấy I = f , g có { f , g} khơng sở Grưbner với thứ tự từ điển Theo thuật tốn Buchberger, ta tính S ( f , g ) = x7 f − x1 g = x1 x5 x6 − x2 x3 x7 Ta chọn dư phép chia S ( f , g ) cho hệ { f , g} S ( f , g ) Đặt h = S ( f , g ) = x1 x5 x6 − x2 x3 x7 47 in (h ) = x1 x5 x6 Ta có in (g ) in (h) nguyên tố Mặt khác dư phép chia S ( f ,h ) = x2 x3 (x4 x7 − x5 x6 ) cho { f , g , h} Vậy theo tiêu chuẩn Buchberger hệ { f , g , h} sở Gröbner I với thứ tự từ điển 48 Kết luận Luận văn trình bày kiến thức cách có hệ thống để giải toán đặt ra: Trong vành đa thức R = K [x1 , , xn ], cho f ∈ R I = f1, , f s R, xác định xem f có thuộc I hay khơng? Để f ∈ I f phải biểu diễn dạng f = q f + + q f Để có biểu diễn này, luận văn trình bày thuật toán 1 s s chia f cho hệ thức dư chia chia f hệ sinh g1, , gt chia đa thức dư Đó sở Grưbner Để có khái niệm sở Grưbner, luận văn nghiên cứu khái niệm tính chất ideal đơn thức, ideal khởi đầu Luận văn đưa thuật tốn Buchberger để tìm sở Gröbner I từ hệ sinh f1, , fs ban đầu 49 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông – Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Gröbner, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Hồng Xn Sính (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh M.F Atiyah and I.G Macdonald (1996), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, Reading, Masachusetts D Bayer and M Stillman (1987), “A criterion for detecting mregularity”, Invent Math 87 pp 1-11 Th Becker and V Weispfenning (1993), Gröbner Bases – A Computational Approach to Commutative Algebra, Springer Verlag W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay Rings, Cambridge Univ Press B Buchberger (1985), Gröbner base: An algorithmic method in polynomial ideal theory, in “Multidimensional system theory” (edited by N K Bose), Approach to Commutative Algebra, Springer Verlag W Gröbner (1970), Algebraische Geometrie, Vol II, Bibliographaishes Institul 10 S Mac Lane (1986), Homology, Springer-Verlag, New York ... với vành biến R vành nên ideal I ideal chính, theo định lí chia đa thức biến đa thức dư Tuy nhiên, mở rộng lên vành đa thức nhiều biến, chia theo cách khác đa thức dư khác nhau, đa thức f ∈ I đa. .. niệm S − đa thức thuật tốn Buchberger để tìm sở Gröbner Luận văn xét đến vành đa thức trường Cho nên nói đến vành đa thức mà khơng nói thêm ta hiểu vành đa thức trường 3 Chương KIẾN THỨC CHUẨN... chất vành đa thức để làm tiền đề nghiên cứu chương sau §1: VÀNH ĐA THỨC Vành đa thức biến Cho R vành x biến Ta gọi đa thức tổng có dạng: n a0 + a1 x + a2 x + + an x n = ∑ai xi i=0 kí hiệu Hai đa