Cơ sở gröbner trong vành đa thức

Để có biểu diễn này, m ột cách tự nhiên, ta lấy f chia cho f1,..., .f s Đối với vành một biến thì R là vành chính nên ideal I s ẽ là ideal chính, theo định lí chia đa thức một biến thì

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đỗ Thị Phương Thanh

CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đỗ Thị Phương Thanh

CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã s ố: 60 46 01 04

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TR ẦN HUYÊN

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2014

L ời cảm ơn

Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự giúp đỡ của nhiều thầy

cô giáo, gia đình và bạn bè

Tôi xin bày t ỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Huyên, người thầy đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt cho tôi những kiến thức và kinh nghi ệm quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành g ởi lời cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán trường Đại

h ọc Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền thụ kiến

th ức cho tôi trong quá trình học tập tại trường

Cu ối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, những người đã luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn

TP H ồ Chí Minh – Tháng 9 năm 2014

Đỗ Thị Phương Thanh

M ỤC LỤC Trang ph ụ bìa

L ời cảm ơn

B ảng kí hiệu

L ời nói đầu 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

§1: VÀNH ĐA THỨC 3

§2: MODULE 10

Chương 2 CƠ SỞ GRöBNER 13

§1: IDEAL ĐƠN THỨC 13

§2: IDEAL KH ỞI ĐẦU 23

§3: CƠ SỞ GRöBNER 30

§4: VAI TRÒ C ỦA CƠ SỞ GRöBNER TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH PH ẦN TỬ CỦA IDEAL 34

§5: THU ẬT TOÁN BUCHBERGER 39

K ết luận 48

Tài li ệu tham khảo 49

B ảng kí hiệu

Kí hi ệu Ý nghĩa

( )

K x Vành đa thức nhiều biến K x [ 1, , xn]

1, , n

f f Ideal sinh bởi f1, , f n

lex

glex

≤ Thứ tự từ điển phân bậc

rlex

≤ Thứ tự từ điển ngược

( )

G I Tập hợp tất cả các đơn thức sinh tối tiểu I

( )

in f Từ khởi đầu của đa thức .

( )

lm f Đơn thức đầu của .

( )

lc f Hệ số đầu của .

( )

in I Ideal khởi đầu của ideal I

( ) ,

S f g S − đa thức của f và g.

I R I là ideal của R

⊆ Tập con nhỏ hơn hoặc bằng

■ Kết thúc một chứng minh

L ời nói đầu

M ột trong các bài toán quan trọng trong vành đa thức R = K x [ 1, , xn] là: Cho

f ∈ và R I = f1, , f s R, xác định xem f có thuộc I hay không? Điều đó

đòi hỏi f phải biểu diễn được dưới dạng f =q f1 1+ + q f s s Để có biểu diễn này, m ột cách tự nhiên, ta lấy f chia cho f1, , f s Đối với vành một biến thì R

là vành chính nên ideal I s ẽ là ideal chính, theo định lí chia đa thức một biến thì

đa thức dư là duy nhất Tuy nhiên, khi mở rộng lên vành đa thức nhiều biến, khi chia theo nh ững cách khác nhau thì đa thức dư cũng khác nhau, hơn nữa một đa

th ức f I ∈ thì đa thức dư khi áp dụng một thuật toán nào đó chia f cho f1, , f s

f =x y+y f =xy +x Ta có 2 2 2

2

f = x y +x =xf hay

1, 2

1

f = yf + x − y t ức đa thức dư của f khi chia cho f f1, 2 là

0

r= x −y ≠ V ấn đề đặt ra là liệu có một hệ sinh g1, ,g t c ủa I mà khi chia f

cho g1, ,g ttheo b ất kỳ thuật toán nào thì đa thức dư cũng là duy nhất và do đó

n ếu f I ∈ thì đa thức dư luôn bằng 0 Điều đó dẫn tới khái niệm cơ sở Gröbner

và thu ật toán Buchberger giúp ta tìm cơ sở Gröbner từ một hệ sinh Nội dung của

lu ận văn gồm:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm 2 tiết: Vành đa thức và module Chương này cung cấp

nh ững kiến thức cơ bản của vành đa thức một biến và nhiều biến Đồng thời đưa

ra m ột số tính chất của một số module đặc biệt: module tự do, module hữu hạn sinh, module Noether

Chương 2 Cơ sở Gröbner

Chương này là phần chính của luận văn Chương này chia làm 5 tiết

Trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của ideal đơn thức và một vài lớp ideal đặc biệt trong ideal đơn thức

Tiết 2: Ideal khởi đầu

Trình bày định nghĩa ideal khởi đầu và các tính chất cơ bản của ideal khởi đầu

Trình bày định nghĩa cơ sở Gröbner và các loại cơ sở Gröbner

Tiết 4: Vai trò của cơ sở Gröbner trong việc xác định phần tử của ideal

Trình bày định lí thuật toán chia và vai trò của cơ sở Gröbner trong việc ổn đinh

đa thức dư trong phép chia đa thức

Trình bày khái ni ệm S − đa thức và thuật toán Buchberger để tìm một cơ sở

Gröbner

Lu ận văn chỉ xét đến vành đa thức trên một trường Cho nên khi nói đến vành đa

th ức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là vành đa thức trên một trường

Chương 1 KI ẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số tính chất cơ bản nhất của vành đa thức để làm

ti ền đề nghiên cứu chương sau

§1: VÀNH ĐA THỨC

1 Vành đa thức một biến

Cho R là một vành và x là biến Ta gọi đa thức là một tổng có dạng:

2

0

n

i

a a x a x a x a x

=

trong đó các a i i, =0, , ,n là những số thực Nếu a0 =1,a1= = a n =0 thì đa thức được kí hiệu là 1.

Hai đa thức ( )

0

n i i i

f x a x

=

0

m j j j

g x b x

=

=∑ ( ai ≠ 0, bi ≠ 0 ) được xem là bằng nhau

nếu m=n và a i = va j ới i= j

Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau:

a x b x a b x

∑  ∑  ∑  ( giả sử m>n ) Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau:

a x b x c x

+

i j k

c a b

+ =

Định nghĩa 1.1.1: Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên có thể

kiểm tra tập tất cả đa thức lập thành vành giao hoán có phần tử đơn vị là đa thức 1. Tập này được kí hiệu là vành K x [ ]

Sau khi định nghĩa được đa thức một biến, việc sắp thứ tự các số hạng trong đơn thức

là c ần thiết nên liền xuất hiện khái niệm bậc đa thức:

Định nghĩa 1.1.2: Bậc của đa thức khác 0

( ) 0 1

0 n 1 n n n

Như vậy ta chỉ định nghĩa bậc của đa thức khác 0 Đối với đa thức không ta bảo nó không có bậc

Định lí 1.1.3: Giả sử f x( ) và g x( ) là hai đa thức khác 0

(i) Nếu bậc của f x( ) khác bậc g x( ) , thì ta có:

( ) ( ) 0

f x +g x ≠ và bậc ( f x( )+g x( ))=max (bậc f x( ) , bậc g x( ) )

Nếu bậc f x( ) = bậc g x( ), và nếu thêm nữa f x( )+g x( )≠0, thì ta có:

Bậc ( f x( )+g x( ))≤max(bậc f x( ), bậc g x( ) )

(ii) Nếu f x( ) g x( ) ≠ 0,thì ta có bậc ( f x( ) g x( ) )≤ bậc f x( ) + bậc g x( ))

Định lí 1.1.4: Nếu K là một miền nguyên f x( ) và g x( ) là hai đa thức khác 0 của vành K x [ ] , thì f x g x( ) ( )≠0 và bậc ( f x g x( ) ( ) ) = bậc f x( ) + bậc g x( )

H ệ quả 1.1.5: Nếu K là miền nguyên, thì K x [ ] cũng là miền nguyên

Để giải quyết vấn đề đặt ra: một đa thức f có thu ộc một ideal I sinh b ởi một hệ đa

th ức { f1, , fn} Trong trường hợp đặc biệt, vành K x [ ] là vành m ột biến, K là trường, khi đó K x [ ] là vành chính thì I là ideal chính sinh b ởi một đa thức g x( )

N ếu f x( )∈I thì f x( ) ph ải được biểu diễn f x( )=q x g x( ) ( ) Để có biểu diễn này

ta ph ải lấy f x( ) chia cho g x( ), để đảm bảo có phép chia, ta có định lí chia đa thức:

Định lí 1.1.6: Giả sử K là một trường, f x( ) và g x( )≠0 của vành K x [ ] ; thế thì bao

giờ cũng có hai đa thức duy nhất q x( ) và r x( ) thuộc K x [ ] sao cho

f x( )=g x q x( ) ( ) ( )+r x, với bậc r x( )< bậc g x( ) nếu r x( )≠0

Do đa thức dư và đa thức thương duy nhất nên điều kiện cần và đủ để f thu ộc I là dư

c ủa phép chia f x( ) cho g x( ) b ằng 0.

Định nghĩa 1.1.7: Ước chung lớn nhất của các đa thức f1, , f n∈K x[ ] là đa thức h

sao cho:

(i) h chia hết f1, , f n , nghĩa là f1=q h1 , , f n =q h q n ; 1, ,q n∈K x[ ]

(ii) Nếu p là đa thức khác chia hết f1, , f n , thì p chia hết h

Trong trường hợp đó ta viết h UCLN f = ( 1, , fn)

M ệnh đề 1.1.8:Cho f1, , f n∈K x n[ ], ≥2 Khi đó:

(i) UCLN f ( 1, , fn) tồn tại và duy nhất với sai khác một hằng số khác 0 của K

(ii) (f1, , f n)=(UCLN f( 1, , f n) )

(iii) Nếu n ≥ 3thì UCLN f( 1, , f n)=UCLN UCLN f( ( 1, , f n−1), f n)

Thu ật toán 1.1.9: (Thuật toán Euclide) để tìm UCLN f g( , ) ta thực hiện lần lượt các phép chia đa thức một biến:

, , , .,

f p g s

g p s s

s p s s

thì đến một lúc nào đó ta được

s = p + s + (ở đây s m+2 =0 ) và thuật toán dừng với UCLN f g( , )=s m+1

2 Vành đa thức nhiều biến

Cho R là một vành và x1, ,x n(n≥1) là các biến Ta gọi đơn thức là một biểu thức có

dạng 1

1a a n

n

x x ,trong đó ( a1, , an) ∈n được gọi là bộ số mũ của đơn thức Nếu

a = =a = , thì đơn thức được kí hiệu là 1 Phép nhân trên tập các đơn thức được định nghĩa như sau:

( 1 )( 1 ) 1 1

1a a n 1b b n 1a b a n b n

x x x x = x + x +

Từ là biểu thức có dạng 1

1a a n

n

x x

a ,trong đó a ∈ R được gọi là hệ số của từ Thông

thường các phần tử của R gọi là phần tử vô hướng Hai từ khác không 1

1a a n

n

x x

1

1a a n

n

x x

β là đồng dạng với nhau Như vậy có thể xem đơn thức là từ với hệ số là 1, và

phần tử vô hướng a là từ a 1.

Để cho tiện ta kí hiệu x = ( x1, , xn) , a = ( a1, , an) ∈nvà 1

1a a n

a

n

x =x x Đa thức n

biến x1, ,x n trên vành K là một tổng hình thức của các từ:

n

a a a

f x a x

∈

= ∑



Trong đó chỉ có một số hữu hạn hệ số aa ≠0 Từ a

a x

a với aa ≠0 được gọi là từ của

đa thức và a

x là đơn thức của f x( )

Hai đa thức ( )

n

a a a

f x a x

∈

= ∑



và ( )

n

a a a

g x β x

∈

= ∑



được xem là bằng nhau, nếu aa =βa

với mọi n

a∈  Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau:

Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau:

=

trong đó

, n;

b c b c a



Định nghĩa 1.1.10: Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên có thể

kiểm tra tập tất cả đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị là đơn thức 1

Tập này được kí hiệu là vành K x[ , ,x ] hay K x[ ]

Định nghĩa 1.1.11: Bậc tổng thể của đa thức deg f x ( ) = max { a1+ + an | aa ≠ 0 }

Đối với đa thức một biến, bậc tổng thể chính là bậc thông thường Đôi khi bậc tổng thể

của đa thức nhiều biến cũng được gọi tắt là bậc, nếu như không có sự hiểu nhầm nào

xảy ra

Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức f x( ) khác không, ta s ắp xếp theo các thứ tự

c ủa các từ được gọi là thứ tự từ:

Định nghĩa 1.1.12: Thứ tự từ ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập Mtất cả các đơn thức

của K x[ ] thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Với mọi m∈M,1≤m

(ii) Nếu m m m1, 2, ∈M mà m1 ≤m2 thì mm1≤mm2

T ừ định nghĩa trên ta thấy ngay trên vành đa thức một biến chỉ có một thứ tự từ Đó là

th ứ tự xác định bởi bậc đơn thức Dưới đây ta sẽ thấy có nhiều cách định nghĩa thứ tự

t ừ khi số biến từ hai trở lên Trước hết ta thiết lập một số tính chất chung của thứ tự từ

M ệnh đề 1.1.13: Một thứ tự toàn phần ≤ trên M là thứ tự tốt khi và chỉ khi mọi dãy đơn thức thực sự giảm:

m >m >m >

sẽ dừng (sau hữu hạn phần tử)

M ệnh đề 1.1.14: Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt Ngược lại mọi thứ tự tốt trên M thỏa điều

kiện (ii) của định nghĩa 1.1.12 là thứ tự từ

M ột số thứ tự từ

Cho ≤ là một thứ tự từ Sau khi đổi chỉ số các biến luôn có thể giả thiết:

x > x > > x

Sau đây là một số thứ tự từ quan trọng:

Định nghĩa 1.1.15:Thứ tự từ điển là thứ tự ≤lex xác định như sau: 1 1

1 n 1 n

n lex n

xa xa < xβ xβ

nếu thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của vector ( a β1− 1, , an − βn) là

một số âm (Nói cách khác, nếu tồn tại 0 i ≤ < n sao cho a1 =β1, ,ai =βi, nhưng

a+ < β+

Thứ tự từ điển tương tự như cách sắp xếp các từ trong từ điển, và do đó có tên gọi như

vậy

Định nghĩa 1.1.16: Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự ≤glex xác định như sau:

1 n 1 n

n glex n

xa xa < xβ xβ hoặc

xa xa = xβ xβ và thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của vector ( a β1− 1, , an − βn) là một số âm (Nói cách khác, 1 1

1 n 1 n

n glex n

xa xa < xβ xβ nếu

a + + <β + +β hoặc a1+ + a n =β1+ + βnvà 1 1

1 n 1 n

n lex n

xa xa < xβ xβ )

Định nghĩa 1.1.17: Thứ tự từ điển ngược là thứ tự ≤rlex xác định như sau:

1 n 1 n

n rlex n

xa xa < xβ xβ nếu ( 1 ) ( 1 )

xa xa < xβ xβ hoặc

xa xa = xβ xβ và thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của vector ( a β1− 1, , an − βn) là một số dương (Nói cách khác, 1 1

1 n 1 n

n rlex n

xa xa < xβ xβ

nếu a1+ + a n <β1+ + βn hoặc a1+ + a n =β1+ + βnvà tồn tại 0 i ≤ < n sao cho a1 =β1, ,ai =βi, nhưng ai+1> βi+1.)

M ệnh đề 1.1.18: Ba thứ tự kể trên là các thứ tự từ

Sau khi s ắp xếp được các hạng tử của đa thức, ta sẽ mở rộng phép chia đa thức nhiều

bi ến sẽ xét ở chương sau Trước tiên, ta thấy vành đa thức nhiều biến cũng có một số tính ch ất được mở rộng trực tiếp từ vành đa thức một biến

M ệnh đề 1.1.19: Nếu K là miền nguyên thì vành đa thức K x[ ] cũng là miền nguyên

M ệnh đề 1.1.20: Nếu K là miền nguyên, thì với mọi đa thức f x( ) ( ),g x ∈R x[ ] đều có:

( ) ( )

deg f x g x =deg f x +degg x

và

( ) ( )

Hơn nữa, ta có bất đẳng thức chặt khi và chỉ khi deg f x( )=degg x( ) và

( ) ( )

degf x degg x

§2: MODULE

V ới định nghĩa module và các tính chất cơ bản của module đã học ở đại số đồng điều,

ti ết này ta xem xét một vài module đặc biệt

1 Module t ự do và module hữu hạn sinh Định nghĩa 1.2.1: Cho S ⊆M.Tập các phần tử

{ r s1 1+ + r s nn n | ∈  , , , r1 rn∈ R s ; , ,1 sn∈ S }

lập thành module con của M gọi là module con sinh bởi S và kí hiệu là S

Tập con ∅ ≠ ⊆S M được gọi là tập sinh hay hệ sinh của M nếuM = S

Tập được gọi là tập sinh tối tiểu (hay hệ sinh tối tiểu) nếu nó không thực sự chứa một

hệ sinh khác của M

Ta gọi M là module hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn

Định nghĩa 1.2.2: Họ phần tử S ={ }e i i I∈ được gọi là cơ sở của R − module M nếu nó

là tập sinh của M và mỗi phần tử m ∈ M có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

i i

i I

m r e

∈

trong đó r i∈R và r i =0 trừ một số hữu hạn chỉ số i ∈ I

Khác v ới không gian vector, không phải module nào cũng có cơ sở Một module có cơ

s ở là module tự do Nếu e F ∈ là m ột phần tử của cơ sở của module tự do F thì module con Re ≅ R Khi đó ta có ngay:

M ệnh đề 1.2.3:F là R − module tự do với cơ sở { }e i i I∈ khi và chỉ khi F đẳng cấu

với tổng trực tiếp ⊕i I∈ R i ,trong đó R i = R với mọi i ∈ I

Module tự do có cơ sở hữu hạn thì số phần tử của một cơ sở là không thay đổi:

M ệnh đề 1.2.4: Cho R là vành không tầm thường và F là mdule tự do với cơ sở hữu

hạn Khi đó mọi cơ sở của F cũng hữu hạn và hai cơ sở tùy ý của F có số phần tử như nhau

H ệ quả 1.2.5: Mọi module hữu hạn sinh đều đẳng cấu với module thương của module

n

R n ≥ nào đó

Định lí 1.2.6: Giả sử R là vành chỉ có một ideal cực đại duy nhất M và M là

R − module hữu hạn sinh Khi đó x1, ,x n là tập sinh của M khi và chỉ khi ảnh

1, , n

x x là tập sinh của không gian vector M =M /MM trên R/M Do vậy mọi tập sinh tối tiểu của M có số phần tử như nhau

2 Module Noether Định nghĩa 1.2.7: Cho R là một vành và M là module trên R Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Mọi tập khác rỗng các module con của M đều có phần tử cực đại (đối với

quan hệ bao hàm thức)

(ii) Mọi dây chuyền tăng các module con của M

M ⊆M ⊆ ⊆M ⊆M + ⊆

đều dừng sau hữu hạn bước, tức là tồn tại k để M k = M k+1 = (iii) Mọi module con của M đều hữu hạn sinh

Module thỏa mãn một trong ba điều kiện trên được gọi là module Noether

T ừ định nghĩa ta suy ra ngay: R là vành Noether n ếu và chỉ nếu nó là module Noether trên chính nó

M ệnh đề 1.2.8: Cho M là module trên vành R và N là module con M là module Noether khi và chỉ khi cả hai module N và M /N là R − module Noether

Định lí 1.2.9:R − module M là Noether khi và chỉ khi M là hữu hạn sinh và

( )

/

R Ann M là Noether

T ừ bổ đề và định lí suy ra: nếu R là vành Noether thì m ọi vành thương của nó cũng là Noether