SKKN hướng dẫn học sinh cách giải một số dạng toán về đa thức bằng cách cài thêm đa thức phụ

A.ĐẶT VẤN ĐỀ: Giải toán nghệ thuật thực hành, để có kỹ giải tốn phải trải qua q trình rèn luyện Nhưng khơng phải giải tập có kỹ Việc luyện tập có hiệu khéo léo khai thác từ tập sang loạt tập tương tự, biết quy lạ quen, phải hiểu chất vấn đề định hướng kiến thức vận dụng Học giải toán tư sáng tạo toán đồng thời vấn đề trừu tượng học sinh Vì để giúp học sinh tự tin u thích mơn tốn, có kỹ thực hành giải tốn tốt giáo viên phải thường xun tìm tòi, nghiên cứu Bên cạnh việc hướng dẫn để em tìm hiểu, lĩnh hội kiến thức bản, cần phải xây dựng dạng toán thành chuyên đề để học sinh mở rộng phát triển lực học tập Qua thực tế giảng dạy đặc biệt qua trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp tơi thấy dạng tốn đa thức thường có đề thi học sinh giỏi cấp Có tốn đa thức chẳng hạn: dạng tốn tìm đa thức, tính giá trị biểu thức liên quan đến giá trị đa thức hệ số đa thức ẩn số,… dùng phương pháp thông thường phương pháp lập hệ phương trình giải gặp khó khăn không thực số ẩn nhiều hay số ẩn nhiều số phương trình lập được,… dùng cách giải hạn chế phát huy tư sáng tạo học sinh Bởi thân tơi cố gắng tìm tòi, đúc rút xin trình bày đề tài: “Hướng dẫn học sinh cách giải số dạng toán đa thức cách cài thêm đa thức phụ” B NỘI DUNG: I Một số vấn đề lý thuyết: 1.1) Một số kiến thức đa thức: a) x = a nghiệm đa thức P(x) P(a)=0 b) Đa thức bậc n : P(x)=an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a2 x2 + a1 x + a0 (với an ≠ 0) Có : an hệ số cao nhất; a0 hệ số tự c) Số nghiệm đa thức (khác đa thức khơng) khơng vượt q bậc đa thức d) Nếu đa thức bậc n: P(x)=an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a2 x2 + a1 x + a0 (với an ≠ 0) Có n nghiệm x1, x2, x3,…,xn P(x)= an(x – x1)(x – x2)(x – x3) … (x – xn) e) Dư chia đa thức P (x) cho đa thức ax + b giá trị đa thức P(x) x= −b a 1.2) Vài vấn đề sai phân: Cho dãy số x0; x1; ;xn; Ta biết dãy số hàm số với đối số nguyên, kí hiệu xn = x(n) * Định nghĩa sai phân: Ta gọi ∆xn = xn+1 –xn sai phân cấp dãy xn = x(n) với n ∈ N Và gọi ∆2 xn = ∆xn+1 −∆xn sai phân cấp hai dãy x n = x(n)với n ∈ N Một cách tương tự ∆k xn = ∆k-1 xn+1 −∆k-1 xn sai phân cấp k dãy số * Tính chất : Sai phân cấp k đa thức bậc m số m = k Cách giải số dạng toán đa thức cách cài đa thức phụ Ví dụ 1: Cho đa thức: P(x)=x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1)= 1; P(2)= 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8) * Nhận xét: Đa số học sinh bước đầu tiếp cận có kết luận: P(6) = 62 = 36; P(7)= 72 = 49; P(8)= 82 = 64; P(9)= 92 = 81; Nhưng kết sai ! *Hướng dẫn học sinh giải cách cài đa thức phụ: Ta thấy: P(1) = = 12 P(2) = = 22 P(3) = = 32 P(4) = 16 = 42 P(5) = 25 = 52 Ta cài thêm đa thức phụ R(x) cho giá trị cho biến x: x ∈ {1;2;3;4;5} Q(x)= P(x) - R(x) = Tức chọn R(x) cho: R(1) = 12; R(2) = 22; R(3) = 32; R(4) = 42; R(5) = 52 Như ta chọn R(x)= x2 Từ đó: Q(1)= Q(2)= Q(3)= Q(4)= Q(5)= ; Suy ra: 1; 2; 3; 4; nghiệm Q(x) Vì Q(x)= P(x)- x2 mà P(x) có bậc 5, hệ số cao nên Q (x) có bậc 5, hệ số cao 1, đó: Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) => P(x)= Q(x) + R(x)= (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2 Từ dễ dàng tính giá trị P(x) giá trị biến x Bài giải: Đặt Q(x)=P(x)- x2 Từ giả thiết ta có Q (1)= Q(2)=Q(3)=Q(4)=Q(5)=0 => 1; 2; 3; 4; nghiệm Q(x) Vì Q(x)= P(x)- x2 mà P(x) có bậc 5, hệ số cao nên Q(x) có bậc 5, hệ số cao 1, đó: Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) => P(x)= Q(x) + x2 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2 Do đó: P(6)= (6 - 1)(6 - 2)(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5) + 62 = 156 P(7)= (7 - 1)(7 - 2)(7 - 3)(7 - 4)(7 - 5) + 72 = 769 P(8)= (8 - 1)(8 - 2)(8 - 3)(8 - 4)(8 - 5) + 82 = 2584 Ghi chú: Có thể dùng dãy sai phân để tìm đa thức phụ R(x) sau: Xét dãy số: 16 25 Với dãy số trên, sau lần thực tìm dãy số cách tìm hiệu giá trị ak+1 ak dãy trước ta dãy có số hạng nhau, ta có R(x) có bậc => R(x)= ax2+ bx + c R(1) = = a + b + c a=1 => R(2) = = 4a + 2b + c => b=0 R(3) = = 9a + 3b + c => R(x)= x2 c=0 Ví dụ2: Cho đa thức: Q(x)= x4 + mx3 + nx2 +px + q Biết Q(1)= 5; Q(2)= 7; Q(3)= 9; Q(4)= 11 a) Tìm hệ số m, n, p, q; b) Tính Q(10) *Hướng dẫn HS cách tìm đa thức phụ R(x): Để có P(x)= Q(x) - R(x) = x = 1; 2; 3; ta cần có: R(1)= = 2.1 + R(2)= = 2.2 + R(3)= = 2.3 + R(4)= 11 = 2.4 + =>R(x)= 2x + * Có thể dùng dãy sai phân để tìm đa thức phụ R(x) sau: Xét dãy số: 11 Sau lần thực tìm dãy số cách tìm hiệu giá trị a k+1 ak dãy trước ta dãy có số hạng nhau, ta có R (x) có bậc => R(x)= ax + b R(1) = = a + b a=2 => => R(x)= 2x + => R(2) = = 2a + b b=3 Bài giải: Đặt P(x) = Q(x)- (2x + 3) Từ giả thiết ta có P(1)= P(2)= P(3)= P(4)= => 1; 2; 3; 4; nghiệm P (x) Vì P(x)= Q(x)- (2x + 3) mà Q(x) có bậc 4, hệ số cao nên P(x) có bậc 4, hệ số cao 1, đó: P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) => Q(x)= P(x) +(2x + 3) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3) = x4 - 10x3 + 35x2 - 48x + 27 Vậy: m = -10; n = 35; p = -48; q = 27 Q(10) = (10 - 1)(10 - 2)(10 - 3)(10 - 4) + 2.10 + = 3047 Ví dụ 3: (Đề thi HS giỏi giải toán lớp tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009-2010) Đa thức: P(x)= x6 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f Có giá trị 3; 0; 3; 12; 27; 48 x nhận giá trị là: 1; 2; 3; 4; 5; Tìm dư chia P(x) cho x - *Hướng dẫn học sinh tìm đa thức phụ R(x): Xét dãy số: -3 3 12 27 15 48 21 Tương tự ví dụ trước ta có: R(x) có bậc => R(x) = ax2 + bx + c R(1) = = a + b + c => a=3 R(2) = = 4a + 2b + c => R(x) = 3x2 - 12x + 12 b = -12 R(3) = = 9a + 3b + c c = 12 Bài giải: Đặt Q(x)= P(x) - (3x2 - 12x + 12) Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = Q(6) = Do đó: 1; 2; 3; 4; 5; nghiệm đa thức Q(x) Vì đa thức P(x) có bậc, hệ số cao mà Q(x)=P(x)- (3x2 -12x + 12) nên ta có đa thức Q(x) có bậc 6, hệ số cao => Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6) => P(x) = Q(x) + 3x2 - 12x + 12 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6) +3x2 - 12x + 12 Do dư chia P(x) cho x – là: P(7) = (7- 1) (7- 2) (7- 3) (7- 4) (7- 5) (7- 6) + 3.72 - 12.7 + 12 = 795 Ví dụ 4: Đa thức P(x) bậc có hệ số cao 2, biết P(1) = 0; P(3) = 24; P(5) = 120; P(7) = 336; P(9) = 720; P(11) = 1320 Tính P(2); P(4); P(6); P(8); *Hướng dẫn học sinh tìm đa thức phụ R(x): Xét dãy sai phân: 24 24 120 96 82 336 216 120 48 384 168 48 720 1320 600 216 48 Tương tự ví dụ trước ta có: R(x) có bậc => R(x) = ax3 + bx2 + cx + d R(1) = a + b + c + d = a=1 R(3) = 27a + 9b + 3c + d = 24 b=0 => => R(5) = 125a + 25b + 5c + d = 120 c=1 R(7) = 343a + 49b + 7c + d = 336 d=0 => R(x) = x3 - x Bài giải: Đặt Q(x) = P(x)- (x3 - x) Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(3) = Q(5) = Q(7) = Q(9) = Q(11) = => 1; 3; 5; 7; 9; 11 nghiệm đa thức Q (x) Vì đa thức P(x) có bậc 6, hệ số cao mà Q(x) = P(x)- (x3 - x) nên ta có: đa thức Q(x) có bậc 6, hệ số cao => Q(x) = 2(x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - 7)(x - 9)(x - 11) => P(x) = Q(x) + x3 - x = 2(x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - 7)(x - 9)(x-11) + x3 - x Do đó: P(2) = 2.1.(-1)(-3).(-5).(-7).(-9) + 23 - = -1884 P(4 )= 2.3.1.(-1)(-3).(-5).(-7) + 43 - = 690 P(6) = 2.5.3.1.(-1)(-3).(-5) + 63 - = -240 P(8) = 2.7.5.3.1.(-1)(-3) + 83 - = 1134 Ví dụ 5:Đề thi HS giỏi toán lớp tỉnh Hà Tĩnh năm học 2018-2019) Cho đa thức: P(x)= x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 3; P(2) = 6; P(3) = 11 Tính giá trị biểu thức: Q = 4P(4) + P(-1) *Nhận xét: Với tốn khơng thể dùng hệ phương trình để tìm hệ số đa thức P(x), dung hệ phương trình để tính Q khó khăn, ta thực giải phương pháp cài đa thức phụ *Hướng dẫn học sinh tìm đa thức phụ R(x): Với ta dễ dàng xác định đa thức phụ cách nhẩm tính R(1) = = 12 + Ta có: R(2) = = 22 + => R(x) = x2 + R(3) = 11 = 32 + Bài giải: Đặt H(x)= P(x) – (x2 + 2) Từ giả thiết ta có: H(1) = H(2) = H(3) = =>1; 2; nghiệm đa thức H (x) Vì đa thức P(x) có bậc 4, hệ số cao mà H(x)= P(x) – (x2 + 2) nên đa thức H(x) có bậc 4, hệ số cao => H(x) có dạng: H(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) => P(x)= H(x) + (x2 + 2) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) + (x2 + 2) Do đó: Q = 4P(4) + P(-1) = 4[(4 - 1)(4 - 2)(4 - 3)(4 - m) + (4 + 2)] + [(-1 - 1)(-1 - 2) (-1 - 3)(-1 - m) + (-1)2 + 2] = 4[3.2.1.(4 - m) + 18] + [2.3.4.(1 + m) + 3] = 96 – 24m + 72 + 24 + 24m + = 195 Ví dụ 6:(Đề thi GV giỏi cấp THCS huyện Kỳ Anh năm học 2015-2016) Cho đa thức: f(x)= x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết f(1)= 10; f(2)= 20; f(3) = 30 Tính: M = f (12) +f (-8) 10 + 32 *Nhận xét: Tương tự bài toán khơng thể dùng hệ phương trình để tìm hệ số đa thức P (x), ta thực giải phương pháp cài đa thức phụ Dễ dàng nhẩm đa thức phụ R(x) = 10x Bài giải: Đặt Q(x)= f(x) – 10x Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = => 1; 2; nghiệm đa thức Q(x) Vì đa thức f(x) có bậc 4, hệ số cao mà Q(x)= f(x) – 10x nên ta có: đa thức Q(x) có bậc 4, hệ số cao Do đó: Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) Suy ra: f(x) = Q(x)+ 10x =(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) + 10x =>M= f (12) +f (-8) 10 + 32 Q( 12 ) + 10.12 + Q( −8 ) + 10.( −8 ) + 32 10 11.10.9.(12 − m) + 10.12 + (−9).(−10).(−11).(−8 − m) + 10.(−8) = + 32 10 = =11.9.(12-m)+12+9.11.(8+m)- 8+32 =9.11.(12-m+8+m)+36 = 9.11.20+36 = 2016 Ví dụ 7:(Đề thi HS giỏi Giải tốn lớp tỉnh Hà tĩnh năm học 2007-2008) Xác định hệ số a, b, c, d đa thức P (x)=x5 + ax4 - bx3 + cx2 + dx -2007 Biết x nhận giá trị là: 1; 2; 3; 4; Thì P (x) có giá trị tương ứng 9; 21; 33; 45 ( lấy kết chữ số phần thập phân) *Hướng dẫn học sinh tìm đa thức phụ R(x): Để có Q(x)= P(x) - R(x) = x= 1; 2; 3; ta cần có: R(1)= = 12.1 - 3; R(2)= 21 = 12.2 - 3; R(3)= 33 = 12.3 - 3; R(4)= 45 = 12.4 - =>R(x)= 12x - Bài giải: Đặt Q(x)= P(x) - (12x - 3) Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = => 1; 2; 3; nghiệm đa thức Q (x) Vì đa thức P(x) có bậc 5, hệ số cao mà Q(x)= P(x) - (12x - 3) nên ta có: đa thức Q(x) có bậc 5, hệ số cao Do đó: Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - m) = (x5 + ax4 - bx3 + cx2 + dx -2007) - (12x - 3) =>(-1)(-2)(-3) (-4)(-m) = -2007 + -24m = -2004 => m = 83,5 => Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 83,5) => P(x) = Q(x) + 12x - = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 83,5) + 12x - Khai triển, rút gon ta được: P(x) = x5 - 93,5x4 + 870x3 - 2972,5x2 + 4211x -2007 Do đó: a = -93,5; b = -870; c = -2972,5; d = 4211 Ví dụ 8:(Đề thi HS giỏi Giải tốn lớp tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 20092010) Cho đa thức: P(x)= x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Có giá trị -14; -9; 0; 13; 30 Khi x nhận giá trị là: 1; 2; 3; 4; a) Tìm biểu thức hàm đa thức P(x) b)Tính giá trị xác P(17); P(25) Hướng dẫn: Dùng dãy sai phân, xác định đa thức phụ: R(x) = 2x2 - x - 15 Bài giải: a) Đặt Q(x) = P(x)- (2x2 - x - 15) Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = => 1; 2; 3; 4; nghiệm đa thức Q (x) Vì đa thức P(x) có bậc 5, hệ số cao mà Q(x)= P(x)- (2x2 - x - 15) nên ta có: đa thức Q (x) có bậc 5, hệ số cao => Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) 10 => P(x) = Q(x) + (2x2 - x - 15) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + (2x2 - x - 15) b) P(17) = 524706 P(25) = 5101690 Ví dụ 9:Cho đa thức P(x) bậc 4, biết: P(1) = 2; P(2) = 8; P(3) = 18, hệ số cao P(12) +P(-8) Tính: A = P +P (32) (-28) *Nhận xét: Với tốn khơng thể dùng hệ phương trình để tìm hệ số đa thức P(x), ta thực giải phương pháp cài đa thức phụ Dễ thấy: Đa thức phụ R(x) = 2x2 Bài giải: Đặt Q(x) = P(x)- 2x2 Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = => 1; 2; nghiệm đa thức Q (x) Vì đa thức P(x) có bậc 4, hệ số cao mà Q(x) = P(x)- 2x2 nên ta có: đa thức Q(x) có bậc 4, hệ số cao => Q(x) = 2(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) => P(x) = Q(x) + 2x2 = 2(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) + 2x2 => P(12) + P(-8) = 2.11.10.9.(12-m) + 2.122 + 2.9.10.11(m+8) + 2.(-8)2 = 40016 Tương tự: P(32) + P(-28) = 2.31.30.29.(32- m) + 2.322 + 2.29.30.31(m+28) + 2.282 = 3240016 Vậy A = 40016 2501 = 3240016 202501 Một số tập tương tự để học sinh luyện tập: Bài 1: Cho đa thức: P(x)= x6 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f Biết P(1)= 27; P(2)= 125; P(3)= 343; P(4)= 729; P(5) = 1331; P(6)=2197 a)Tính P(-1); P(15); 11 b) Tìm dư chia P(x) cho 2x – Bài 2: Cho đa thức: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + 132005 Biết x nhận giá trị: 1; 2; 3; giá trị tương ứng P (x) là: 8; 11; 14; 17 Tính P(11); P(15) Bài 3: Đa thức: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + e Có giá trị là: 11; 14; 19; 26; 35 x theo thứ tự nhận giá trị tương ứng: 1; 2; 3; 4; a) Hãy tính giá trị P(x) x nhận giá trị: 12; 13 b) Tìm dư r chia đa thức P(x) cho 10x – Bài 4: Đa thức bậc 5: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Có P(1)= 1; P(2)= 13; P(3)= 33; P(4)= 61; P(5) = 97 Tính P(5); P(6) Bài 5: cho đa thức: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + e Biết P(1)= 2; P(2)= 6; P(3)= 12; P(4)= 20; P(5) = 30 a) Tìm biểu thức hàm đa thức P(x) b) Tính; P(6); P(7); P(10) Bài 6: Đề thi HS giỏi giải toán lớp tỉnh Hà Tĩnh năm học 2012-2013) Cho đa thức bậc bốn f(x) có hệ số x4 thỏa mãn đồng thời điều kiện: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị biểu thức: A = 7f(6) + f(-2) Bài 7: ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm học 2006-2007) Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30 Tính: P = f (12) +f (-8) 10 + 23 Bài 8: ( Đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh Sóc Trăng năm học 2008-2009) Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 P -P Tính: P = (20) (10) Bài 9: Cho đa thức f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e Biết f(1) = 1; f(2) = 3; 12 f(3) = 7, f(4)= 13; f(5) = 21 Tính f(34,5) Bài 10: Cho đa thức f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết f(1) = -1 ; f(2) = -1 ; f(3) = ; f(4) = ; f(5) = 11 Hãy tính f(15), f(16) C KẾT LUẬN: - Nội dung kiến thức đa thức nội dung rộng Các toán đa thức gặp nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Với đề tài thân tơi tìm tòi, nghiên cứu, đúc rút qua trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, Tôi tin tưởng đề tài “Hướng dẫn học sinh cách giải số dạng toán đa thức cách cài thêm đa thức phụ” áp dụng chắn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi lớp lớp 13 ... Một cách tương tự ∆k xn = ∆k-1 xn+1 −∆k-1 xn sai phân cấp k dãy số * Tính chất : Sai phân cấp k đa thức bậc m số m = k Cách giải số dạng toán đa thức cách cài đa thức phụ Ví dụ 1: Cho đa thức: ... tìm hệ số đa thức P(x), dung hệ phương trình để tính Q khó khăn, ta thực giải phương pháp cài đa thức phụ *Hướng dẫn học sinh tìm đa thức phụ R(x): Với ta dễ dàng xác định đa thức phụ cách nhẩm... P(8) * Nhận xét: Đa số học sinh bước đầu tiếp cận có kết luận: P(6) = 62 = 36; P(7)= 72 = 49; P(8)= 82 = 64; P(9)= 92 = 81; Nhưng kết sai ! *Hướng dẫn học sinh giải cách cài đa thức phụ: Ta thấy: