SKKN hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về đồ thị hàm số

MỤC LỤC I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Hướng dẫn học sinh giải số dạng toán đồ thị hàm số 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 17 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 17 3.1 Kết luận 17 3.2 Kiến nghị 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình mơn Tốn THPT, chủ đề Hàm số đồ thị hàm số chiếm khối lượng lớn kiến thức giảng dạy lớp 10, lớp 11 lớp 12 Học xong chương trình THPT học sinh phải nắm vững khái niệm hàm số; khảo sát vẽ đồ thị hàm số; đọc đồ thị hàm số Các toán dạng nhận diện đồ thị hàm số giải toán liên quan giúp em củng cố nắm vững khái niệm tính chất hàm số tốt Từ Bộ Giáo dục Đào tạo thay đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan kì thi THPT Quốc Gia địi hỏi cần có câu hỏi kiểm tra mức độ vận dụng, vận dụng cao người học mà hạn chế sử dụng máy tính cầm tay; khó học sinh biết “lụi” phương án ngẫu nhiên Với mạnh riêng chủ đề hàm số đồ thị, người đề có nhiều đất để sáng tạo câu hỏi kiểm tra mức độ tư cao mà không sa đà vào đánh đố; trắc nghiệm hóa tốn tự luận khó (như thi chọn học sinh giỏi quốc gia; thi Olympic quốc tế,…) khơng phù hợp với tiêu chí kì thi Các câu hỏi đồ thị hàm số kiểm tra lực tư cao tốt Có lẽ lí này, đề thi THPT Quốc Gia hàng năm đề thi Khảo sát chất lượng ôn thi THPT Quốc gia Sở Giáo dục Đào tạo, trường THPT nước xuất ngày cảng nhiều dạng toán đồ thị hàm số Khi tổ chức, hướng dẫn em học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia, nhận thấy lúng túng, khó khăn em giải tập mức vận dụng vận dụng cao liên quan đến đồ thị hàm số Bởi vậy, lựa chọn đề tài SKKN: “Hướng dẫn học sinh giải số dạng toán đồ thị hàm số” Đề tài đúc rút kinh nghiệm thân dạng toán thường gặp giúp em học sinh lớp 12 giải dạng toán đồ thị hàm số Đề tài SKKN góp ý, trao đổi tác giả với đồng nghiệp để nâng cao chất lượng dạy học chủ đề hàm số đồ thị 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài đưa phương pháp giải dạng toán thường gặp đồ thị hàm số giúp em học sinh lớp 12, em học sinh chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc Gia áp dụng vào tập đồ thị hàm số mức độ vận dụng vận dụng cao Đồng thời thơng qua nâng cao khả tư duy, sáng tạo học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài nội dung kiến thức kĩ chủ đề hàm số đồ thị; phép biến đổi đồ thị; tương giao đồ thị hàm số 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu chủ đề hàm số đồ thị Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát lực học sinh học giải toán thuộc chủ đề hàm số đồ thị đặc biệt toán liên quan đến đồ thị hàm số; khó khăn mà học sinh thường mắc phải giải dạng toán đồ thị Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu đề tài II HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Chủ đề hàm số đồ thị học chương trình mơn Tốn lớp 10, lớp 11 lớp 12 Cụ thể sau: Trong chương trình mơn Tốn 10: Chủ đề hàm số học chương (Chương 2: Hàm số bậc bậc hai); học sinh học khái niệm hàm số (tập xác định; đồng biến nghịch biến hàm số; đồ thị hàm số; hàm số chẵn hàm số lẻ; …) Các toán sử dụng đồ thị để biện luận phương trình, bất phương trình học lồng ghép học liên quan đến phương trình bất phương trình Trong chương trình mơn Tốn 11: Chủ đề hàm số học ba chương (Chương 1: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác; Chương 4: Giới hạn; Chương 5: Đạo hàm) Trong chương trình mơn Tốn 12: Chủ đề hàm số tiếp nối chương trình mơn Tốn 10 11 học chương (Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực tế giảng dạy, nhận thấy đa phần học sinh làm toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số, sử dụng đồ thị hàm số để giải tốn liên quan em lại gặp khó khăn Chẳng hạn tốn: “Cho đồ thị hàm số C : y f x , tìm m để phương trình f u x m có nghiệm” nhiều em không giải Sự xuất ngày nhiều dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số đề thi THPT Quốc Gia thức Bộ Giáo dục Đào tạo đề thi Khảo sát lớp 12 mơn Tốn (Các đề thi thử) Sở Giáo dục Đào tạo; trường THPT tồn quốc địi hỏi nhu cầu tổng kết dạng tốn Trên sở dạng toán bản, học sinh dễ dàng tiếp cận giải tốn khó đồ thị Qua tham khảo Đề thi thử Đề thi thức kì thi THPT Quốc Gia, tác giả chia thành năm dạng toán sau Dạng 1: Đồ thị hàm số toán xét biện luận số nghiệm phương trình Dạng 2: Đồ thị hàm số chiều biến thiên hàm số Dạng 3: Đồ thị hàm số toán cực trị Dạng 4: Đồ thị hàm số toán so sánh giá trị hàm số Dạng 5: Đồ thị hàm số tốn tìm tiệm cận đồ thị hàm số SKKN tác giả đưa số ví dụ cho dạng, qua giúp học sinh làm tốt toán tương tự dạng Các ví dụ trích từ Đề thi thử số trường Sở Giáo dục Đào tạo toàn quốc 2.3 Hướng dẫn học sinh giải số dạng toán đồ thị hàm số 2.3.1 Dạng 1: Đồ thị hàm số toán xét biện luận số nghiệm phương trình Ví dụ ( Trích Đề thi thử trường THPT Yên Khánh A - lần -2019) Cho hàm số có đồ thị hình vẽ f x liên tục bên Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f x m có nghiệm thuộc nửa khoảng ; A 1;3 B 1; f C 1;3 D 1; f Phân tích cách giải tốn: Một dạng tốn quen thuộc học sinh thường gặp “Dựa vào đồ thị C hàm số y f x , tìm tham số m để phương trình f x m có nghiệm ” Cách giải toán: Số nghiệm phương trình f x m số giao điểm đồ thị C hàm số y f x đường thẳng d : y m Do đó, để phương trình f x m có nghiệm ta tìm m để C đường thẳng d cắt Khi ta thay biến x hàm số u u x , ta chuyển toán dạng “Dựa vào đồ thị C hàm số y f x , tìm tham số m để phương trình f u x m có nghiệm ” Cách giải tốn: Trước hết ta tìm tập giá trị hàm số u u x , giả sử tập giá trị tập X Khi đó, phương trình f u x m có nghiệm đường thẳng d : y m cắt đồ thị C : y f x điểm có hồnh độ x X Lời giải Chọn A Trước hết, xét hàm số t x Ta có x x tx ,x 2; x2 tx x Bảng biến t x t x , x2; Bây giờ, đặt t 2; sau: x2 Lúc này, phương trình f x2 m có nghiệm Phương trình f t m có nghiệm t 1;2 x2; Đường thẳng khoảng 1;2 y m đồ thị hàm số f t có điểm chung nửa m Vậy m 1;3 Ví dụ (Trích Đề thi thử trường THPT Thăng Long Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ bên Tập tất giá trị m để phương trình f m nghiệm thuộc khoảng ; A 2; 13 B 19 13 C ; cos x 19 ; D.2; Phân tích cách giải tốn: Đặt t , với x ; t cos 2 x m để phương trình f t m có nghiệm t ; Bài tốn trở thành: Tìm ;1 Lời giải Chọn D Ta có x Đặt t ; 1;0 ;1 nên cos x 2 cos x ,t Phương trình trở thành f t m với t cos x Phương trình cho có nghiệm phương trình f t m có nghiệm t Từ đồ thị hàm số suy giá trị cần tìm để phương trình f t m có nghiệm t m Ví dụ (Trích Đề thi thử trường THPT Hồng Hoa Thám – Hưng Yên - Lần 1- 2019) Cho hàm số y f ( x ) xác định liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m để phương trình f 3 x 30x 21 m 2019 có nghiệm A 15 C 10 B 14 D 13 Lời giải Chọn D Đặt 3 x 30x 21 t Ta có x Suy t 30x 21 với x 1; 3;3 Với t 3;3 , quan sát đồ thị, ta thấy f t 1, suy 10 f t Do để phương trình f 3 x 30x 21 m 2019 có nghiệm, với m nguyên, ta phải có 10 m 2019 2009 m 2021 Vậy có 13 giá trị nguyên m thỏa mãn Ví fx dụ Cho hàm số ax 2bx 3cx dx 5h (a, b, c, d, h ) Hàm số y f ' x có đồ thị hình vẽ bên Tập nghiệm thực phương trình f x 5h có số phần tử A C B D Lời giải Chọn B x Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta có f'x x x1 Ta có BBT hàm số y Ta có: f fx sau: 5h f x 5h Số nghiệm phương trình y f x đường thẳng y 5h số giao điểm đồ thị hàm số song song với trục hoành Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f x 5h có nghiệm phân biệt 2.3.2 Dạng 2: Đồ thị hàm số chiều biến thiên hàm số Ví dụ (Trích Đề thi thử Sở GD-ĐT Nam Định 2019) Cho hàm số y fx có đồ thị hàm số y f x hình bên Hỏi hàm số y f x 2019 nghịch biến khoảng sau đây? B 2; A 1;2 C ;1 D 1;1 Phân tích cách giải tốn: Tính đạo hàm hàm số y f x 2019 Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta tìm khoảng để f Lời giải Chọn A 2x Ta có y f3 2x 2019 y f 2x Do đó, hàm số nghịch biến y Dựa vào đồ thị hàm số f x Do đó, f x Vậy hàm số y f x ; 2f 2x ta thấy: x1 f x x 2x1 f3 2x x 2x 2x 2x1 2019 x nghịch biến khoảng 1;2 Ví dụ (Trích Đề thi thử trường THPT Bình Giang - Hải Dương - Lần - 2109) Cho hàm số y fx có liên tục 3;6 đạo hàm y f x có đồ thị hình vẽ bên Hàm số gx f x x nghịch biến khoảng sau đây? A 3;2 B 1;0 C 2; D 0;2 Phân tích cách giải Ta có g x f x 2x 2f x x Ta tìm khoảng khoảng cho thỏa mãn f x x ft Đặt t x f x x trở thành t Từ tương giao đồ thị hai hàm số y f x y x ta tìm nghiệm bất phương trình f x x Lời giải Chọn B Ta có g x 2f Cho g x x 2x ta f x x Đặt t x x t ta có bất phương trình f t t Dựa vào hình vẽ bên ta thấy bất phương trình f t t có tập nghiệm t a;3 với a Suy x 1; a với a Do đó, hàm số y g x nghịch biến Dễ thấy, có đáp án B thỏa mãn 1;2 a với 1;0 a 1;2 a với a Ví dụ (Trích Đề thi thử trường ĐH Vinh lần - 2019) Cho hàm số y f x liên tục R có f 0 đồ thị hàm số y f x hình vẽ Hàm số y đồng biến f x x3 khoảng A.2; B :2 C 0;2 D 1;3 Phân tích cách giải: Trước hết ta lập bảng biến thiên hàm số y f x x3, dựa vào đồ thị hàm số y f x xét dấu đạo hàm y f x x2 Căn vào bảng biến thiên hàm số y f x x3 ta suy bảng biến thiên hàm số y f x x3 , từ ta tìm khoảng đồng biến Lời giải Chọn C Xét hàm số g x f x x Ta có g x f x 3x x 0 x1 x Từ giả thiết f 0 nên g 3f0 03 Dựa vào đồ thị hàm số y f x y x2 ta có bảng biến thiên hàm g x f x x3 sau: Từ bảng biến thiên hàm số g x 2; thỏa mãn g0 3fx Từ ta suy bảng biến thiên hàm số y Vậy hàm số y 3fx x3 suy tồn giá trị gx 3fx x3 sau: x3 đồng biến khoảng 0;2 2.3.3 Dạng 3: Đồ thị hàm số toán cực trị 10 y Ví dụ (Trích Đề thi thử trường THPT Văn Giang Hưng Yên - 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục Đồ thị hàm số y f x hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số y f x 2018 2019x x 1O A C B D Phân tích cách giải: Để giải dạng tốn này, ta ý tới điểm sau Hàm số y f x đạt cực trị điểm x0 y f x liên tục khoảng a; b với x0 a ; b f x đổi dấu x qua x0 Nếu đồ thị hàm số y f x cắt đường thẳng (không tiếp xúc) điểm x0 f x m đổi dấu x qua x0 Lời giải Chọn B Ta có y f Dựa vào đồ y f x 2018 y m x 2018 2019 thị suy f x 2018 2019 có nghiệm 2019 đổi dấu x qua nghiệm Do hàm số cho có điểm cực trị Ví dụ Cho hàm số y f x thị y f x y f x2 trị? A C có đồ hình vẽ bên Hàm số có điểm cực B D Phân tích cách giải: Hàm số y f x2 có đạo hàm y x f x2 Căn vào đồ thị hàm số y f x , ta lập bảng xét dấu y x f x2 Lời giải Chọn C 11 Ta có f1 x2 Suy f x x f x2 x 2 x x x f1 x2 x Từ đồ thị hàm số y f x ta có f1 x2 11 x2 11 x2 x 2;0 0;2 2 01 x x Ta có bảng xét dấu x f x2 x; 22; sau Từ bảng xét dấu suy hàm số y f x2 có điểm cực trị Ví dụ 10 y (Trích Đề thi thử trường THPT Chun Lê Q Đơn Quảng Trị f x có đạo hàm lần 1- 2019) Hàm số f x Đồ thị hàm số y f x hình vẽ Tìm số điểm cực trị y f x2 A C hàm số O yf x 5x B D Lời giải Chọn D Ta có 12 x y x f x ; y x x f x2 0 x 2 x x x 0 f ; x2 x x20 x2 Bảng xét dấu Ta thấy y x f x2 đổi dấu qua điểm x 0, x2 x Vậy hàm số y f x2 có ba điểm cực trị 2.3.4 Dạng 4: Đồ thị hàm số toán so sánh giá trị hàm số Ví dụ 11 Cho hàm số y f x có đồ thị y f x Biết f0 f6 f5 lớn A f hình f 10 y f x vẽ bên Giá trị 2;10 B f D f 10 C f Phân tích cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta lập bảng biến thiên hàm số y f x đoạn 2;10 Trên sở bảng biến thiên hàm số y f x đoạn 2;10 giả thiết f f f f 10 , y fx 2;10 xác định giá trị lớn hàm số Lời giải 13 Chọn D Bảng biến thiên hàm số y f x 2;10 Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn y f x thể x x 10 2;10 có Ta có f f f f 10 f f 10 f Mà f f f f 10 f f 10 f6 Vậy giá trị lớn y f x 2;10 f 10 Ví dụ 11 (Trích Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Cho hàm số y f x có đồ thị y f x hình vẽ bên Đặt gx g0 2fx g3 x12 g1 g Biết Mệnh đề đúng? A g g3 g1 B g1 g3 g C g3 g g1 D g1 g g3 Lời giải Chọn B 14 Ta có g x 2f x 2x1 Từ đồ thị hàm số y f x đường thẳng y x ta có x gx f x x1 x Bảng biến thiên hàm số g x Từ bảng biến thiên suy g g , g g Ta so sánh g g : Hàm số đồng biến khoảng g 1g g Vậy g g g g g g g 1g g 3;1 , suy g 2.3.5 Dạng 5: Đồ thị hàm số tốn tìm tiệm cận đồ thị hàm số Ví dụ 12 Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị hình vẽ bên Đồ thị hàm số gx x x1 có f x f x 16 tiệm cận đứng? A C B D Phân tích cách giải: Gọi x0 nghiệm phương trình f x f2 16 nên ta có lim g Do y f x hàm số bậc ba lim g x x x x với x x (hoặc x x tiệm cận đứng đồ thị ) Suy đường thẳng x x0 hàm số y g x Do đó, số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y g x số nghiệm phương trình f x f x 160 thỏa mãn điều kiện x Lời giải Chọn B Điều kiện xác định hàm số f Xét f x f x 16 f f fx x y gx x x f x f x gx x 16 x x x đồ thị hàm số y f x cắt f x có nghiệm x 2; có tiệm cận đứng x 1; x Ox điểm x 2; x 1; x 1; x đồ thị hàm số f x 4, đồ thị hàm số y f x cắt đường thẳng y điểm có hồnh độ x nên phương trình f x khơng có nghiệm x f x , đồ thị hàm số y f x cắt đường thẳng y ba điểm, điểm có hồnh độ x 1, hai điểm cịn lại có hồnh độ x 16 x a; x b fx có ba nghiệm phân biệt x 1; x a; x b x a; x b đồ thị hàm số y g x có tiệm cận đứng x 1; Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường SKKN tác giả triển khai dạy cho học sinh lớp 12A năm học 2018 – 2019 trường THPT Tống Duy Tân tiết tự chọn Sau học nội dung này, tác giả nhận thấy em học sinh tiếp nhận tốt nội dung kiến thức đề cập Thơng qua ví dụ trình bày, em giải tốn tương tự tìm cách giải tốn cụ thể chủ đề SKKN thầy mơn tốn trường THPT Tống Duy Tân giảng dạy tiết dạy tự chọn toán lớp 12, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhận phản hồi tốt SKKN thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạy hữu ích III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Những dạng toán đồ thị trình bày SKKN dạng tốn thường gặp, ví dụ tác giả chọn lựa phù hợp tiêu biểu, giúp học sinh nắm vững cách giải lớp toán liên quan Nội dung SKKN tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, tài liệu tham khảo phục vụ cho công tác giảng dạy giáo viên 3.2 Kiến nghị Xuất phát từ tâm nguyện giáo viên ngày giảng dạy cho học sinh, mong muốn đề tài tơi đánh giá tốt cần phổ biến cách rộng rãi để tài liệu đến tay giáo viên học sinh u thích mơn tốn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác ĐỖ ĐƯỜNG HIẾU 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái lần thứ sáu) Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Đại số 10, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái lần thứ sáu) Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên): Đại số giải tích 11 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái lần thứ sáu) Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái lần thứ sáu) Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái lần thứ sáu) Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Giải tích 12, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái lần thứ sáu) Các Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 Năm 2018 Các Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2019 trường THPT, Sở Giáo dục Đào tạo nước 18 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Đỗ Đường Hiếu Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Tống Duy Tân Cấp đánh giá xếp loại TT Tên đề tài SKKN Hướng dẫn học sinh giải tốn hình học giải tích khơng gian kĩ thuật tham số hóa Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn điều kiện phụ (Ngành GD cấp Kết đánh giá xếp loại huyện/tỉnh; Tỉnh ) (A, B, C) Ngành GD cấp C 2014 C 2016 C 2017 C 2018 Năm học đánh giá xếp loại tỉnh Ngành GD cấp tỉnh Xây dựng hệ thống tập dạy học chủ đề ứng dụng hình học tích phân theo Ngành GD cấp tỉnh định hướng phát triển lực Một số phương pháp giải toán vận dụng Ngành GD cấp tỉnh chủ đề hình học khơng gian 19 20 ... hàm số toán xét biện luận số nghiệm phương trình Dạng 2: Đồ thị hàm số chiều biến thiên hàm số Dạng 3: Đồ thị hàm số toán cực trị Dạng 4: Đồ thị hàm số toán so sánh giá trị hàm số Dạng 5: Đồ thị. .. đề hàm số học chương (Chương 2: Hàm số bậc bậc hai); học sinh học khái niệm hàm số (tập xác định; đồng biến nghịch biến hàm số; đồ thị hàm số; hàm số chẵn hàm số lẻ; …) Các toán sử dụng đồ thị. .. chọn đề tài SKKN: ? ?Hướng dẫn học sinh giải số dạng tốn đồ thị hàm số? ?? Đề tài tơi đúc rút kinh nghiệm thân dạng toán thường gặp giúp em học sinh lớp 12 giải dạng toán đồ thị hàm số Đề tài SKKN góp