SKKN hướng dãn học sinh yếu giải một số phương trình lượng giác thường gặp

Mc lc Lớ chn ti Ni dung sỏng kin kinh nghim 2.1 C s lớ lun 2.1.1 nh ngha tip tuyn ca ng cong phng 2.1.2 Mt s bi toỏn c bn v tip tuyn ca th hm s 2.2 Thc trng ca 2.3 Cỏc bin phỏp ó tin hnh gii quyt 3 10 11 2.3.1 Vit phng trỡnh tip tuyn ti mt im ca thuc 11 2.3.2 Vit phng trỡnh tip tuyn ca th bit h s gúc cho 15 trc 2.3.3 Vit phng trỡnh tip tuyn ca th bit tip tuyn i 18 th qua mt im cho trc 2.4 Hiu qu ca SKKN 2.4.1 Kho sỏt thc t: 2.4.2 Kt qu sau thc hin SKKN: Kt lun: Ph lc s s Ti liu tham kho 22 22 22 24 26 30 35 Lớ chn ti Ch hm s l mt ni dung c bn ca chng trỡnh toỏn THPT Mt bi toỏn v ch hm s khụng ch n thun l tỡm xỏc nh, xột s bin 1 thiờn v v th ca hm s m cũn cp n nhng khỏc nh: Vit phng trỡnh tip tuyn; chng minh tớnh cht tip tuyn; tỡm hp im m t ú k c cỏc tip tuyn n th hm s Bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s l mt nhng ni dung quan trng v thng gp cỏc k thi tt nghip THPT v tuyn sinh vo C H nhng nm gn õy, nhng rt nhiu hc sinh cũn m h v lỳng tỳng khụng bit gii bi toỏn ny Bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn cú nhiu dng khỏc nhau, hc sinh thng mc sai lm gia bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn i qua mt im v vit phng trỡnh tip tuyn ti mt im; mt dng na l vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s bit h s gúc ca tip tuyn, chng minh tớnh cht ca tip tuyni vi hc sinh li cng khú Hc sinh khụng cú phng phỏp lm bi vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s vỡ cỏc em mi ch c bit s qua chng trỡnh lp 11 li c luyn rt ớt Hn na cỏc em khụng bit phõn loi bi cú cỏch gii hu hiu, quỏ trỡnh lm bi rt nhiu bi gii hc sinh cũn b sút trng hp vớ d nh cha tỡm ht tip im; ỏnh trỏo bi Nh trờn cng ó núi, chng trỡnh cng nh sỏch giỏo khoa i s v gii tớch lp 11 hc sinh mi ch c tip cn v hiu bit bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s mc nht nh; cha hiu sõu v lớ thuyt; cha c rốn luyn nhiu v k nng Chớnh vỡ vy tụi mnh dn vit sỏng kin kinh nghim v bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s vi mong mun giỳp hc sinh hiu sõu hn v bi toỏn ny v c rốn k nng nhiu hn, dng vo gii toỏn thnh tho hn, ú l lớ tụi chn ti sỏng kin kinh nghim: GIP HC SINH YU KẫM VIT PHNG TRèNH TIP TUYN VI MT NG CONG Gii quyt 2.1 C s lớ lun: >2.1.1 nh ngha tip tuyn ca ng cong phng 2 Trong mt phng ta 0xy cho ng cong (C) gi s (C) l th ca hm s 0 y = f(x) v M (x ; f (x )) (C ) kớ hiu M(x; f(x)) l im di chuyn trờn ( C) y (C) M T f(x) f(x ) M O x x x ng thng M M l mt cỏt tuyn ca ( C) 0 Khi x x thỡ M(x; f(x)) di chuyn trờn ( C) ti M (x ; f (x )) v ngc li Gi s cỏt tuyn M M cú v trớ gii hn, kớ hiu l M 0T thỡ M 0T c gi l tip tuyn ca ( C) ti M im M c gi l tip im Ti mi v trớ ca M trờn (C) ta luụn cú kM = f ( xM ) f ( x0 ) xM x0 *) Nhc li ý ngha hỡnh hc ca ao hm: o hm ca hm s y =f(x) ti x0 0 l h s gúc ca tip tuyn ca th hm s ú ti im M (x ; f (x )) Hn na ta cú kt qu sau: Nu hm s y = f(x) cú o hm ti x0 thỡ tip tuyn ca th hm s ti im nu bit tip tuyn tip xỳc vi th hm s l M (x ; f (x )) cú phng trỡnh l y f ( x0 ) = f '( x0 )( x x0 ) Sau õy ta khụng xột trng hp tip tuyn song song hoc trựng vi oy 3 *) nh lý 1: Phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ca hm s y = f(x) ti im M (x ; f (x )) l y y0 = f '( x0 )( x x0 ) ú y0 = f ( x0 ) *)nh lý 2: Cho hm s y = f ( x) cú th (C) v ng thng d: y = kx + b ng thng f ( x ) = kx + b f '( x ) = k d tip xỳc vi (C) v ch h sau cú nghim: Khi ú nghim x ca h phng trỡnh chớnh l honh tip im >2.1.2 Mt s bi toỏn c bn v tip tuyn ca th hm s Vit phng trỡnh tip tuyn ti mt im ca thuc th a Bi toỏn 1: Cho hm s y =f(x) cú th (C) v im M ( x0 ; y0 ) (C ) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im M ( x0 ; y0 ) (C ) Vớ d 1: Cho hm s y = x3- 6x2+ 9x cú th (C) Hóy vit phng trỡnh tip tuyn ti im A(2;2) thuc th (C) Gii Ta cú: y=3x2-12x +9 Vi: x = ; y = v y(2)= -3 Phng trỡnh tip tuyn vi th (C) ti im A(2;2) l : y = 3( x 2) + hay y = x + Vớ d 2: Cho hm s y = x+2 x + cú th (C) Hóy vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti giao im ca th vi trc 0y Gii: y' = (2 x + 3) y '( 0) = 0; ữ Giao im ca th vi 0y: , h s gúc y= x+ Vy phng trỡnh tip tuyn ca th ó cho l b Bi toỏn 2: Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s: y =f(x) ti im 0 cú honh x = x (Hoc : y= y ) Vớ d 1: Cho hm s y = x4 - 2x2 cú th (C) Hóy vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im cú honh x= -2 Gii Ta cú: y=4x3- 4x Vi: x = -2 y = v y(-2)= - 24 Phng trỡnh tip tuyn vi th (C) ti im A(-2;8) l: y = -24( x + ) + hay y = -24x - 40 Vớ d 2: Cho hm s y = x 3x + cú th (C) Hóy vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im cú tung y = Gii : y ' = 3x x = y = x 3x + = x x = x = x = 3 Ta cú +) Phng trỡnh tip tuyn vi th (C) ti im (0;5) y(0) = -3 Do ú phng trỡnh tip tuyn l y = 3( x 0) hay y = -3x +5 +) Phng trỡnh tip tuyn vi th (C) ti im ( 3;5) y ' ( ) = 3( ) = 5 Do ú phng trỡnh tip tuyn l : y = 6( x + ) hay y = x + + +) Tng t phng trỡnh tip tuyn vi th (C) ti im ( 3;5) l : y = x + Vit phng trỡnh tip tuyn ca th bit h s gúc cho trc Bi toỏn: Cho hm s y =f(x) cú th (C) v mt s k Ă Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) cú h s gúc k Vớ d 1: Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s y= x x + (C) cú h s gúc bng y' = x = x2 + 2x = ( x + 1) = => ( x + x + 1) = x = 2 Cú to tip im l (0; 1), ( 2;3) Hai phng trỡnh tip tuyn: y = 3x v y = 3( x + 2) + y = 3x + Vớ d 2: Vit phng trỡnh tip tuyn vi ( C ) : y= x + x + bit tip tuyn song song vi d : y = x Gii: Ta cú ( x0 + 1) = x=0 = ( x0 + 1) x = 1 Cú hai phng trỡnh tip tuyn y = x + 3, y = x 3 Vớ d 3: Cho hm s y=x x + cú th (C) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn vuụng gúc vi ng thng : x y = Gii: 6 Vỡ tip tuyn d cn tỡm vuụng gúc Cỏch : ng thng cú h s gúc kd = vi ng thng nờn h s gúc ca tip tuyn cn tỡm l Honh tip im ca tip tuyn l nghim ca phng trỡnh x = x 18 x + = 5 x = y ' = 3x x = 3 Thay ln lt x1 , x2 vo phng trỡnh tip tuyn tng quỏt, ta c cỏc tip k = 61 31 y= x+ y= x v tuyn l: y = xc Cỏch : Phng trỡnh tip tuyn cú dng d : (*) d l tip tuyn ca (C) h sau cú nghim 61 x x + = x c c = 27 c = 31 x x = 27 Thay ln lt c1; c2 vo phng trỡnh (*), ta c cỏc tip tuyn l: 61 31 y= x+ y= x v Vit phng trỡnh tip tuyn ca th bit tip tuyn i qua mt im cho trc Bi toỏn: Cho hm s y =f(x) cú th (C) v im A ( a; b ) cho trc Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) qua A n th (C) 7 Vớ d 1: Cho hm s y = x x + Vit phng trỡnh tip tuyn k n th t im A( 23 ; 2) Gii: 23 y = k x ữ (*) ng thng d i qua im A cú phng trỡnh ng thng d tip xỳc vi th (C) h sau cú nghim 23 23 2 x x + = k x ữ x x + = (3 x x) x ữ x x = k x x = k x = k = x = k = x = k = x x = k Thay k ln lt vo (*), ta c cỏc phng trỡnh tip tuyn l: 61 d1 : y = 2, d : y = x + 27 v d3 : y = x 25 Vớ d 2: Cho hàm số Giải: y= x 3x + 2 (C ) A(0; ) Viết pttt (C) qua 3 A(0; ) y = kx + có dạng: Phơng trình đờng thẳng qua (d ) Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau: 3 x x + = kx + 2 2 x x = k có nghiệm 8 Suy x = 3x x = x = x = y= +) Với x = k = Pttt là: y = 2 x + +) Với x = k = 2 Pttt là: 2x + +) Với x= - k = 2 Pttt là: y = A(0; ) đến đến thị (C) Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến kẻ từ x y= x + (C) Gọi I giao điểm hai đờng tiệm cận Vớ d 3: Cho hàm số đồ thị hàm số CMR: tiếp tuyến qua I Giải: Ta có tiệm cận đứng x = -1 Tiệm cận ngang y = Do toạ độ giao điểm hai đờng tiệm cận là: I(-1; 1) Phơng trình đờng thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + (d) Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C ) hệ sau có nghiệm: x x + = k ( x + 1) + x x = ( x + 1) + = +1 x = x + x + x + x + ( x + ) =k ( x + 1) (vô nghiệm) => (điều phải chứng minh) Vớ d 4: Cho hàm số y= x2 x x +1 (C) Tìm điểm trục tung mà từ kẻ đợc tiếp tuyến đến đồ thị (C) Giải: Viết lại y dới dạng y = x2+ x + (C) Gọi B(0; b) Oy , Phơng trình đờng thẳng qua B có dạng: y = kx + b (d) 9 Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm: (I) x + x + = kx + b x + x + = kx + b 1 x + = kx + k =k ( x + 1) x +1 + Do (I) b+3k =bk = x +1 x +1 b+3k (1) x + = 1 = k ( 2) ( x + 1) Hệ có nghiệm (1) có nghiệm thỏa mãn (2) b + k k b + 2 k 2(b + 1)k + (b + 3) = (*) ( b + k ) = k Yêu cầu toán thoả mãn phơng trình (*) có hai nghiệm khác b + ' > (b + 1) ((b + 3) 4) > b < 2 (b + 3) 2(b + 1)(b + 3) + (b + 3) 4b + b Vậy, điểm trục tung có tung độ bé -1 khác -2 từ kẻ đợc tiếp tuyến đến đồ thị (C) 2.2 Thc trng ca : Qua iu tra v thc tin ging dy cho thy a phn hc sinh khụng cm thy khú khn vic kho sỏt hm s Tuy nhiờn hc sinh gp phi khú khn lm bi v tip tuyn ca th hm s, thng mc phi nhng khú khn sau: - Cha cú nhng phng phỏp gii c th cho tng dng bi - Nhm gia hai khỏi nim tip tuyn i qua mt im v tip tuyn ti mt im thuc th ca hm s 10 10 Vỡ tam giỏc AOB cõn ti O nờn tip tuyn ca th hm s to vi ox mt gúc 450 hoc 1350 v khụng i qua gc ta O -Tip tuyn ca th hm s to vi ox mt gúc 45 ta cú: tan 450 = y ' ( x ) = (2 x + 3) phng trỡnh vụ nghim - Tip tuyn ca th hm s to vi ox mt gúc 135 ta cú: tan 135 = y ' ( x ) = (2 x + 3) = x = -1 hoc x = -2 (2 x + 3) Vi x = -1 y = Phng trỡnh tip tuyn: y= -1(x+1) +1 hay y= -x (loi vỡ i qua gc ta O) Vi x = -2 y = Phng trỡnh tip tuyn: y= -1(x+2) hay y= -x - Kt lun: Phng trỡnh tip tuyn cn tỡm l : y= -x - NHN XẫT: - Vi cỏch 1: hc sinh thng thiu iu kin ca a v b A BO l tam giỏc -Vi cỏch 2: n gin hn xong hc sinh hay b qua iu kin tip tuyn ca th hm s khụng i qua gc ta O 2.4 Hiu qu ca SKKN 2.4.1 Kho sỏt thc t: Trc thc hin SKKN , nm hc 2013 - 2014 tụi ó kho sỏt cht lng ca hc sinh lp 11A1 ; 11A4 ; thụng qua kim tra vit gm bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn ( s ph lc trang 26 ) Bi toỏn 1: Vit phng trỡnh tip tuyn ti mt im Bi toỏn 2: Vit phng trỡnh tip tuyn bit h s gúc cho trc Bi toỏn 3: Vit phng trỡnh tip tuyn i qua mt im cho trc Kt qu nh sau: Khụng cú hc sinh t im khỏ, gii lp 11A4 ; im trung bỡnh cha t 40%, cũn li l yu, kộm C th: 23 23 Lp TS Gii Khỏ T bỡnh Yu Kộm SL % SL % SL % SL % SL 11A1 35 8.6 14.3 20 51.1 20 11A4 32 0 0 12 37.5 16 50 Tng 67 4.5 7.5 32 47.8 23 34.3 Cht lng bi lm ca hc sinh lp 11A4 thp, k nng gii toỏn yu % 12.5 5.9 2.4.2 Kt qu sau thc hin SKKN: Sau thc hin ti ti lp 11A1; 11A4 ca trng THPT S Bo Thng nm hc 2013 2014 tụi ó kho sỏt cht lng ca hc sinh thụng qua kim tra vit gm bi: ( s ph lc trang 30) Bi toỏn 1: Vit phng trỡnh tip tuyn ti mt im Bi toỏn 2: Vit phng trỡnh tip tuyn bit h s gúc cho trc Bi toỏn 3: Vit phng trỡnh tip tuyn i qua mt im cho trc Bi toỏn 4: ng dng Kt qu nh sau: ó cú hc sinh t im khỏ, gii cũn ớt im yu, kộm ó gim C th: Lp TS Gii Khỏ T bỡnh Yu SL % SL % SL % SL 11A1 35 12 34.3 16 45.7 20 11A4 32 6.3 9.4 20 62.5 Tng 67 14 20.9 19 28.4 27 40.3 Nh vy, cht lng bi kim tra ó c tng lờn rừ rt Kộm % 15.6 7.5 SL 2 % 6.2 2.9 Mt s hc sinh khỏ, gii cũn bit dng vo cỏc bi toỏn mc khú hn Tri qua thc tin ging dy ni dung cỏc bi ging liờn quan n SKKN v cú s tham gúp ca ng nghip, dng SKKN vo ging dy ó thu c mt s kt qu nht nh sau: 24 24 Hc sinh yu ó hiu v bit dng tt hn phng phỏp vit phng trỡnh tip tuyn Hc sinh trung bỡnh tr lờn nm vng c phng phỏp, bit dng thnh tho v linh hot hn Cht lng bi gii v k nng gii toỏn tt hn so vi nhng nm trc õy Kt lun: - Trong giai on giỏo dc hin nay, i mi phng phỏp ging dy l mt nhim v ht sc quan trng nhm o to cho xó hi mt ngun nhõn lc thc th Bn thõn tụi mong mun lm th no nõng cao cht lng hc ca hc sinh nờn tụi luụn c gng tỡm tũi v ng dng i mi vo vic ging dy trờn c s kinh nghim qua nhiu nm ng lp - Loi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn cỏc ti liu tham kho thng c cp mt cỏch s si v nh l, nờn tụi ó c gng hp, gii quyt cỏc bi toỏn phng trỡnh tip tuyn mt cỏch n gin hc sinh d hiu Qua ng dng SKKN ny ging dy cho hc sinh tụi nhn thy i vi bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn hc sinh ó thụng hiu hn rt nhiu - Nh vy, vi SKKN ny dự ớt hay nhiu cng giỳp ớch cho cho cụng vic ging dy ca tụi, gúp mt phn nh giỳp hc sinh hiu k hn v dng tt hn vo gii toỏn, nõng cao cht lng hc mụn toỏn hn trc i vi bn thõn 25 25 tụi, l mt giỏo viờn ng lp vit SKKN ny cng giỳp ớch rt nhiu vic t hc v trau di chuyờn mụn, nghip v ca mỡnh - Mc dự SKKN tụi vit ch chung vo mt rt nh chng trỡnh toỏn lp 12 nhng vic ỏp dng nú vo ging dy cú tỏc dng rt tt, thi gian ti tụi s phỏt trin thờm SKKN ca mỡnh ỏp dng cho c nhng i tng l hc sinh khỏ, gii vi nhng bi toỏn nõng cao hn - T quỏ trỡnh ỏp dng SKKN tụi thy bi hc kinh nghim c rỳt l ging dy giỏo viờn phi giỳp hc sinh tip thu kin thc mt cỏch nh nhng v t nhiờn, khụng nờn gũ ộp, ỏp t, phi a c phng phỏp gii i vi tng loi toỏn cú nh vy hc sinh mi hng thỳ hc v yờu thớch mụn toỏn *) Nhng ý kin xut Bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn cú nhiu dng m c cp rt ớt chng trỡnh THPT, hu ht hc sinh u gp khú khn tip cn vi bi toỏn ny nht l vit phng trỡnh tip tuyn i qua mt im, vit phng trỡnh tip tuyn bit h s gúc cho trc giỳp hc sinh nm vng cỏc kin thc c bn v phng trỡnh tip tuyn ng thi bit dng mt cỏch linh hot cỏc kin thc ú gii quyt nhiu tỡnh khỏc tụi xin nờu mt s gii phỏp ngh sau: i vi t chuyờn mụn v chuyờn mụn nh trng cho phộp tụi c ỏp dng SKKN vi mt s lp tụi khụng c phõn cụng ging dy bng cỏch cho hc sinh i hc ph o bui chiu T chuyờn mụn thng xuyờn úng gúp ý kin cho SKKN ca tụi quỏ trỡnh tụi thc hin SKKN ny Loi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn cũn cú rt nhiu ng dng nhiu bi toỏn k c hỡnh hc, nhng ti liu ny tụi ch trỡnh by mt phn nh Trong quỏ trỡnh thc hin SKKN, tụi ó nhn c nhng gúp ý quý bỏu ca cỏc ng nghip t toỏn trng THPT Gia Phự, rt mong nhn thờm nhng úng gúp quý bỏu khỏc t cỏc ng nghip Tụi xin chõn thnh cm n 26 26 Ph lc s KIM TRA 45 PHT Mụn i s - Gii tớch lp 11 MA TRN KIM TRA Ch hoc mch kin Mc nhn thc Hỡnh thc cõu thc, k nng hi Nhn bit TL Vit phng trỡnh tip S cõu: tuyn ti mt im Vit phng trỡnh tip Tng im Thụng hiu TL im S cõu: im tuyn bit h s gúc cho 27 Vn dng TL 27 trc Vit phng trỡnh tip S cõu: im tuyn i qua mt im cho trc 3 10 bi: Cõu :(4im) Cho hm s y = x 3x + cú th (C) a) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im A (2;3) b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im cú honh bng -1 Cõu :(3im) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s y= x +1 x bit tip y= x+5 tuyn song song vi ng thng Cõu 3: (3im) Cho hm s f(x) = 3x 4x3 cú th (C) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) bit tip tuyn i qua im A(1; 3) 28 28 HNG DN CHM S Cõu Ni dung Thang im 0,5 a) y ' = x 0,5 y '(2) = 3.(2) = Phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im 0,5 (2;3) l: y = 9( x 2) + y = x 15 0,5 Hay b) Honh tip im bng x0 = nờn tung tip 0,5 im l y0 = (1) 3(1) + = 0,5 y '(1) = 3.( 1) = Phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im cú 0,5 honh -1 l: y = 0( x 0) + y=3 0,5 Hay 29 29 0,25 ( x 1) Ta có Do tiếp tuyến song song với đờng thẳng 0,25 1 y= x+5 k = 8 nên tiếp tuyến có hệ số góc 0,25 = ( x 1) 0,25 x x 15 = y' = x = x = +) Với x =5 y = 0,25 0,25 3 y = ( x 5) + Pttt (C) x = là: 17 y= x+ 8 x = y = +) Với 1 y = ( x + 3) + Pttt (C) x = -3 1 y= x+ 8 Vậy, có tiếp tuyến (C) song song với đờng 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 17 y= x+5 y= x+ 8 v thẳng là: 1 y= x+ 8 0,25 f(x) = 3x 4x3 Ta cú: f '( x ) = 12 x -Gi ng thng qua A(1;3) cú h s gúc k 0,25 phng trỡnh cú dng: y = k ( x 1) + - ng thng l tip tuyn ca th hm s thỡ 0,5 30 30 x x3 = k ( x 1) + (1) (2) h sau phi cú nghim: 12 x = k -Thay (2) vo (1) ta cú 0,5 x x3 = (3 12 x )( x 1) + 3 x = x = 0,25 -Vi x= thay vo (2) k= Phng trỡnh tip 0,25 tuyn: y = 3( x 1) + hay y = 3x 0,25 0,25 thay vo (2) k = 24 Phng trỡnh -Vi tip tuyn: y = 24( x 1) + 0,25 hay y = 24 x + 27 x= -Vy cú hai phng trỡnh tip tuyn i qua A(1;3) 0,25 l: y = 3x v y = 24 x + 27 s KIM TRA 45 PHT Mụn i s - Gii tớch lp 11 MA TRN KIM TRA Ch hoc mch kin Mc nhn thc Hỡnh thc cõu thc, k nng hi Nhn bit TL Vit phng trỡnh tip S cõu: Tng im Thụng hiu TL Vn dng TL im tuyn ti mt im Vit phng trỡnh tip S cõu: im tuyn bit h s gúc cho 31 31 trc Vit phng trỡnh tip S cõu: im tuyn i qua mt im cho trc Tỡm im thuc th S cõu: im Tng im 3 10 bi: Cõu 1: (3im) Cho hm s y = x x cú th (C) a) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im A (1; 4) b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im cú honh bng Cõu 2:(2im) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s y= x +1 x bit y= x+5 tip tuyn song song vi ng thng Cõu 3:(2im) Cho hm s f(x) = 3x 4x3 cú th (C) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) bit tip tuyn i qua im A(1; 3) 32 32 Cõu 4:(3im) Cho hm s y = x + 3x (C) Tỡm cỏc im trờn th (C) m qua ú k c mt v ch mt tip tuyn n (C) HNG DN CHM S Cõu Ni dung Thang im 0,5 a) y ' = x x y '(1) = 0,25 Phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im (1; 4) l: 0,5 y = 0( x 1) y = 0,25 Hay b) Honh tip im bng x0 = nờn tung tip im 0,5 l y0 = 2.2 = y '(2) = 32 = 24 0,25 Phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im cú honh 0,5 l: y = 24( x 2) + y = 24 x 43 0,25 Hay 33 33 y' = Ta có 2 ( x 1)2 0,25 0,25 y= x+5 Do tiếp tuyến song song với đờng thẳng k = nên tiếp tuyến có hệ số góc 0,25 = ( x 1) 0,25 x x 15 = x = x = 0,25 y = ( x 5) + Pttt (C) x = là: 0,25 +) Với x =5 y = 17 y= x+ 8 +) Với x = y = 0,25 1 y = ( x + 3) + Pttt (C) x = -3 0,25 1 y= x+ 8 Vậy, có tiếp tuyến (C) song song với đờng thẳng 1 17 y= x+5 y= x+ 8 v là: 1 y= x+ 8 0,25 f '( x ) = 12 x f(x) = 3x 4x Ta cú: -Gi ng thng qua A(1;3) cú h s gúc k phng 0,25 34 34 trỡnh cú dng: y = k ( x 1) + - ng thng l tip tuyn ca th hm s thỡ h sau 0,25 3x x3 = k ( x 1) + (1) (2) phi cú nghim: 12 x = k -Thay (2) vo (1) ta cú x x = (3 12 x )( x 1) + x = x = 0,25 0,25 -Vi x= thay vo (2) k= Phng trỡnh tip tuyn: 0,25 y = 3( x 1) + hay y = 3x 0,25 thay vo (2) k = 24 Phng trỡnh tip -Vi tuyn: y = 24( x 1) + hay y = 24 x + 27 x= -Vy cú hai phng trỡnh tip tuyn i qua A(1;3) l: 0,25 y = 3x v y = 24 x + 27 0,25 Gi M ( x0 ; x0 + 3x0 2) (C ) Phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti ti M0 cú dng : 0,5 y = k ( x x ) x03 + x02 (d) ng thng d l tip tuyn ca (C) ti M v ch 0,5 x + 3x = k ( x x ) x 03 + x02 h sau cú nghim 3x + x = k ( x x0 )( x + x + xx0 + x02 x0 ) 35 x1 = x0 x2 = x0 0,5 0,5 35 im M0 tho yờu cu bi v ch x1 = x x0 = x0 x0 = 0,5 Vy trờn th (C) tn ti nht im m qua ú k 0,25 c ỳng mt v ch mt tip tuyn vi th (C) TI LIU THAM KHO [ 1] Lờ Hng c Lờ Hu Trớ, (2004), Phng phỏp gii toỏn tip tuyn, NXBGD [ 2] Trn Vn Ho V Tun, (2008), Gii tớch 12, NXBGD [ 3] Nguyn Bỏ Kim, (2004), Phng phỏp dy hc mụn toỏn, NXBHSP 36 36 [ 4] Lờ Mu Thng Lờ Mu Tho, (2002), phõn loi v phng phỏp gii toỏn gii tớch 12, NXB Tr [ 5] Trn Phng, (2006), Tuyn chuyờn luyn thi i hc mụn toỏn, NXBHN Bo Thng, ngy 05 thỏng 05 nm 2014 Ngi thc hin Nguyn Mnh Hựng 37 37 [...]... tan 1 + ka 1 a Vớ d 1: 3 2 Cho hàm số y = x 3x (C) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = -3 Giải: 2 Ta có: y ' = 3x 6 x 2 2 Do hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 3x 6 x = 3 x 2 x + 1 = 0 x = 1 Với x = 1 y = 2 Pttt cần tìm là: y = 3( x 1) 2 y = 3 x + 1 Ví dụ 2: 3 2 Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3x + 1 (C) Biết tiếp tuyến đó... d 1: 3 2 Cho hàm số y = x + 3x 9 x + 3 (C) Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất Giải: Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị (C) là: 2 k = y ' = 3x + 6 x 9 18 18 y ' ' = 6 x + 6 y ' ' = 0 6 x + 6 = 0 x = 1 iểm uốn U(-1; 14) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là: k1 = -12 2 Bảng biến thiên của hàm số y ' = 3 x + 6... (Điều phải chứng minh) Vớ d 2: Cho hàm số: y= mx 2 + ( m 1) x + m 2 + m xm (C ) Tìm điểm x0 để với mọi m 0 , tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm x0 song song với một đờng thẳng cố định Tìm hệ số góc của đờng thẳng đó Giải: Ta có: y' = mx02 2m 2 x0 2m mx 2 2m 2 x 2m y ' ( x ) = 0 ( x m) 2 ( x 0 m) 2 Yêu cầu bài toán là tìm x0 để y(x0) = k ( hằng số) m 0 mx02 2m 2 x0 2m = k m ( x... x) 2 Vy phng trỡnh tip tuyn ca th hm s ti (2;-7) l: y = 4( x 2) 7 hay y = 4 x 15 *) Bi toỏn m rng: 14 14 Vớ d 1: Cho hàm số: y = x + 3x 2 (C).Tìm các điểm thuộc (C) mà qua đó kẻ đợc một và chỉ một tiếp tuyến đến (C) 3 2 Giải: 3 2 Gọi M 0 ( x0 ; x0 + 3x0 2) (C ) Phơng trình tiếp tuyến (pttt) của (C) tại M0 có dạng: y = k ( x x 0 ) x03 + 3 x02 2 (d) Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) tại... 2 Kt lun: Phng trỡnh tip tuyn cn tỡm l : y= -x - 2 NHN XẫT: - Vi cỏch 1: hc sinh thng thiu iu kin ca a v b A BO l tam giỏc -Vi cỏch 2: n gin hn xong hc sinh hay b qua iu kin tip tuyn ca th hm s khụng i qua gc ta O 2.4 Hiu qu ca SKKN 2.4.1 Kho sỏt thc t: Trc khi thc hin SKKN , nm hc 2013 - 2014 tụi ó kho sỏt cht lng ca hc sinh lp 11A1 ; 11A4 ; thụng qua kim tra vit gm 3 bi toỏn vit phng trỡnh tip... tng lờn rừ rt Kộm % 0 15.6 7.5 SL 0 2 2 % 0 6.2 2.9 Mt s hc sinh khỏ, gii cũn bit vn dng vo cỏc bi toỏn mc khú hn Tri qua thc tin ging dy ni dung cỏc bi ging liờn quan n SKKN v cú s tham gúp ca ng nghip, vn dng SKKN vo ging dy ó thu c mt s kt qu nht nh sau: 24 24 1 Hc sinh yu ó hiu v bit vn dng tt hn phng phỏp vit phng trỡnh tip tuyn 2 Hc sinh trung bỡnh tr lờn nm vng c phng phỏp, bit vn dng thnh... hc tp ca hc sinh nờn tụi luụn c gng tỡm tũi v ng dng i mi vo vic ging dy trờn c s kinh nghim qua nhiu nm ng lp - Loi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn trong cỏc ti liu tham kho thng c cp mt cỏch s si v nh l, nờn tụi ó c gng tp hp, gii quyt cỏc bi toỏn phng trỡnh tip tuyn mt cỏch n gin hc sinh d hiu Qua ng dng SKKN ny ging dy cho hc sinh tụi nhn thy i vi bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn hc sinh ó thụng... tỏc dng rt tt, thi gian ti tụi s phỏt trin thờm SKKN ca mỡnh ỏp dng cho c nhng i tng l hc sinh khỏ, gii vi nhng bi toỏn nõng cao hn - T quỏ trỡnh ỏp dng SKKN tụi thy bi hc kinh nghim c rỳt ra l khi ging dy giỏo viờn phi giỳp hc sinh tip thu kin thc mt cỏch nh nhng v t nhiờn, khụng nờn gũ ộp, ỏp t, phi a ra c phng phỏp gii i vi tng loi toỏn cú nh vy hc sinh mi hng thỳ hc tp v yờu thớch mụn toỏn *) Nhng... chỉ khi: x1 = x 2 x0 = 3 x0 x0 = 1 2 Vậy, trên (C) tồn tại duy nhất điểm M 0( 1; 0) mà qua đó kẻ đợc đúng một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị (C) y= 4x 2 x + 1 (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), Vớ d 2: Cho hàm số: trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3 Giải: Ta có: x = 3 y = y' = 4.3 2 5 = 3 +1 2 6 3 y ' (3) = 2 8 ( x + 1) 5 3 5 (3; ) y = ( x 3) + 2 là: 8 2... tuyn hc sinh ó thụng hiu hn rt nhiu - Nh vy, vi SKKN ny dự ớt hay nhiu cng giỳp ớch cho cho cụng vic ging dy ca tụi, gúp mt phn nh giỳp hc sinh hiu k hn v vn dng tt hn vo gii toỏn, nõng cao cht lng hc mụn toỏn hn trc i vi bn thõn 25 25 tụi, l mt giỏo viờn ng lp vit SKKN ny cng giỳp ớch rt nhiu trong vic t hc v trau di chuyờn mụn, nghip v ca mỡnh - Mc dự SKKN tụi vit ch tp chung vo mt vn rt nh trong ... k a = tan + ka a Vớ d 1: Cho hàm số y = x 3x (C) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k = -3 Giải: Ta có: y ' = 3x x 2 Do hệ số góc tiếp tuyến k = - nên: 3x x... = 9x + 18 *) Bi toỏn m rng: Vớ d 1: Cho hàm số y = x + 3x x + (C) Chứng minh số tiếp tuyến (C) tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ Giải: Ta có hệ số góc tiếp tuyến điểm đồ thị (C) là: k = y... tip tuyn mt cỏch n gin hc sinh d hiu Qua ng dng SKKN ny ging dy cho hc sinh tụi nhn thy i vi bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn hc sinh ó thụng hiu hn rt nhiu - Nh vy, vi SKKN ny dự ớt hay nhiu cng