SKKN hướng dãn học sinh yếu giải một số phương trình lượng giác thường gặp

Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 11 2.3.1 Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ 2.3.3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một

Mục lục

2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng 3

2.1.2 Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. 4

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 11

2.3.1 Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ

2.3.3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi

qua một điểm cho trước

thiên và vẽ đồ thị của hàm số mà còn đề cập đến những vấn đề khác như: Viếtphương trình tiếp tuyến; chứng minh tính chất tiếp tuyến; tìm tập hợp điểm mà từ

đó kẻ được các tiếp tuyến đến đồ thị hàm số …

Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong nhữngnội dung quan trọng và thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyểnsinh vào CĐ – ĐH trong những năm gần đây, nhưng rất nhiều học sinh còn mơ

hồ và lúng túng không biết giải bài toán này Bài toán viết phương trình tiếptuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thường mắc sai lầm giữa bài toán viếtphương trình tiếp tuyến đi qua một điểm và viết phương trình tiếp tuyến tại mộtđiểm; một dạng nữa là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ sốgóc của tiếp tuyến, chứng minh tính chất của tiếp tuyến…đối với học sinh lạicàng khó Học sinh không có phương pháp làm bài tập viết phương trình tiếptuyến của đồ thị hàm số vì các em mới chỉ được biết sơ qua ở chương trình lớp 11lại được luyện tập rất ít Hơn nữa các em không biết phân loại bài tập để có cáchgiải hữu hiệu, trong quá trình làm bài tập rất nhiều bài giải học sinh còn bỏ sóttrường hợp ví dụ như chưa tìm hết tiếp điểm; đánh tráo đề bài…

Như ở trên cũng đã nói, trong chương trình cũng như sách giáo khoa đại số

và giải tích lớp 11 học sinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết bài toán viếtphương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ở mức độ nhất định; chưa hiểu sâu về

lí thuyết; chưa được rèn luyện nhiều về kĩ năng Chính vì vậy tôi mạnh dạn viếtsáng kiến kinh nghiệm về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốvới mong muốn giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán này và được rèn kĩ năngnhiều hơn, vận dụng vào giải toán thành thạo hơn, đó là lí do tôi chọn đề tài sángkiến kinh nghiệm: “GIÚP HỌC SINH YẾU KÉM VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾPTUYẾN VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG”

2 Giải quyết vấn đề

2.1 Cơ sở lí luận:

2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C) giả sử (C) là đồ thị của hàm số

y = f(x) và M0 (x ¿0¿¿¿ ; f (x ¿0¿¿¿ )) ¿(C ) kí hiệu M(x; f(x)) là điểm di chuyển trên( C)

y (C)

M T f(x)

f(x ¿0¿¿¿ ) M0

O x ¿0¿¿¿ xx

Đường thẳng M M0 là một cát tuyến của ( C)

Khi x → x0 thì M(x; f(x)) di chuyển trên ( C) tới M0 (x ¿0¿¿¿ ; f (x ¿0¿¿¿ )) vàngược lại

Giả sử cát tuyến M M0 có vị trí giới hạn, kí hiệu là M T0 thì M T0 được gọi là tiếp tuyến của ( C) tại M0 Điểm M0được gọi là tiếp điểm.

Tại mỗi vị trí của M trên (C) ta luôn có

0 0

*) Nhắc lại ý nghĩa hình học của đao hàm: “Đạo hàm của hàm số y =f(x) tại x0

là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0 (x ¿0¿¿¿ ; f (x ¿0¿¿¿ ))” Hơn nữa ta có kết quả sau: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x thì tiếp0

tuyến của đồ thị hàm số tại điểm nếu biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số là

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = kx + b Đường thẳng

d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

( )'( )

2.1.2 Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

1 Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị

a Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm M x y0 0; 0( )C Viếtphương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M x y0 0; 0( )C

Giải: 2

1'

Ví dụ 2: Cho hàm số y=x3−3 x+5 có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp

tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = 5

[ ¿

+) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (0;5)

y’(0) = -3

Do đó phương trình tiếp tuyến là y−5=−3( x−0) hay y = -3x +5.

+) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (−√3;5) .

√3)=3(−√3)2−3=6

Do đó phương trình tiếp tuyến là : y−5=6( x+√3) hay

y=6 x+6 √ 3+5 .

+) Tương tự phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm( 3;5)

là : y=6 x−6 √ 3+5 .

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước

Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k  Viết phương trình

tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1 1

x y x





 (C) có hệ sốgóc bằng 2

2 '

Có 2 toạ độ tiếp điểm là (0; 1), ( 2;3) 

Hai phương trình tiếp tuyến: y3x1 và

x x





  



Có hai phương trình tiếp tuyến y7x3, y 7x 3

Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3  3x2  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến2của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 3 x 5y 4 0

Giải:

Cách 1 : Đường thẳng có hệ số góc

35

k 

Vì tiếp tuyến d cần tìm vuông gócvới đường thẳng  nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là

53

2

13

53

Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm A a b cho trước Viết ; 

phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)

Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3 3x2  Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị2

Giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A có phương trình

23

2 (*)9

53

33

9

x

k x

k x

3

2 .

Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến kẻ từ A(0;3

2) đến đến thị (C).

Vớ dụ 3: Cho hàm số y=

x x+1 (C) Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận

của đồ thị hàm số CMR: không có tiếp tuyến nào đi qua I

Giải:

Ta có tiệm cận đứng x = -1

Tiệm cận ngang y = 1 Do đó toạ độ giao điểm của hai đờng tiệm cận là:

I(-1; 1)

Phơng trình đờng thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + 1 (d)

Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Gọi B (0;b)∈Oy , Phơng trình đờng thẳng qua B có dạng: y = kx + b (d).

Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có

- Chưa có những phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài

- Nhầm giữa hai khái niệm tiếp tuyến đi qua một điểm và tiếp tuyến tạimột điểm thuộc đồ thị của hàm số

- Trong quá trình giải học sinh còn mắc phải sai lầm khi tính toán, biếnđổi…trong bước trung gian Lập luận không chặt chẽ; đánh tráo đề bài…

Ví dụ: Cho hàm số y x 3  3x2  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến2của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;3)

Giải: +) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(0;3), phương trình của d có dạng

3

y kx 

+) d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y3x3

Khi đó lời giải bị sai ngay từ bước trung gian nên thiếu một phương trình tiếptuyến

Như vậy lời giải đúng là

x x

k k

y x

Có những học sinh lại đánh tráo đầu bài đi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C) tại điểm A(0;3)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A có dạng y y 0 f x'( )(0 x x 0)

Theo đầu bài ta có x0 0, y0 3

'( ) '( )

y x f x = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y 3

Hoặc có học sinh lại bỏ sót trường hợp trong quá trình giải…

2.3 Giải quyết vấn đề

Việc đưa các dạng bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và phươngpháp giải cụ thể cho từng dạng bài, vận dụng phương pháp giải bài tập toán đềhướn dẫn các em làm bài tập phần học này là rất cần thiết Bởi khi đó các emkhông còn phải lúng túng trong việc lựa chọn cách giải mà sẽ có được cách giảichính xác khi đã xác định được yêu cầu về “Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàmsố” ở dạng nào Chính vì vậy mà hai năm gần đây trong phần dạy bài tập về tiếptuyến của đồ thị hàm số tôi đã cố gắng giúp học sinh biết cách nhận dạng bài tập;chỉ ra phương pháp giải từng dạng Từ đó các em tự tin và có hứng thú học tập

 2.3.1 Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị

a Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm M x y0 0; 0( )C Viếtphương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M x y0 0; 0( )C

+) Đối với bài toán này học sinh chỉ cần tính được chính xác '( ) f x , f x'( )0

và rút gọn chính xác sẽ được lời giải đúng của bài toán

+) Đồ thị chỉ có 1 phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = x3-6x2+9x Hãy viết phương trình tiếp tuyến tạiđiểm M(2;2) ( ) C

Giải

Ta có: y’=3.x2-12x +9

Với: x = 2 ; y = 2 và y’(2)= -3

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là:

Toạ độ điểm uốn là (0;2) , '(0) 3y 

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là:

-Với: x =x ¿0¿¿¿  y ¿0¿¿¿ =f(x ¿0¿¿¿ ) (Bài toán đưa về dạng trên)

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm có hoành độ

x = x ¿0¿¿¿ có dạng:

y=f’(x ¿0¿¿¿ )( x-x ¿0¿¿¿ ) + y ¿0¿¿¿

Nhận xét: Áp dụng tương tự với tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung

độ: y= y ¿0¿¿¿ =f(x ¿0¿¿¿ )  x ¿0¿¿¿ =? ( bài toán đưa về dạng tiếp tuyến tại một điểm )

Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3 3x2 1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ -1

Giải: Hoành độ tiếp điểm x  , nên tung độ tiếp điểm 1 y 1

2 [ ¿

Điểm M0 thoả mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi:

x1=x2⇔x0=3−x0

2 ⇔x0 =1

Vậy, trên (C) tồn tại duy nhất điểm M0( 1; 0) mà qua đó kẻ đợc đúng một và chỉmột tiếp tuyến với đồ thị (C)

Vớ dụ 2: Cho hàm số: y=

4 x−2 x+1 (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

(C), trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3

Giải:

Ta có:

4.3 2 53

2) là: y=

3

8(x−3 )+

5 2 Diện tích hình phẳng cần tính là:

 2.3.2.Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số gúc cho trước

Bài toỏn: Cho hàm số y =f(x) cú đồ thị (C) và một số k  Viết phương trỡnh

tiếp tuyến của đồ thị (C) cú hệ số gúc k

* Phương phỏp giải:

i) Cỏch 1: Phương phỏp tỡm tiếp điểm:

+) Giả sử tiếp tuyến cú hệ số gúc k tiếp xỳc với (C) tại điểm cú hoành độ x i

f x k x x

    là nghiệm của phương trỡnh '( )f x k

+) Giải phương trỡnh '( )f x  , suy ra nghiệm k x  x x0, , 1 x n , n 

+) Phương trỡnh tiếp tuyến tại x i là: y k x x (  i) f x( )i

ii) Cỏch 2: Phương phỏp điều kiện kộp

Xột đường thẳng cú hệ số gúc k cú phương trỡnh y kx m  (m là ẩn) tiếp xỳcvới đồ thị (C): yf x( ) Khi đú ta cú phương trỡnh kx m f x( ) cú nghiệmkộp Áp dụng điều kiện để phương trỡnh cú nghiệm kộp, suy ra được m Từ đúsuy ra phương trỡnh tiếp tuyến cần tỡm

Nhận xột: Vỡ điều kiện ( ) :C1 yf x( ) và ( ) :C2 y g x ( ) tiếp xỳc nhau là hệ điều

yf x mà phương trỡnh tương giao kx m f x( )cú thể biến đổi tương đương

về một phương trỡnh bậc 2 ( khi đú điều kiện để cú nghiệm kộp là  m 0 )

Chỳ ý: Ta cú cỏc dạng biểu diễn của hệ số gúc k như sau:

- Tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax+b, khi đú hệ số gúc k = a

- Tiếp tuyến vuụng gúc với đường thẳng y ax+b, khi đú

1 1

Cho hàm số y=x3−3 x2 (C) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ

số góc của tiếp tuyến k = -3

Giải:

Ta có: y '=3 x2−6 x

Do hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 3 x2−6 x=−3 ⇔ x2−2 x+1=0⇔ x=1

Với x=1⇒ y=−2 Pttt cần tìm là: y=−3 ( x−1)−2 ⇔ y=−3 x +1

Vớ dụ 3: Cho hàm số y=x3−3 x+2 (C) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết

tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng y=−1

y =9x - 14 và y = 9x + 18.

*) Bài toỏn mở rộng:

Vớ dụ 1:

Cho hàm số y=x3+3 x2−9 x+3 (C) Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến

của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

Giải:

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị (C) là:

k = y '=3 x2+6 x−9

y ''=6 x+6 ⇒y ''=0 ⇔6 x +6=0 ⇔ x=−1

Điểm uốn U(-1; 14)

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là: k1 = -12

Bảng biến thiên của hàm số y '=3 x2+6 x−9

x −∞ -1

+∞

y’’ - 0 +y’

+∞

+∞

-12

Từ bảng biến thiên suy ra k≥−12 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = -1

(hoành độ điểm uốn) (Điều phải chứng minh)

Vớ dụ 2:

Cho hàm số: y= mx

2

+(m−1 )x +m2+m

x−m (C ) Tìm điểm x0 để với mọi m≠0 ,

tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm x0 song song với một đờng thẳng cố

Yêu cầu bài toán là tìm x0 để y’(x0) = k ( hằng số) ∀m≠0

⇔ mx0 2−2m2x0−2m ( x0− m)2 = k ∀m

 2.3.3.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm A x y cho trước Viết A; A

phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)

* Phương pháp giải:

i) Cách 1: Thực hiện theo các bước

- Đường thẳng d đi qua điểm A x y có phương trình: A; A

- Kết luận về tiếp tuyến d

ii) Cách 2: Thực hiện theo các bước

- Giả sử tiếp điểm là M x y( ; )0 0 khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng d: y y x x x'( )(0  0) y0

- Điểm A x y A; A , ta được d y A y x x'( )(0 A  x0) y0 (2) x0

- Kết luận về tiếp tuyến d

Chú ý: Số nghiệm phân biệt ở phương trình (1), (2) bằng số tiếp tuyến kẻ từA đến

-Với x= 3 thay vào(2)→ k= 3 Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x-3) = 3x – 9 -Vậy có hai phương trình tiếp tuyến đi qua A(3;0) là:



 Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C) ,biết tiếp tuyến cắt trục hoành,trục tung lần lượt tại A và B sao cho tam giácAOB cân tại O

Phân tích: tiếp tuyến (d)cần tìm thỏa mãn *(d)là tiếp tuyến của ( C)

*(d)cắt ox tại A và cắt oy tại B

*OA=OB

Cách 1: Vì (d) cắt ox tại A nên A(a;0)

(d) cắt oy tại B nên B(0;b) điều kiện: a ¿ 0 và b ¿ 0

Để tam giác AOB cân tại O thì OA=OB ⇔ | a|=|b|

-Với x = -1 thay vào (1) ta có: a = 0 (loại)

*Với a = -b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng:

Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì: {2 x+3 x +2 =x−a

(2 x +3 )2 có nghiệm

Từ (2) suy ra hệ vô nghiệm

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -x - 2

Cách 2:

Vì tam giác AOB cân tại O nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc

450 hoặc 1350 và không đi qua gốc tọa độ O

-Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 450 ta có:

tan 450=y '(x0) ⇔ 1= −1

(2 x0+3 ) 2 ⇒

phương trình vô nghiệm

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 1350 ta có:

tan 1350=y '(x0)⇔−1= −1

(2 x0+ 3)2⇒(2 x0+3 )

x0 = -1 hoặc x0 = -2

Với x0 = -1 ⇒y0=1 .Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+1) +1 hay y= -x (loại vì

đi qua gốc tọa độ O)

Với x0 = -2 ⇒y0=0 Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+2) hay y= -x - 2

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y= -x - 2

NHẬN XÉT: - Với cách 1: học sinh thường thiếu điều kiện của a và b để A BO

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Kết quả như sau:

Không có học sinh đạt điểm khá, giỏi ở lớp 11A4 ; điểm trung bình chưa đạt40%, còn lại là yếu, kém Cụ thể:

Chất lượng bài làm của học sinh lớp 11A4 thấp, kĩ năng giải toán yếu

2.4.2 Kết quả sau khi thực hiện SKKN:

Sau khi thực hiện đề tài tại lớp 11A1; 11A4 của trường THPT Số 2 Bảo Thắngnăm học 2013 – 2014 tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh thông qua kiểm traviết gồm 4 bài: (Đề số 2 phụ lục trang 30)

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Bài toán 4: Ứng dụng

Kết quả như sau:

Đã có học sinh đạt điểm khá, giỏi tuy còn ít Điểm yếu, kém đã giảm

Cụ thể: