Về cơ sở groebner và ứng dụng trong vành đa thức

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ----------------------------------------------------- Hoàng Đình sơn Về cơ sở GroEbner và ứng dụng trong vành đa thức Luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2006 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ----------------------------------------------------- Hoàng đình sơn Về cơ sở GroEbner và ứng dụng trong vành đa thức Chuyên ngành: Đại số & Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS. Nguyễn Thành Quang Vinh - 2006 Mở đầu Khái niệm cơ sở Groebner đợc nhà toán học Bruno Buchberger (học trò của nhà toán học ngời áo Groebner) đa ra vào năm 1965 (xem [11]). Năm 1970, Bruno Buchberger đã tìm thấy một thuật toán hữu hiệu để tính cơ sở Groebner (xem [4]). Việc ngày càng có nhiều đối tợng trong đại số và hình học có thể tính toán hoặc chứng minh thông qua cơ sở Groebner nói lên tầm quan trọng của lý thuyết này. Điểm chốt khởi đầu cho sự hình thành lý thuyết của Buchberger chính là việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức một biến sang trờng hợp các đa thức nhiều biến. Một nét nổi bật của các phần mềm tính toán là chúng không chỉ giúp chúng ta tính toán mà còn hỗ trợ cho t duy, suy luận và do đó nó rất hữu ích trong giảng dạy và nghiên cứu toán học. Kể từ khi phần mềm tính toán Maple ra đời (xem [2], [3] ,[4], [7]), nhiều trờng đại học trên thế giới đã thay đổi cách dạy và học toán. Cùng với cách dạy giải toán truyền thống, ngời học đợc hớng dẫn để giải toán bằng Maple. Phơng pháp này tạo ra cho toán học một cách tiếp cận mới sinh động và sáng tạo hơn, tạo ra cho con ngời có thể khai thác tối đa khả năng sáng tạo. Tính toán hình thức hay còn gọi Đại số máy tính (Computer Algebra) xuất hiện khoảng ba chục năm nay và gần đây đã trở thành một chuyên ngành độc lập. Nếu nh thời buổi đầu, máy tính chỉ thực hiện đợc những tính toán bằng số cụ thể nh giải phơng trình bằng số, tính tích phân xác định, thì sự ra đời của Đại số máy tính ta có thể giải phơng trình với hệ số bằng chữ, tính tích phân bất định Đây là một chuyên ngành kết hợp chặt chẽ toán học và khoa học máy tính. Mặt khác sự phát triển của khoa học máy tính đòi hỏi phải xây dựng các lý thuyết toán học làm cơ sở cho việc xây dựng các thuật toán và các phần mềm tin học. Phối hợp cả hai phơng hớng nghiên cứu trên, trong luận văn này chúng tôi ứng dụng lí thuyết Cơ sở Groebner để tìm tòi một số ứng dụng về phơng diện hình học đại số. Hạt nhân của việc thực hiện đợc các ứng dụng này chính là lý thuyết Cơ sở Groebner. Công việc này gặp thuận lợi nhờ hiện nay các chơng trình máy tính toán học lớn nh Mathematica, Maple, Macaulay, CocoA đều có thể cài đặt các thuật toán làm việc với cơ sở Groebner. Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu các khái niệm và kết quả cơ sở Groebner, từ đó tìm tòi một số ứng dụng vào một số bài toán trong Đại số giao hoán, Hình học đại số thể hiện thông qua vành đa thức một biến và nhiều biến. Cấu trúc luận văn gồm ba chơng, phần mở đầu và kết luận cùng với danh mục 14 tài liệu tham khảo có trích dẫn. Nội dung chính của chơng 1 của luận văn gồm: Giới thiệu một số kiến thức cơ bản trong đại số giao hoán làm cơ sở cho các phần sau đó là lý thuyết iđêan trong vành đa thức. Một trong những kết quả cơ bản về vành đa thức đó là nội dung của định lý Hilbert về cơ sở, nói rằng mọi iđêan của vành đa thức trên trờng là hữu hạn sinh. Giới thiệu một lớp iđêan quan trọng là lớp iđêan đơn thức, là ví dụ cho nhiều vấn đề trong đại số giao hoán. Trình bày nội dung và chứng minh một trong ba định lý nổi tiếng của Hilbert là định lý về cơ sở. Từ đó phát biểu và chứng minh một cách độc lập một hệ quả của nó là bổ đề Dickson. Trình bày khái niệm và tính chất của thứ tự từ, đây là xuất phát điểm để xây dựng lí thuyết cơ sở Groebner. Chơng 2 trình bày về những khái niệm cơ sở của lý thuyết cơ sở Groebner, khái niệm iđêan khởi đầu; định nghĩa và một số tính chất cơ bản của cơ sở Groebner bằng cách dùng thứ tự từ thay cho bậc của đa thức nhằm để mở rộng định lý chia đa thức một biến ra trờng hợp nhiều biến và xây dựng thuật toán chia. Sau đó, luận văn xem xét tiêu chuẩn để một hệ sinh của một iđêan là cơ sở Groebner của nó, đó là tiêu chuẩn Buchberger . Chơng 3, trình bày một số ứng dụng của lý thuyết cơ sở Groebner trong vành đa thức và nghiên cứu ứng dụng cơ sở Groebner xây dựng các thuật toán để giải một số bài toán về iđêan trong vành đa thức nhiều biến. Luận văn trình bày t- ờng minh định nghĩa và một số tính chất của cơ sở Groebner. Cơ sở Groebner là một loại tập sinh đặc biệt của iđêan và nó đợc sử dụng trong một số bài toán về iđêan trong vành đa thức bằng cách sử dụng định lý Hilbert về không điểm. Luận văn đã giới thiệu đợc 10 thuật toán về đa thức. Chẳng hạn nh thuật toán: thành viên; tìm giao các iđêan; tìm thơng các iđêan; tìm iđêan bão hoà; giải hệ phơng trình đồng d đa thức . Thông qua một số thuật toán, luận văn chứng tỏ việc tính toán hình thức trên các iđêan có thể thực hiện đợc với những thuật toán mà có thể lập trình hoá và có thể tính toán với sự trợ giúp của các phần mềm tin học. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn, ngời đã dành cho tôi sự quan tâm chu đáo, cụ thể và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số, Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau Đại học Trờng Đại học Vinh đã hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và viết luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên , học sinh Trờng THPT Tân Kỳ I Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An đã động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý của quý thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp. Tác giả Mục lục Trang Mở đầu 1 Chơng 1 Các khái niệm cơ sở 3 1.1. Iđêan trong vành đa thức 3 1.2. Thứ tự từ . 9 Chơng 2 Cơ sở groebner 13 2.1. Iđêan khởi đầu. Cơ sở Groebner 13 2.2. Thuật toán chia. Thuật toán Buchberger . 19 Chơng 3 ứng dụng của cơ sở groEbner trong vành đa thức 30 3.1. Các thuật toán cơ bản trong lý thuyết iđêan 30 3.2. Định lý Hinbert về không điểm và ứng dụng . 36 3.3 Một số ứng dụng khác của cơ sở Groebner . 42 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Chơng I Các khái niệm cơ sở 1.1. Iđêan trong vành đa thức 1.1.1. Định nghĩa, ký hiệu. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và 1 2 , , ., ( 1) n x x x n là các biến. Ta gọi mỗi đơn thức là một biểu thức có dạng: 1 2 1 2 .= n a a a n X x x x , trong đó 1 2 ( , , ., )= Ơ n n a a a a đợc gọi là bộ số mũ của đơn thức. Phép nhân trên tập các đơn thức đợc định nghĩa: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 . . . . . . + + + = n n n n a b a b a a b b a b a b n n n x x x x x x x x x Từ là biểu thức có dạng 1 2 1 2 . . . n aa a n x x x , trong đó R đợc gọi là hệ số của từ. Để cho tiện ta kí hiệu ( ) 1 2 1 2 1 2 , , . ; . . n aa a a n n a a a a X x x x= = . Đa thức của n biến 1 2 , , ., n x x x trên vành R là tổng hình thức của các từ: ( ) . n a a a f X X = Ơ , trong đó chỉ có một số hữu hạn hệ số 0 a . Từ a a X với 0 a đợc gọi là từ của đa thức ( ) f X và mỗi a X là đơn thức của ( ) f X . Đa thức không, kí hiệu là 0, là đa thức có tất cả các hệ số đều bằng không. Phép cộng và phép nhân đa thức đợc định nghĩa nh sau: ( ) n n n a a a a a a a a a a X X X + = + ữ ữ Ơ Ơ Ơ n n n a a a a a a a a a X X X = ữ ữ ữ Ơ Ơ Ơ trong đó: , n a b c b c b c a + = = Ơ Với hai phép toán cộng và nhân đa thức nêu trên có thể kiểm tra tập tất cả các đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị 1. Tập này đợc kí hiệu là [ ] 1 2 , , ., n R x x x hay [ ] R X và đợc gọi là vành đa thức n biến trên vành R. Bậc tổng thể của đa thức ( ) f X là số ( ) { } 1 2 deg max . / 0 = + + + n a f X a a a . 1.1.2. Định nghĩa. Cho R là một vành. R đợc gọi là vành Noether, nếu mọi tập khác rỗng các Iđêan của R đều có phần tử cực đại (đối với quan hệ bao hàm thức). 1.1.3. Định lý Hilbert về cơ sở. Cho R là vành Noether và X là tập n biến. Khi đó vành [ ] R X cũng là vành Noether. Chứng minh. Quy nạp theo số biến, ta chỉ cần chứng minh cho vành một biến [ ] xR . Cho 0 1 . . j I I I là một dãy tăng các iđêan của [ ] xR . Với mỗi iđêan I của R và i Ơ , đặt ( ) 1 0 0 / , ., ; i j i i i j j L I a R a a R a x I = = . Rõ ràng ( ) i L I là một iđêan của R. Khi đó ( ) ( ) ( ) 1 2 . . i i i j L I L I L I . Với mọi j Ơ , ta có: ( ) ( ) ( ) 0 1 . . j j i j L I L I L I Vì vành R là vành Noether, nên tồn tại , p q Ơ sao cho ( ) p q L I là phần tử cực đại của họ ( ) { } / , i j L I i j Ơ . Từ các dãy tăng nói trên, suy ra với mọi ,> >i p j q ta có: ( ) ( ) ( ) i j p q i q L I L I L I= = . Xét dãy tăng thứ nhất ở trên, ta thấy tồn tại , q sao cho với mỗi 0, ., 1i p= thì: ( ) ( ) , i j p q L I L I= với , j q . Đặt { } , ,t max q q= ta có: ( ) ( ) ; , i j i t L I L I j t i= Ơ . Ta sẽ chứng tỏ , j t I I j t= . Giả sử, ngợc lại t j I I . Trong số các đa thức khác không của tập j I \ t I chọn đa thức có bậc nhỏ nhất, chẳng hạn ( ) 0 0 1 . ; , , ., ; 0 m m m m f x a a x a a a R a= + + . Vì ( ) ( ) m m j m t a L I L I = nên tồn tại đa thức: ( ) 1 0 1 . m m m m g x b b x a x I = + + + . Rõ ràng j f g I \ t I . Nhng ( ) ( ) ( ) ( ) deg deg <f x g x f x , mâu thuẫn với cách chọn f . Vậy j t I I= với j t hay [ ] R x là vành Noether. 1.1.4. Hệ quả. Mọi iđêan của vành đa thức n biến [ ] XK trên trờng K là hữu hạn sinh. Nói cách khác đi, vành đa thức [ ] XK trên trờng K là vành Noether. 1.1.5. Định lý (Định lý chia đa thức một biến). Cho K là một trờng và ( ) g x là một đa thức khác 0 của [ ] K x . Khi đó, mọi đa thức ( ) [ ] f x K x có thể viết duy nhất dới dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) .f x g x q x r x= + trong đó ( ) ( ) [ ] ,q x r x K x và ( ) deg deg ( )r x g x< nếu ( ) 0r x . 1.1.6. Thuật toán chia đa thức một biến. Bài toán: Tìm thơng và d trong phép chia đa thức f cho g . Chia (f,g):= (q,r) In put: g,f. Out put: q,r q:= 0; r:=f. WHILE r 0 AND deg g deg r Do q:= q+ in(r)/in(g). r:= r (in(r)/in(g))g. Thuật toán dừng sau số bớc tối đa bằng bậc của đa thức ( ) f x . Kí hiệu n n a x (hạng tử có bậc cao nhất của ( ) f x ) là in( f ). 1.1.7. Hệ quả. Vành đa thức [ ] K x trên trờng K là vành các iđêan chính nghĩa là mọi iđêan đều sinh bởi một đa thức. 1.1.8. Định nghĩa. Ước chung lớn nhất (UCLN) của các đa thức một biến [ ] 1 2 , , ., n f f f K x là đa thức d sao cho: i, d chia hết 1 2 , , ., n f f f . ii, Nếu d chia hết 1 2 , , ., n f f f thì d chia hết d . Khi đó, kí hiệu: d = UCLN( 1 2 , , ., n f f f ). 1.1.9. Mệnh đề. Cho [ ] 1 2 , , ., , 2 n f f f K x n . Khi đó: i, 1 2 ( , , ., ) n UCLN f f f tồn tại và duy nhất sai khác một hằng số khác 0 của K. ii, ( ) 1 2 1 2 , , ., , , ., n n f f f UCLN f f f= . iii, Nếu 3n thì ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 , , ., , , ., , n n n UCLN f f f UCLN UCLN f f f f = . 1.1.10. Thuật toán Euclid. Kí hiệu Re ( ; )r m f g= là d trong phép chia f cho g . Sau đây là thuật toán Euclid tìm ớc chung lớn nhất của hai đa thức: Tìm UCLN( ,f g ):= h. In put : ,f g . Out put : h. h:= f s:= g . WHILE s 0 Do r:= Rem(h;s) h:= s. s:= r. 1.1.11. Định nghĩa. Iđêan [ ] I K X đợc gọi là iđêan đơn thức nếu nó sinh bởi các đơn thức. Nh vậy, một iđêan đơn thức có dạng ; ; a n I X a A A= Ơ . 1.1.12. Bổ đề. Cho ; a I X a A= là iđêan đơn thức. Khi đó, đơn thức b X I khi và chỉ khi b X chia hết cho đơn thức a X với a A nào đó. Chứng minh. Rõ ràng b X I nếu b X chia hết cho a X với a A nào đó. Ngợc lại, nếu b X I thì tồn tại [ ] i h K X và ( ) ; 1, .,a i A i s = , sao cho ( ) 1 S a i b i i X h X = = (1) Xem i h nh là tổng hữu hạn của các từ và khai triển vế phải của (1) ta thấy mỗi từ của nó phải chia hết cho mỗi ( ) a i X nào đó. Sau khi giản ớc, một trong số từ còn lại phải bằng b X . Vậy b X phải có tính chất chia hết cho ( ) a i X nào đó. 1.1.13. Bổ đề. Cho I là iđêan đơn thức và [ ] XKf . Khi đó, các điều kiện sau là tơng đơng: i, f I . ii, Mọi từ của f thuộc I . iii, f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I . Chứng minh. Hiển nhiên (iii) (ii) (i). Ta cần chứng tỏ: (i) (iii). Thật vậy, tơng tự nh bổ đề 1.1.11 ta có mỗi từ của f phải chia hết cho a X với a A nào đó. Mà mọi đơn thức chia hết cho a X lại thuộc I . Do đó mỗi từ của f là tích của một đơn thức thuộc I với một hệ tử thuộc K hay có (iii). 1.1.14. Hệ quả. Hai iđêan đơn thức trong một vành đa thức bằng nhau nếu chúng chứa cùng một tập đơn thức. 1.1.15. Bổ đề. Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với f I các từ của f đều thuộc I . Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ bổ đề 1.1.13. Ngợc lại, với mọi f I các từ của f đều thuộc I thì tập tất cả các đơn thức của các đa thức thuộc I sẽ sinh ra I hay I là iđêan đơn thức. 1.1.16. Bổ đề Dickson. Mọi iđêan đơn thức ; a I X a A= bao giờ cũng viết đợc dới dạng ( ) ( ) 1 , ., a a s I X X= trong đó ( ) 1 , ., ( )a a s A . Nói khác đi, I là iđêan hữu hạn sinh. Chứng minh. Để tiện theo dõi và ứng dụng kỹ thuật chúng tôi trình bày chứng minh bổ đề trên bằng quy nạp theo số biến n Khi n = 1 ta có ƠA , chọn b A là số nhỏ nhất. Khi đó 1 b x chia hết mọi đơn thức 1 a x với a A . Suy ra b I x= . Giả sử bổ đề đúng với (n 1) biến. Kí hiệu { } , 1 1 , ., n X x x = . Mỗi đơn thức trong [ ] K X có thể viết , . q n X x trong đó 1 n Ơ và q Ơ . Gọi J là iđêan của vành , K X sinh bởi các đơn thức , X sao cho tồn tại m n x để , m n X x I . Theo giả thiết quy nạp, J sinh bởi hữu hạn đơn thức nh vậy, tức là: J = ( ) ( ) , 1 , , ., S X X . Theo định nghĩa, với mỗi i = 1, ,s tồn tại i m N sao cho ( ) , . i i m n X x I . Giả sử { } 1 , ., S m max m m= . Với mỗi 0, ., 1p m= , xét iđêan [ ] XKJ p sinh bởi các đơn thức , X sao cho , . p n X x I . Mặt khác, ( ) ( ) , , 1 , ., ; 0, ., 1 p p p S p J X X p m = = . Ta sẽ chứng tỏ I sinh bởi các đơn thức: ( Từ J ) ( ) ( ) , , 1 . , ., . p p p S m m n n X x X x ( Từ 0 J ) ( ) ( ) 0 0 , , 1 , ., o S X X ( Từ 1 J ) ( ) ( ) 1 1 1 , 1 , . , ., . S n n X x X x