Cơ sở grobner và ứng dụng

MỞ ĐẦU Trong Đại số giao hoán, khi nghiên cứu vành đa thức một biến [ ] với là một trường, ta đã biết mọi iđêan đa thức đều sinh bởi một đa thức nào đó mà ta gọi đó là phần tử sinh của..

MỞ ĐẦU

Trong Đại số giao hoán, khi nghiên cứu vành đa thức một biến [ ] (với là một trường), ta đã biết mọi iđêan đa thức đều sinh bởi một đa thức nào đó mà ta gọi đó là phần tử sinh của Vì vậy với

∈ [ ] bất kì, ta thực hiện phép chia đa thức cho đa thức theo thuật toán Euclide để tìm đa thức dư , đa thức này xác định duy nhất và

∈ I khi và chỉ khi = 0 Một lẽ rất tự nhiên khi mở rộng lên vành đa thức nhiều biến [ , … , ], để xác định một đa thức ∈ [ , … , ] bất kì có thuộc iđêan đa thức ⊆ [ , … , ] cho trước nào đó hay không, ta sẽ đi tìm tập các phần tử sinh { , … , } ≔ , trong đó các

∈ , và sau đó thực hiện phép chia đa thức cho tập các đa thức Tuy nhiên, liệu rằng có thực hiện được phép chia đa thức cho tập các

đa thức để tìm đa thức dư hay không? Và đa thức dư này vẫn còn xác định duy nhất? Thuật toán chia có thay đổi ra sao so với thuật toán Euclide? Liệu ∈ I khi và chỉ khi = 0? Cơ sở Gröbner trong Đại số

máy tính cho phép giải đáp được tất cả những thắc mắc trên

Được sự động viên, giúp đỡ của thầy, cô giáo khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô tổ Đại số, em đã chọn đề tài: “Cơ sở Gröbner và ứng dụng”

Nội dung của đề tài trình bày về những khái niệm cơ sở của lí thuyết Gröbner và ứng dụng của nó Xây dựng quan hệ thứ tự trên tập các đơn thức nhiều biến, từ đó, chúng ta thấy được và làm rõ cách thức

mở rộng thuật toán chia đa thức một biến ở trung học cơ sở sang trường hợp đa thức nhiều biến Qua đó, người ta xác định phương hướng để giải quyết một số bài toán về iđêan trong vành đa thức nhiều biến

Đề tài được trình bày trong hai chương:

Chương 1 Cơ sở Gröbner

Chương này đề cập đến khái niệm thứ tự từ, xuất phát điểm để xây dựng cơ sở Gröbner Từ đó, người ta đưa ra khái niệm iđêan khởi đầu, từ khởi đầu, cũng như định nghĩa và một số tính chất cơ bản của cơ sở Gröbner Tiếp đó, tác giả trình bày việc mở rộng thuật toán chia với dư trong vành đa thức nhiều ẩn Cuối cùng, chúng ta đề cập tới thuật toán Buchberger

Chương 2 Một số ứng dụng của Cơ sở Gröbner

Nội dung chủ yếu của chương này trình bày ứng dụng của cơ sở Gröbner để giải quyết một số bài toán về iđêan trong vành đa thức nhiều biến

Mặc dù có nhiều cố gắng song còn nhiều hạn chế về thời gian và kiến thức, khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ GRÖBNER

Quan hệ thứ tự ≤ trên được gọi là thứ tự toàn phần nếu mọi cặp phần tử của đều so sánh được với nhau Khi đó, ta nói là tập được

Quan hệ hai ngôi chỉ thỏa mãn tính chất phản xạ và bắc cầu được gọi là giả bộ thứ tự

Ví dụ

 (N, |), = { ∈ ℕ ∶ > 1} Các phần tử tối tiểu là các số nguyên tố

 (ℝ, ≤), = [1,2], = (1,2) Khi đó: 1,2 lần lượt là phần tử bé nhất, lớn nhất của không có phần tử bé nhất, lớn nhất, tối tiểu, tối đại nhưng bị chặn trên và bị chặn dưới trong ℝ

 (ℕ, ≤) là tập được sắp thứ tự tốt vì (ℕ, ≤) được sắp hoàn toàn

và mọi bộ phận khác rỗng của N đều có phần tử bé nhất Tuy nhiên, (ℤ, ≤) không phải là tập được sắp thứ tự tốt vì tập

ii) Với mọi , , ∈ à ≤ thì ≤

Ví dụ: Quan hệ theo bậc của đơn thức một biến là một thứ tự từ

kì trong Vì không có phần tử bé nhất nên tìm được < trong , với ta tìm được < Lặp lại quá trình trên mãi mãi ta nhận được một dãy vô hạn các đơn thức thực sự giảm:

> > > ⋯ > > ⋯

- Ngược lại, nếu có một dãy vô hạn các đơn thức thực sự giảm thì dãy đó không có phần tử bé nhất Vì vậy, thứ tự đã cho không là thứ tự tốt

Vì ≤ là thứ tự toàn phần nên có thể giả thiết ≤ , với mọi

≤ Ta chứng tỏ là phần tử bé nhất của Thật vậy, với mọi

∈ , vì = ( , … , ) nên theo bổ đề về tính chia hết của iđêan đơn thức, ta tìm được ≤ sao cho = , với là đơn thức nào

đó Vì 1 ≤ nên theo tính chất của hay ≤ là thứ tự tốt

- Ngược lại, giả sử ≤ là thứ tự tốt và tồn tại đơn thức sao cho :

1 > Khi đó, theo tính chất ii) của Định nghĩa 1.1.4 ta có :

1 > = 1 > = , = > = , …

- Cứ tiếp tục như vậy ta nhận được một dãy vô hạn đơn thức thực

sự giảm: 1 > > > > ⋯ Theo bổ đề về tính tương đương của iđêan đơn thức, điều này trái với giả thiết ≤ là thứ tự tốt Suy ra, 1 ≤với mọi ∈ Vậy ≤ thỏa mãn cả hai tính chất của Định nghĩa 1.1.4, hay ≤ là thứ tự từ

1.1.3 Một số thứ tự từ quan trọng

Trong phần này, chúng ta sẽ xét xem những thứ tự từ quan trọng mà những phần tiếp theo chúng ta sẽ thường xuyên sử dụng đến chúng Đó

là thứ tự từ điển, thứ tự từ điển phân bậc, thứ tự từ điển ngược

Cho ≤ là một thứ tự từ Bằng cách thay đổi chỉ số biến nếu cần thiết

có thể giả thiết : > > ⋯ >

Định nghĩa 1.1.5

i) Thứ tự từ điển, kí hiệu là ≤ , được xác định như sau :

… < … nếu thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của véctơ ( − , … , − ) là một số âm (Nói cách khác, nếu tồn tại 0 ≤ < sao cho = , … , = nhưng < ) ii) Thứ tự từ điển phân bậc, kí hiệu là ≤ , được xác đinh như

… hoặc deg( … ) = … và là thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của véctơ ( − , … , − ) là một số âm Nói cách khác, nếu + ⋯ + < + ⋯ + hoặc

 Trong cả 3 thứ tự trên ta luôn có : > > ⋯ >

 Cho các đơn thức : , , , Sắp xếp các biến

1.2 Iđêan khởi đầu, cơ sở Gröbner

1.2.1 Từ khởi đầu, đơn thức đầu

 Từ khởi đầu của đa thức 0 là không xác định, nó có thể nhận giá trị tùy ý

 Trong biểu diễn chính tắc của đa thức nếu ta viết các từ theo thứ tự giảm dần thì ( ) sẽ xuất hiện đầu tiên

Ví dụ

Cho đa thức = 3 + − 6 + − 2 Viết theo thứ tự giảm dần với > > , ta có:

( ) = 3

ii) Vì ( )= nên điều chứng minh được suy ra từ i)

iii) Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử ( )≥ ( )

 Nếu ( ) > ( ) thì ta có : + = ( ) + ( ) +

∑ + ∑ Ta có : ( ) > ( ) > nên ( ) > Theo định nghĩa từ khởi đầu, ta có : ( ) > Vậy, ( ) là từ lớn nhất trong tổng + và không giản ước được với bất kì từ nào khác, nên ( +) = ( ) = { ( ), ( )}

 Nếu ( ) = ( ) và ( ) ≠ − ( ) thì + =( ) + ( ) ( ) + ∑ + ∑

Do ( ) + ( ) ≠ 0 và ( ) > , ( ) = ( ) >( + ) = ( ) = { ( ), ( )}

 Nếu ( ) = − ( ) thì ta có: + = ∑ + ∑ Khi

đó, + = 0 hoặc ( + ) = ( ) < ( ), hoặc ( + ) =

< ( ) Vậy, ( + ) < { ( ), ( )} Đó là điều phải chứng minh

1.2.2 Iđêan khởi đầu

Định nghĩa 1.2.2

Cho là iđêan của [ ] và ≤ là một thứ tự từ Iđêan khởi đầu của ,

kí hiệu ( ), là iđêan của [ ] sinh bởi các từ khởi đầu của các phần

ii) Nếu là iđêan đơn thức thì ( )=

iii) Nếu ⊆ thì ( ) ⊆ ( ) Hơn nữa, nếu ⊆ và ( ) =( ) thì =

ii) Vì là iđêan đơn thức nên sinh ra một tập nào đó các đơn thức Với mỗi ∈ , = ( ) ∈ ( ), nên ⊆ ( ) Ngược lại, giả

sử ∈ là một phần tử tùy ý thì theo bổ đề về tính chia hết, các điều kiện tương đương của iđêan đơn thức, ( ) chia hết cho đơn thức

∈ nào đó Lại theo bổ đề về tính chia hết của iđêan đơn thức, ( ) ∈ Suy ra, ( ) ⊆ , tức là ( ) =

iii) Theo định nghĩa, rõ ràng ⊆ kéo theo ( ) ⊆ ( ) Giả sử, ( ) = ( ), ⊂ Theo Bổ đề 1.1.3, tìm được ∈ ∖ để ( ) ={ ( )| ∈ ∖ } Vì ( ) ∈ ( ) = ( ) nên tồn tại ∈ để ( ) = ( ) Ta có thể giả thiết ( ) = ( ) = 1 (vì nếu không như vậy ta chia , cho ( ), ( ) tương ứng) Đặt ℎ = − , ta có: , ∈ nên ℎ ∈ nhưng mặt khác ∉ , ∈ nên ℎ ∉ Vậy ℎ ∈ ∖ Mặt khác, theo Bổ đề 1.2.1 iii), ta có: (ℎ) < ( ) Mâu thuẫn với việc chọn Vậy =

iv) Ta có: ( ) ( ) sinh bởi các từ ( ) ( ), trong đó ∈, ∈ Mặt khác, theo Bổ đề 1.2.1 i), ( ) = ( ) ( ) nên ta có ngay ( ) ( ) ⊆ ( )

v) , ⊆ + nên theo iii) ta có ngay ( ) + ( ) ⊆ ( + ) □ 1.2.3 Cơ sở Gröbner

Định nghĩa 1.2.3

Cho ≤ là một thứ tự từ, là một iđêan của [ ] Tập hữu hạn các

đa thức khác không , … , ∈ được gọi là một cơ sở Gröbner của đối với thứ tự từ ≤ nếu: ( ) = ( ), … , ( )

Định lí 1.2.1

Cho là một iđêan tùy ý của [ ] Nếu , … , là một cơ sở Gröbner đối với thứ tự nào đó thì , … , là một cơ sở của

Đặt : = ( , … , ) ⊆ Vì ( ) = ( ), … , ( ) ⊆

( ) ⊆ ( ) nên ( ) = ( ) Theo Bổ đề 1.2.2 iii), ta có = □ Nhận xét

Như vậy, việc xác định iđêan khởi đầu tương đương với việc tìm

một cơ sở Gröbner của đối với một thứ tự nào đó Tuy nhiên, việc làm

này không hề đơn giản vì không phải mọi cơ sở của đều là cơ sở

Gröbner của Hơn nữa, một cơ sở đã cho của có thể là cơ sở Gröbner

đối với thứ tự này nhưng không là cơ sở Gröbner đối với thứ tự khác

Ví dụ

 là iđêan của vành [ ] Ta biết rằng trên vành này chỉ có một

thứ tự từ là thứ tự từ phân bậc của đa thức Ta có, với mọi ⊆ [ ], =

 = { − , + } ⊆ [ , , ] Đối với thứ tự từ điển mà

> > Ta chứng tỏ − , + là cơ sở Gröbner của Thật vậy,

với mọi đa thức 0 ≠ ∈ có dang :

= ( − ) + ℎ( + ) Nếu ( ) không chứa biến , thì chỉ chứa biến , tức là

= ( ) Chọn = − , = − thay vào biểu diễn của ta có :

= 0 + ℎ 0, vô lí Vậy ( ) ∈ ( , ) = ( − ), ( + )

hay − , + là cơ sở Gröbner của đối với thứ tự từ điển

Định nghĩa 1.2.4

Cơ sở Gröbner tối tiểu của đối với thứ tự ≤ đã cho là một sở Gröbner ⊆ sao cho :

i) ( ) = 1, với mọi ∈

ii) Với mọi ∈ , không tồn tại ∈ mà ( )| ( )

Hệ quả 1.2.1

Cho ≤ là một thứ tự từ Khi đó, mọi iđêan có cơ sở Gröbner tối tiểu

và mọi cơ sở Gröbner tối tiểu đều có chung số phần tử và chung tập từ khởi đầu

Nhận xét

Dựa vào thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu của iđêan đơn thức

ta có ngay cách xây dựng cơ sở Gröbner tối tiểu xuất phát từ một cơ sở Gröbner nào đó Sau đây là thuật toán tìm cơ sở Gröbner tối tiểu

Thuật toán 1.2.1 (Thuật toán tìm cơ sở Gröbner tối tiểu)

Tìm cơ sở Gröbner tối tiểu CSGRTT( , … , ) ≔ { , … , } từ cơ sở Gröbner , … ,

Input : , … , : đa thức trong [ ]

Output: , … , : đa thức trong [ ]

Đầu tiên ( = 1) <= (7 = ) nên ≔ 2 Vì ( = 2) <= (7 = ) Kiểm tra ∤ , thực hiện lệnh else kiểm tra ∤ nên ≔ +

1 = 3 Ta có : ( = 3) <= (7 = ) kiểm tra | thì ≔ + 1 =2; ≔ + 1 = 4 Ta lại có : ( = 4) <= (7 = ) kiểm tra ∤ thì thực hiện lệnh else kiểm tra ∤ nên ≔ + 1 = 5 Lại có : ( = 5) <= (7 = ) kiểm tra | thì ≔ + 1 = 3; ≔ + 1 = 6 Tiếp tục ( = 6) <= (7 = ) kiểm tra ∤ , thực hiện lệnh else kiểm tra ∤ nên ≔ + 1 = 7 Cuối cùng, ( = 7) <= (7 = ) kiểm tra ∤ nên ≔ + 1 = 8 > (7 = ), thoát

≔ + 1 = 1; ≔ ; ≔ 4

Vòng lặp thứ 2 : = 1; = 4;

Đầu tiên, ( = 4) <= (7 = ) nên ≔ 5 Vì ( = 5) <= (7 = ), kiểm tra | nên ≔ + 1 = 5; ≔ + 1 = 6 Ta có : ( = 6) <=(7 = ), kiểm tra ∤ thực hiện lệnh else kiểm tra | nên

≔ = 6; ≔ − 1 = 6, = 6 <= ( = 6) thì ≔ , =, ≔ + 1 = 7, ≔ + 1 = 7 > (6 = ), thoát,

Định nghĩa 1.2.5

Cơ sở Gröbner rút gọn của iđêan đối với thứ tự đã cho là một cơ

sở Gröbner của thỏa mãn các tính chất:

ta sẽ biến đổi sao cho nhận được cơ sở Gröbner mà mọi phần tử của

nó đều rút gọn

Ta có nhận xét rằng : Nếu rút gọn trong thì cũng rút gọn trong mọi cơ sở Gröbner tối tiểu bất kì chứa của (vì , có cùng

số phần tử và chung tập của từ khởi đầu)

Giả sử: ∈ là một phần tử không rút gọn trong Chọn từ

0 ≠ ≠ ( ), ∈ , ∈ , lớn nhất của sao cho tồn tại:

∈ ∖ { } để ( )| Đặt = − ⁄ ( ) Vì ( ) >

≥ ( ) nên theo Bổ đề 1.2.1 iii) ( ) = ( ) = ( ) Do đó,

= ( ∖ { }) ∪ { } là cơ sở Gröbner tối tiểu Hơn nữa, nếu đặt ( ) = , là đơn thức được chọn như trên thì hoặc rút gọn trong , hoặc ( ) < ( ) Thật vậy, giả sử không rút gọn Nếu ( ) là đơn thức của chia hết cho từ khởi đầu của ∗ ∈ nào đó thì từ này không thể là ( ) vì ( ) đã bị triệt tiêu nên ( ) ≤ ( ) | ( ) <

= ( ) Vậy ta luôn có: ( ) < ( ) nếu ( ), ( ) tồn tại, tức là tìm được đơn thức theo cách trên Tiếp tục lặp lại quá trình trên, vì thứ tự là thứ tự từ tốt nên đến một lúc nào đó ta nhận được: =( ∖ { }) ∪ { } mà không còn ( ) Tức là, rút gọn trong

Lặp lại quá trình trên với tất cả các từ chưa rút gọn trong ta nhận được cơ sở Gröbner mà mọi phần tử của nó đều rút gọn Khi đó, theo Định lí 1.2.5, là cơ sở Gröbner rút gọn

 Tính duy nhất:

Giả sử , là hai cơ sở Gröbner rút gọn Theo Hệ quả 1.2.1, , chung số phần tử và tập từ khởi đầu Lấy ∈ tùy ý, khi đó tìm được ∈ sao cho ( ) = ( ) Đặt ℎ = − , ta có : (ℎ) ≠( ) = ( ) Nếu ℎ ≠ 0 thì (ℎ) hoặc là một từ của , hoặc là một

từ của , nhưng khác ( ) Theo định nghĩa cơ sở Gröbner, (ℎ)

chia hết cho một từ khởi đầu ( ∗), ∗ ∈ nào đó Điều này mâu thuẫn

với giả thiết là cơ sở Gröbner rút gọn Vậy, ℎ = 0, từ đó : = ∈

, tức là ⊆ Chứng minh hoàn toàn tương tự, bằng cách đổi vai trò

, ta chứng minh được ⊆ Vậy = □ 1.3 Thuật toán chia

1.3.1 Phép chia với dư trong vành đa thức một biến

Cấu trúc iđêan của vành đa thức một biến trên một trường khá đơn

giản Đó là do vành đa thức một biến thỏa mãn định lí chia đa thức Mặc

dù kết quả đơn giản nhưng chứng minh của nó chứa đựng ý tưởng sâu

sắc để mở rộng cho trường hợp nhiều biến Trong phần này chúng ta sẽ

chứng minh mọi iđêan của vành một biến đều sinh bởi một đa thức

Định lí 1.3.1 (Định lí chia đa thức một biến)

Cho là một trường và ( ) là một đa thức khác 0 của [ ] Khi

đó, với mọi đa thức ( ) ∈ [ ] có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng :

( ) = ( ) ( ) + ( ), trong đó : ( ), ( ) ∈ [ ] và hoặc ( ) = 0 hoặc deg ( ) <

deg ( ) Hơn nữa, ( ), ( ) được xác định duy nhất

Chứng minh

Với mọi ∈ [ ], có thể biểu diễn dưới dạng :

trong đó : = deg , ≠ 0

Ta sẽ chứng minh sự tồn tại của , bằng quy nạp theo deg như

sau : Nếu deg < deg , đặt = 0 và =

Giả sử định lí đúng với mọi đa thức có bậc ≤ − 1, trong đó :

≥ deg Ta sẽ chứng minh nó đúng với đa thức tùy ý có deg =

Xét đa thức = − Ta có : < deg = Theo giả thiết quy

nạp, tồn tại , sao cho = 0 hoặc deg < deg và = +

Đặt : = + , ta sẽ có : = + và = 0 hoặc deg < deg

Giả sử tồn tại , sao cho : = + và = 0 hoặc deg <

deg , thì ta có : − = ( − )

Nếu ≠ thì deg( − ) ≥ deg , trong khi − = 0 hoặc

deg( − ) < deg Vô lí Vậy = và do đó = □

Từ đó, ta có thuật toán chia đa thức một biến như sau:

Thuật toán 1.3.1 (Thuật toán chia đa thức một biến)

Tìm thương và đa thức dư CHIA( , ) ≔ ( , ) khi chia cho

Vành đa thức một biến [ ] trên một trường tùy ý là một vành các

iđêan chính, nghĩa là mọi iđêan đều sinh bởi một đa thức

Chứng minh

Giả sử ⊆ [ ] Nếu = 0 thì = (0)

Nếu ≠ 0, gọi ℎ là đa thức bậc bé nhất trong ∖ {0} Khi đó, với

mọi ∈ , theo định lí chia đa thức, tồn tại , ∈ [ ]: = ℎ + và

= 0 và deg < deg ℎ Vì là iđêan, nên ℎ ∈ và = − ℎ ∈

Nếu ≠ 0 thì mâu thuẫn với cách chọn ℎ Vậy = ℎ, hay ∈ (ℎ) Do

tính tùy ý của nên ta có: ⊆ (ℎ)

Ngược lại, nếu ℎ ∈ thì hiển nhiên (ℎ) ⊆ Vậy = (ℎ) □ Nhận xét

Hệ quả này chỉ khẳng định một iđêan bất kì của vành đa thức một

biến là iđêan chính chứ không phải cho ta tìm iđêan chính đó Để làm

được điều này, chúng ta cần thêm khái niệm ước chung lớn nhất của đa

thức và thuật toán tìm UCLN của đa thức

Xét iđêan = ( , … , ) Theo Hệ quả 1.3.2, tồn tại ℎ ∈ [ ] sao

cho = (ℎ) Vì ∈ (ℎ) nên ℎ chia hết cho , = 1,2, … Giả sử chia

hết cho , … , , tức là tồn tại , … , ∈ [ ] để = , … , =

Vì ℎ ∈ nên ℎ = + ⋯ + , , … , ∈ [ ], tức là:

ℎ = + ⋯ + = ( + ⋯ + )

hay chia hết cho ℎ Vậy, ℎ = UCLN( , … , )

Giả sử ℎ = UCLN( , … , ) thế thì ℎ, ℎ chia hết lẫn nhau, nên

ℎ = ℎ , 0 ≠ ∈ Vậy i) và ii) được chứng minh

Đặt ℎ = UCLN( , … , ) Vì (ℎ) = ( , … , ) nên (ℎ, ) =( , … , , ) Theo ii) ta có: ( , … , , ) = (UCLN( , … , ))

Do (ℎ, ) = (UCLN( , … , )) Lại theo ii) ta có: UCLN( , … , )= UCLN(ℎ, )=UCLN(UCLN( , … , ), ) □ Theo i) ta có: UCLN( , … , ) =UCLN(UCLN( , … , ), ) Như chúng ta đã biết , là hai đa thức của vành đa thức một biến thì ta có: UCLN( , )=UCLN(g, Rem( , )) Từ đó, ta có thuật toán Euclide tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức

Thuật toán 1.3.2 (Thuật toán Euclide)

Đa thức bị chia (trung gian) p Đa thức chia Phần dư

1.3.2 Phép chia với dư trong vành đa thức nhiều biến

Trong phần trên, chúng ta đã thấy được vai trò quan trọng của định

lí chia đa thức một biến để nghiên cứu cấu trúc của vành đa thức một biến Khi sang đến vành nhiều biến công cụ này không thể giải quyết trọn vẹn được vấn đề này Ý tưởng trong việc mở rộng này là dùng thứ

tự từ thay cho bậc của đa thức Bằng cách này không những có thể mở rộng ra trường hợp nhiều biến mà còn chia cho được nhiều đa thức cùng một lúc Mặc dù việc mở rộng này làm đa thức dư và các đa thức thương không còn xác định duy nhất như trong trường hợp chia cho một đa thức một biến

Định lí 1.3.2 (Định lí chia đa thức)

Cố định một thứ tự từ ≤ trên và cho = { , … , } ⊂ =[ , … , ] Khi đó, mọi đa thức ∈ có thể viết được dưới dạng:

= + ⋯ + + (∗), trong đó: , ∈ thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Hoặc = 0, hoặc không có từ nào của chia hết cho một trong

 Đa thức ( ) không xác định duy nhất

 Các đa thức , … , đóng vai trò như các đa thức thương nhưng chúng không quan trọng đối với lí thuyết trình bày nên không được đặt tên gọi riêng

Chứng minh (Định lí 1.3.2)

Định lí được chứng minh bằng thuật toán sau:

Thuật toán 1.3.3 (Thuật toán chia đa thức)

Tìm PHANDU( ; , … , ) ≔ khi chia cho , … ,

Để chứng tỏ đầu ra của thuật toán chính là những đa thức thỏa mãn

định lí chia đa thức, trước hết ta chứng tỏ rằng mỗi bước của thuật toán

luôn có:

= + ⋯ + + + , (1) ( , ), … , ( , ), ( ) ≤ ( ), (2)

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo số bước thực hiện thuật toán

Theo cách đặt ban đầu: = ⋯ = = = 0, = nên lúc đầu (1),(2)

đúng

Giả sử các hệ thức (1),(2) đúng ở một bước nào đó Nếu ở bước tiếp

theo vẫn còn thực hiện tiếp phép chia mà chưa thay đổi thì tồn tại để

( )| ( ) Khi đó, nhận giá trị mới: = + ( )⁄ ( ) và

nhận giá trị: = − ( ( )⁄ ( )) Do đó:

+ = ( + ( )⁄ ( )) + −( ( )⁄ ( )) = +

Vì các , ≠ và không đổi, nên (1) vẫn đúng ở bước này Từ Bổ đề

1.2.1 và theo giả thiết quy nạp, ta có:

= { ( ), ( )} ≤ ( ) Hơn nữa, vì = − ( ( )⁄ ( )) và (( ( )⁄ ( )) ) =

( ( )⁄ ( )) ( ) = ( ), nên từ Bổ đề 1.2.1 suy ra: ( ) <

( ) ≤ ( ) Như vậy, (2) cũng đúng ở bước này

Nếu ở bước tiếp theo không thực hiện phép chia mà chỉ đổi phần dư

( ) Vì: + = − ( ) + + ( ) = + và , … ,không đổi nên ta vẫn có (1) ở bước này Từ Bổ đề 1.2.1 cũng suy ra ngay ( ) < ( ) ≤ ( ) và do đó, (2) cũng đúng

Vì vậy, theo Nguyên lí quy nạp (1),(2) đúng ở mọi bước và nếu thuật toán dừng tức = 0 thì (1) trở thành:

Vì bắt đầu từ 0 và chỉ tăng thêm khi lệnh thử Chiahet := false, tức

là khi không có ( ) nào chia hết cho ( ) Do đó, từ thêm vào chính là ( ) nên thỏa mãn điều kiện i) của định lí chia Điều kiện ii) suy ra ngay từ (2)

Bây giờ ta sẽ chứng minh thuật toán dừng sau hữu hạn bước Nếu kí hiệu = , , ≥ 1 là đa thức khi thay đổi lần thứ thì ta có ngay theo chứng minh trên: ( ) > ( ) > ( ) > ⋯

Vì thứ tự là thứ tự tốt nên theo Bổ đề 1.1.2, dãy này phải dừng, tức

là tồn tại để = 0, hay thuật toán dừng

Sau đây, chúng ta sẽ xét một số ví dụ minh họa cho thuật toán trên

 Cho ( , ) = + − 1, ( , ) = + + 1 Hãy thực hiện phép chia đa thức ( , ) cho ( , ) Sắp xếp các từ của đa thức theo thứ tự từ điển với > , ta có thể thực hiện phép chia hai đa thức như sau:

Đa thức bị chia (trung gian) Đa thức chia Phần dư

Vậy: + − 1 = ( + + 1)( − + 1) + − − + − 2

 Bây giờ ta sẽ xét một ví dụ khác để thấy được sự mở rộng định

lí chia đa thức cho trường hợp nhiều đa thức chia Để đơn giản, chúng ta xét trường hợp có hai đa thức chia

( , ) = + 2 + 3 − 1; ( , ) = + ;

( , ) = + Đối với thứ tự từ điển phân bậc mà > Phép chia được thực hiện như sau:

Đa thức bị chia (trung gian) Đa thức chia Phần dư