Cho = ( , … , ) ⊂ [ , … , ] và < . Iđêan khử thứ của là iđêan của [ , … , ] xác định bởi:
= ⋂ [ , … , ] Bài toán 3:
Cho = ( , … , ) ⊂ [ , … , ] và < . Tìm các đa thức ℎ , … , ℎ ∈ [ , … , ] sao cho = (ℎ , … , ℎ ).
Để giải quyết bài toán này ta cần khái niệm: Định nghĩa 2.1
Kí hiệu = [ , … , ] và = [ , … , ]. Thứ tự từ ≤ được gọi là thứ tự từ khử đối với các biến , … , nếu thỏa mãn điều kiện sau:
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Mệnh đề 2.1
Cho ≤ là thứ tự từ thõa mãn điều kiện sau đây :
… < … nếu + ⋯ + < + ⋯ + . Khi đó, ≤ là thứ tự từ khử đối với cụm biến , … , .
Chứng minh
Giả sử ∈ và ( ) ∈ . Ta sẽ chứng tỏ ∈ . Thật vậy, từ khởi đầu ( ) ∈ có nghĩa là nó chỉ chứa các biến có chỉ số lớn hơn . Theo giả thiết, bất kì đơn thức nào chứa biến có chỉ số nhỏ hơn hoặc bằng cũng sẽ thực sự lớn hơn ( ). Do mọi từ của đa thức nhỏ hơn hoặc bằng ( ), các từ này không thể chứa biến có chỉ số nhỏ hơn bằng . Vì vậy, ∈ . □
Mệnh đề trên cho ta kết quả sau: Mệnh đề 2.2
Kí hiệu và cũng như định nghĩa trên. Cho ∈ . i) Nếu ( ) ∈ thì ∈ .
ii) Nếu là đa thức thuần nhất và ( ) ∈ thì ∈ . Định lí 2.2.1
Giữ kí hiệu trong Định nghĩa 2.2.1. Giả sử ≤ là một thứ tự từ khử đối với cụm biến , … , . Cho ⊂ . Khi đó, đối với mọi thứ tự từ cảm sinh từ ≤ trên tập tất cả đơn thức của , ta có:
( ∩ ) = ( ) ∩
Hơn nữa, cho , … , là cơ sở Gröbner của sao cho , … , là tập tất cả các đa thức của nó không chứa biến , … , . Khi đó,
, … , là cơ sở Gröbner của ∩ trong . Nói riêng: ∩ = ( , … , ).
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Với mọi ∈ ( ∩ ), tồn tại ∈ ⋂ sao cho ( ) = . Vì ∈ nên ( ) ∈ ( )⋂ . Ngược lại, với ∈ ( ) ∩ , tồn tại ∈ sao cho ( ) = . Lại có, ∈ nên ∈ nên ∈ ⋂ . Suy ra,
∈ ( ∩ ). Vậy ( ∩ ) = ( ) ∩ .
Đặt = ∩ . Rõ ràng ( ) ⊆ ( ) ∩ . Ta sẽ chứng tỏ ( ), ≤ , sinh ra ( ) ∩ . Giả sử ∈ ( ) ∩ . Vì , … , là cơ sở Gröbner, tồn tại ≤ để ( )| . Vì ∈ , tức là không chứa biến nào trong biến đầu tiên, nên ( ) cũng có tính chất này, tức là ( ) ∈ . Từ Định nghĩa 2.2.1 suy ra ∈ . Theo cách chọn , … , suy ra ≤ . Do đó, chia hết cho ( ), với ≤ nào đó. Vì ∈ , điều đó dẫn đến:
( ∩ ) ⊆ ( ), … , ( ) ⊆ ( ) Suy ra: ( ) = ( ) ∩ = ( ), … , ( )
Điều này cũng có nghĩa là , … , là cơ sở Gröbner của . Theo Định
lí 1.2.1, ta có: = ( , … , ). □ Thuật toán 2.2.1 Thuật toán khử biến
Tìm cơ sở Gröbner IDEALKHU( , … , ; , … , ) ≔ { , … , } của iđêan khử của ( , … , ) đối với các biến , … , .
Input: , … , : các đa thức trong [ , … , ] < : hai số tự nhiên
Output: , … , : các đa thức trong [ , … , ] { , … , } ≔ ( , … , )
≔ 0
FOR ≤ DO
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Có thể áp dụng bài toán khử biến để giải bài toán tìm biểu diễn của vành đa thức.
Bài toán 4 (Bài toán tìm biểu diễn của vành)
Cho ℎ , … , ℎ ∈ [ , … , ] là các phần tử trên vành đa thức của các biến , … , . Tìm biểu diễn của vành con của [ , … , ] sinh bởi các đa thức ℎ , … , ℎ , tức là tìm , … , ∈ [ , … , ] sao cho:
[ℎ , … , ℎ ] ≅ [ , … , ] ∕ ( , … , ). Lời giải Xét đồng cấu vành : ≔ [ , … , , , … , ] ⟶ [ , … , ] ⟼ ( = 1, … , ) ⟼ ℎ ( = 1, … , ). Đặt = . Rõ ràng − ℎ và , = 1, … , , = 1, … , . Tách phần đa thức của không chứa − ℎ nào ra, ta sẽ được = +
, trong đó ∈ ( − ℎ , … , − ℎ ) và ∈ ≔ [ , … , ]. Vì: ( ) = ( − ℎ ) = ⋯ = ( − ℎ ) = 0, nên ( ) = 0. Mà hạn chế của trên là đẳng cấu, nên = 0. Vậy :
= ( − ℎ , … , − ℎ )
Kí hiệu y là ánh xạ hạn chế của trên = [ , … , ]. Từ định nghĩa của dễ thấy y= [ℎ , … , ℎ ], còn y= ∩ ≔ , tức là iđêan khử của đối với các biến , … , . Khi đó ta có:
[ , … , ]/ ≅ [ℎ , … , ℎ ] là iđêan cần tìm.
Thuật toán 2.2.2 Thuật toán tìm biểu diễn vành đa thức
Tìm cơ sở Gröbner BIEUDIEN(ℎ , … , ℎ ) = { , … , } của iđêan định nghĩa của [ℎ , … , ℎ ]
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Input: ℎ , … , ℎ : các đa thức trong [ , … , ] Output: , … , : các đa thức trong [ℎ , … , ℎ ] FOR ≤ DO
ℎ ≔ − ℎ
{ , … , } ≔ (ℎ , … , ℎ ; , … , ) Ví dụ
Elip: 2 + 2 + − 2 − 2 = 0 cắt đường tròn: + = 1 tại hai điểm. Để tìm hai điểm này, ta tìm một cơ sở Gröbner của iđêan
= (2 + 2 + − 2 − 2 , + − 1) ⊂ [ , ] Sử dụng thứ tự từ điển > để khử , ta được:
= 2 + + 5 − 2 và = 5 − 4
Khi đó, 5 = 4 thì = 0 hoặc = 4/5. Thay các giá trị này vào = 0 và giải với , ta tìm được hai giao điểm là (1, 0) và −3
5 ,4 5 . 2.3 Giao các iđêan
Kí hiệu là tập biến , … , và là tập biến , … , . Bài toán 5 (Bài toán tìm giao các iđêan)
Cho , … , tương ứng là các tập sinh của các iđêan , … , ⊆ [ ]. Tìm tập sinh của iđêan ⋂ .
Cơ sở để giải quyết bài toán này là: Mệnh đề 2.3
Cho là iđêan của [ , ] sinh bởi :
1 − ( + ⋯ + ) và , … , Khi đó:
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
= ∩ [ ]
Chứng minh
Cho ∈ ⋂ [ ]. Vì ∈ , có thể biểu diễn:
= (1 − ∑ ) + ∑ ∑ ℎ ,
trong đó , … , ∈ ℕ, , ∈ [ , ], và ℎ ∈ . Cố định một chỉ số , 1 ≤ ≤ . Thay = 0 và = 0 với mọi ≠ vào biểu diễn trên ta thấy vế trái không đổi (vì không chứa các biến ). Vì khi thay xong ℎ cũng không đổi, còn các đa thức chỉ còn chứa biến , nên vế phải trở thành phần tử của . Do đó, ∈ .
Ngược lại, giả sử ∈ ⋂ . Khi đó:
= 1 − + ∈
Vì cũng có ∈ [ ], nên ∈ ∩ [ ]. □ Thuật toán 2.3.1: Thuật toán tìm giao các iđêan
Tìm cơ sở Gröbner GIAOIDEAL( , … , ) ≔ của ⋂ ( ) Input: , … , : các tập hữu hạn trong [ , … , ]
Output: : tập các đa thức trong [ , … , ]
≔ − ∈ [ , ]
≔ , ; , … ,
Ví dụ
Cho = ( + , ) và = ( − ). Thêm các biến , và tìm cơ sở Gröbner của iđêan sinh bởi các đơn thức sau:
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
= + , = , = − , = 1 − − ,
với quan hệ thứ tự từ điển > > > (thứ tự từ điển khử với hai biến , ), ta được: − , − , 2 − − , − , 2 − − , + − 1 Vì vậy, ∩ = { − , − }. 2.4 Thương các iđêan Bài toán 6:
Cho =( , … , ) và = ( , … , ) là hai iđêan của vành [ ]. Tìm ℎ , … , ℎ để : = (ℎ , … , ℎ ).
Để giải quyết bài toán này trước hết xét trường hợp = 1. Mệnh đề 2.4
Cho là iđêan và là các đa thức tùy ý của vành [ ]. Giả sử là một cơ sở Gröbner của ∩ ( ). Khi đó, mọi đa thức ∈ chia hết cho
và:
= { / | ∈ } là một cơ sở Gröbner của :
Chứng minh
Vì ∩ ( ) = ( : ), nên mọi đa thức của ∩ ( ) đều chia hết cho . Nói riêng, chia hết cho , do đó, ⊂ : . Cho ℎ ∈ : tùy ý. Vì là cơ sở Gröbner của và ℎ ∈ , nên tồn tại ∈ để ( ℎ) chia hết cho . Đặt = / ∈ . Suy ra, ℎ chia hết cho , hay là cơ sở Gröbner của : . □
Nhận xét rằng: : = ⋂ : . Vì vậy, áp dụng thuật toán tìm giao các iđêan ta xây dựng được thuật toán giải bài toán tìm thương như sau:
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Tìm hệ sinh THUONG( , … , ; , … , ) ≔ {ℎ , … , ℎ } của ( , … , ): ( , … , )
Input: , … , , , … , : các đa thức trong [ ] Output: ℎ , … , ℎ : các đa thức trong [ ]
FOR ≤ DO , … , ≔ ( , … , ; ) ≔ / , … , / {ℎ , … , ℎ } ≔ ( , … , ) Ví dụ Cho = ( + , + ) và = ( + , + ) trong [ , ]. Để tìm iđêan thương : , ta cần biết : ( + ) và : ( + ).
Tính được:
∩ ( + ) = { + , + }.
∩ ( + ) = { + , + + + }.
Nên : ( + ) = ( , ) và : ( + ) = ( − + + 1, ). Do đó, : = : ( + ) ∩ : ( + ) = { + , }.
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
KẾT LUẬN
Nội dung cơ bản nhất của Lí thuyết cơ sở Gröbner cùng một số ứng dụng của nó đã được trình bày một cách hệ thống, logic. Nhờ lí thuyết cơ sở Gröbner mà các vấn đề như: Có thể thực hiện được phép chia đa thức cho tập các đa thức { , … , } hay không? Làm thế nào để biết được đa thức có thuộc iđêan cho trước? Giao và thương của các iđêan cho trước xác định như thế nào?... được giải quyết một cách triệt để. Bản khóa luận này chỉ mang tính chất giới thiệu, mới chỉ nghiên cứu được một phần rất nhỏ. Nhiều kiến thức khác như Lí thuyết cơ sở Gröbner cho modun, Hình học đại số…chưa đề cập tới trong khóa luận này.
Đề tài sẽ thực sự có ý nghĩa hơn nếu được tiếp tục nghiên cứu, bổ sung cả về ý tưởng lẫn phương pháp.
Cuối cùng, em mong muốn được sự đóng góp ý kiến giúp đỡ và cộng tác nghiên cứu của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài thực sự có ý nghĩa hơn.
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Gröbner, Nxb ĐHQG
Hà Nội, Hà Nội.
2. Trần Trọng Huệ (2001), Đại Số Đại Cương, Nxb ĐHQG Hà Nội,
Hà Nội.
3. Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số và số học, tập 1,2,3, Nxb Giáo
dục, Hà Nội.
4. Hoàng Xuân Sính (2003), Đại Số Đại Cương, Nxb Giáo dục, Hà
Nội.
5. Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại Số Đại Cương, Nxb Giáo
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ... 1
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ GRÖBNER ... 3
1.1 Thứ tự từ ... 3
1.2 Iđêan khởi đầu, cơ sở Gröbner ... 8
1.3 Thuật toán chia ... 17
1.4 Thuật toán Buchberger ... 28
Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CƠ SỞ GRÖBNER ... 36
2.1. Bài toán thành viên ... 36
2.2 Bài toán khử biến ... 38
2.3 Giao các iđêan ... 42
2.4 Thương các iđêan ... 44
KẾT LUẬN ... 46
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số, những người đã tận tình dạy dỗ, giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, TS. Nguyễn Huy Hưng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng, cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013 Sinh viên