Như đã đề cập trong mục trước, việc kiểm tra một tập các đa thức cho trước có phải là một cơ sở Gröbner hay không và việc tìm một cơ sở Gröbner của một iđêan không phải là một việc làm đơn giản. Mục này sẽ cung cấp cho chúng ta một công cụ khá hiệu quả để kiểm tra xem một tập cho trước có phải là một cơ sở Gröbner của iđêan sinh bởi nó hay không ? Đồng thời, cho ta một thuật toán tìm cơ sở Gröbner của iđêan từ một tập sinh cho trước tùy ý của nó. Đó là tiêu chuẩn Buchberger.
1.4.1 Tiêu chuẩn Buchberger
Cũng như các mục trước, ta kí hiệu là tập các đơn thức của vành đa thức nhiều biến [ ] = [ , … , ] với một thứ tự từ ≤ nào đó cho trước. Trước hết, ta có định nghĩa sau :
Định nghĩa 1.4.1
Cho đa thức , ∈ [ ] là hai đa thức khác 0. Kí hiệu :
= ( )
( ), ( ) và = ( ) ( ), ( ) -đa thức của và là đa thức : ( , ) = − . Chú ý :
-đa thức phụ thuộc vào việc chọn thứ tự. Chẳng hạn cho :
= 2 + − 6 ∈ [ , ], = 6 + + ∈ [ ]
Đối với thứ tự từ điển mà > , ta có :
= 2 = 2 ; =6 = 6
nên : ( , ) = − = 6(2 + − 6 ) −
2 (6 + + ) = 6 − 2 − 2 − 36 .
Đối với thứ tự từ điển phân bậc mà > , ta có :
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 nên ( , ) = − = (2 + − 6 ) − (6 + + ) = 2 − 6 − − 6 . ( , ) = − ( , ). ( , ) < ( ( ), ( )). Bổ đề 1.4.1 Cho , … , ∈ [ ], , … , ∈ và , … , ∈ ℕ , thỏa mãn các tính chất sau :
i) Tồn tại ∈ ℕ để với mọi ≤ mà ≠ 0 thì ( ) = .
ii) (∑ ) <
Khi đó tồn tại ∈ , sao cho :
∑ = ∑, − ( , ),
trong đó : = , ( ) .
Hơn nữa, với mọi , đều có:
, < .
Chứng minh
Theo chú ý ở trên và định nghĩa của , ta có:
, < ( , ) =
Vậy, ta chỉ cần phải chứng minh sự tồn tại của biểu diễn trên cho tổng
∑ . Đặt = ( ) và = ⁄ . Ta có, các đa thức có hệ số đầu bằng 1. Viết lại tổng cần xét dưới dạng :
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 = ( − ) + ( + )( − ) + ⋯ + ( + ⋯ + )( − ) + ( + ⋯ + ) = ( − ) + ( + )( − ) + ⋯ + ( + ⋯ + )( − )
(Vì ∑ = 0 do điều kiện ii))
Giả sử ( ) = . Theo điều kiện i): + = , với mọi ≤ . Do đó: ( ) = ( ( ), ( )) chia hết . Vì vậy, là đơn thức. Ta có : , = ( ) , ( ) − , ( ) = , ( ) − ( ) = − = ( − ).
Thay − vào biểu diễn trên ta có :
∑ = 1 1 1 2 − 12 1, 2 + 1 1+ 2 2 2 3 − 23 2, 3 + ⋯ + 1 1+⋯+ −1 −1 −1 − (−1) −1, . Đó là dạng biểu diễn cần tìm.
Định lí 1.4.1 (Tiêu chuẩn Buchberger)
Cho = { , … , } là hệ sinh của iđêan . là cơ sở Gröbner của khi và chỉ khi với mọi cặp 1 ≤ ≠ ≤ một (hoặc mọi) đa thức dư của -đa thức ( , ) trong phép chia cho bằng 0.
Chứng minh
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Do , ∈ , nên ( , ) ∈ . Vì là cơ sở Gröbner, theo Định lí 1.3.2, đa thức dư của -đa thức ( , ) trong phép chia cho xác định và bằng 0.
Điều kiện đủ:
Giả sử mọi cặp 1 ≤ ≠ ≤ , một đa thức dư của -đa thức ( , ) trong phép chia cho bằng 0. Ta chứng minh là cơ sở Gröbner. Cho ∈ = ( , … , ). Khi đó, tồn tại ℎ , … , ℎ ∈ [ ] sao cho :
= ℎ + ⋯ + ℎ
Trong tất cả các biểu diễn như trên của , chọn biểu diễn sao cho: { (ℎ ), … , (ℎ )}
nhỏ nhất. Đơn thức này hoàn toàn xác định vì thứ tự từ là thứ tự tốt. Kí hiệu đơn thức này là = . Ta có thể giả sử :
{ (ℎ ), … , (ℎ )} =
Giả sử ( ) < , khi đó các từ khởi đầu của ℎ triệt tiêu lẫn nhau. Đặt = (ℎ ), ta có:
= ℎ + ℎ
= (ℎ ) + (ℎ − (ℎ )) + ℎ (3)
Vì mỗi hạng tử trong tổng riêng thứ hai và thứ ba ở (3) có các từ khởi đầu nhỏ hơn và ( ) < , nên:
∑ (ℎ ) < . Từ Bổ đề 1.4.1 suy ra:
∑ (ℎ ) = ∑ , , (4) trong đó, là các từ sao cho :
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Theo giả thiết, đa thức dư của , trong phép chia cho là không, nên :
, = ∑ , (6) trong đó, ∈ [ ] sao cho :
≤ , (7) Thay (6) vào (4), ta có: (ℎ ) = , = ( , ) Do đó, từ (3) suy ra: = ℎ + (ℎ − (ℎ )) ≔ ℎ , (8) với ℎ = ∑ , . Từ Bổ đề 1.2.1, (5), (7), ta có : (ℎ ) ≤ , max j k , = , max j k , < .
Suy ra, có một biểu diễn khác mà :
{ (ℎ ), … , (ℎ )} <
Điều này mâu thuẫn với cách chọn . Vậy, ( ) = . Do đó, tồn tại để ( ) = (ℎ ) = (ℎ ) ( ), hay ( ) ∈ ( ( ), … , ( )). Theo định nghĩa, là cơ sở Gröbner của . □ Nhận xét
Ta có một số nhận xét có thể giảm bớt một số phép thử khi áp dụng tiêu chuẩn Buchberger.
Vì ( , ) = − ( , ) nên để thử xem = { , … , } có phải là cơ sở Gröbner hay không, chỉ cần thử cho các cặp ( , ) với < .
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Nếu , là hai từ thì ( , ) = 0. Do đó, không cần thử tiêu chuẩn Buchberger cho các cặp từ.
Nếu ( ) và ( ) nguyên tố cùng nhau thì :
( , ) = ( ) − ( ) = − − ( ) + − ( )
Đặt = ( − ( )) và = ( − ( )). Nếu
( ) = ( ), do tính nguyên tố cùng nhau sẽ suy ra chia hết cho ( ). Điều này vô lí, vì < ( ). Do đó :
{ ([ − ( )] ), ([ − ( )] )} = ( , ) , tức là có một phép chia ( , ) cho mà phần dư của nó bằng không. Do vậy, không cần thử tiêu chuẩn Buchberger cho các cặp từ khởi đầu nguyên tố cùng nhau.
1.4.2 Thuật toán Buchberger
Dựa vào khái niệm -đa thức và tiêu chuẩn Buchberger, ta có thuật toán Buchberger.
Thuật toán Buchberger (Tìm cơ sở Gröbner từ một hệ sinh của iđêan) Tìm cơ sở Gröbner CSGR( , … , ) ≔ { , … , } từ ( , … , ) Input: = ( , … , )
Output: cơ sở Gröbner = { , … , } và ⊆ . ≔ REPEAT ≔ FOR mỗi cặp { , } ⊆ , <> 0 DO ≔ ( ( , ); ) IF <> 0 THEN ≔ ∪ { } UNTIL = Định lí 1.4.2
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Thuật toán trên dừng sau hữu hạn bước và là cơ sở Gröbner chứa { , … , } của = { , … , }.
Chứng minh
Ta thấy rằng, tại mỗi bước của thuật toán, đa thức được thêm vào có dạng:
= ( , ) − ℎ . ∈
= − − ℎ .
∈
Lúc ban đầu { , … , } ⊆ ⊆ . Do đó, từ các hệ thức trên và bằng quy nạp theo số bước, ta có các bao hàm thức trên luôn đúng, vì = { , … , } nên = ( ). Thuật toán dừng khi và chỉ khi không có đơn thức nào được thêm vào , tức là: ( , ) = 0 với mọi , ∈ , ≠ . Theo tiêu chuẩn Buchberger, là cơ sở Gröbner của .
Bây giờ, ta chứng minh tính dừng của thuật toán. Kí hệu: là tập nhận được ở bước thứ của thuật toán. Do ⊆ ⊆ ⊆ ⋯ nên:
( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) ⊆ ⋯
Vì [ ] là vành Noether, nên dãy trên phải dừng sau hữu hạn bước. Gọi là chỉ số nhỏ nhất để ( ) = ( ). Nếu ⊂ thì tồn tại , ∈ để đa thức ( , ) được thêm vào . Vì các từ của ( , ) không chia hết cho bất kì từ khởi đầu nào của , suy ra ( ) ⊂ ( ). Vô lí. Vậy, = và thuật toán dừng sau bước + 1. □ Ví dụ:
Trong [ , , ] với thứ tự từ điển mà > > . Tìm cơ sở Gröbner của iđêan = (− + , − ).
Thuật toán Buchberger được thực hiện như sau: Đặt = − + , = −
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 ( , ) = ( – + )— ( − ) = − + = ( , ) ⇒ = − + ( , ) = (− )(− + ) − (− )(− + ) = − = . ( , ) = (− )( − ) − (− + ) = − + = ( , ) ⇒ = − + ( , ) = (− )(− + )— (− + ) = − = (− − ). ( , ) = (− )( − ) − (− + ) = − + = . ( , ) = (− )(− + )— (− + ) = − + = ( , ) ⇒ = − + ( , ) = (− )( − ) − ( )(− + ) = − + = ( + ). ( , ) = (− )(− + )— (− + ) = − = (− ). ( , ), ( , ): không xét vì chúng là các cặp từ. Vậy, cơ sở Gröbner của là:
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CƠ SỞ GRÖBNER