Cơ sở Grobner và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỞ ĐẦU Trong Đại số giao hoán, nghiên cứu vành đa thức biến K[x] (với K trường), ta biết iđêan đa thức I sinh đa thức g mà ta gọi phần tử sinh I Vì với ƒ ∈ K[x] bất kì, ta thực phép chia đa thức ƒ cho đa thức g theo thuật toán Euclide để tìm đa thức dư r, đa thức xác định ƒ ∈ I r = Một lẽ tự nhiên mở rộng lên vành đa thức nhiều biến K[x1, … , xn], để xác định đa thức ƒ ∈ K[x1, … , xn] có thuộc iđêan đa thức I ⊆ K[x1, … , xn] cho trước hay khơng, ta tìm tập phần tử sinh {g1, … , gs} ≔ G, gi ∈ I, sau thực phép chia đa thức ƒ cho tập đa thức G Tuy nhiên, liệu có thực phép chia đa thức ƒ cho tập đa thức G để tìm đa thức dư r hay khơng? Và đa thức dư xác định nhất? Thuật tốn chia có thay đổi so với thuật toán Euclide? Liệu ƒ ∈ I r = 0? Cơ sở Gröbner Đại số máy tính cho phép giải đáp tất thắc mắc Được động viên, giúp đỡ thầy, giáo khoa Tốn, đặc biệt thầy cô tổ Đại số, em chọn đề tài: “Cơ sở Gröbner ứng dụng” Nội dung đề tài trình bày khái niệm sở lí thuyết Grưbner ứng dụng Xây dựng quan hệ thứ tự tập đơn thức nhiều biến, từ đó, thấy làm rõ cách thức mở rộng thuật toán chia đa thức biến trung học sở sang trường Đỗ Thị Mùi K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội hợp đa thức nhiều biến Qua đó, người ta xác định phương hướng để giải số toán iđêan vành đa thức nhiều biến Đỗ Thị Mùi K35A – SP Toán Đề tài trình bày hai chương: Chương Cơ sở Gröbner Chương đề cập đến khái niệm thứ tự từ, xuất phát điểm để xây dựng sở Grưbner Từ đó, người ta đưa khái niệm iđêan khởi đầu, từ khởi đầu, định nghĩa số tính chất sở Grưbner Tiếp đó, tác giả trình bày việc mở rộng thuật toán chia với dư vành đa thức nhiều ẩn Cuối cùng, đề cập tới thuật toán Buchberger Chương Một số ứng dụng Cơ sở Grưbner Nội dung chủ yếu chương trình bày ứng dụng sở Gröbner để giải số toán iđêan vành đa thức nhiều biến Mặc dù có nhiều cố gắng song nhiều hạn chế thời gian kiến thức, khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện CHƯƠNG CƠ SỞ GRÖBNER 1.1 Thứ tự từ 1.1.1 Thứ tự, giả thứ tự Định nghĩa 1.1: Cho tập X ≠ ∅ Quan hệ hai S quan hệ thứ tự phận X điều kiện sau thỏa mãn: i) Với x ∈ X: xSx (tính chất phản xạ) ii) Với x, y ∈ X: xSy ySx x = y (tính chất phản đối xứng) iii) Với x, y, z ∈ X : xSy ySz xSz (tính chất bắc cầu) Ta thường kí hiệu quan hệ thứ tự ≤, ≥ Nhận xét: Nếu S quan hệ thứ tự phận thì: S–1 = {(x, y)|(y, x) ∈ S} quan hệ thứ tự phận gọi thứ tự ngược Nếu kí hiệu S ≤ S–1 kí hiệu ≥ Ví dụ  Quan hệ ≤ tập hợp số tự nhiên N quan hệ thứ tự  Quan hệ chia hết N quan hệ thứ tự phận Định nghĩa 1.1.2 Nếu X có thứ tự phận ≤ ta nói X tập phận Khi đó, với x, y ∈ X x ≤ y y ≤ x, x, y không so sánh với Quan hệ thứ tự ≤ X gọi thứ tự toàn phần cặp phần tử X so sánh với Khi đó, ta nói X tập hồn tồn Quan hệ hai ngơi thỏa mãn tính chất phản xạ bắc cầu gọi giả thứ tự Ví dụ  (N, ≤) tập thứ tự toàn phần  (R, ≤) tập thứ tự tồn phần phần tử R so sánh với Tuy nhiên, (C, ≤) xác định sau: a≤c a + bi ≤ c + di ⟺ { quan hệ thứ tự phận ℂ b≤d  Quan hệ chia hết thứ tự phận tập N giả thứ tự phận Z  M tập đơn thức vành K[x] với quan hệ xác định sau: xa ≤ x b, xa = x1a1 … xnan, xb = x1b1 … xnbn, ≤ bj , ∀i = 1, … n quan hệ thứ tự phận X Với số biến quan hệ quan hệ thứ tự toàn phần Định nghĩa 1.1.3 Cho (X, ≤) tập phận, Ø ≠ A ⊆ X i) a ∈ A gọi phần tử tối tiểu (tương ứng tối đại) A, với b ∈ A ta có b ≤ a (tương ứng a ≤ b) a = b ii) a ∈ A phần tử bé (tương ứng lớn nhất) A với b ∈ A ta có a ≤ b (tương ứng b ≤ a) iii) Phần tử b ∈ X chặn (tương ứng chặn dưới) A, với a ∈ A ta có a ≤ b (tương ứng b ≤ a) iv) Tập A gọi bị chặn vừa bị trên, vừa bị chặn v) Tập X gọi thứ tự tốt hồn tồn tập khác rỗng X để có phần tử bé Ví dụ  (N, |), A = {n ∈ ℕ ∶ n > 1} Các phần tử tối tiểu số nguyên tố  (ℝ, ≤), A = [1,2], B = (1,2) Khi đó: 1,2 phần tử bé nhất, lớn A B khơng có phần tử bé nhất, lớn nhất, tối tiểu, tối đại bị chặn bị chặn ℝ  (ℕ, ≤) tập thứ tự tốt (ℕ, ≤) hồn tồn phận khác rỗng N có phần tử bé Tuy nhiên, (ℤ, ≤) tập thứ tự tốt tập A = {x|x ∈ ℤ, x < −2} khơng có phần tử bé Bổ đề 1.1.1 ( Bổ đề Zorn) Nếu X tập (bộ phận) cho tập khác rỗng hồn tồn bị chặn X X có phần tử tối đại 1.1.2 Thứ tự từ Định nghĩa 1.1.4 Cho M tất đơn thức K[x] Thứ tự toàn phần ≤ tập M gọi thứ tự từ nếu: i) Với m ∈ M, ≤ m ii) Với m1, m2, m ∈ M mà m1 ≤ m2 mm1 ≤ mm2 Ví dụ: Quan hệ theo bậc đơn thức biến thứ tự từ Bổ đề 1.1.2 Một thứ tự toàn phần ≤ M thứ tự tốt dãy đơn thức thực giảm: m1 > m2 > m3 > ⋯ dừng (sau hữu hạn phần tử) Chứng minh - Giả sử ≤ không thứ tự tốt M, tức tồn tập A ⊆ M cho A khơng có phần tử bé Lấy m1 phần tử A Vì A khơng có phần tử bé nên tìm m2 < m1 A, với m2 ta tìm m3 < m2 Lặp lại trình mãi ta nhận dãy vơ hạn đơn thức thực giảm: m1 > m2 > m3 > ⋯ > mn > ⋯ - Ngược lại, có dãy vơ hạn đơn thức thực giảm dãy khơng có phần tử bé Vì vậy, thứ tự cho khơng thứ tự tốt Bổ đề 1.1.3 Mọi thứ tự từ thứ tự tốt Ngược lại, thứ tự tốt M thỏa mãn điều kiện ii) Định nghĩa 1.1.4 thứ tự từ Chứng minh - Cho ≤ thứ tự từ Giả sử ∅ ≠ A ⊆ M, gọi I ⊆ K[x] iđêan đơn thức sinh A Theo Bổ đề Dickson tồn hữu hạn phần tử m1, … , mn ∈ A cho : I = (m1, … , mn) Vì ≤ thứ tự tồn phần nên giả thiết m1 ≤ mi, với i ≤ n Ta chứng tỏ m1 phần tử bé A Thật vậy, với m ∈ A, I = (m1, … , mn) nên theo bổ đề tính chia hết iđêan đơn thức, ta tìm i ≤ n cho m = mrmi, với mr đơn thức Vì ≤ mr nên theo tính chất A hay ≤ thứ tự tốt - Ngược lại, giả sử ≤ thứ tự tốt tồn đơn thức m cho : > m Khi đó, theo tính chất ii) Định nghĩa 1.1.4 ta có : > m = m > m m = m2, m2 = m m > m m2 = m3, … - Cứ tiếp tục ta nhận dãy vô hạn đơn thức thực giảm: > m > m2 > m3 > ⋯ Theo bổ đề tính tương đương iđêan đơn thức, điều trái với giả thiết ≤ thứ tự tốt Suy ra, ≤ m với m ∈ M Vậy ≤ thỏa mãn hai tính chất Định nghĩa 1.1.4, hay ≤ thứ tự từ 1.1.3 Một số thứ tự từ quan trọng Trong phần này, xét xem thứ tự từ quan trọng mà phần thường xuyên sử dụng đến chúng Đó thứ tự từ điển, thứ tự từ điển phân bậc, thứ tự từ điển ngược Cho ≤ thứ tự từ Bằng cách thay đổi số biến cần thiết giả thiết : x1 > x2 > ⋯ > xn Định nghĩa 1.1.5 i) Thứ tự từ điển, kí hiệu ≤1es, xác định sau : x11 xnn ⋯ > xn  Cho đơn thức : x y , x 5yz4, xyz3, xy Sắp xếp biến x > y > z: - Đối với thứ tự từ điển: x5 yz4 > x y > xy4 > xyz3 - Đối với thứ tự từ điển phân bậc: x5 yz > x y > xyz3 > xy - Đối với thứ tự từ điển ngược: x y > x5 yz > xy4 > xyz3 1.2 Iđêan khởi đầu, sở Gröbner 1.2.1 Từ khởi đầu, đơn thức đầu Định nghĩa 1.2.1 Cho ≤ thứ tự từ ƒ ∈ K[x] Từ khởi đầu đa thức ƒ, kí hiệu inŠ(ƒ), từ lớn đa thức ƒ thứ tự từ ≤ số Nếu inŠ(ƒ) = α x a , ≠ α ∈ K lcŠ(ƒ) = α gọi hệ đầu lmŠ(ƒ) = xa đơn thức đầu ƒ thứ tự từ ≤ Nếu thứ tự từ ≤ xác định rõ ràng ta thường viết gọn in(ƒ) (tương ứng lc(ƒ), lm(ƒ)) thay cho inŠ(ƒ) (tương ứng lcŠ(ƒ), lmŠ(ƒ)) Chú ý  Từ khởi đầu đa thức khơng xác định, nhận giá trị tùy ý  Trong biểu diễn tắc đa thức ƒ ta viết từ theo thứ tự giảm dần in(ƒ) xuất Ví dụ Với m ∈ in(I ∩ S), tồn ƒ ∈ I⋂S cho in(ƒ) = m Vì ƒ ∈ I nên in(ƒ) ∈ in(I)⋂S Ngược lại, với m ∈ in(I) ∩ S, tồn ƒ ∈ I cho in(ƒ) = m Lại có, m ∈ S nên ƒ ∈ S nên ƒ ∈ I⋂S Suy ra, m ∈ in(I ∩ S) Vậy in(I ∩ S) = in(I) ∩ S Đặt Ik = I ∩ S Rõ ràng in(Ik) ⊆ in(I) ∩ S Ta chứng tỏ in(gi), i ≤ u, sinh in(I) ∩ S Giả sử m ∈ in(I) ∩ S Vì g1, … , gt sở Grưbner, tồn i ≤ t để lm(gi)|m Vì m ∈ S, tức không chứa biến k biến đầu tiên, nên lm(gi) có tính chất này, tức in(gi) ∈ S Từ Định nghĩa 2.2.1 suy gi ∈ S Theo cách chọn g1, … , gu suy i ≤ u Do đó, m chia hết cho in(gi), với i ≤ u Vì gi ∈ Ik, điều dẫn đến: in(I ∩ S) ⊆ (in(g1), … , in(gu)) ⊆ in(Ik) Suy ra: in(Ik) = in(I) ∩ S = (in(g1), … , in(gu)) Điều có nghĩa g1, … , gu sở Grưbner Ik Theo Định lí 1.2.1, ta có: Ik = (g1, … , gu) □ Thuật toán 2.2.1 Thuật tốn khử biến Tìm sở Grưbner IDEALKHU(ƒ1 , … , ƒs ; x1 , … , xk ) ≔ {g1 , … , gu } iđêan khử (ƒ1 , … , ƒs ) biến x1 , … , xk Input: ƒ1 , … , ƒs : đa thức K[x1 , … , xn ] k < n: hai số tự nhiên Output: g1, … , gu: đa thức K[xk+1, … , xn] {g1 , … , gt } ≔ CSGR(ƒ1 , … , ƒs ) u ≔ FOR j ≤ t DO IF degs1,…,sk(ingj) = THEN u ≔ u + 1, gu ≔ gj Đỗ Thị Mùi 62 K35A – SP Toán Đỗ Thị Mùi 63 K35A – SP Tốn Có thể áp dụng tốn khử biến để giải tốn tìm biểu diễn vành đa thức Bài tốn (Bài tốn tìm biểu diễn vành) Cho ℎ1, … , ℎn ∈ K[y1, … , ym] phần tử vành đa thức biến y1, … , ym Tìm biểu diễn vành K[y1, … , ym] sinh đa thức ℎ1 , … , ℎn , tức tìm ƒ1 , … , ƒs ∈ K[x1 , … , xn ] cho: K[ℎ1 , … , ℎn ] ≅ K[x1 , … , xn ] ∕ ( ƒ1 , … , ƒs ) Lời giải Xét đồng cấu vành : R ≔ K[y1, … , ym, x1, … , xn] ⟶ K[y1, … , ym] yi ⟼ yi(i = 1, … , m) xj ⟼ ℎj (j = 1, … , n) Đặt J = Ker Rõ ràng xj − ℎj yi, i = 1, … , m, j = 1, … , n Tách phần đa thức g không chứa xj − ℎj ra, ta g = g + q, g ∈ (x1 − ℎ1, … , xn − ℎn)R q ∈ Sr ≔ K[y1, … , ym] Vì: (g) = (x1 − ℎ1) = ⋯ = chế (xn − ℎ n) = 0, nên (q) = Mà hạn Sr đẳng cấu, nên q = Vậy : J = (x1 − ℎ1, … , xn − ℎn)R Kí hiệu y ánh xạ hạn chế S = K[x1, … , xn] Từ định nghĩa dễ thấy Imy = K[ℎ1, … , ℎn], Kery = J ∩ S ≔ I, tức I iđêan khử J biến y1, … , ym Khi ta có: K[x1, … , xn]/I ≅ K[ℎ1, … , ℎn] I iđêan cần tìm Thuật tốn 2.2.2 Thuật tốn tìm biểu diễn vành đa thức Tìm sở Gröbner BIEUDIEN(ℎ1 , … , ℎn ) = {ƒ1 , … , ƒs } iđêan định nghĩa K[ℎ1, … , ℎn] Input: ℎ1, … , ℎn: đa thức K[y1, … , ym] Output: ƒ1 , … , ƒs : đa thức K[ℎ1 , … , ℎn ] FOR i ≤ n DO ℎi ≔ xi − ℎi {ƒ1 , … , ƒs } ≔ IDEALKHU(ℎ1 , … , ℎn ; y1 , … , ym ) Ví dụ Elip: 2x2 + 2xy + y2 − 2x − 2y = cắt đường tròn: x2 + y2 = hai điểm Để tìm hai điểm này, ta tìm sở Grưbner iđêan I = (2x2 + 2xy + y2 − 2x − 2y, x + y2 − 1) ⊂ R[x, y] Sử dụng thứ tự từ điển x > y để khử x, ta được: g1 = 2x + y2 + 5y3 − g2 = 5y4 − 4y3 Khi đó, 5y4 = 4y3 y = y = 4/5 Thay giá trị vào g1 = giải với x, ta tìm hai giao điểm (1, 0) (−3/ , 4/ ) 5 2.3 Giao iđêan Kí hiệu x tập biến x1, … , xn y tập biến y1, … , ym Bài tốn (Bài tốn tìm giao iđêan) Cho F1 , … , Fm tương ứng tập sinh iđêan I1 , … , Im ⊆ K[x] Tìm tập sinh F iđêan ⋂m I i=1 i Cơ sở để giải toán là: Mệnh đề 2.3 Cho J iđêan K[x, y] sinh : − (y1 + ⋯ + ym) y1I1, … , ymIm Khi đó: m † Ii = J ∩ K[x] i=1 Chứng minh Cho ƒ ∈ I ⋂ K[x] Vì ƒ ∈ I, biểu diễn: ki m ƒm= g(1 − yi) + ∑ ∑ g y ℎij , ∑ i=1 i=1 j=1 ij i k1, … , km ∈ ℕ, g, gij ∈ K[x, y], ℎij ∈ Ii Cố định số k, ≤ k ≤ m Thay yk = yi = với i ≠ k vào biểu diễn ta thấy vế trái khơng đổi (vì ƒ khơng chứa biến yi) Vì thay xong ℎkj khơng đổi, đa thức gkj chứa biến x, nên vế phải trở thành phần tử Ik Do đó, ƒ ∈ Ik Ngược lại, giả sử ƒ ∈i=1 Ii Khi đó: m ⋂ m m ƒ = ƒ (1 − ) yi) + ) yiƒ ∈ J i=1 i=1 Vì có ƒ ∈ K[x], nên ƒ ∈ J ∩ K[x] Thuật tốn 2.3.1: Thuật tốn tìm giao iđêan Tìm sở Grưbner GIAOIDEAL(F1 , … , Fm ) ≔ F ⋂m Input: F1 , … , Fm : tập hữu hạn K[x1 , … , xn ] Output: F: tập đa thức K[x1, … , xn] m ƒ ≔ − ) yi ∈ K[x, y] i=1 m F ≔ IDEALKHU (ƒ, † yi Fi ; y1 , … , ym ) i=1 Ví dụ □ (Fi ) i=1 Cho I = (x2 + y2, xy) J = (x2 − y2) Thêm biến z, t tìm sở Gröbner iđêan sinh đơn thức sau: ƒ1 = x z + y z, ƒ2 = xyz, ƒ3 = x t − y t, ƒ4 = − z − t, với quan hệ thứ tự từ điển z > t > x > y (thứ tự từ điển khử với hai biến z, t), ta được: x2y − y , x3 − xy , 2ty2 − x2 − y , txy − xy, 2tx2 − x − y2, z + t − } Vì vậy, I ∩ J = {x y − y , x − xy 2} { 2.4 Thương iđêan Bài toán 6: Cho I =(ƒ1 , … , ƒr ) J = (g1 , … , gs ) hai iđêan vành K[x] Tìm ℎ1, … , ℎt để I: J = (ℎ1, … , ℎt) Để giải toán trước hết xét trường hợp s = Mệnh đề 2.4 Cho I iđêan ƒ đa thức tùy ý vành K[x] Giả sử G sở Gröbner I ∩ (ƒ) Khi đó, đa thức g ∈ G chia hết cho ƒ và: Gr = {g/ƒ|g ∈ G } sở Gröbner I: ƒ Chứng minh Vì I ∩ (ƒ) = ƒ(I: ƒ), nên đa thức I ∩ (ƒ) chia hết cho ƒ Nói riêng, g chia hết cho ƒ, đó, Gr ⊂ I: ƒ Cho ℎ ∈ I: ƒ tùy ý Vì G sở Grưbner I ƒℎ ∈ I, nên tồn g ∈ G để in(ƒℎ) chia hết cho in g Đặt gr = g/ƒ ∈ G r Suy ra, in ℎ chia hết cho in gr, hay Gr sở Gröbner I: ƒ □ Nhận xét rằng: I: J = (I: gj) Vì vậy, áp dụng thuật tốn tìm s ⋂ j=1 giao iđêan ta xây dựng thuật toán giải tốn tìm thương sau: Thuật tốn 2.4.1: Thuật tốn tìm thương Tìm hệ sinh THUONG(ƒ1 , … , ƒr ; g1 , … , gs ) ≔ {ℎ1 , … , ℎt } (ƒ1 , … , ƒr ): ( g1 , … , gs ) Input: ƒ1 , … , ƒr , g1 , … , gs : đa thức K[x] Output: ℎ1, … , ℎ t: đa thức K[x] FOR i ≤ s DO {ƒi1 , … , ƒiki } ≔ GIA0IDEAL(ƒ1 , … , ƒr ; gi ) Fi ≔ {ƒi1 /gi , … , ƒiki /gi } {ℎ1 , … , ℎt } ≔ GIA0IDEAL(F1 , … , Fs ) Ví dụ Cho I = (x3 + x, xy + y 2) J = (y + y, xy + x2 ) K[x, y] Để tìm iđêan thương I: J, ta cần biết I: ( y3 + y) I: ( xy + x2) Tính được: I ∩ ( y3 + y) = {y4 + y2, xy + xy} I ∩ ( xy + x ) = {x2y + xy2 , x4 + x2 + xy3 + xy} Nên I: ( y3 + y) = (x, y) I: ( xy + x ) = (x2 − xy + y2 + 1, y) Do đó, I: J = (I: ( y3 + y)) ∩ (I: ( xy + x2)) = {x3 + x, y} KẾT LUẬN Nội dung Lí thuyết sở Gröbner số ứng dụng trình bày cách hệ thống, logic Nhờ lí thuyết sở Grưbner mà vấn đề như: Có thể thực phép chia đa thức ƒ cho tập đa thức {g1, … , gs} hay không? Làm để biết đa thức ƒ có thuộc iđêan cho trước? Giao thương iđêan cho trước xác định nào? giải cách triệt để Bản khóa luận mang tính chất giới thiệu, nghiên cứu phần nhỏ Nhiều kiến thức khác Lí thuyết sở Grưbner cho modun, Hình học đại số…chưa đề cập tới khóa luận Đề tài thực có ý nghĩa tiếp tục nghiên cứu, bổ sung ý tưởng lẫn phương pháp Cuối cùng, em mong muốn đóng góp ý kiến giúp đỡ cộng tác nghiên cứu quý thầy cô bạn đọc để đề tài thực có ý nghĩa Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Grưbner, Nxb ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Trần Trọng Huệ (2001), Đại Số Đại Cương, Nxb ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số số học, tập 1,2,3, Nxb Giáo dục, Hà Nội Hoàng Xuân Sính (2003), Đại Số Đại Cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại Số Đại Cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ GRÖBNER 1.1 Thứ tự từ 1.2 Iđêan khởi đầu, sở Gröbner 1.3 Thuật toán chia 17 1.4 Thuật toán Buchberger 28 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CƠ SỞ GRÖBNER 36 2.1 Bài toán thành viên 36 2.2 Bài toán khử biến 38 2.3 Giao iđêan 42 2.4 Thương iđêan 44 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể thầy khoa Tốn, thầy tổ Đại số, người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ em q trình hồn thành khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, TS Nguyễn Huy Hưng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian em thực khóa luận Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Mùi LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Huy Hưng, với cố gắng thân trình nghiên cứu thực khóa luận, em có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Mùi Đỗ Thị Mùi 76 K35A – SP Toán ... tìm sở Grưbner I thứ tự Tuy nhiên, việc làm khơng đơn giản khơng phải sở I sở Gröbner I Hơn nữa, sở cho I sở Gröbner thứ tự khơng sở Grưbner thứ tự khác Ví dụ  I iđêan vành K[x] Ta biết vành... số tính chất sở Grưbner Tiếp đó, tác giả trình bày việc mở rộng thuật tốn chia với dư vành đa thức nhiều ẩn Cuối cùng, đề cập tới thuật toán Buchberger Chương Một số ứng dụng Cơ sở Gröbner Nội... (tương ứng tối đại) A, với b ∈ A ta có b ≤ a (tương ứng a ≤ b) a = b ii) a ∈ A phần tử bé (tương ứng lớn nhất) A với b ∈ A ta có a ≤ b (tương ứng b ≤ a) iii) Phần tử b ∈ X chặn (tương ứng chặn