Luyện thị lớp 10: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Hệ thức cạnh đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN Khi giải toán liên quan đến cạnh đường cao tam giác vng, ngồi việc nắm vững kiến thức định lý Talet, trường hợp đồng dạng tam giác, cần phải nắm vững kiến thức sau: Tam giác ABC vuông A , đường cao AH , ta có: 1) a2 = b2 + c2 2) b2 = ab ';c2 = ac ' 3) h2 = b'.c ' 4) a.h = bc 5) 1 = 2+ 2 h b c 6) b' b2 = a a2 Chú ý: Diện tích tam giác vng: S = ab Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết AB : AC = 3: AB + AC = 21cm a) Tính cạnh tam giác ABC b) Tính độ dài đoạn AH , BH ,CH Giải: a) Theo giả thiết: AB : AC = 3: , PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC suy AB AC AB + AC = = = Do AB = 3.3 = ( cm) ; 3+ AC = 3.4 = 12( cm) Tam giác ABC vuông A , theo định lý Pythagore ta có: BC = AB + AC = 92 + 122 = 225 , suy BC = 15cm b) Tam giác ABC vuông A , ta có AH BC = AB AC , suy AH = AB AC 9.12 = = 7,2( cm) BC 15 AH = BH HC Đặt BH = x ( < x < 9) HC = 15 - x , ta có: ( 7,2) = x ( 15 - x) Û x - 15x + 51,84 = Û x ( x - 5,4) = 9,6( x Û ( x - 5,4) ( x - 9,6) = Û x = 5,4 x = 9,6 (loại) Vậy BH = 5,4cm Từ HC = BC - BH = 9,6( cm) 5,4) = Chú ý: Có thể tính BH sau: AB = BH BC suy BH = AB 92 = = 5,4( cm) BC 15 Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC = 2a , cạnh bên b( b > a) a) Tính diện tích tam giác ABC b) Dựng BK ^ AC Tính tỷ số AK AC Giải: a) Gọi H trung điểm BC Theo định lý Pitago ta có: AH = AC - HC = b2 - a2 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Suy SABC = 1 BC AH = a b2 - a2 2 Þ AH = b2 - a2 b) Ta có 1 BC AH = BK AC = SABC 2 BC AH 2a = b - a2 Áp dụng định lý Pitago AC b tam giác vng AK B ta có: Suy BK = ( b2 - 2a2 4a2 2 AK = AB - BK = b - b - a = b b2 AK = b2 - 2a2 b 2 ( ) ) Suy b2 - 2a2 AK = AC b Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với đỉnh A, B,C cạnh đối diện với đỉnh tương ứng là: a,b,c a) Tính diện tích tam giác ABC theo a b) Chứng minh: a2 + b2 + c2 ³ 3S Giải: a) Ta giả sử góc A góc lớn tam giác ABC Þ B,C góc nhọn Suy chân đường cao hạ từ A lên BC điểm H thuộc cạnh BC Ta có: BC = BH + HC Áp dụng định lý Pi ta go cho tam giác vng AHB, AHC ta có: AB = AH + HB 2, AC = AH + HC PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Trừ hai đẳng thức ta có: c2 - b2 = HB - HC = ( HB + HC ) ( HB - HC ) = a.( HB - HC ) Þ HB - HC = c2 - b2 ta có: a a2 + c2 - b2 Áp dụng định lý Pitago cho HB + HC = a Þ BH = 2a tam giác vng ỉ ỉ a2 + c2 - b2 ÷ ưỉ a2 + c2 - b2 ÷ a2 + c2 - b2 ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ AHB ị AH = c - ç = c c + ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ è ÷ ÷ ç ç ç 2a 2a 2a è ø øè ø 2 2ù é ùé ê( a + c) - b úêb - ( a - c) ú ( a + b + c) ( a + c - b) ( b + a - c) ( b + c - a) úê ú= =ê ê úê ú 2a 2a 4a2 ê úê ú ë ûë û Đặt 2p = a + b + c AH = 16p( p - a) ( p - b) ( p - c) 4a2 Từ tính S = Þ AH = p( p - a) ( p - b) ( p - c) a BC AH = p( p - a) ( p - b) ( p - c) b) Từ câu a) ta có: S = p( p - a) ( p - b) ( p - c) Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: ỉp - a + p - b + p - cử p3 ữ ỗ Suy ÷ p a p b p c £ = ( )( )( ) ỗỗ ữ ữ 27 ố ø S£ p3 p2 ( a + b + c) Mặt khác ta dễ chứng Hay S £ p = 27 3 12 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC ( ) minh được: a + b + c S£ ( a2 + b2 + c2 12 )Û ( ) £ a2 + b2 + c2 suy a2 + b2 + c2 ³ 3S Dấu xảy hki tam giác ABC Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H trực tâm · tam giác Gọi M điểm CK cho AMB = 900 S, S1, S2 theo thứ tự diện tích tam giác AMB, ABC ABH Chứng minh S = S1.S2 Giải: Tam giác AMB vng M có MK ^ AB nên MK = AK BK (1) D AHK : D CBK có · H = CK · B = 900 ; K · AH = K · CB AK · (cùng phụ với ABC ) Suy AK HK , AK K B = CK K H = CK BK (2) Từ (1) (2) suy MK = CK HK nên MK = CK HK ; 1 1 SAMB = AB MK = AB CK HK = AB CK AB HK = S1S2 2 2 Vậy S = S1.S2 Ví dụ Cho hình thang ABCD có µ =D µ = 900, B µ = 600,CD = 30cm,CA ^ CB Tính diện tích hình A PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC thang Giải: · · · Ta có CAD ), tam = ABC = 600 (cùng phụ với CAB giác vng ACD ta có AC = 2AD Theo định lý Pythagore thì: AC = AD + DC hay ( 2AD ) = AD + 302 ( ) Suy 3AD = 900 Û AD = 300 nên AD = 10 cm Kẻ CH ^ AB Tứ giác AHCD hình chữ nhật có µ =D µ =H µ = 900 , suy AH = CD = 30cm;CH = AD = 10 3( cm) A Tam giác ACB vng C , ta có: CH = HA.HB , suy HB = CH = HA ( ) 10 30 = 300 , = 10( cm) 30 AB = AH + HB = 30 + 10 = 40( cm) 1 SABCD = CH ( AB + CD ) 10 3.( 40 + 30) = 350 cm2 2 ( ) Vậy diện tích hình thang ABCD 350 3cm2 Tỉ số lượng giác góc nhọn KIẾN THỨC CƠ BẢN Các tỉ số lượng giác góc nhọn a (hình) định nghĩa sau: sin a = AB AC AB AC ;cosa = ;tan a = ;cot a = BC BC AC AB + Nếu a góc nhọn PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC < sin a < 1;0 < cosa < 1; tan a > 0;cot a > Với hai góc a, b mà a + b = 900 , ta có: sin a = cosb;cosa = sin b;tan a = cot b;cot a = tan b Nếu hai góc nhọn a b có sin a = sin b cosa = cos b a =b sin2 a + cos2 a = 1;tga.cot ga = Với số góc đặc biệt ta có: sin300 = cos600 = ;sin450 = cos450 = 2 cos300 = sin600 = ;cot 600 = tan300 = tan450 = cot 450 = 1;cot 300 = tan600 = Ví dụ Biết sin a = Tính cosa, tan a cot a 13 Giải: Cách Xét D ABC vuông A µ = a Ta có: sin a = AC = Đặt B BC suy 13 AC BC = = k , 13 AC = 5k, BC = 13k Tam giác ABC vuông A nên: 2 AB = BC - AC = ( 13k) - ( 5k) = 144k2 , suy AB = 12k PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Vậy cosa = cot a = AB 12k 12 AC 5k = = ; tan a = = = ; BC 13k 13 AB 12k 12 AB 12k 12 = = AC 5k Cách Ta có sin a = 25 suy sin2 a = , mà 13 169 2 sin2 a + cos2 a = 1, cos a = 1- sin a = 1- cosa = 12 13 tan a = sin a 12 13 = : = = ; cosa 13 13 13 12 12 cot a = cosa 12 12 13 12 = : = = sin a 13 13 13 5 25 144 , suy = 169 169 Ở cách giải thứ ta biểu thị độ dài cạnh tam giác ABC theo đại lượng k sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn để tính cosa,tan a,cot a Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng để tính sin2 a tính cosa từ 13 sin2 a + cos2 a = Sau ta tính tana cot a qua sina cosa giả thiết sin a = Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD BE cắt H Biết HD : HA = 1: Chứng minh tgB tgC = Giải: Ta có: tgB = AD AD ;tgC = BD CD Suy tan B tanC = AD BD.CD (1) PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC · · · · · (cùng phụ với ACB ); HDB HBD = CAD = ADC = 900 Do D BDH : D ADC (g.g), suy DH BD , = DC AD BD.DC = DH AD (2) Từ (1) (2) suy tan B tanC = HD AD AD (3) Theo giả thiết = suy = AH DH AD DH HD HD hay = = , suy AD = 3HD Thay vào (3) AH + HD 2+1 AD ta được: tan B tanC = 3HD = DH Ví dụ Biết sin a.cosa = 12 Tính sin a,cosa 25 Giải: 12 Để tính sin a,cosa ta cần tính sin a + cosa 25 giải phương trình với ẩn sina cosa Biết sin a.cosa = Ta có: ( sin a + cosa ) = sin2 a + cos2 a + 2sin a.cosa = + sin a + cosa = 12 49 Suy = 25 25 7 nên sin a = - cosa Từ ta có: 5 ỉ 12 7 12 ÷ cosa ỗ = cosa - cos2 a = ỗ - cosa ữ ữ ữ 25 ỗ 25 ố5 ø Û 25cos2 a - 35cosa + 12 = Û 5cosa ( 5cosa - 4) - 3( 5cosa - 4) = Û ( 5cosa - 4) ( 5cosa - 3) = Suy cosa = + Nếu cosa = cosa = 5 12 sin a = : = 25 5 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC + Nếu cosa = Vậy sin a = 12 sin a = : = 25 5 4 , cosa = sin a = ,cosa = 5 5 Hệ thức cạnh góc tam giác vng KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề b) Cạnh góc vng nhân với tan góc đối hay nhân với cot góc kề b = a.sin B = a cosC ;c = a.sinC = a.cosB ;b = ctgB = c.cot gC ; c = btgC = b.cot gC Giải tam giác vng tìm tất cạnh góc chưa biết tam giác vng µ = 600 Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = 16, AC = 14 B a) Tính độ dài cạnh BC b) Tính diện tích tam giác ABC Giải: a) Kẻ đường cao AH Xét tam giác vng ABH , ta có: BH = AB cosB = AB cos600 = 16 = = Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông AHC ta có: AH = AB sin B = AB sin600 = 16 10 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC ( ) HC = AC - AH = 142 - = 196 - 192 = Suy HC = Vậy BC = CH + HB = + = 10 b) Cách SABC = 1 BC AH = 10.8 = 40 (đvdt) 2 1 Cách S = BC BA.sin B = 10.16 = 40 (đvdt) ABC 2 · · Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết ABC = 450, ACB = 600 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC R Giải: Giả thiết có góc có số đo đặc biệt , tam giác ABC tam giác thường nên ta tạo tam giác vuông cách Dựng đường thẳng qua C , B vuông góc với AC , AB Gọi D giao điểm hai đường thẳng Khi tam giác ABD ACD tam giác vuông điểm A, B,C , D nằm đường tròn đường kính AD = 2R Ta có: AB = AD.sin600 = AD = R Kẻ đường cao AH suy H Ỵ BC Tức là: BC = BH + CH Tam giác AHB vuông góc AB R Mặt H nên AH = BH = AB sin450 = = AD = 2 2 khác tam giác ACH vuông H nên 11 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC AC = AH + CH Þ CH = diện tích S = ( R Þ BC = ( ) Từ tính R 1+ 2 ) R2 3+ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với đỉnh A, B,C cạnh đối diện với đỉnh tương ứng là: a,b,c Chứng minh rằng: a) a2 = b2 + c2 - 2bc cosA b) Gọi D chân đường phân giác góc A Chng minh: ổ Aử ữ ữ 2bc.cosỗ ỗ ữ ç ÷ è2 ø AD = b+c Giải: a) Dựng đường cao BH tam giác ABC ta có: Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh AC Ta có: AC = AH + HC Áp dụng định lý Pi ta go cho tam giác vuông AHB, BHC ta có: AB = AH + HB 2, BC = BH + HC Trừ hai đẳng thức ta có: c2 - a2 = HA - HC = ( HA + HC ) ( HA - HC ) = b.( HA - HC ) Þ HA - HC = 12 c2 - a2 ta có: b PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC HA + HC = b Þ AH = có: cosA = b2 + c2 - a2 Xét tam giác vuông AHB ta 2b AH b2 + c2 - a2 = Û a2 = b2 + c2 - 2bc cosA AB 2bc Cách 2: Xét tam giác vng CHB ta có: BC = BH + HC = BH + ( AC - AH ) = BH + AH + AC - 2AC AH Ta có: AH = CB cosA suy BC = BH + AH + AC - 2AC CB cosA hay Û BC = BA + +AC - 2AC CB cosA Û a2 = b2 + c2 - 2bc cosA b) Để chứng minh toán ta cần kết sau: + sin2a = 2sin a.cosa + S = absinC µ = 900 , gọi M trung *) Thật xét tam giác vuông ABC , A · · điểm BC , dựng đường cao AH Đặt ACB = a Þ AMB = 2a Ta có sin a = sinC = cosa = cosC = AH h = AC b AC b = BC a AH h 2h · sin2a = sin AMH = = = AM a a Từ ta suy ra: sin2a = 2sin a.cosa *) Xét tam giác ABC Dựng đường cao BE ta có: 13 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 1 SABC = BE AC = BE b (1) 2 Mặt khác tam giác vuông AEB ta có: sin A = BE Þ BE = c.sin A AB thay vào (1) Ta có: S = absinC Trở lại tốn: Ta có SABD = ỉ 1 Aử ữ AD.AB sin A1 = AD.c.sin ỗ ç ÷ ÷ ÷ ç 2 è2 ø ỉ 1 ÷ ÷ SACD = AD.AC sin A2 = AD.b.sinỗ ỗ ữ ỗ ữ 2 ố2 ứ Suy SABC = SACD + SABD = æ ÷ éc + bù Mặt khác S ÷ = AD sinỗ ỗ = bc sin A ị ữ ỳ ABC ỗ ỷ ữ ố2 ứ ỉ A ưé ù= bc sin A Û AD = ữ AD sinỗ ỗ ữ ữ ởc + bỳ ỷ ữờ ỗ ố2 ứ bc sin A = ổ A ữ ( b + c) sinỗỗỗố2ứữ ữ ữ A c +b 2bc cos Chú ý rằng: Ta chứng minh kết sau: cos2a = 2cos2 a - = 1- 2sin2 a µ = 900 , gọi M trung điểm Thật xét tam giác vuông ABC , A · · BC , dựng đường cao AH Đặt ACB = a Þ AMB = 2a 14 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Ta có : cosa = cosC = sin a = sinC = AC b = BC a AB c = , BC a AM + MB - AB · cos2a = cosAMH = 2AM MB 2 a a 2 + - c2 ỉư ỉư a2 - 2c2 c÷ a2 - b2 bữ 4 ỗ ỗ ữ = = = 1- 2ỗ ữ = 1- = 2ỗ - T ữ ữ ỗa ứ ữ ữ ỗ a a a2 a2 èa ø è 2 suy cos2a = 2cos2 a - = 1- 2sin2 a æ 2 2 2 Áp dụng a = b + c - 2bc cosA Þ a = b + c - 2bc ỗ ỗ ỗ2cos ç è A ÷ 1÷ ÷ ÷ ø ( b + c) - a2 Thay vào b2 + c2 - a2 2A 2A Þ 2cos = + Û cos = 2bc 4bc cơng thức đường phân giác ta có: b + c) - a2 ( A 2bc 2bc cos bc ( b + c - a) ( b + c + a) 4bc AD = = = c +b b +c b+c Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: b+c Þ AD £ 2p = a + b + c bc £ ( b + c - a) ( b + c + a) = p(p - a) với Áp dụng công thức: a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Ta chứng minh hệ thức quan trọng hình học phẳng ( Định lý Stewart) là: ‘’Cho điểm D nằm cạnh BC tam giác ABC ta có: ( ) AB 2.CD + AC 2.BD = BC AB + BD.DC ’’ 15 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC + Thật :Ta giả kẻ AH ^ BC khơng tính tổng quát, ta giả sử D nằm đoạn HC Khi ta có: · AB = AD + BD - 2AD.BD.cosADB = AD + BD - 2DB DH (1) Tương tự ta có: AC = AD + DC + 2DH DC (2) Nhân đẳng thức (1) với DC đẳng thức (2) với BD cộng lại theo vế ta có: ( AB 2.CD + AC 2.BD = BC AB + BD.DC ) Ví dụ Khơng dùng máy tính bảng số chứng minh sin750 = 6+ Giải: Vẽ tam giác ABC vuông A với BC = 2a ( a độ dài tùy ý) µ = 750 µ = 150 , suy B ,C Gọi I trung điểm BC , ta có · góc ngồi đỉnh I tam giác IA = IB = IC = a Vì AIB · cân IAC nên AIB = 2Cµ = 300 Kẻ AH ^ BC IH = AI cos300 = a a 3; AH = AI cos300 = ; 2 CH = CI + IH = a + 16 ( ) a a 2+ = 2 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Tam giác AHC vng H , theo định lý Pythagore, ta có: 2 AC = CH + AH = = ( ( ) +1 2 Vậy sin750 = 2+ AC a 2+ 2+ 4+2 = = = BC 2a 2 2 = ) a2 a + + + + = 4 sin750 = sin B = = ) ) = a ( + 3) , suy AC = a 4a2 + ( ( a2 + 3 +1 2 = ( )= +1 2 6+ 6+ 17 ... diện tích tam giác ABC biết ABC = 450, ACB = 600 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC R Giải: Giả thiết có góc có số đo đặc biệt , tam giác ABC tam giác thường nên ta tạo tam giác vuông cách... Vậy sin a = 12 sin a = : = 25 5 4 , cosa = sin a = ,cosa = 5 5 Hệ thức cạnh góc tam giác vng KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong tam giác vuông, cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay... btgC = b.cot gC Giải tam giác vuông tìm tất cạnh góc chưa biết tam giác vng µ = 600 Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = 16, AC = 14 B a) Tính độ dài cạnh BC b) Tính diện tích tam giác ABC Giải: a)