Chủ đề 10 hệ thức lượng trong tam giác vuông

CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Hệ thức về cạnh và đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vữn

CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Hệ thức về cạnh và đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN

Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác

vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường

hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH , ta có:

1) a2 b2 c 2

2) b2 a b c '; 2 a c '

3) h2 b c' '

4) a h b c

5) 12 12 12

6)

2

2

'

a a

Chú ý: Diện tích tam giác vuông: 1

2

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết

a) Tính các cạnh của tam giác ABC

b) Tính độ dài các đoạn AH BH CH , ,

b' c'

h c

b

a

B

A

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Giải:

a) Theo giả thiết: AB AC: 3 : 4,

Do đó AB 3.3 9 cm ;

3.4 12

Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pythagore ta có:

b) Tam giác ABC vuông tại A, ta có AH BC AB AC , suy ra

7,2 15

AB AC

x x x hoặc x 9,6 (loại) Vậy BH 5,4cm Từ đó HC BC BH 9,6 cm

Chú ý: Có thể tính BH như sau:

2 92

5, 4 15

AB

Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC 2a, cạnh bên bằng

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Dựng BK AC Tính tỷ số AK

AC

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Giải:

a) Gọi H là trung điểm của BC Theo định lý Pitago ta có:

ABC

AC b Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AKB ta có:

2

2

2

2 2 2

AK

b do đó

2

2

AK

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh A B C, , và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a b c, ,

a) Tính diện tích tam giác ABC theo a

b) Chứng minh: a2 b2 c2 4 3S

Giải:

a) Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác

,

ABC B C là các góc nhọn Suy ra chân

đường cao hạ từ A lên BC là điểm

K

B

A

A

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

H thuộc cạnh BC

Ta có: BC BH HC Áp dụng định lý

Pi ta go cho các tam giác vuông

,

,

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

a ta cũng có:

2

a Áp dụng định lý Pitago cho tam

giác vuông

2

2

Đặt 2p a b c thì

2

2

16

2 4

a

Từ đó tính được 1

2

b) Từ câu a) ta có: S p p a p b p c Áp dụng bất đẳng thức

Cô si ta có:

ra

27 3 3

2

12 3

được: a b c 2 3 a2 b2 c suy ra 2

3

4 3

12 3

Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giác ABC đều

Ví dụ 4 Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H là trực tâm của tam

giác Gọi M là một điểm trên CK sao cho AMB 900 S S S theo thứ , ,1 2

tự là diện tích các tam giác AMB ABC, và ABH Chứng minh rằng

1 2

Giải:

Tam giác AMB vuông tại M có

MK AB nên MK2 AK BK (1)

AHK CBK vì có

0

90

(cùng phụ với ABC ) Suy ra AK HK

CK BK , do đó AK KB. CK KH (2) .

Từ (1) và (2) suy ra MK2 CK HK nên MK CK HK ;

1 2

AMB

Vậy S S S 1 2

Ví dụ 5 Cho hình thang ABCD có

D

K

M

H

C B

A

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

thang

Giải:

Ta có CAD ABC 600 (cùng phụ với CAB ), vì thế trong tam giác

vuông ACD ta có AC 2AD

Theo định lý Pythagore thì: AC2 AD2 DC hay 2

Suy ra 3AD2 900 AD2 300 nên AD 10 3 cm

Kẻ CH AB Tứ giác AHCD là hình chữ nhật vì có A D H 900, suy ra AH CD 30cm CH; AD 10 3 cm

Tam giác ACB vuông tại C , ta có: CH2 HAHB , suy ra

2

10

CH

30 10 40

2

.10 3 40 30 350 3

ABCD

Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 350 3cm2

Tỉ số lượng giác của góc nhọn KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:

+ Nếu là một góc nhọn thì

2 Với hai góc , mà 900,

ta có: sin cos ;cos sin ; tan cot ;cot tan

Nếu hai góc nhọn và có sin sin hoặc cos cos thì

3 sin2 cos2 1;tg cotg 1

4 Với một số góc đặc biệt ta có:

sin 30 cos 60 ;sin 45 cos 45

cos 30 sin 60 ;cot60 tan 30

tan 45 cot45 1;cot30 tan 60 3

Ví dụ 1 Biết 5

sin

13 Tính cos , tan và cot

Giải:

Cách 1 Xét ABC vuông tại A

sin

13

AC

suy ra

k , do đó

α

B

A

α B C

A

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

AC k BC k Tam giác ABC vuông tại A nên:

cos

cot

sin

13 suy ra

sin

169, mà

169 169, suy ra

12 cos

13

Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác ABC theo đại

lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính

cos , tan , cot Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin 5

13 để tính sin2 rồi tính cos từ sin2 cos2 1 Sau đó ta tính tan và cot qua sin và cos

Ví dụ 2 Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại

H Biết HD HA: 1 : 2 Chứng minh rằng tgB tgC 3

Giải:

Ta có: tgB AD;tgC AD

Suy ra

2

tan tan

AD

BDCD (1)

H E

B

A

HBD CAD (cùng phụ với ACB); HDB ADC 900

Do đó BDH ADC (g.g), suy ra DH BD

DC AD, do đó

2

tan tan

1 2

HD

AH suy ra

1

HD

1 3

HD

AD , suy ra AD 3HD Thay vào (3) ta

được: tan tanB C 3HD 3

sin cos

25 Tính sin , cos

Giải:

sin cos

25 Để tính sin , cos ta cần tính sin cos rồi giải phương trình với ẩn là sin hoặc cos

Ta có:

25 25 Suy

5 nên

7

5 Từ đó ta có:

2

2

cos

5 hoặc

3 cos

5

cos

5 thì

25 5 5

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

cos

5 thì

25 5 5

sin

5,

4 cos

5 hoặc

Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cot của góc

kề

2 Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam

giác vuông đó

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có AB 16,AC 14 và B 600

a) Tính độ dài cạnh BC

b) Tính diện tích tam giác ABC

Giải:

a) Kẻ đường cao AH

Xét tam giác vuông ABH, ta có:

2

2

Pythagore vào tam giác vuông AHC ta có:

A

H

ABC

ABC

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết ABC 45 ,0 ACB 600 bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R

Giải:

Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt , nhưng tam

giác ABClà tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam

giác vuông bằng cách Dựng các đường

thẳng qua C B, lần lượt vuông góc với

,

AC AB Gọi D là giao điểm của hai đường

thẳng trên Khi đó tam giác ABD và ACD là các tam giác

vuông và 4 điểm A B C D, , , cùng nằm trên đường tròn đường kính

2

AD R

2

H BC.Tức là: BC BH CH Tam giác AHB vuông góc tại H nên

H

D

A

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

giác ACH vuông tại H nên 2 2 2

2

R

2

R

BC Từ đó tính được diện tích

2

4

R

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh A B C, , và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a b c, , Chứng minh rằng:

a) a2 b2 c2 2 cosbc A

b) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A Chứng minh:

2 cos

2

A bc

AD

Giải:

a) Dựng đường cao BH của tam giác

ABC ta có:

Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh AC

Ta có: AC AH HC

Áp dụng định lý

Pi ta go cho các tam giác vuông

,

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

HA HC

b ta cũng có:

c

b

a

A

B

C H

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

2

b Xét tam giác vuông AHB ta có:

2

Cách 2: Xét tam giác vuông CHB ta có:

2

Ta có: AH CB.cosA suy ra

b) Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau:

+ sin2 2sin cos

sin

2

*) Thật vậy xét tam giác vuông ABC A, 900, gọi M là trung điểm của

BC, dựng đường cao AH Đặt ACB AMB 2

2 sin 2 sin

2

AMH

AM a a

Từ đó ta suy ra: sin 2 2sin cos

*) Xét tam giác ABC Dựng đường cao BE ta có:

h

b

C B

A

E A

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

ABC

Mặt khác trong tam giác vuông AEB

ta có: sinA BE BE c.sinA

thay vào (1)

Ta có: 1

sin 2

Trở lại bài toán:

ABD

A

2

ACD

A

Suy ra S ABC S ACD S ABD

1

sin

A

2

ABC

2 cos

2

sin 2

A bc

A

Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau:

cos2 2 cos 1 1 2 sin

Thật vậy xét tam giác vuông ABC A, 900, gọi M là trung điểm của

BC, dựng đường cao AH Đặt ACB AMB 2

2 1

B

A

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Ta có : cos cosC AC b

BC a

BC a,

cos 2 cos

AMH

AM MB

2

2

2 2

đó suy ra cos2 2 cos2 1 1 2 sin2

2

A

thức đường phân giác ta có:

2

2 cos

4 2

bc AD

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

2p a b c

Áp dụng công thức: a2 b2 c2 2 cosbc A Ta cũng chứng minh được

hệ thức rất quan trọng trong hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là:

‘’Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC khi đó ta có:

c

a

b

B

A

A

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

+ Thật vậy :Ta giả kẻ AH BC

không mất tính tổng quát,

ta giả sử D nằm trong đoạn

HC Khi đó ta có:

với DC đẳng thức (2) với BD rồi cộng lại theo vế ta có:

Ví dụ 3 Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng

sin 75

4

Giải:

Vẽ tam giác ABC vuông tại A

với BC 2a (a là một độ dài tùy ý)

, C 150, suy ra B 750

Gọi I là trung điểm của BC, ta có

IA IB IC a Vì AIB là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác cân

.cos 30

2

a

2

a

3

a a

I

B A

Tam giác AHC vuông tại H , theo định lý Pythagore, ta có:

2

2

2

4

a

2

sin 75 sin

B

2

4

2 2 2 2 2 2 2

sin 75