TRƯỜNG PTDT NT THCS HUYÊN DUYÊN HẢI
BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNGBài 1: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao,
đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.
Bài giải sơ lược:
Kẻ AH CD ; BK CD Đặt AH = AB = x HK = x AHD = BKC (cạnh huyền- góc nhọn)
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm,
đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm Tính độ dài cạnh đáy BC.Giải: Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 15,62x2
Từ KBC HAC BCKB
hay 22
Trang 2Trong ABC có :AB2 = BH BC và AC2 = HC BC suy ra
(2)Từ (1) và (2) Ta có :
.b) ABC EBHBEBH
( 4) Từ (3) và (4) Ta có : BE CF = AB AC3. 4 3
BC Mà AB AC = BC AH nên BC BE CF =
ABACAB ACBC
Bài 5: Cho hình vuông ABCD Qua A, vẽ cát tuyến
Bất kì cắt cạnh BC, tia CD lần lượt tại E và F.Chứng minh : 12 12 1 2
AE AF AD .
Giải: Dựng điểm H thuộc tia CD sao cho BE = HD.
Ta có : ABEADH ( c – g –c ) )AEAH .
Áp dụng hệ thức lựơng cho AHF : AF 90 ;H 0 ADHF .Ta có : 1 2 12 12
AH AF AD nên 12 12 12
AE AF AD
Bài 6: Cho hình thoi ABCD có A 1200, tia Ax tạo với Tia AB góc B Ax 15 o, cắt BC, CD lần lượt tại M, N.Chứng minh: 1 2 1 2 4 2
2 AB (2)Thay (2) và (1) Ta có : 2 2 2
32
Trang 3TRƯỜNG PTDT NT THCS HUYÊN DUYÊN HẢI
BÀI TẬP PHẦN HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ( 2011-2012) Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB , 9 AC 6, 4, AN 3,6; AND 900, DAN 340.
Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ) a) CN b) ABN c) CAN d) AD.
Bài 2 : Trong hình vẽ sau biết QPT 180, PTQ 1500, QT , 8 TR 5Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR.
Hướng dẫn : Từ T và R hạ các đường vuông góc với PQ.
Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm Trên cạnh BD lấy điểm C sao
cho BC = 3 cm Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.a) Tính AD b) Tính các góc BAD, BAC
c) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.d) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
Hướng dẫn câu c: Hạ CI AD Chứng minh : AB = CI.
Bài 4: Cho ABC có góc A = 200 ; Bˆ= 300 ; AB = 60cm Đường cao kẻ từ C đến AB cắt ABtại P ( hình vẽ) Hãy tìm
a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ?
Bài 5: Cho ABC có 0
A60 Kẻ BH AC và CK AB.a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M Chứng minh MKH là tam giác đều
Hướng dẫn :
Câu a : Từ KH = BC.CosA KHBCAHAB
Hướng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải bài 5.
Câu b: Sử dụng tính chất 2 diện tích miền đa giác hình học 8.
Câu c : Rất khó: Hạ AH, FK vuông góc với BE.Tính SABFE = SABE + SBFE Suy ra sin AOB·
Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( µB= 900 ) Lấy điểm M trên cạnh AC Kẻ AH BM, CK BM.
a) Chứng minh : CK=BH.tgBAC· b) Chứng minh : MC BH.tg BAC2·
MA= BK
Hướng dẫn :
Câu a : Tương tự cách giải bài 5 Câu b: Tiếp tục vận dụng câu a lần 2.
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD Kẻ CH AD
và CK AB.
Giáo viên : Lý Ngọc Trường 3 Tổ : Tự nhiên
Trang 4Bài giải
a) CN AC2 AN2 6, 42 3,62 5, 2915.b) sin 3,6 0, 4
ABN ABN 23 34'41''0 .
c) cos 3,6 0,56256, 4
PT cm
Giáo viên : Lý Ngọc Trường 4 Tổ : Tự nhiên
Trang 5.sin 10,3825.sin18 3, 2084
RH PRP Xét PTQ, ta có P18 ,0 Q 120: 0
.12,7276.3, 2084 20, 4176
Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm Trên cạnh BD lấy điểm C sao
cho BC = 3 cm Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.a) Tính AD b) Tính các góc BAD, BAC
c) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.d) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
Giải :a) Áp dụng định lí Pitago Ta có :
(**)
Từ (*) và (**) Ta có : BAC IAC hay AC là tia phân giác của BAD
d) Mặt khác : BAC ( cặp góc soletrong)Enên E IAC hay ADE cân tại D.
Bài 4: Cho ABC có góc A = 200 ; Bˆ= 300 ; AB = 60cm Đường cao kẻ từ C đến AB cắt ABtại P ( hình vẽ) Hãy tìm
a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ?
Hướng Dẫn
Giáo viên : Lý Ngọc Trường 5 Tổ : Tự nhiên
Trang 6Ha) Kẻ AH BC ; AHB tại H
AH = AB SinB = 60.Sin300 = 60.
= 30
AHC ( Hˆ = 1v) AH = AC Cos400
AC = 0
= 0,766030 = 39,164
APC có ( Pˆ= 1v)AP = AC.Cos 200
= 39,164 0,9397 = 36,802
PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198b) APC ( Pˆ= 1v)
CP = AC Sin200 = 39,164 0,342 = 13, 394
Bài 5: Cho ABC có 0
A60 Kẻ BH AC và CK AB.a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M Chứng minh MKH là tam giác đều
Giải : a) AHB AKC ( g-g)
và A chungSuy ra : AHK ABC
Mặt khác : AHHKHKAHBCABBCAB
Hay HK = cosA.BC
b) os600 12
Trang 72AB AC FC 2 = 20,16 (cm2)c) Hạ AH BE; FK BE.
Ta có : SABFE = SABE + SBFE
= 1 F sinAOB 2AO SinAOB BE O BE
1sinAOB OF 1sin AF
mà + BE = 52 ( Định lí Pitago) (2) + ABC FEC ( g - g)
(3)Từ (1), (2) và (3) Ta có :
MA= BK
Giải: a) Ta có : AHB BKC ( g - g)Vì K H 900; BCK ABH ( cùng phụ với CBK)
BKBC
AH AB BK = tgBAC
BK ( 2) Thay (2) vào (1) Ta có : MC BH.tg BAC2·
Trang 8a) Chứng minh CKH BCA.b) Chứng minh HK=AC.sin BAD· c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD· =600, AB = 4 cm và AD = 5 cm.GIẢI:
Ta có : A HCK 1800; A ABC 1800
Suy ra : ABC HCK (**)
Từ (*) và (**) Ta có : CKH BCA( c-g-c).b) HKCKHKACCKAC sinKBC
mà BAD KBC ( cặp góc đồng vị) nên HK ACsinBAD
Bài 9: Cho hai hình chữ nhật có 2 kích thước 3 và 5; 4 và 6 được đặt sao cho các cạnh hình chữ
nhật song song với nhau.Tính diện tích tứ giác?
Giáo viên : Lý Ngọc Trường 8 Tổ : Tự nhiên
Trang 9TRƯỜNG PTDT NT THCS HUYÊN DUYÊN HẢI
Giải: Ta có : SANCQ = SANQ + SCNQ = 1 2AH NQ CK NQ
mà AH = CosOAH AO ; CK C OCK COos ; + OAH OCK ( cặp góc soletrong)
Ta chứng minh số đo OAH không đổi.
Thật vậy : OAH 900 AOH 900 OCD OLC ( Tính chất góc ngoài đỉnh O)mà OLC 900 MQN
Suy ra : OAH 900 OCD 900 MQN MQN OCD ( Cố định )Vậy SANCQ = 1 os
Trang 10a) Đường cao EI b) Cạnh EF.
Giáo viên : Lý Ngọc Trường 10 Tổ : Tự nhiên
Trang 11TRƯỜNG PTDT NT THCS HUYÊN DUYÊN HẢI
b) Giải tam giác vuông ABC, biết rằng A 90 0, AB = 5, BC = 7.Giải: a) Áp dụng hệ thức lượng Ta có :
+ EI = sinD DE = sin 400.7 4,5 (cm) + EF = 4,50 5,3
Giáo viên : Lý Ngọc Trường 11 Tổ : Tự nhiên
Trang 12Vậy CosB = 0,25 B 75 3121''0'
37 45'2
AB BC
hay
2 5,164 os37 45'6
x Cx
Giáo viên : Lý Ngọc Trường 12 Tổ : Tự nhiên