Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp các chuyên đề hệ bậc nhất hai ẩn toán 9 ôn thi vào 10 Tài liệu phục vụ học sinh lớp 9 cũng như phục vụ kì thi ôn thi vào 10 cơ bản cũng như chuyên Tài liệu phân loại rõ ràng và giải chi tiết có các dạng toán và đáp án cụ thể
Chủ đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Kiến thức cần nhớ Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: ax + by = c a ' x + b ' y = c ' + Cặp số ( x0 ; y0 ) gọi nghiệm hệ phương trình nghiệm chung hai phương trình + Hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối hai đường thẳng biểu diễn nghiệm hai phương trình + Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp phương pháp cộng đại số để khử bớt ẩn, từ giải hệ Một số ví dụ Ví dụ Xác định hệ số a, b hàm số y = ax + b để: 1) Đồ thị qua hai điểm A ( 1;3) , B ( 2; ) 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ −4 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Lời giải: 1) Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình đường thẳng ta được: 3 = a + b b = − a a = ⇔ ⇔ Vậy a = 1, b = = 2a + b 4 = 2a + − a b = − a = a = Tương tự phần (1) ta có hệ: −4 = a.0 + b ⇔ b = −4 ⇔ 2) = 2a + b a = − b + b = − Vậy a = 2, b = −4 101 Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 1 x + y = a) − = −1 x y x x +1 − b) x + x + 1 y =3 2x −1 + x − y = y −1 c) 3y 2 x − − = = −1 y −1 x− y Lời giải: 1 a) Đặt u = ; v = Theo đề ta có hệ phương trình: x y v = − u u + v = 5u = u = ⇔ ⇔ ⇔ 3u − 2v = −1 3u − ( − u ) = −1 v = − u v = Từ suy ra: x = b) Đặt u = 1 = 1; y = = u v x y ;v = Theo ta có hệ phương trình: x +1 y −1 u − v = u = + v u = + v u = ⇔ ⇔ ⇔ u + 3v = −1 3 + v + 3v = −1 4v = −4 v = −1 x x = −2 x + = x = 2x + ⇔ ⇔ Từ suy ra: y = −1 y = − y y = y − 1 c) Điều kiện x ≥ , x − y > Đặt 102 a = x − ta có hệ phương trình b = x − y 2x −1 = a + b = a = x = ⇒ ⇔ ⇔ =1 2a − b = b = y = x− y Vậy hệ có nghiệm x = 1; y = x − 2y = Ví dụ Cho hệ phương trình: mx − y = ( 1) ( 2) a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn x= y Giải: a) Với m = ta có hệ phương trình: x = y + x − y = x = y + x = ⇔ ⇔ ⇔ 2 ( y + ) − y = 2 x − y = 3 y = −6 y = −2 b) Từ phương trình (1) ta có x = y + Thay x = y + vào phương trình (2) ta được: m ( y + ) − y = ⇔ ( 2m − 1) y = − 5m (3) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm Điều tương đương với: 2m − ≠ ⇔ m ≠ x = 5+ 2y = − 5m Từ ta được: y = ; 2m − ( − 5m ) Ta có: x y = Do 2m − ( 2m − 1) x, y < ⇔ − 5m < ⇔ m > (thỏa mãn điều kiện) 103 c)Ta có: x = y ⇔ − 5m = 2m − m − Từ (4) suy 2m − > ⇔ m > (4) 1 Với điều kiện m > ta có: 2 m = ( l) − m = ⇔ ( ) ⇔ − 5m = ⇔ Vậy m = − 5m = −3 m = x + my = m + Ví dụ Cho hệ phương trình: mx + y = 3m − ( 1) ( 2) a) Khơng giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Tìm số nguyên m cho hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) mà x, y số nguyên d) Chứng minh hệ có nghiệm ( x, y ) điểm M ( x, y ) chạy đường thẳng cố định e) Tìm m để hệ có nghiệm cho x y đạt giá trị nhỏ Lời giải: a) Từ phương trình (2) ta có y = 3m − − mx Thay vào phương trình (1) ta 2 được: x + m ( 3m − − mx ) = m + ⇔ ( m − 1) x = 3m − 2m − (3) Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm , tức m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 Ta lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm : 104 m ≠ ⇔ m ≠ ⇔ m ≠ ±1 m b) Từ phương trình (2) ta có y = 3m − − mx Thay vào phương trình (1) ta 2 được: x + m ( 3m − − mx ) = m + ⇔ ( m − 1) x = 3m − 2m − (3) Trường hợp 1: m ≠ ±1 Khi hệ có nghiệm 3m − 2m − ( m − 1) ( 3m + 1) 3m + = = x = m2 − ( m − 1) ( m + 1) m + 3m + m − y = 3m − − m m + = m + Trường hợp 2: m = Khi phương trình (3) thành: 0.x = Vậy hệ có vơ số nghiệm dạng ( x; − x ) , x ∈¡ Trường hợp 3: m = −1 phương trình (3) thành: 0.x = (3) vơ nghiệm, hệ vơ nghiệm c) Hệ cho có nghiệm m ≠ ±1 3m + x = m + = − m + Ta có: Vậy x, y nguyên m +1 y = m −1 = 1− m +1 m +1 nguyên Do m + −2; −1;1; Vậy m = −3; −2;0 (thỏa mãn) m = (loại) Vậy m nhận giá trị −3; −2;0 d) Khi hệ có nghiệm ( x, y ) ta có: x − y = − 2 − 1 − ÷= m +1 m +1 Vậy điểm M ( x; y ) chạy đường thẳng cố định có phương trình y = x−2 105 e) Khi hệ có nghiệm ( x; y ) theo (d) ta có: y = x − Do đó: xy = x ( x − ) = x − x + − = ( x − 1) − ≥ −1 Dấu xảy khi: x =1⇔ 3− 2 =1⇔ = ⇔ m +1 = ⇔ m = m +1 m +1 Vậy với m = x y đạt giá trị nhỏ Chú ý: Ta tìm quan hệ x − y = theo cách khác: Khi hệ phương x + my = m + trình mx + y = 3m − ( 1) ( 2) có nghiệm ( m ≠ ±1) lấy phương trình (2) trừ phương trình (1) hệ ta thu được: ( m − 1) x − ( m − 1) y = ( m − 1) ⇒ x − y = x − my = − 4m Ví dụ Cho hệ phương trình: Chứng minh với mx + y = 3m + m hệ phương trình ln có nghiệm Gọi ( x0 ; y0 ) cặp nghiệm 2 phương trình: Chứng minh: x0 + y0 − ( x0 + y0 ) + 10 = (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015) Lời giải: Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có y = 3m + − mx thay vào 2 phương trình ( 1) hệ ta có: ( m + 1) x = 3m − 3m + Do m + ≠ với m nên phương trình ln có nghiệm x0 Suy hệ ln có nghiệm với m Gọi ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ: Từ hệ phương trình ta có: x0 − = m ( y0 − ) Nhân hai vế phương trình thứ với ( − x0 ) , y0 − = m ( − x0 ) 106 phương trình thứ hai với ( y0 − ) trừ hai phương trình cho ta được: ( − x0 ) ( x0 − ) − ( y0 − ) ( y0 − 1) = ⇔ x0 + y0 − ( x0 + y0 ) + 10 = Ngồi ta giải theo cách khác sau: ( d ) : x − my + 4m − = 0, ( d ') : mx + y − 3m − = Ta dễ dàng chứng minh đường thẳng ( d ) qua điểm cố định: A ( 2; ) đường thẳng ( d ') qua điểm cố định : B ( 3;1) Mặt khác ta dễ chứng minh đường thẳng (d ) đường thẳng (d ') vng góc với nên hai đường thẳng cắt Gọi M ( x0 ; y0 ) giao điểm hai đường thẳng 5 5 tam giác M AB vng M Gọi I trung điểm AB I ; ÷ 2 2 , AB = 10 suy 2 5 5 IM = AB ⇔ IM = AB ⇔ x0 − ÷ + y0 − ÷ = 10 2 ⇔ x0 + y0 − ( x0 + y0 ) + 10 = (1) x + my = Ví dụ Cho hệ phương trình: mx + y = 2m + (2) Hệ có nghiệm ( x, y ) , tìm giá trị nhỏ biểu thức sau đây: a) P = x + y (1) b) Q = x + y (2) Lời giải: Từ phương trình (2) ta suy ra: y = 2m + − mx Thay vào phương trình (1) ta được: x + m ( 2m + − mx ) = ⇔ ( m − 1) x = 2m + m − (3) 107 Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm nhất, điều xảy khi: m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 2m + m − ( m − 1) ( 2m + 3) 2m + x = = = = 2+ m −1 m +1 ( m − 1) ( m + 1) m + Khi m + y = 2m + − m m + = m + a) Ta có: P = x + ( x − ) = x − 12 x + 12 = ( x − 3) + ≥ P = x = 2m + 3 ⇔ = ⇔ 4m + = 3m + ⇔ m = −3 m +1 Vậy giá trị nhỏ P b) Ta có: Q = x + y = x + ( x − ) đặt t = x − Khi Q = ( t + 1) + ( t − 1) = t + 4t + 6t + 4t + + t − 4t + 6t − 4t + = 2t + 12t + ≥ 4 Q = ⇔ t = ⇔ x =1⇔ 2m + = ⇔ 2m + = m + ⇔ m = −2 m +1 Vậy giá trị nhỏ Q mx + ( m + 1) y = Chứng minh hệ ln có ( m + 1) x − my = 8m + Ví dụ 7): Cho hệ phương trình: ( ) nghiệm ( x; y ) tìm GTLN biểu thức P = x + y + + y 2 Lời giải: Xét hai đường thẳng ( d1 ) : mx + ( m + 1) y − = 0; ( d ) : ( m + 1) x − my − 8m + = + Nếu m = ( d1 ) : y − = ( d ) : x − = suy ( d1 ) ln vng góc với ( d ) 108 ( d1 ) : x + = + Nếu m = −1 ( d ) : y + 11 = suy ( d1 ) vuông góc với ( d ) + Nếu m ≠ { 0;1} đường thẳng ( d1 ) , ( d ) có hệ số góc là: m m +1 , a2 = suy a1.a2 = −1 ( d1 ) ⊥ ( d ) m +1 m Tóm lại với m hai đường thẳng ( d1 ) ln vng góc với ( d ) Nên a1 = − hai đường thẳng ln vng góc với Xét hai đường thẳng ( d1 ) : mx + ( m + 1) y − = 0; ( d ) : ( m + 1) x − my − 8m + = ln vng góc với nên cắt nhau, suy hệ có nghiệm Gọi giao điểm I ( x; y ) , đường thẳng ( d1 ) qua A ( −1;1) cố định, đường thẳng ( d ) qua B ( 3; −5 ) cố định suy I thuộc đường tròn đường kính AB Gọi M ( 1; −2 ) trung điểm AB MI = AB 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = 13 (*) ( ) P = ( x − 1) + ( y + ) + x + y − = + x + y = 2 + x − + ( y + ) + − hay P = 10 − + x − + ( y + ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: x − + ( y + ) ≤ ( + 3) ( x − 1) + ( y + ) = 52 ⇒ x − + ( y + ) ≤ 52 = 13 Vậy P ≤ 10 − + 13 109 ... my = m + Ví dụ Cho hệ phương trình: mx + y = 3m − ( 1) ( 2) a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? b) Giải biện luận hệ phương trình theo... Suy hệ ln có nghiệm với m Gọi ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ: Từ hệ phương trình ta có: x0 − = m ( y0 − ) Nhân hai vế phương trình thứ với ( − x0 ) , y0 − = m ( − x0 ) 106 phương trình thứ hai. .. > Đặt 102 a = x − ta có hệ phương trình b = x − y 2x −1 = a + b = a = x = ⇒ ⇔ ⇔ =1 2a − b = b = y = x− y Vậy hệ có nghiệm x = 1; y = x − 2y = Ví dụ Cho hệ phương