Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Chủ đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Kiến thức cần nhớ Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: �ax by c � �a ' x b ' y c ' + Cặp số x0 ; y0 gọi nghiệm hệ phương trình nghiệm chung hai phương trình + Hệ có nghiệm nhất, vơ nghiệm vơ số nghiệm tùy theo vị trí tương đối hai đường thẳng biểu diễn nghiệm hai phương trình + Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp phương pháp cộng đại số để khử bớt ẩn, từ giải hệ Một số ví dụ Ví dụ Xác định hệ số a, b hàm số y ax b để: 1) Đồ thị qua hai điểm A 1;3 , B 2; 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ 4 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Lời giải: 1) Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình đường thẳng ta được: 3 ab b 3a a 1 � � � �� �� Vậy a 1, b � 2a a b 3 a �4 2a b � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2) Tương tự phần (1) ta có hệ: b 4 a2 �4 a.0 b � � �� �� � 2a b b 4 � �2a b � Vậy a 2, b 4 Ví dụ Giải hệ phương trình sau: �1 �x y � a) � �3 1 � �x y b) �x �x � � �x � �x 1 � y 3 � 2x 1 x y y 1 � c) � 3y � 2x 1 1 1 � y 1 x y � Lời giải: 1 a) Đặt u ; v Theo đề ta có hệ phương trình: x y v 3u � uv 3 5u u 1 � � � �� �� �� � 3u u 1 � 3u 2v 1 � v 3u v2 � � Từ suy ra: x b) Đặt u 1; u y 1 v x y ;v Theo ta có hệ phương trình: x 1 y 1 uv 3 u 3v u 3 v u2 � � � � �� �� �� � u 3v 1 � v 3v 1 � 4v 4 v 1 � � �x 2 �x 2 � �x x �x � �� �� Từ suy ra: � y � y 1 �y y � � � �y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word �a x 1 � c) Điều kiện x � , x y Đặt � ta có hệ phương b � x y � trình � 2x 1 ab a 1 � � � �x �� �� �� � 2a b � b 1 � �y � x y 1 � Vậy hệ có nghiệm x 1; y �x y Ví dụ Cho hệ phương trình: � �mx y 1 2 a) Giải hệ phương trình với m b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x, y x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa mãn x y Giải: a) Với m ta có hệ phương trình: �x y �x y �x y �x �� �� �� � y 5 y 2x y y 6 � � � �y 2 b) Từ phương trình (1) ta có x y Thay x y vào phương trình (2) ta được: m y y � 2m 1 y 5m (3) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Hệ có nghiệm (3) có nghiệm Điều tương đương với: 2m �۹ được: y 5m ; 2m x 2y Do x, y � 5m � m c)Ta có: x y � 5m 2m 2m Từ (4) suy 2m � m m Từ ta 5m Ta có: x y 2m 2m 1 (thỏa mãn điều kiện) (4) 1 Với điều kiện m ta có: 2 � m l � 5m � �� � 5m � � Vậy m 5m 3 � � m � � �x my m Ví dụ Cho hệ phương trình: � mx y 3m � 1 2 a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Tìm số nguyên m cho hệ phương trình có nghiệm x, y mà x, y số nguyên d) Chứng minh hệ có nghiệm x, y điểm M x, y ln chạy đường thẳng cố định e) Tìm m để hệ có nghiệm cho x y đạt giá trị nhỏ Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Từ phương trình (2) ta có y 3m mx Thay vào phương 2 trình (1) ta được: x m 3m mx m � m 1 x 3m 2m (3) Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm , tức m �۹� m Ta lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm : m �۹۹� m2 m 1 m b) Từ phương trình (2) ta có y 3m mx Thay vào phương 2 trình (1) ta được: x m 3m mx m � m 1 x 3m 2m (3) Trường hợp 1: m ��1 Khi hệ có nghiệm � 3m 2m m 1 3m 1 3m �x m2 � m 1 m 1 m � 3m m � y 3m m � m 1 m 1 � Trường hợp 2: m Khi phương trình (3) thành: 0.x Vậy hệ có vơ số nghiệm dạng x; x , x �� Trường hợp 3: m 1 phương trình (3) thành: 0.x (3) vơ nghiệm, hệ vơ nghiệm c) Hệ cho có nghiệm m ��1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � 3m x � � m 1 m 1 Ta có: � Vậy x, y nguyên m �y 1 � m 1 m 1 nguyên Do m 2; 1;1; Vậy m 1 m 3; 2;0 (thỏa mãn) m (loại) Vậy m nhận giá trị 3; 2;0 d) Khi hệ có nghiệm x, y ta có: x y 3 � � � 1 � m 1 � m 1 � Vậy điểm M x; y ln chạy đường thẳng cố định có phương trình y x e) Khi hệ có nghiệm x; y theo (d) ta có: y x Do đó: xy x x x x x 1 �1 Dấu xảy khi: x 1� 3 2 1� � m 1 � m m 1 m 1 Vậy với m x y đạt giá trị nhỏ Chú ý: Ta tìm quan hệ x y theo cách khác: �x my m Khi hệ phương trình � mx y 3m � m ��1 1 2 có nghiệm lấy phương trình (2) trừ phương trình (1) hệ ta thu được: m 1 x m 1 y m 1 � x y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word �x my 4m Ví dụ Cho hệ phương trình: � Chứng minh mx y 3m � với m hệ phương trình ln có nghiệm Gọi x0 ; y0 cặp nghiệm phương trình: Chứng minh: x0 y0 x0 y0 10 (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015) Lời giải: Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có y 3m mx 2 thay vào phương trình 1 hệ ta có: m 1 x 3m 3m Do m �0 với m nên phương trình ln có nghiệm x0 Suy hệ ln có nghiệm với m Gọi x0 ; y0 nghiệm hệ: Từ hệ phương trình ta có: � �x0 m y0 Nhân hai vế phương trình thứ với � �y0 m x0 x0 , phương trình thứ hai với y0 trừ hai phương trình cho ta được: x0 x0 y0 y0 1 � x0 y0 x0 y0 10 Ngồi ta giải theo cách khác sau: d : x my 4m 0, d ' : mx y 3m Ta dễ dàng chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định: A 2; đường thẳng d ' qua điểm cố định : B 3;1 Mặt khác ta dễ chứng minh đường thẳng (d ) đường thẳng (d ') vuông góc với nên hai đường thẳng ln cắt Gọi M x0 ; y0 giao điểm hai đường thẳng tam giác M AB vuông M Gọi I trung điểm AB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word �5 � I � ; �, AB 10 suy �2 � 2 � � � � �� 2 IM AB � IM AB � � �x0 � �y0 �� 10 � � � �� � � x0 y0 x0 y0 10 (1) �x my Ví dụ Cho hệ phương trình: � mx y 2m (2) � Hệ có nghiệm x, y , tìm giá trị nhỏ biểu thức sau đây: a) P x y (1) b) Q x y (2) Lời giải: Từ phương trình (2) ta suy ra: y 2m mx Thay vào phương trình (1) ta được: x m 2m mx � m 1 x 2m2 m (3) Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm nhất, điều xảy khi: m �۹� m � 2m m m 1 2m 3 2m 2 �x m 1 m 1 � m 1 m 1 m Khi � 2m � y 2m m � m 1 m 1 � a) Ta có: P x x x 12 x 12 x 3 �3 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word P x 2m 3 � � 4m 3m � m 3 m 1 Vậy giá trị nhỏ P b) Ta có: Q x y x x đặt t x Khi Q t 1 t 1 t 4t 6t 4t t 4t 6t 4t 2t 12t �2 4 Q � t � x 1� 2m � 2m m � m 2 m 1 Vậy giá trị nhỏ Q � mx m 1 y � Ví dụ 7): Cho hệ phương trình: � Chứng m 1 x my 8m � minh hệ ln có nghiệm x; y tìm GTLN 2 biểu thức P x y y Lời giải: Xét hai đường thẳng d1 : mx m 1 y 0; d : m 1 x my 8m + Nếu m d1 : y d : x suy d1 ln vng góc với d + Nếu m 1 ln vng góc với d1 : x d2 d : y 11 suy d1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word + Nếu m � 0;1 đường thẳng d1 , d có hệ số góc là: a1 m m 1 , a2 suy a1.a2 1 d1 d m 1 m Tóm lại với m hai đường thẳng d1 ln vng góc với d Nên hai đường thẳng ln vng góc với Xét hai đường thẳng d1 : mx m 1 y 0; d2 : m 1 x my 8m ln vng góc với nên cắt nhau, suy hệ có nghiệm Gọi giao điểm I x; y , đường thẳng d1 qua A 1;1 cố định, đường thẳng d qua B 3; 5 cố định suy I thuộc đường tròn đường kính AB Gọi M 1; 2 trung điểm AB MI AB 2 � x 1 y 13 (*) P x 1 y x y x y 2 hay 82� x 1 y � � � Áp dụng bất đẳng thức P 10 � x 1 y 2 � � � Bunhiacopxki ta có: 2 � � x 1 y 2 � 52 � x y � x 1 y � � �� � � 52 13 Vậy P �10 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... 3u 2v 1 � v 3 u v2 � � Từ suy ra: x b) Đặt u 1; u y 1 v x y ;v Theo ta có hệ phương trình: x 1 y 1 uv 3 u 3 v u 3 v u2 � � � � �� �� �� � u 3v 1 � v 3v... ta có y 3m mx Thay vào phương 2 trình (1) ta được: x m 3m mx m � m 1 x 3m 2m (3) Trường hợp 1: m ��1 Khi hệ có nghiệm � 3m 2m m 1 3m 1 3m �x... m 5m 3 � � m � � �x my m Ví dụ Cho hệ phương trình: � mx y 3m � 1 2 a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? b) Giải