Sau bao năm chinh chiến tôi cũng đã thu lượm được một vài bí kíp về các môn học trong rất nhiều hoàn cảnh khác nhau , nghe có vẻ giống phim trung quốc , mỗi lần rơi xuống vực lại có một bí kíp võ công mới xuất hiện. Nhưng phải nói rằng người may mắn cũng phải có một tố chất nào đó nhất định, yếu tố đọc hiểu được đặt lên đầu tiên và yếu tố còn lại là hoàn cảnh và sự thấm nhuần khi chúng ta không còn việc nào khác để làm . Tôi thấy tài liệu này khá thú vị và phù hợp cho giáo viên cũng như học sinh, hi vọng còn có thể cung cấp hơn nữa cho các bạn.
CHỦ ĐỀ CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN f ( x ) VÀ f ′( x ) MỤC LỤC CHỦ ĐỀ I: BIẾT ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ DẠNG I.1: ĐƠN ĐIỆU Mức 1: đơn điệu Câu f ( x) f '( x) f '( x) Cho hàm số có đạo hàm xác định, liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? ( 1; +∞ ) ( −∞; −1) ( 3; +∞ ) B Hàm số đồng biến ( −∞; −1) C Hàm số nghịch biến ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) D Hàm số đồng biến A Hàm số đồng biến Chọn B Trên khoảng Câu ( 3; +∞ ) đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm phía trục hồnh f ( x) f ′( x) hàm số có đạo hàm xác định, liên tục ¡ y Cho thị f '( x) có đồ hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A B ( −∞; −1) Lời giải x O f ( x) ( −∞;1) f ( x) ( −∞;1) ( 1; +∞ ) đồng biến f ( x) ( 1; +∞ ) đồng biến f ( x) đồng biến ¡ Hàm số Hàm số C Hàm số D Lời Hàm số đồng biến giải ( 1; +∞ ) đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm phía trục hoành y = f ( x) f ( x) Cho hàm số liên tục xác định ¡ Biết có đạo hàm f '( x) y = f '( x ) hàm số có đồ thị hình vẽ, khẳng định sau Chọn C Trên khoảng Câu đúng? A Hàm số B Hàm số C Hàm số D Hàm số f ( x) f ( x) f ( x) đồng biến ¡ nghịch biến ¡ ( 0;1) f ( x) ( 0; +∞ ) đồng biến khoảng nghịch biến khoảng Lời giải ( 0;1) đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía trục hồnh nên hàm số f ( x ) ( 0;1) nghịch biến khoảng f ( x) f '( x) Cho hàm số xác định ¡ có đồ thị hàm số đường cong hình bên Mệnh đề Chọn C Trong khoảng Câu đúng? A Hàm số C Hàm số f ( x) ( −1;1) f ( x) ( −2;1) đồng biến khoảng nghịch biến khoảng B Hàm số D Hàm số Lời giải f ( x) ( 1; ) f ( x) ( 0; ) nghịch biến khoảng đồng biến khoảng Chọn D Cách 1: sử dụng bảng biến thiên Từ đồ thị hàm số Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số y = f '( x ) ta có bảng biến thiên sau: y = f '( x) f '( x) f ( x) Nếu khoảng K đồ thị hàm số nằm trục hồnh (có thể tiếp xúc) đồng biến K f '( x) f ( x) Nếu khoảng K đồ thị hàm số nằm trục hồnh (có thể tiếp xúc) nghịch biến K Nếu khoảng K đồ thị hàm số hoành loại phương án Trên khoảng Câu Cho hàm số y = f ( x) A Hàm số C Hàm số y= ( −∞; −2 ) ; ( 0; +∞ ) B Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( −2;0 ) f ( x) ( −3; +∞ ) D Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; ) đồng biến khoảng đồng biến khoảng ( −3; +∞ ) Lời giải ta thấy đồ thị hàm số f ′( x) nằm trục hoành f ( x) f ′( x) Cho hàm số xác định ¡ có đồ thị hàm số hình vẽ Mệnh đề sau đúng? A Hàm số B Hàm số C Hàm số D Hàm số y = f ( x) ( −4; ) y = f ( x) ( −∞; −1) đồng biến khoảng y = f ( x) ( 0; ) đồng biến khoảng y = f ( x) ( −∞; −4 ) nghịch biến khoảng Chọn B Trong khoảng ( −∞; −1) Câu vừa có phần nằm trục hồnh vừa có phần nằm trục ( 0; ) ta thấy đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm bên trục hoành f ( x) f ′( x) xác định ¡ có đồ thị hàm số hình vẽ Mệnh đề sau đúng? Chọn C Trên khoảng Câu f '( x) Cho hàm số số y = f '( x) đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( 2; +∞ ) Lời giải đồ thị hàm số f ′( x) f ( x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ( a ¹ 0) nằm trục hoành nên hàm số đồng biến Biết hàm số f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Khi nhận xét sau sai? có đạo hàm f '( x) hàm y x -2 -1 O ( - 2;1) hàm số f ( x) ln tăng f ( x) ( 1;+¥ ) C Hàm đồng biến khoảng A Trên B Hàm D Hàm Lời giải f ( x) f ( x) giảm đoạn [- 1;1] nghịch biến khoảng ( - ¥ ;- 2) [- 1;1] đồ thị hàm số f '( x) nằm phía trục hồnh y = f ( x) f ( x) Cho hàm số liên tục xác định ¡ Biết có đạo hàm f '( x) y = f '( x ) Chọn C Trên khoảng Câu hàm số đúng? A Hàm số B Hàm số C Hàm số D Hàm số f ( x) f ( x) f ( x) có đồ thị hình vẽ, khẳng định sau đồng biến ¡ nghịch biến ¡ ( −∞; ) f ( x) ( 0; +∞ ) nghịch biến khoảng nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) đồ thị hàm số ( 0; +∞ ) nghịch biến khoảng Chọn D Trong khoảng Câu Cho hàm số đạo hàm y = f ( x) f '( x ) Lời giải y = f '( x) nằm phía trục hoành nên hàm số f ( x) f ( x) liên tục xác định ¡ Biết có hàm số y = f '( x ) có đồ thị hình vẽ Xét ( - π ; π ) , khẳng định sau đúng? f ( x) ( - π; π ) A Hàm số đồng biến khoảng f ( x) ( - π; π ) B Hàm số nghịch biến khoảng ỉ - πư ỉ π ÷ ç ç - π; ; π÷ ÷ ÷ ç ç ữ ỗ ữ ỗ f ( x) ố ứ ố ø 2 C Hàm số nghịch biến khoảng f ( x) ( 0;π ) D Hàm số đồng biến khoảng ( 0;π ) ( 0;π ) biến khoảng Chọn D Trong khoảng Câu 10 Cho hàm số y = f ( x) Lời giải đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = f '( x ) y = f ¢( x) nằm phía trục hồnh nên hàm số hình bên Khẳng định sau sai? f ( x) đồng A Hàm số C Hàm số ( - ¥ ;- 2) f ( x) đồng biến ( - 2;1) f ( x) nghịch biến đoạn có độ dài B Hàm số f ( x) D Hàm số ( 1;+¥ ) đồng biến f ( x) nghịch biến Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) ta thấy: é- < x < ắắ đ ờx > f '( x) > f ( x) ( - 2;1) , ( 1;+¥ ) Suy A đúng, B ë ● đồng biến khoảng f '( x) < ® f ( x) nghịch biến khoảng ( - ¥ ;- 2) Suy D ● x 1 B1: Xét dấu : ta có −2 < x < ⇔ x < −1 ∪ x > ⇔ x ∈ ( −2; −1) ∪ ( 1; ) ngược lại tức khoảng lại f ′ ( u ) < B2 : xét dấu x (trong trái cùng) f ′( u) x Câu 16 B3 : lập bảng xét dấu nhân dấu ta bảng g( x) = f ( x2 ) y = f ( x) y = f ¢( x) Cho hàm số Đồ thị hàm số hình bên Hỏi hàm số đồng biến khoảng khoảng sau? A ( - ¥ ;- 1) Chọn C Ta có B ( - 1;+¥ ) g¢( x) = 2xf ¢( x2 ) ( - 1;0) C Lời giải D ( 0;1) éïì x > éïì x > êï êïí êíï f ¢ x2 > êï - 1< x2 < Ú x2 > êïỵ ( ) theo thi f '( x) ờùợ gÂ( x) > ơắ ắ ắ ắđ ờỡù x < êïìï x < êï éx > ờớ ờớù  ờùùợ x 1ắắ ắ ắ(ắ đ f Â( x2 ) > ( 2) x ẻ ( 1;+Ơ ) đ x2 > Với ( 1) ( 2) , suy g¢( x) = 2xf ( x2 ) > trờn khong ( 1;+Ơ ) nờn gÂ( x) mang dấu + Từ g¢( x) Nhận thấy nghiệm nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu Câu 17 Cho hàm số Hàm số A y = f ( x) Hàm số y = f ′( x) có đồ thị hình vẽ ( ) có khoảng nghịch biến y = f x2 B C Lời giải D ′ y′ = f ( x ) = x f ( x ) Chọn B Ta có x > x > ′ f x < ( ) x < −1 ∨ < x < ′ theo dt f '( x ) ⇔ y x < −2 ∨ −1 < x < ( ) Hàm số nghịch biến Vậy hàm số ( ) y = f x2 có khoảng nghịch biến éx = ê êx2 = - éx = theo thi f '( x) gÂ( x) = ơắ ắ ắ ắđ ờ2 ờf  x2 = ( ) êx = ê ë ê2 ê ëx = Cách Ta có Bảng biến thiên éx = ê êx = ±1 ê êx = ±2 ë Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với cỏc ỏp ỏn, ta chn B gÂ( x) ( 2;+Ơ ) Chú ý: Dấu xác định sau: Vớ d xột trờn khong x ẻ ( 2;+Ơ ) ® x > ( 1) theo thi f ' x) x2 > ắắ ắ ắ(ắ đ f Â( x2 ) > x ẻ ( 2;+Ơ ) ® x2 > ( 2) Với Từ ( 1) ( 2) , suy g¢( x) = 2xf ( x2 ) > Nhận thấy nghiệm Câu 18 Cho hàm số g¢( x) trờn khong ( 2;+Ơ ) nờn gÂ( x) mang du + nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu y = f ( x ) = ax + bx3 + cx + dx + e g ( x ) = f ( x − 2) , đồ thị hình bên đồ thị hàm số y = f ′( x) Xét hàm số ( −∞; −2 ) g ( x) ( −1; ) C Hàm số nghịch biến khoảng A Hàm số g ( x) Mệnh đề sai? nghịch biến khoảng ( 2; +∞ ) g ( x) ( 0; ) D Hàm số nghịch biến khoảng B Hàm số g ( x) đồng biến khoảng Lời giải Chọn C x = x = x = g '( x) = ⇔ ⇔ x − = −1 ⇔ x = ±1 f ' x − = ) ( x2 − = x = ±2 g '( x ) = x f ' ( x − ) Ta có: ; f ′( x − 2) > ⇔ x − > ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) Từ đồ thị y = f ′( x ) suy ngược lại Câu 19 Cho hàm số Hỏi hàm số A y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình bên g( x) = f ( x2 - 5) có khoảng nghịch biến? B C Lời giải D éx = ê êx2 - = - éx = theo thi f ' x ( ) ê g¢( x) = Û ê ơắ ắ ắ ắđ ờ2 ờf  x2 - = ( ) êx - = - ê ë ê2 g¢( x) = 2xf ¢( x2 - 5) ; ê ëx - = Chọn C Ta có éx = ê êx = ±1 ê êx = ±2 ê ê ê ëx = ± Bảng biến thiên Câu 20 Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn C g( x) = f ( 1- x2 ) y = f ( x) y = f ¢( x) Cho hàm số Đồ thị hàm số hình bên Hỏi hàm số nghịch biến g ( x ) = f ( x ) − 2017 = ( m 2018 + 1) x + ( −2 m 2018 − 22018 m2 − ) x + ( m2018 + 1) Cách 1: Xét hàm số Đặt t=x ( t ≥ 0) ta có h( t) = ( m h( t) = Nhận thấy phương trình 2018 + 1) t + ( −2m có g ( x) = y = g ( x ) = f ( x ) − 2017 g ( x ) = f ( x ) − 2017 = ( m Cách 2: Xét hàm số −2 2018 m − 3) t + ( m 2018 + 1) ∆ = ( 22018 m + 1) ( 4m 2018 + 22018 m2 + ) > S > 0; P > nghiệm dương phân biệt Do đó, phương trình Từ suy hàm số 2018 nên ln có hai có nghiệm phân biệt có điểm cực trị 2018 ìï a = m +1 > ïí ïï b =- 2m 2018 - 22018 m2 - < ỵ + 1) x + ( −2 m 2018 − 22018 m2 − ) x + ( m2018 + 1) 2018 Nhận xét rằng, Ta có g ′ ( x ) = 4ax + 2bx g ( x) , với m nên hàm số có điểm cực trị Suy x = ⇒ g ( ) = a > 0, ∀m g ′ ( x ) = ⇔ 2m 2018 + 22018 m2 + ( 2a − b ) ( 2a + b ) < 0, ∀m b b2 x = = − ⇒ g x = − + a = ( ) 2a 4a 4a ( m 2018 + 1) 2018 + 2018 m2 + > 2a + b = −22018 m − < ) (vì 2a − b = 4m y = f ( x ) − 2017 Từ suy hàm số Mức Câu 184 Cho hàm số để hàm số có điểm cực trị f ( x ) = x3 − ( 2m − 1) x + ( − m ) x + g ( x) = f ( x ) −2 < m < A với m tham số thực Tìm tất giá trị m có điểm cực trị B − ïï ïï 2- m > f Â( x) = ùùợ cú hai nghiệm dương phân biệt Câu 185 Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có đồ thị nhận hai điểm làm hai điểm cực trị Khi số điểm cực trị đồ thị hàm số g ( x ) = ax x + bx + c x + d A Chọn B Ta có B C Lời giải Hàm số g( x) = ax2 x + bx2 + c x + d = f ( x ) điểm cực trị điểm cực trị dng ắắ đ hm s A ( 0;3 ) v B ( 2; − 1) D 11 f ( x) f ( x) có hai điểm cực trị có có điểm cực trị ( 1) Đồ thị hàm số đồ thị hàm số Từ ( 1) f ( x) cắt trục hoành f ( x) có điểm cực trị f ( x) ( 2) cắt trục hoành điểm ( điểm có hồnh độ âm, suy đồ thị hàm số Cách Vẽ phát họa đồ thị f ( x) điểm cực trị A ( 0;3) Ỵ Oy điểm phân biệt suy đồ thị B 1 −∞; ÷ 4 điểm có hồnh độ dương) , tiếp tục suy đồ thị C 1 ∪ ( 1; +∞ ) 0; ÷ Vậy phương trình y = x − ( 2m + 1) x + 3mx − x − ( 2m + 1) x + 3m = Câu 187 Cho hàm số bậc ba f ( x ) = x + mx + nx − số điểm cực trị đồ thị hàm số A với D ( −∞;0] ìï f ( 0) = - ïï ï f ( 1) = m+ n > í ïï ïï f ( 2) = 7+ 4m+ 2n < ỵ có ba điểm cực trị? ( 1; +∞ ) Δ ′ = m − 5m + > 0≤m< ⇒ ( 2m + 1) > 0; P = m ≥ m > S = , biết m+n > f ( x) có điểm cực trị + ( 2m + n ) < C D 11 Lời giải v cho lim f ( x) = +Ơ ị $p > f ( p) > xđ+Ơ cú ba nghiệm phân biệt Từ suy hàm số và c1 Ỵ ( 0;1) , c2 Ỵ ( 1;2) c3 Ỵ ( 2; p) Suy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị f ( x) x1 Ỵ ( c1;c2 ) x2 Ỵ ( c2 ;c3 ) Từ suy đồ thị hàm số có dạng hình bên f ( x) ( 1) ( 2) , f ( x) = có ba điểm cực trị có hai điểm cực trị không âm m, n ∈ ¡ g ( x) = f ( x ) B Chọn D Cách 1: Ta có Suy khi: đồ thị y = x − ( 2m + 1) x + 3m x ắắ đ f ( x) y = x − ( 2m + 1) x + 3m x − Lời giải Chọn B (Học sinh tự vẽ hình tưởng tượng) Hàm số hàm số nên IV điểm cực trị Chọn B f ( x) Câu 186 Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số A thuộc góc phần tư thứ ( 2) có g( x) = f ( x ) B ( 2;- 1) ắắ đ hm số f ( x) có 11 ( 1) ( 2) điểm cực trị Khi Cách 2: ta có Vì m + n > 0 f ( 1) > ⇔ f ( ) < + ( 2m + n ) < f ( 1) > > f ( ) điểm cực trị Ta có f ( ) = −1 cho f ( p) > c3 ∈ ( 2; p ) , nên hàm số đồng biến f ( x) f ( 1) = m + n > Suy phương trình , f ( x) = số dương, hai giá trị cực trị trái dấu Do f ( x) có hai điểm cực trị f ( x) , x1 x2 có hai giá trị cực trị trái dấu phân biệt nên đồ thị hàm số có f ( x) Vậy hàm số f ( ) = + 4m + 2n < x1 ∈ ( c1 ; c2 ) f ( x) , c2 ∈ ( 1; ) , dễ thấy x1 , x2 nên phương trình f ( x) f ( x) =0 điểm cực trị f ( x) số điểm cực trị f ( x) • Số điểm cực trị dương • Số giao điểm • Bây giả sử ta tìm kiện ta suy Đồ thị hàm số có điểm cực trị • Đồ thị hàm số • Đồ thị hàm số p (với m > f ( x2 ) f ( ) = −1 f ( x) lim f ( x ) = +∞ ⇒ ∃p > có ba nghiệm phân biệt Do đồ thị hàm số có hai điểm cực trị Đồ thị hàm số R điểm cực trị q điểm có hồnh độ dương Ngồi vấn đề tìm số điểm cực trị, tốn có nhiều hướng để đề khác ví dụ hỏi số giao điểm với trục hồnh, tính đồng biến nghịch biến hàm số Câu 188 Cho số thực thoả mãn Đặt Số điểm cực trị a, b, c hàm số A f ( x) lớn có f ( x ) = x3 + ax + bx + c a + b + c < −1 4a − 2b + c > bc < B C D 11 Lời giải Chọn C Từ giả thiết toán ta có phương trình x1 < x2 ) Khi f ( 1) < f ( −2 ) > f ( x) = b < c > b > c < Câu 189 Cho hàm số ta có b x1 x2 = < ta có f ( x) x1 x2 > f ( x ) = x3 + ax + bx − B 11 Chọn A Hàm số Ta có , lim f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = +∞ x →−∞ x →+∞ có hai điểm cực trị f ( x) nên x1 < < x2 y = f ( x) , x1 x2 ( lim f ( x ) = +∞ x →+∞ Do đó, phương trình f ( 0) = c < thỏa mãn nên hàm số có hai điểm cực trị dương ba giao điểm f ( x) a + b > 3 + 2a + b < C có 11 điểm cực trị Số điểm cực trị hàm số D Lời giải (là hàm số bậc ba) liên tục ¡ y= f ( x) Vậy hàm số có nghiệm dương phân biệt hàm số chẵn Do đó, hàm số y= f ( x) Câu 190 Cho hàm số bậc ba ∃x0 > 2; f ( x0 ) > y= f ( x) , f ( x) = f ( x) = có hai nghiệm có điểm cực trị , nên nên f ( 0) = c > f ( ) = −2 < f ( 1) = − a + b − > f ( ) = 2a + b + < Hàm số ta suy hai giá cực trị trái dấu với trục hồnh có hồnh độ dương Khi đồ thị hàm số A có ba nghiệm phân biệt, suy hàm số dương Do đồ thị hàm số Khi , y= f ( x) ¡ có điểm cực trị có 11 điểm cực trị f ( x ) = ax + bx + cx + d đạt cực trị điểm x1 , x2 thỏa mãn x1 ∈ ( 0; 1) , x2 ∈ ( 1; ) Biết hàm số đồng biến khoảng ( x1 , x2 ) âm Khẳng định sau đúng? A B C D a < 0, b > 0, c > 0, d < a > 0, b > 0, c > 0, d < Chọn A Vì hàm số hàm số khoảng ( x1; x2 ) nên suy y = ax3 + bx2 + cx + d Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ a < 0, b < 0, c > 0, d < a < 0, b > 0, c < 0, d < Lời giải đạt cực trị điểm x1, x2 hàm số đồng biến a< Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ âm nên Ta có y¢= 3ax2 + 2bx + c y¢= Mặt khác A d < Hàm số đạt cực trị điểm x1, x2 thỏa mãn x1 Ỵ ( - 1;0) , x2 Ỵ ( 1;2) nên suy có hai nghiệm trái dấu x1 Ỵ ( - 1;0) , x2 ẻ ( 1;2) ắắ đ ac < ị c > nên 2b x1 + x2 > ¾¾ ®> Þ b> 3a Vậy a < 0, b> 0, c > 0, d < Chọn CHỦ ĐỀ III: BIẾT HÀM SỐ CỦA ĐẠO HÀM DẠNG III.1: ĐƠN ĐIỆU Mức 1: Đơn điệu Câu 191 Cho hàm số y = f ( x) A có đạo hàm f ( 1) < f ( ) < f ( ) C f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x + 1) ( − x ) Mệnh đề sau đúng? f ( ) < f ( 1) < f ( ) B D f ( 1) < f ( ) < f ( ) f ( ) < f ( ) < f ( 1) Lời giải Chọn B Dựa vào so sánh phương án, ta thấy cần xét biến thiên hàm số khoảng Ta có: f ′ ( x ) = ( x + 1) Nên hàm số y = f ( x) ( x − 1) ( − x ) > 0, ∀x ∈ ( 1; ) đồng biến Lưu ý: Có thể dùng máy tính casio Bấm: thấy dương ∫ f ′ ( x ) dx Vậy: f ( 1) < f ( ) < f ( ) Mức 2: Đơn điệu Câu 192 Cho hàm số xỴ ¡ A y = f ( x) Hàm số ( 1; ) mà ∫ f ′ ( x ) dx f '( x) = ( 1- x) ( x + 2) t ( x) + 2018 g( x) = f ( 1- x) + 2018x + 2019 B ; Bấm: có đạo hàm ( - ¥ ;3) < < ⇒ f ( 1) < f ( ) < f ( ) ⇒ f ( ) > f ( 1) ( 1; ) thấy dương với xỴ ¡ ⇒ f ( 4) > f ( 2) với t( x) < nghịch biến khoảng khoảng sau? C ( 0;3) D ( 1;+¥ ) ( 3;+¥ ) Lời giải Chọn D Ta có Theo giả thiết Từ suy Mà g'( x) =- f '( 1- x) + 2018 f '( x) = ( 1- x) ( x + 2) t( x) + 2018 ắắ đ f '( 1- x) = x( 3- x) t ( 1- x) + 2018 g'( x) =- x( 3- x) t( 1- x) t( x) < 0, " x Ỵ Ă ắắ đ- t( 1- x) > 0, " x Î ¡ Lập bảng xét dấu cho biểu thức x( 3- x) nên dấu g'( x) , ta kết luận hàm số dấu với g( x) x( 3- x) nghịch biến khoảng ( - ¥ ;0) , ( 3;+¥ ) Câu 193 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ¢( x) = x2 - 2x khoảng khoảng sau? A B ( - ¥ ;- 6) ( - 6;6) với C ( xỴ ¡ Hm s ổ xử g( x) = f ỗ 1- ữ ữ ỗ ữ+ 4x ỗ ố 2ứ ) - 2;6 Lời giải Chọn B Ta có g¢( x) = - ù ư2 ỉ xư ỉ xư 1é x÷ êỉ ú+ = - x ữ ỗ ỗ fỗ 1- ữ + =1 ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữỳ ỗ ỗ 2ứ ố 2ữ ứ ố ç 2ê êè 2ø ú ë û D (- ) 2;+¥ đồng biến Xét Chọn B x2 > x2 < 36 ắắ đ- < x < Mức 3: Đơn điệu Câu 194 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = x ( x − 9) ( x − 4) khoảng nào? A B ( −2; ) C ( 3; +∞ ) Khi hàm số D ( −∞; −3) g( x) = f ( x2 ) đồng biến ( −∞; −3) ∪ ( 0;3) Lời giải Chọn B Ta có f ′ ( x ) = x ( x − 9) ( x − 4) ⇒ f ′ ( x 2 éx = ê 2 g¢( x) = Û 2x ( x - 9)( x - 4) = Û êx = ±3 ê êx = ±2 ë Vậy hàm số Câu 195 Cho hàm số Hàm số A y = f ( x2 ) y = f ( x) g( x) = f ( x2 ) đồng biến khoảng có đạo hàm ) = xx ( x − 9) ( x − 4) x = 0; x = ±2 ( 3; +∞ ) 2 khơng đổi dấu với f ¢( x) = x2 ( x - 1) ( x - 4) t ( x) xỴ ¡ t( x) > với xỴ ¡ đồng biến khoảng khoảng sau? B ( - ¥ ;- 2) Do C ( - 2;- 1) ( - 1;1) D ( 1;2) Lời giải Chọn B Ta có Theo giả thiết Từ suy Mà g¢( x) = 2xf ¢( x2 ) f ¢( x) = x2 ( x - 1) ( x - 4) t ( x) ắắ đ f Â( x2 ) = x4 ( x2 - 1)( x2 - 4) t ( x2 ) g¢( x) = 2x5 ( x2 - 1)( x2 - 4) t( x2 ) t( x) > 0, " x ẻ Ă ắắ ® t ( x2 ) > 0, " x Ỵ ¡ nên dấu g'( x) dấu 2x5 ( x2 - 1)( x2 - 4) Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn B Câu 196 Cho hàm số có đạo hàm với Hỏi số thực thuộc xỴ ¡ f ( x) ¢ f ( x) = ( x - 1) ( x - 2x) khoảng đồng biến hàm số g( x) = f ( x2 - 2x + 2) ? A B - C - D Lời giải Chọn B Ta có g¢( x) = 2( x - 1) f ¢( x2 - 2x + 2) ( ) 2 é ù = ( x - 1) ê( x - x + - 1) ( x - x + 2) - ( x - x + 2) ú= ( x - 1) é ( x - 1) ê ë ë û 1ù ú û Xét é0 < x < ê êx > ë Suy hàm số đồng biến khoảng Vậy số thuộc khoảng đồng biến hàm số g( x) ( 0;1) , ( 2;+¥ ) 2( x - 1) é ( x - 1) ê ë Mức 4: Đơn điệu Câu 197 Cho hàm số y = f ( x) 1ù >0Û ú û có đạo hàm với f ¢( x) = x( x - 1) ( x - 2) đồng biến khoảng khoảng sau? A B ( - ¥ ;- 2) ( - 2;1) C xỴ ¡ Hàm số D ( 0;2) ỉ 5x ÷ g( x) = f ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốx + 4ø ( 2;4) Lời giải Chọn D Ta có éx = ê f ¢( x) = Û x( x - 1) ( x - 2) = Û êx = ê êx = ë Xét é20- 5x2 = ê ê 5x ê êx2 + = ê ỉ 5x 20- 5x ữ gÂ( x) = f Âỗ ; gÂ( x) = 5x ữ ỗ 2 ữ ỗ ( x + 4) ốx + 4ø êx2 + = ê ê 5x ê =2 ê ëx + éx = ±2 ê êx = ê êx = ( nghiem boi chan) ê ê ê ëx = ( nghiem boi chan) Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn D Chú ý: Dấu xác định sau: Ví d xột trờn khong ta chn x=5 gÂ( x) 4;+Ơ ( ) 20- 5x2 x = 5® < ( ) (x x = 5® Từ ( 1) + 4) ỉ25ư 5x 25 25 ữ= 25ổ ỗ = ắắ đ f Âỗ ữ ỗ ç ÷ 29è ç29ø ç29 è x + 29 ( 2) , DẠNG III.2: CỰC TRỊ Mức 1: Cực trị Câu 198 Cho hàm số suy y = f ( x) g¢( x) > khoảng có đạo hàm 25 ÷ỉ ÷< ( 2) ỗ 1ữ - 2ữ ỗ ữ ữ ỗ29 ø øè ( 4;+¥ ) f ′ ( x ) = ( x − 1) ( − x ) với x∈¡ Hàm số y = f ( x) đạt cực đại A x=0 B x =1 C x=2 D x=3 Lời giải Bảng biến thiên éx = f ¢( x) = Û ( x - 1) ( 3- x) = Û ê êx = ë Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x = y = f ( x) Chọn D Ta có Chọn D ( ) f ′ ( x ) = x2 −1 ( x − 4) g ( x) = f ( − x) y = f ( x) Câu 199 Cho hàm số có đạo hàm với x ∈ ¡ Hàm số có cực đại ? A B C D Lời giải ùé4- ( 3- x) ù= ( 2- x) ( 4- x) ( x +1) ; g¢( x) = - f ¢( 3- x) = é ê( 3- x) - 1û úë û ë Chọn B Ta có éx =- ê ¢ g ( x) = Û ( 2- x) ( 4- x) ( x +1) = Û êx = ê êx = ë Mức 2: Cực trị Câu 200 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( x − ) có điểm cực trị ? A B Chọn B Ta có Ta thấy Câu 201 Cho hàm số x=0 y = f ( x) nghiệm bội lẻ có đạo hàm điểm cực trị ? A với Hàm số g ( x ) = f ( x2 ) D éx = ê ê g¢( x) = Û 2x5 ( x2 - 1)( x2 - 4) = Û êx = ±1 ê 2 ê( x - 2) ( x + 2) = ë ¾¾ ® hàm số f ′ ( x ) = x2 − 2x B đạt cực đại x = x∈¡ C Lời giải g¢( x) = 2xf ¢( x2 ) = 2x5 ( x2 - 1)( x2 - 4) ; x = ±1 g( x) có g( x) với x∈¡ điểm cực trị Chọn B Hàm số g ( x ) = f ( x − 8x ) có C Lời giải D Chọn C Ta có ù 2 g¢( x) = 2( x - 4) f ¢( x2 - 8x) = 2( x - 4) é ê( x - 2x) - 2( x - 2x) ú; ë û éx = ê éx - = êx = ê é ù 2 ê g¢( x) = Û 2( x - 4) ê( x - 2x) - 2( x - 2x) ú= Û êx - 2x = Û ê êx = ë û ê ê2 ê ëx - 2x = ê ê ëx = 1± Ta thấy x = 1± 3, x = 0, x = Câu 202 Cho hàm số y = f ( x) g ( x) = f ( x) − x A x=4 có đạo hàm nghiệm đơn f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) đạt cực trị ? B C Lời giải Chọn B Ta cú ắắ đ gÂ( x) = f Â( x) - 1= ( x +1) ( x - 1) ( x - 2) ; hàm số g( x) ( x − 2) + có điểm cực trị Chọn C với x ∈ ¡ Hàm số D éx = - ê ¢ g ( x) = Û ( x +1) ( x - 1) ( x - 2) = Û êx = ê êx = ë Ta thấy x = - x = nghiệm đơn x = ® hàm số g( x) có điểm cực trị Chọn B nghiệm kép ¾¾ Câu 203 Cho hàm số có đạo hàm cấp 3, liên tục thỏa mãn y = f ( x) với Hàm số x∈¡ ¡ g ( x ) = f ′ ( x ) − f ( x ) f ′′ ( x ) B Chọn B Ta có C Lời giải x=0 hàm x=- số nghiệm đơn có y = f ( x) đạo f ′ ( x ) + f ( x ) f ′′ ( x ) = 15x + 12 x ắắ đ hm vi cực trị ? A B Chọn B Ta có hàm số cấp x∈¡ nghiệm bội lẻ x= 35 Mức 3: Cực trị Câu 205 Cho hàm số y = f ( x) g ( x ) = f ( − 2018x ) A Chọn A Ta có cực trị Suy Mức 4: Cực trị Câu 206 Cho hàm số f ( x) A có đạo hàm tục có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) Ă v ắắ đ ộx = ê g¢( x) = Û 15x +12x = Û ê êx = - ê ë hàm số g( x) có điểm cực trị với x ∈ ¡ Hàm số D 11 g ( x ) = f ( − 2018 x ) ( x − ) ( x + 3) C Lời giải mãn có điểm có nghiệm đổi dấu lần nên hàm số thỏa D có tối đa điểm phân biệt Do điểm cực trị Chọn B g ( x) = f ( x) f ′( x) có nhiều điểm cực trị ? B 2018 C 2022 Lời giải B f ′ ( x ) = ( x3 − x2 ) ( x3 − x ) f ′ ( x ) = x3 ( x − ) ( x − ) = f ( x) = liên éx = ê êx = ê êx = - ë C Lời giải ; có Hàm số x=0 g( x) 2, ¢ ù ¢¢ g¢( x) = é ëf ( x) û + f ( x) f ( x) = 15x +12x Nhận thấy D éx = ê g¢( x) = Û f ( x) f ¢¢¢( x) = Û x( x - 1) ( x + 4) = Û ê ê( x - 1) = Û ê x =- ê ë Câu 204 Cho ( x + 4) g¢( x) = f ¢¢( x) f ¢( x) - f ¢( x) f ¢¢( x) - f ( x) f ¢¢¢( x) =- f ( x) f ¢¢¢( x) ; Ta thấy có điểm cực trị ? A f ( x ) f ′′′ ( x ) = x ( x − 1) y = f ( x) có tối đa cực trị Số điểm cực trị hàm số D có f ( x) Chọn B Cách 1: Ta có Do f ′( x) x=2 Do f ′ ( x ) = ⇔ ( x + 1) ( x − ) ( x + 3) = đổi dấu có f ( x ) = f ( x) qua x x≥0 f ( x) x=2 nên hàm số y = f ( x) B hàm số chẵn nên hàm số f ( x) Cách 2: Số điểm cực trị hàm số Câu 207 Cho hàm số có đạo hàm f ( x) có điểm cực trị x = −3 điểm cực trị dương A x = −3 x = −1 ⇔ x = x = −3 f ( x) có điểm cực trị , 2a + 1, a số điểm cực trị dương hàm số Số điểm cực trị hàm số f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − ) C (x f ( x) − 4) D , x = x = −2 x = y= f ( x) Lời giải Chọn D Ta có Do f ′( x) f ′ ( x ) = ⇔ ( x − 1) ( x − ) ( x − ) = x =1 ⇔ x = ±2 đổi dấu điểm cực trị dương Do f ( x ) = f ( x) , x = ±1 x = ±2 Câu 208 Cho hàm số A x qua x =1 x≥0 x=0 y = f ( x) x=2 x =1 x = ±2 nên hàm số f ( x) có điểm cực trị có f ( x) hàm số chẵn nên hàm số f ( x) có điểm cực trị có đạo hàm điểm B f ′ ( x ) = x ( x + 2) (x C + 4) Số điểm cực trị hàm số y= f ( x) D Lời giải Chọn D Ta có Do Do f ′( x) f ′ ( x ) = ⇔ x ( x + 2) đổi dấu f ( x ) = f ( x) x ( qua điểm x≥0 f ( x) ) x + = ⇔ x = x = −2 x=0 nên hàm số f ( x) có hàm số chẵn nên hàm số điểm cực trị f ( x) có x=0 điểm cực trị x=0 DẠNG III.3: THAM SỐ m Mức 2: Tính đơn điệu f ¢( x) = x( x - 1) ( x2 + mx + 9) có đạo hàm với x Ỵ ¡ Có số nguyên g( x) = f ( 3- x) ( 3;+¥ ) ? dương m để hàm số đồng biến khoảng A B C D Lời giải Câu 209 Cho hàm số y = f ( x) 2 f ¢( 3- x) = ( 3- x) ( 2- x) é ( 3- x) + m( 3- x) + 9ù ê ú ë û Ta có g¢( x) = - f ¢( 3- x) Chọn B Từ giả thiết suy g( x) Để hàm số đồng biến khoảng ( 3;+¥ ) g¢( x) ³ 0, " x ẻ ( 3;+Ơ ) 2 f Â( - x) £ 0, " x Ỵ ( 3; +¥ ) Û ( - x ) ( - x) é £ 0, " x Ỵ ( 3; +¥ ) ( - x ) + m ( - x ) + 9ù ê ú ë û 2 Û m£ ( x - 3) + x- , " x ẻ ( 3; +Ơ ) Û m£ h( x) ( 3;+¥ ) với Ta h( x) = có ( x - 3) + x- = ( x - 3) + h( x) = ( x - 3) + x- 9 ³ ( x - 3) = x- x- Vậy suy + mÊ ắắ ắđ mẻ {1;2;3;4;5;6} mẻ  Cõu 210 Cho hàm số âm A m có đạo hàm y = f ( x) để hàm số g( x) = f ( x B ) f ¢( x) = x2 ( x - 1) ( x2 + mx + 5) ng bin trờn ( 1;+Ơ ) xẻ ¡ Có số nguyên ? C với D Lời giải Chọn B Từ giả thiết suy Để hàm số g( x) f ¢( x2 ) = x4 ( x2 - 1)( x4 + mx2 + 5) đồng biến khoảng ( 1;+Ơ ) Ta cú v ch gÂ( x) = 2xf ¢( x2 ) g¢( x) ³ 0, " x ẻ ( 1;+Ơ ) xf Â( x ) ³ 0, " x > Û x.x ( x - 1)( x + mx + 5) ³ 0, " x >1 Û x + mx + ³ 0, " x > Û m³ max h( x) x4 +5 ( 1;+¥ ) Û m³ , " x >1 x Khảo sát hàm x4 + h( x) =x2 Suy với h( x) = - ( 1;+¥ ) ta x4 + x2 max h( x) =- ( 1;+¥ ) Chọn B - mẻ  m - ắắ ắđ mẻ { - 4;- 3;- 2;- 1} Câu 211 Cho hàm số nguyên âm A m y = f ( x) có đạo hàm để hàm số g( x) = f ( x B f ¢( x) = x( x - 1) ( 3x4 + mx3 +1) ) đồng biến khoảng C ( 0;+¥ ) với xỴ ¡ Có số ? D Lời giải Chọn B Từ giả thiết suy Ta có g¢( x) = 2xf ¢( x2 ) f ¢( x2 ) = x2 ( x2 - 1) ( 3x8 + mx6 +1) Để hàm số g( x) đồng biến khoảng ( 0;+¥ ) g¢( x) ³ 0, " x ẻ ( 0;+Ơ ) 2xf Â( x2 ) 0, " x ẻ ( 0;+Ơ ) x.x ( x - 1) ( 3x8 + mx +1) ³ 0, " x Ỵ ( 0; +¥ ) Û x + mx +1 0, " x ẻ ( 0; +Ơ ) Û m ³ Û m³ max h( x) với h( x) =- ( 0;+¥ ) Khảo sát hàm Suy 3x8 +1 h( x) = x6 mẻ  - 3x8 +1 x6 ( 0;+¥ ) m³ - ắắ ắđ mẻ { - 4;- 3;- 2;- 1} ta max h( x) =- ( 0;+¥ ) Chọn B 3x8 +1 , " x Ỵ ( 0; +Ơ ) x6 f Â( x) = ( x - 1) ( x2 - 2x) f ( x) với x Ỵ ¡ Có số ngun m< 100 g( x) = f ( x - 8x + m) ( 4;+¥ ) ? để hàm số đồng biến khoảng A 18 B 82 C 83 D 84 Lời giải Câu 212 Cho hàm số có đạo hàm f ¢( x) = ( x - 1) ( x2 - éx < 2x) > Û ê êx > ë Chọn B Ta có g( x) g¢( x) = ( 2x - 8) f ¢( x2 - 8x + m) ( 4;+Ơ ) v ch gÂ( x) 0, " x > Xét Để hàm số đồng biến khoảng éx - x + m £ 0, " x ẻ ( 4; +Ơ ) 2 ¢ ¢ Û ( x - 8) f ( x - x + m) ³ 0, " x > Û f ( x - x + m ) ³ 0, " x > Û ê Û m ³ 18 ê2 ê ëx - x + m ³ 2, " x Ỵ ( 4; +¥ ) Vậy 18 £ m< 100 Chọn B Mức Cực trị Câu 213 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x + 1) ( x + 2mx + ) Có tất giá trị nguyên m để hàm số f ( x ) có điểm cực trị? A B Chọn C C D Lời giải x = ⇔ x = −1 2 f ′ ( x ) = ⇔ x ( x + 1) x + 2mx + = x + 2mx + = ( 1) Để hàm số ( f ( x) ) có điểm cực trị có trường hợp sau: ( 1) vơ nghiệm: m − < ⇔ − < m < m = ± m2 − = ⇔ ( 1) có nghiệm kép −1 : −2m + = m = ⇒ m ∈ ∅ + Phương trình + Phương trình m − > 1) ( −2 m + = − + Phương trình có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm : m > ⇔ m < − ⇔ m = Vậy giá trị nguyên m ∈ { −2; −1;0;1; 2;3} m = f ′ ( x ) = ( x − 1) Câu 214 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm nguyên dương tham số m để hàm số A 15 B 16 Ta có (x − 2x ) g ( x ) = f ( x − 8x + m ) với x ∈ ¡ Có giá trị C 17 Lời giải có điểm cực trị? D 18 éx = ( nghiem boi 2) ê f ¢( x) = Û ( x - 1) ( x - 2x) = Û ê êx = êx = ê ë Chọn A Cách 1: Xét g¢( x) = 2( x - 4) f ¢( x2 - 8x + m) ; éx = ê êx2 - 8x + m = ( nghiem boi 2) ê g¢( x) = Û 2( x - 4) f ¢( x2 - 8x + m) = Û ê êx - 8x + m = ( 1) ê êx2 - 8x + m = ( 2) Û g¢( x) = ê ë u cầu tốn có nghiệm bội lẻ Û phương trình ( 1) , ( 2) có hai nghiệm phân biệt khác ( *) ( C ) hàm số y = x2 - 8x hai đường thẳng d1 : y = - m, d2 : y = - m+ (như hình vẽ) Xét đồ thị ( *) Û d1, d2 cắt ( C ) bốn điểm phân biệt Û - m>- 16 Û m