Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
96 Website:tailieumontoan.com TUYỂN TẬP CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ HAY VÀ KHÓ LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em chuyên đề tốn phương trình vơ tỷ Chúng tơi kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán phương trình vơ tỷ thường kì thi gần Chuyên đề gồm phần: - Phần 1: Phân tích bình luận, tìm lời giải cho tốn phương trình vơ - tỷ Phần 2: Tuyển tập tốn Phương trình vơ tỷ kì thi học sinh giỏi lớp 10 chun mơn tốn Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chun đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề phương trình vơ tỷ giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com PHẦN PHÂN TÍCH VÀ SUY LUẬN TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH Trong nội dung trước tìm hiểu phương pháp giải phương trình vơ tỷ phương trình vơ tỷ có nhiều phưng pháp tiếp cận xử lý Tuy nhiên đứng trước tốn phương trình vơ tỷ làm để tiếp cần đưa lời giải cho câu hỏi lớn bỏ ngỏ Với mục đích mở hướng đi, suy nghĩ cần có trước phương trình vơ tỷ chủ đề chúng tơi xin đưa số phân tích suy luận để giải thích lại giải tốn Trong chủ xin giới thiệu số nội dung • Phân tích suy luận đứng trước phương trình vơ tỷ • Lựa chọn phương án hợp lý để tìm lời giải tối ưu • Những hướng tiếp cận khác – khó khăn hướng khắc phục Ví dụ Giải phương trình x2 + 6x − = 4x 2x − Phân tích lời giải Trước phương trình vơ tỷ, cho dù chọn phương pháp mục đích cuối làm cho phương trình thức cách đơn giản đơn giản hóa tối đa phương trình Một điều giải phương trình vơ tỷ cần cố gắng nhẩm nghiệm để phán đốn hướng cách đắn Khơng q khó khăn ta nhân thấy phương trình xét có nghiệm x=1 Phương trình chứa dấu thức bậc hai nên loại bỏ thức bậc hai phương pháp nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ,… x≥ • Hướng Trước hết ta có điều kiện xác định phương trình x x2 + 6x − > 0,∀x ≥ Nhận xét Phương trình cho tương đương với ( ) Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com x4 + 30x2 + 12x3 − 36x + = 16x2 ( 2x − 1) ⇔ x4 + 20x3 + 46x2 − 36x + = ⇔ x2 ( x − 1) − 18x ( x − 1) + 9( x − 1) = 2 ( ) { } ⇔ x2 − 18x + ( x − 1) = ⇔ x ∈ 9− 2;1;9 + 2 { } S = − 2;1;9 + Kết hợp với điều kiện đinh ta thu tập nghiệm 2x − • Hướng Phương trình có chứa thức ta biến đổi phương trình thực đặt ẩn phụ Để ý phương trình cho tương đương với x2 − 4x 2x − + 3( 2x − 1) = Khi ta thực phép đặt phương trình thu x2 − 4xy + 3y2 = 2x − = y ( y ≥ 0) Lúc , phương trình đồng bậc ý đến hệ số ta phân tích x2 − 4xy + 3y2 = ⇔ x ( x − y ) − 3y ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) ( x − 3y ) = + Trường hợp Với + Trường hợp Với x ≥ x ≥ x − y = ⇒ x − 2x − ⇔ ⇔ ⇔ x=1 x − 2x + 1= ( x − 1) = x ≥ x − 3y = ⇒ x = 2x − ⇔ ⇔ x = 9± x − 18x + = { } S = − 2;1;9 + Đối chiếu với điều kiện xác định ta có tập nghiệm • Hướng Do phương trình nhẩm nghiệm đẹp x=1 , ta nghĩ đến phương pháp nhân lương liên hợp để làm xuất nhân tử chung ( ) 4x x − − = 3x − 6x + ⇔ ⇔ ( x − 1) ( 4x ( x − 1) x + 2x − x = 2− 1− x = ⇔ x = − { Tác giả: Nguyễn Công Lợi = 3( x − 1) x−1 ) x ≥ x = 2− ⇔ ⇔ x ∈ − 2;9 + x − 18x + = Ta có ba nghiệm } Đối chiếu điều kiện ta thu TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com • Hướng Phương trình cho có đại lượng tích phương trình dạng A = B2 4x 2x − A + B2 = nên ta nghĩ đến phân Với định hướng ta viết phương trình cho vè dạng sau + Khi viết phương trình dạng o A = B2 ta thấy có khả sau ( ) x2 + 6x − = 4x 2x − ⇔ 5x2 + 8x − = 2x − 2x − Với , ta thấy vế trái khơng phân tích thành bình phương o ( ) x2 + 6x − = 4x 2x − ⇔ 2x2 + 16x − = x + 2x − Với , ta thấy vế trái khơng phân tích thành bình phương o ( ) x2 + 6x − = 4x 2x − ⇔ x − 2x − = 2x − Với ( 2x − 1= , dễ thấy ) 2x − Như ta giải tốn o Khả biến đổi viết phương trình dạng A + B2 = không thực nên ta trình bày lời giải cho phương trình sau x≥ Điều kiện xác định phương trình đương với ( Phương trình cho tương x = 2x − 2x − ⇔ x = 2x − ) ( ) x2 − 4x 2x − + 4( 2x − 1) = 2x − ⇔ x − 2x − = x ≥ x = 2x − ⇔ ⇔ x ∈ − 2;9 + x − 18x + = { + Với + Với } x ≥ x ≥ x = 2x − ⇔ ⇔ ⇔ x=1 x − 2x + 1= ( x − 1) = x≥ Đối chiếu với điều kiện { } S = − 2;1;9 + , kết luận tập nghiệm Nhận xét Qua ví dụ ta nhận thấy đứng trước phương trình vơ tỷ lối giải tốn đặt tâm vào nhiều hướng tư Tuy nhiên việc lựa chọn hướng cho đắn phụ thuộc vào q trình phân tích gỡ rối Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com cho hiệu Trong lời giải lời giải có điểm thú vị x=1 Do phương trình có nghiệm kép nên sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa cách giải gọn gàng ( ) x2 − + 4x = 4x 4x − Ví dụ Giải phương trình Phân tích lời giải Phương trình cho ví dụ có hình thức tương tự ví dụ đầu nên ta có hướng tiếp cận lời giải cho phương trình sau Nhẩm x= x=1 số giá trị đặc biệt ta thấy phương trình có hai nghiệm đẹp • Hướng Phương trình cho có chứa thức bậc hai biểu thức ngồi có dạng tam thức bậc hai Do thực phep nâng lên lũy thừa phương trình thu có bậc Chú ý phương trình có hai nghiệm x=1 x= nên phân tích phương trình thành tích phương ( x − 1) ( x − 3) trình có chứa nhân tử nhân tử lại tam thức bậc hai nên ta giải x≥ Điều kiện xác định phương trình Phương trình cho tương đương với 9x4 + 24x3 − 2x2 − 24x + = 16x2 ( 4x − 3) ⇔ 9x4 − 40x3 + 46x2 − 24x + = x = ⇔ ( x − 1) ( x − 3) 9x2 − 4x + = ⇔ x = ( Phương trình 9x2 − 4x + = ) vô nghiệm ∆ Để ý x ≥ −1 với x ≥ −1 , phương trình cho tương đương với ( 3x ) + 2x + = 9( x + 1) 2 (x ) +3 ⇔ 9x + 12x + 46x + 28x + 49 = 9x4 + 18x3 + 36x2 + 54x + 27 3 ( ) ⇔ 6x3 − 10x2 + 26x − 22 = ⇔ ( x − 1) 6x2 − 4x + 22 = Dễ thấy phương trình • x=1 6x2 − 4x + 22 = vô nghiệm Do từ phương trình ta nghiệm phương trình Hướng Chú ý đến đại lượng 3( x + 1) x2 + , để làm triệt têu thức ta sử dụng phép đặt ẩn phụ Khi phương trình viết lại thành ( x + 1) ( ) − 3( x + 1) x2 + + x2 + = thực đặt ẩn phụ a = x + 1;b = x2 + ta viết phương trình dạng phương trình đẳng cấp bậc hai Điều kiện xác định phương trình x ≥ −1 Phương trình cho tương đương với ( x + 1) Đặt a = x + 1;b = x2 + > ( ) − 3( x + 1) x2 + + x2 + = Khi phương trình trở thành a = b a2 − 3ab + 2b2 = ⇔ ( a − b) ( a − 2b) = ⇔ a = 2b Ta xét hai trường hợp + Với a= b ta x + > x ≥ −1 x + = x2 + ⇔ ⇔ ⇔ x=1 2 ( x + 1) = x + 2x = Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com + Với a = 2b ta x + > x ≥ −1 x + = x2 + ⇔ ⇔ 2 ( x + 1) = 4x + 12 3x − 2x + 11 = , hệ vô nghiệm Kết hợp với điều kiện xác định ta x=1 nghiệm phương trình • Hướng Lại để ý đến đại lượng 3( x + 1) x2 + ta nghĩ đến phân tích phương trình dạng hiệu hai bình phương Phương trình cho tương đương với 12x2 + 8x + 28 = 12( x + 1) x2 + ( ) ( ) ⇔ x2 + 2x + − 12( x + 1) x2 + + x2 + = x2 + ( ) ( ⇔ 2x + 2− x2 + = ) x2 + 2x + 2− x2 + = x2 + x + = x2 + ⇔ ⇔ 2x + 2− x2 + = − x2 + x + 1= x2 + + Với a= b x + > x ≥ −1 x + = x2 + ⇔ ⇔ ⇔ x=1 2 ( x + 1) = x + 2x = ta a = 2b + Với ta hệ vô nghiệm Kết hợp với điều kiện xác định ta x=1 nghiệm phương trình • Hướng Chú ý phương trình có nghiệm x=1 nên ta nghĩ đến phương pháp nhân đại lượng liên hợp để tạo nhân tử chung x−1 Phươg trình cho tương đương với Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com ) ( 3( x + 1) − 3( x + 1) x2 + = 4x − ⇔ 3( x + 1) x + 1− x2 + = 4( x − 1) ⇔ )( ( 3( x + 1) x + 1− x2 + x + 1+ x2 + x + 1+ x2 + ) = 4( x − 1) x − 1= ⇔ = 4( x − 1) ⇔ 6( x + 1) =4 x + 1+ x2 + x + 1+ x + 6( x + 1) ( x − 1) + Khi x − 1= ⇔ x = , thỏa mãn điều kiện xác định 6( x + 1) + Khi x + 1≥ = ⇔ x + = x2 + ⇔ x + 1+ x2 + 3x − 2x + 11 = , hệ vô nghiệm x=1 Vậy phương trình cho có nghiệm • Nhận xét Về mặt hình thức phương trình cho ví dụ ba hồn tồn tương tự ví dụ nên hướng tiếp cận phương trình hồn tồn tự nhiên 7x + Ví dụ Giải phương trình + = x2 + x + x Phân tích lời giải Phương trình cho ví dụ có hình thức tương tự ví dụ ta có hướng tiếp cận phương trình sử dụng phép nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ đưa phương trình dạng đẳng cấp, phân tích phương trình thành tích,… • Hướng Điều kiện xác định phương trình x> Phương trình cho tương đương với 7x2 + x + = 7x x2 + x + ⇔ x2 + x + − 7x x2 + x + + 6x2 = Đặt t = x2 + x + > , phương trình trở thành t = x t2 − 7xt + 6x2 = ⇔ ( t − x) ( t − 6x) = ⇔ t = 6x + Với t=x ta x > x > x2 + x + = x ⇔ ⇔ x + x + = x x + = Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi , hệ vơ nghiệm TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com Do Như từ phương trình ta 2x − 3x − + x + 2x − = ⇔ x = − x − 1< Kết hợp với điều kiện xác định ta x= nghiệm phương trình Bài 1116 Giải phương trình x − + 2x2 + 3x = 5x − + Trích đề thi chọn HSG Toán 12 Thành Phố Hà Nội năm học 2013 – 2014 Lời giải • Cách Điều kiện xác định phương trình x≥ Phương trình cho tương đương với ( ) ( ) x − + + − 5x − + 2x2 + 3x − = x−1 ⇔ − 5( x − 1) ( x − 9) − x − + 2+ 5x − + ( x − 1) ( 2x + 5) = ⇔ ( x − 1) − + 2x + 5 = 3 + 5x − ( x − 9) − x − + Dễ thấy với Lại có x≥ ta có + 5x − ≥ Từ ta nên ( x − 9) − 23 x − + = ≤ 5x − + Ta có ( ) x− − + 3> 2x + ≥ + 5 + 2x + > − + + > ( x − 9) − 23 x − + 2+ 5x − − Do từ phương trình ta Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi x − 1= ⇔ x = với x≥ , thỏa mãn điều kiện xác định TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com Vậy phương trình cho có nghiệm • x=1 Cách Điều kiện xác định phương trình x≥ Phương trình cho tương đương với ( ⇔ ) ( 2( x − + 2) + 3 ( 5x − ( x − 9) ) 5x − − + 4x2 + 6x − = 5( x − 1) 5x − x− ⇔ ) x − + + 5x − 1− 5x − + 4x2 + 6x − = + 5x − − x− 9+ + ( x − 1) ( 4x + 5) = 5x − ⇔ ( x − 1) + + 4x + 5 = 3 + 5x − ( x − 9) − x − + Dễ thấy với + 5x − ( x − 9) − x − + 2+ 5x − Do từ phương trình ta + 4x + > x − 1= ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm Bài 117 Giải phương trình x≥ , thỏa mãn điều kiện xác định x=1 − 16x + 2x + = Trích đề thi chọn HSG Toán 12 Tỉnh Quảng Nam năm học 2014 – 2015 Lời giải Điều kiện xác định phương trình Đặt x ≥ −4 a = − 16x a = − 16x ⇒ a3 + 8b2 = 71 ( b ≥ 0) ⇒ b = 2x + b = 2x + Phương trình cho viết lại thành Tác giả: Nguyễn Công Lợi a + 2b = Từ ta có hệ phương trình TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com 5− a b= 5− a a + 2b = b = ⇔ ⇔ 2 a + 8b = 71 a3 + 8 5− a = 71 a3 + 2a2 − 20a − 21= ÷ a = −1;v = 5− a −1+ 85 11− 85 b = ⇔ ⇔ a = ;b = ( a + 1) a2 + a − 21 = a = −1− 85 ;b = 11+ 85 2 ( • • • Với a = −1;b = ta có hệ ) − 16x = −1 7 − 16x = −1 ⇔ ⇔ x= 2x + = 2x + = Với ta có hệ a= −1+ 85 11− 85 ;b = Với ta có hệ −1− 85 11+ 85 a= ;b = 3 −1+ 85 − 16x = 39 − 11 85 ⇔ x= 16 2x + = 11− 85 3 −1− 85 − 16x = 39 + 11 85 ⇔ x= 16 2x + = 11+ 85 Kết hợp với điều kiện xác định ta có tập nghiệm Bài 118 Giải phương trình 2x + = 39 ± 11 85 S = ; 16 8x3 + 4x 2x + Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Nghệ An năm học 2018 – 2019 Lời giải Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com Điều kiện xác định phương trình trình cho 2x + ≥ 0;2x + ≠ hay x≥ − viết Phương lại thành 8x3 + 4x = ( 2x + 5) 2x + ⇔ ( 2x) + 2( 2x) = ( 2x + 3) 2x + + 2x + 3 Đặt a = 2x;b = 2x + ( b ≥ 0) , phương trình lại viết thành ( ) ( ) a3 + 2a = b3 + 2b ⇔ ( a − b) a2 + ab + b2 + 2( a − b) = ⇔ ( a − b) a2 + ab + b2 + = Dễ thấy với a b b 3b a2 + ab + b2 + = a + ÷ + + 2> 2 Do từ phương trình ta a= b , hay ta có phương trình x ≥ x ≥ 1+ 13 2x = 2x + ⇔ ⇔ ⇔ x= 4x = 2x + 4x − 2x − = Kết hợp với điều kiện xác định ta nghiệm x= 1+ 13 phương trình Bài 119 Giải phương trình x3 + x2 + 2x = x +2 15 ( ) x4 + Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Nam Định năm học 2018 – 2019 Lời giải Điều kiện xác định phương trình nghiệm phương trình Xét x≠ x∈ R Dễ thấy x=0 khơng phải , biến đổi tương đương phương trình cho ta Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com x3 + x2 + 2x = x +2 15 ( ) x4 + ⇔ x3 + x2 + 2x x2 + x4 + = 15 x x2 x2 2 2 4 2 2 ⇔ x + + 1= x + ÷ x2 + ⇔ x + + 1= x + ÷ x + ÷ − x 15 x x 15 x x x Đặt ( t = x+ t ≥2 x ) , phương trình viết lại thành t + 1= t t2 − 15 Điều kiện xác định phương trình Biến đổi phương trình t ≥2 ta t t2 − ⇒ 225( t + 1) = 80t2 t2 − ⇔ 16t4 − 64t2 = 45 t2 + 2t + 15 ⇔ 16t − 109t2 − 90t − 45 = ⇔ ( t − 3) 16t3 + 48t2 + 35t + 15 = t + 1= ( + Với ta có t≥ 2 + Với 16t3 + 48t2 + 35t + 15 > ta có t ≤ −2 ( −4t ) + ( −32t) ≥ Do ta có ) ( ) ) 16t3 + 48t2 + 35t + 15 < 4.32t4 = 16t2 > 22t2; −12t3 ≥ 12.2 2t2 = 24t2 > 33t2 −16t − 32t > 55t ( Lại có 7t + 3t + 15 > nên −16t3 − 32t > 55t2 > 48t2 + 3t + 15 Suy 16t + 48t + 35t + 15 < Do từ phương trình ta x+ Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi t=3 hay ta có phương trình = ⇔ x2 − 3x + = ⇔ x ∈ { 1;2} x TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com Vậy phương trình cho có tập nghiệm Bài 120 Giải phương trình S = { 1;2} x + x + 24 − 2x 2x + = 12− x Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Ninh Bình năm học 2018 – 2019 Lời giải Điều kiện xác định phương trình − ≤ x ≤ 12 Biến đổi phương trình cho ta x2 + x + 24 − 2x 2x + − 12 − x = ⇔ x2 − 2x 2x + + 2x + 3+ 12 − x − 12 − x + = ( ( ) ) x − 2x + =0 ⇔ x − 2x + + 12− x − = ⇔ 12 − x − = x − 2x + = 2x + = x ⇔ ⇔ ⇔ x= 12 − x − = 12 − x = ( ) ( ) Kết hợp với điều kiện xác định ta x= nghiệm phương trình cho Bài 121 Giải phương trình: 3x + − − x + 3x − 14x − = Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Thái Bình năm học 2018 – 2019 Lời giải Điều kiện xác định phương trình − ≤ x≤ Biến đổi phương trình cho ta Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com ⇔ 3x + − − x + 3x2 − 14x − = ( ) ( 3x + − − 3x + 1− 16 ) 6− x − + 3x2 − 14x − = 6− x − + ( 3x + 1) ( x − 5) = 3x + + 6− x + ⇔ ( x − 5) + + 3x + 1÷ = 6− x + 3x + + ⇔ Dễ thấy 3x + + + − với 6− x + + 3x + > Do từ phương trình ta − ≤ x≤ x− 5= 0⇔ x = Kết hợp với điều kiện xác định x= nghiệm phương trình Bài 122 Giải phương trình ( ) x + + ( − x) = 2( x + 1) Trích đề thi học sinh giỏi mơn Toán Tỉnh Hưng Yên năm học 2018 – 2019 Lời giải • Lời giải Điều kiện xác định phương trình khơng phải nghiệm phương trình Xét x ≠ −1 x ≥ −2 Dễ thấy x = −1 ta có , x + − 1≠ ta có biến đổi phương trình ( ) x + + ( − x) = 2( x + 1) ⇔ ⇔ ( x + 1) ( − x) = 2( x + 1) ( ( )( x+ 2+1 ) ) x + − ( − x) = 2( x + 1) ( ) x+ 2−1 x + − ⇔ 4− x = x + − ⇔ x + = 6− x 6 − x ≥ x ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ { −14;2} ⇔ x + = x − 12x + 36 x − 16x + 28 = ( ) x + = − x ( ) ( ) Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com Kết hợp với điều kiện xác định ta x= nghiệm phương trình • Lời giải Điều kiện xác định phương trình x ≥ −2 Biến đổi phương trình ta ( ⇔( ) x + + 1) ( 4− x) = 2( x + + ( − x) = 2( x + 1) ⇔ ( )( ) x + + ( − x) = 2( x + − 1) x + 1+ ) x + − ⇔ 4− x = x + − ⇔ x + = 6− x 6− x ≥ x ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ { −14;2} ⇔ 4( x + 2) = x − 12x + 36 x − 16x + 28 = 4( x + 2) = ( − x) Kết hợp với điều kiện xác định ta x= nghiệm phương trình Bài 123 Giải phương trình 3− 4x + 4x + = −16x2 − 8x + Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Quảng Bình năm học 2018 – 2019 Lời giải • Lời giải Điều kiện xác định phương trình − ≤ x≤ 4 Biến đổi phương trình cho 3− 4x + 4x + = −16x2 − 8x + ⇔ 3− 4x + 4x + + 16x2 + 8x − = −4x − ⇔ 3− 4x − + 4x + + 16x2 + 8x + = ⇔ + 4x + + ( 4x + 1) = 3− 4x + − 4x + ⇔ 4x + + 1+ ( 4x + 1) 4x + 1 = 3− 4x + Để ý − ≤ x≤ 4 nên ta nên ≤ 4x + ≤ Từ suy −2 ≤ − 4x + < nên ta −1 < − 4x + 3− 4x + Tác giả: Nguyễn Công Lợi ≤0 − 4x + 3− 4x + + 1+ ( 4x + 1) 4x + > TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com Do từ phương trình ta 4x + = ⇔ x = − , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy • x= − nghiệm suy phương trình Lời giải Điều kiện xác định phương trình − ≤ x≤ 4 Biến đổi phương trình cho 3− 4x + 4x + = −16x2 − 8x + ⇔ 3− 4x + 4x + + 32x2 + 16x − = ⇔ 3− 4x − ( 3− 4x) + 4x + + 32x2 + 12x + = 3− 4x ( 4x + 1) + 4x + + ( 4x + 1) ( 8x + 1) = 3− 4x + ( 3− 4x) ( 4x + 1) ⇔ 4x + + + 4x + 1( 8x + 1) = 3− 4x + ⇔ + Với thấy với Với − ≤ x< 0≤ x ≤ ta ln có 3− 4x + ta có ≤ 4x + ≤ Do ta suy − ≤ x≤ 4 ta ln có phương trình ta Tác giả: Nguyễn Công Lợi + 2+ 4x + 1( 8x + 1) > −1≤ 8x + 1< −1≤ 4x + 1( 8x + 1) < ( 3− 4x) ( 4x + 1) 3− 4x + Như với ( 3− 4x) ( 4x + 1) + 2+ 4x + 1( 8x + 1) > ( 3− 4x) ( 4x + 1) 3− 4x + 4x + = ⇔ x = − nên từ + 2+ 4x + 1( 8x + 1) > , thỏa mãn điều kiện xác định TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com Vậy x= − nghiệm suy phương trình Bài 124 Giải phương trình 3x − 4x − 11= ( 2x − 5) 3x + Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Quảng Ngãi năm học 2018 – 2019 Lời giải • Lời giải Điều kiện xác định phương trình x≥ − Biến đổi phương trình cho ta ( ) 3x2 − 4x − 11 = 4( 2x − 5) 3x + ⇔ 12x2 − 16x − 44 = 4( 2x − 5) 3x + − ( ) ⇔ 16x2 − 24x + = 4x2 − 20x + 25 + 4( 2x − 5) 3x + + 4( 3x + 7) ( ⇔ ( 4x − 3) = 2x − 5+ 3x + + Trường hợp Khi ) 3x + = x + 4x − = 2x − 5+ 3x + 3x + = x + ⇔ ⇔ 3− 4x = 2x − 5+ 3x + 3x + = − 3x ta x + 1≥ x ≥ −1 3x + = x + 1⇔ ⇔ x= ⇔ x − x − = 3x + = ( x + 1) + Trường hợp Khi 3x + = − 3x ta 4 − 3x ≥ 4− 3x ≥ 3± 3x + = − 3x ⇔ ⇔ x= ⇔ x − 3x + = 3x + = ( − 3x) ( Kết hợp với điều kiện xác định ta tập nghiệm • Lời giải Điều kiện xác định phương trình ) 3− S= ;3 x≥ − Biến đổi phương trình cho ta Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com 3x2 − 4x − 11 = ( 2x − 5) 3x + ⇔ 3x2 − 4x − 11− 2x 3x + + 3x + = ⇔ 3x2 + 3x − 3x 3x + − 4x − − 3x + + x 3x + + 3x + − ( 3x + 7) = ( ) ( ) ( ) ⇔ 3x x + 1− 3x + − x + 1− 3x + + 3x + x + 1− 3x + = x + 1− 3x + = 3x + = x + ⇔ x + 1− 3x + 3x − + 3x + = ⇔ ⇔ 3x − + 3x + = 3x + = − 3x ( )( ) Đến xét trường hợp ta tập nghiệm • Lời giải Điều kiện xác định phương trình ( ) 3− S= ;3 x≥ − Ta có 3x2 − 4x − 11 = ( 2x − 5) 3x + ⇒ 3x2 − 4x − 11 = ( 2x − 5) 3x + 3 ⇔ 9x − 24x − 50x + 88x + 121 = 12x − 32x − 65x + 175 2 ⇔ 9x4 − 36x3 − 18x2 + 153x − 54 = ⇔ x4 − 4x3 − 2x2 + 17x − = 3− 3+ ⇔ x2 − x − x2 − 3x + = ⇔ x ∈ −2; ; ;3 2 ( )( ) Thay giá trị vào phương trình ban đầu ta tập nghiệm 3− S= ;3 Bài 125 Giải phương trình 2x − 6x − 5( x − 2) x + + 10 = Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Phú n năm học 2018 – 2019 Lời giải Lời giải Điều kiện xác định phương trình Biến đổi phương trình x ≥ −1 cho Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com 2x2 − 6x − 5( x − 2) x + + 10 = ⇔ 8x2 − 24x + 40 = 20( x − 2) x + ( ) ⇔ 9x2 + 72x + 144 = x2 − 4x + + 20( x − 2) x + + 100( x + 1) 3x + 12 = x − + 10 x + ⇔ ( 3x + 12) = x − + 10 x + = ⇔ 3x + 12 = − x − + 10 x + ( ) ( ) Đến ta xét trường hợp sau + Trường hợp Với , ta có 3x + 12 = x − + 10 x + ⇔ x + = x + x + ≥ x ≥ −7 x+ 1= x+ ⇔ ⇔ x ∈ { 3;8} ⇔ x − 11x + 24 = 25 x + = x + ( ) ( ) + Trường hợp Với ( , ta có ) 3x + 12 = − x − + 10 x + ⇔ −5 x + = 2x + 2x + ≤ 2x + ≤ −5 x + = 2x + ⇔ ⇔ 4x − 5x = 25( x + 1) = ( 2x + 5) , vô nghiệm Kết hợp với điều kiện xác định ta tập nghiệm phương trình Lời giải Điều kiện xác định phương trình Để ý 2x − 6x + 10 = 2( x − 2) + 2( x + 1) 2 a = x − 2;b = x + 1( b ≥ 0) x ≥ −1 Khi phương trình cho viết lại thành Đặt S = { 3;8} 2( x − 2) − 5( x − 2) x + + 2( x + 1) = Phương trình trở thành 2a2 − 5ab + 2b2 = ⇔ 2a2 − 4ab − ab + b2 = ⇔ 2a( a − 2b) − b ( a − 2b) = 2a − b = 2a = b ⇔ ( 2a − b) ( a − 2b) = ⇔ ⇔ a − 2b = a = 2b + Trường hợp Với 2a = b Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi ta có phương trình 2( x − 2) = x + Khi ta TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com x ≥ x ≥ 2( x − 2) = x + ⇔ ⇔ ⇔ x= 4( x − 2) = x + 4x − 17x + 15 = + Trường hợp Với a = 2b ta có phương trình Khi ta x− 2= x+ x ≥ x ≥ x− 2= x+ 1⇔ ⇔ ⇔ x= ( x − 2) = 4( x + 1) x − 8x = Kết hợp với điều kiện xác định ta tập nghiệm phương trình Bài 126 Giải phương trình x + 1+ 2x + = 8x + 18x + 11 S = { 3;8} 2x + Trích đề thi học sinh giỏi mơn Toán Tỉnh Nghệ An năm học 2017 – 2018 Lời giải Điều kiện xác định phương trình • Cách Để ý 8x + 18x + 11 = 8( x + 1) + ( 2x + 3) 2 Do ta đặt x> − a = x + 1;b = 2x + ( b > 0) Khi phương trình cho viết lại thành a+ b = 8a2 + b2 ⇔ 2b ( a + b) = 8a2 + b2 ⇔ b2 + 2ab − 8a2 = ⇔ ( b + 4a) ( b − 2a) = 2b + Trường hợp Với b + 4a = ⇔ b = −4a Khi ta có phương trình x ≤ −1 −15− 17 x ≤ −1 2x + = −4( x + 1) ⇔ ⇔ x= ⇔ 16 16x + 30x + 13 = 2x + = 16( x + 1) + Trường hợp Với Tác giả: Nguyễn Công Lợi b − 2a = ⇔ b = 2a Khi ta có phương trình TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com x ≥ −1 −3+ x ≥ −1 2x + = 2( x + 1) ⇔ ⇔ x= ⇔ 4x + 6x + = 2x + = 4( x + 1) Kết hợp với điều kiện xác định ta có tập nghiệm −15− 17 −3+ S= ; 16 + Cách Biến đổi tương đương phương trình cho ta có ( ) 2x + x + 1+ 2x + = 8x2 + 18x + 11 ⇔ 2( x + 1) 2x + = 8x2 + 14x + ⇔ x2 + 2x + 1+ 2( x + 1) 2x + + 2x + = 9x2 + 18x + x + 1+ 2x + = 3( x + 1) 2 ⇔ x + 1+ 2x + = 9( x + 1) ⇔ x + 1+ 2x + = −3( x + 1) ( ) Đến ta giải hai trương hợp tương tự thu tập nghiệm −15− 17 −3+ S= ; 16 Bài 127 Giải phương trình 6x + 2x + = 3x 6x + Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn thành phố Hà Nội năm học 2017 – 2018 Lời giải Điều kiện xác định 6x + 2x + = 5x + ( x + 1) > 2 phương trình x≥ − Để nên từ phương trình ta suy trình cho tương đương với 18x + 6x + = 9x 6x + x> ý Phương Đặt a = 6x + ( a > 0) , phương trình viết lại thành Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com 18x2 + a2 = 9ax ⇔ a2 − 9ax + 18x2 = ⇔ ( a − 3x) ( a − 6x) = + Trường hợp Với a − 3x = ⇔ a = 3x Khi ta có phương trình x ≥ x ≥ 6x + = 3x ⇔ ⇔ ⇔ x=1 2 6x + = 9x 9x − 6x − = + Trường hợp Với a − 6x = ⇔ a = 6x Khi ta có phương trình x ≥ x ≥ 1+ 13 6x + = 6x ⇔ ⇔ ⇔ x= 2 12 6x + = 36x 36x − 6x − = Vậy phương trình cho có tập nghiệm Tác giả: Nguyễn Công Lợi 1+ 13 S= ;1 12 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... trước phương trình vơ tỷ lối giải toán đặt tâm vào nhiều hướng tư Tuy nhiên việc lựa chọn hướng cho đắn phụ thuộc vào q trình phân tích gỡ rối Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com... tỷ, cho dù chọn phương pháp mục đích cuối làm cho phương trình thức cách đơn giản đơn giản hóa tối đa phương trình Một điều giải phương trình vơ tỷ cần cố gắng nhẩm nghiệm để phán đốn hướng cách... Website:tailieumontoan.com PHẦN PHÂN TÍCH VÀ SUY LUẬN TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH Trong nội dung trước tìm hiểu phương pháp giải phương trình vơ tỷ phương trình vơ tỷ có nhiều phưng pháp tiếp cận